概率 随机事件及其概率章习题

第一章随机事件及其概率

典型例题分析

例1填空题

(1)若事件A，B互斥，且，则____________。

(2)若事件A，B相互独立，且，则

_____________。

(3)一个工人生产了3个零件，以事件表示他生产的第i个零件是合格品i=1, 2, 3，

试用，i=1, 2, 3来表示下列事件：

只有第1个零件是合格品_____________；3个零件中只有1个合格品_______________；

3个零件中最多只有2个合格品______________；3个零件都是次品________________；

第1个是合格品，但后两个零件中至少有1个次品_________________；

3个零件中最多有1个次品________________________________________________。

(4)设，则___________；

_________________；_______________________________。

(5)设A，B为两事件，且，，则___________。

解(1) 0.6。因为A与B互斥，有。

(2) 0.125。因为A与B独立时，有

。

(3) ；；

法一：考虑逆事件为“3个均为合格品”，故为，法二：直接考虑“3个零件中至少有1件次品”为；

；；

。

(4) ；；。

因为所以；。而，所以。

(5) 。由于，

又且，故。

例2单选题

(1) 已知且，则正确的是( )

A.

B.

C.

D.

(2) 已知以及，则= ( )

A. ；

B. ；

C. ；

D.

(3) 甲乙两人独立的同时对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现在已知目标被命中，则它是甲射中的概率是( )

A. 0.8；

B. 0.65；

C. 0.75；

D. 0.25

(4) 如果事件A与B同时发生的概率为0，即，则下列情况成立的是( )

A. A与B互斥；

B. AB为不可能事件；

C. 或；

D. AB未必为不可能事件。

解(1) B。因为；而

，故B为正确答案。

(2) D。由，而

知，故

。

(3) C。设A=“甲命中”，B=“乙命中”，则A+B=“目标被命中”，所求为

(4) D。因为不可能事件的概率为0，但概率为0的事件未必为不可能事件，所以A，B

不对。特别容易混淆的是A，互斥要求。又由也推不出或

。故选D。

以下几个例题为古典概型的概率计算

古典概型的概率计算，既有问题的多样性，又有方法与技巧的灵活性，在概率论的长期发展与实践中，人们发现实际中许多具体问题可以大致归纳为三类，这三类问题是：1）摸球问题

例3袋中装有A个白球B个黑球。(1) 从袋中任取a+b个球，试求所取的球恰有a个白球和b个黑球的概率()；(2) 从袋中任意的接连取出k+1 ()

个球，如果每球被取出后不放回，试求最后取出的球是白球的概率。

解(1) 从A+B个球中取a+b个球，总共有种取法。

设={恰好取中a个白球，b黑球}，故中所含样本点数为。从而。

(2) 从A+B个球中接连不放回的取出k+1个球，由于注意了次序，所以应考虑排列。因此总共有种取法。

设={最后取出的球是白球}，则中所含样本点可以通过乘法原理来计算：即先从A个白球中任取一个(即第k+1个球为白球)，有A种取法；而其余的k个在余下的

个中任取k个，有种取法(同样要考虑排列)。因而中包含的样本点共有个。

故。

[注] (1) 摸球问题通常要注意区分是有放回抽样，还是不放回抽样；摸球时是考虑了顺序，还是不考虑顺序；

(2) 从该例题知，在计算样本点总数以及有利事件所含样本点的数目时，必须在同一确定的样本空间中考虑；

(3) 如果我们将“白球”、“黑球”换成“合格品”、“次品”等，就得到各种各样的摸球问题，这就是摸球问题的典型意义所在。

2）分房问题

例4将个人等可能的分配到N个房间中的任意一个去住，求下列事件的概率：A={某指定的n间房中各有一人}；B={恰有n间房，其中各有一人}；C={某指定的房中恰有个人}。

解：把个人等可能的分配到N个房间中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有种。

对于事件A，只要考虑n个人的全排列，对应放入指定的n个房间中即可，故

。对于事件B，分两步：第一选出n个房间，第二按照事件A的方法分配人，故。对于事件C，首先选出m人，有种方法，而其余个人可任意的

分配到其余的间房中，共有种方法，故。

[注] 可归入“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如：

(1) 生日问题：n个人的生日的可能情形，这时天()；

(2) 乘客下车问题：一客车上有n名乘客，它在N个站上都停，乘客下车的各种情形；

(3) 印刷错误问题：n个印刷错误在一本有N页的书中的一切可能的分布(n不超过每一页的字符数)；

(4) 放球问题：将n个球放入N个盒子的可能情形。

值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，不能颠倒。

3）匹配问题

例5从5双不同号码的鞋子中任取4只，求4只鞋子中至少有2只配成一双的概率。

解从5双10只鞋子中任取4只，共有种取法。设A={4只鞋子中至少有2只配成一双}，则={4只鞋子不成双}。易知中的基本事件数为(其中表示从

5双中任取4双，表示从每双中任取一只)，故。

[注] 注意问题中含有“至多或至少”字样时，可以考虑该事件的逆事件。

例6四张彩票，其中三张空门，一张中奖。四个人先后摸取彩票，求每个人中奖的概率。

解设={第i个人中奖}，。则

，，