-线性代数方程组的解法-LU分解

称为矩阵 A 的谱半径.
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例
求 A 的谱半径
⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 − 2 4 ⎟. ⎜ 2 4 − 2⎟ ⎝ ⎠
解
矩阵 A 的特征方程为
2 −2 ⎤ ⎡λ − 1 ⎥ det( λI − A) = ⎢ 2 λ + 2 − 4 ⎢ ⎥ ⎢ − 4 λ + 2⎥ ⎣ −2 ⎦ = λ3 + 3λ2 − 24λ + 28 = (λ − 2) 2 (λ + 7) = 0,
AI ij = B（为交换 A 第 i 列与第 j 列得到的矩阵）；
(11) 置换阵： 由初等置换阵的乘积得到的矩阵. 定理1 设 A ∈ R n×n 则下述命题等价： (1) 对任何 b ∈ R n , 方程组 Ax = b 有唯一解. (2) 齐次方程组 Ax = 0 只有唯一解 x = .0 (3) det( A ) ≠ 0. (4) A −1 存在. (5) A 的秩 rank ( A) = n.
（1）选定根的初始近似值 （2）按照某种原则生成收敛于根的近似点列
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迭代法的优点： （1）计算机存储量小； （2）程序设计简单； （3）初始方程组系数矩阵在计算过程中保持不变。 迭代法必须考虑的关键问题： （1）算法的收敛性问题 （2）算法的收敛速度问题 收敛性与收敛速度是如何定义的？
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6.1.2
这种实数排成的矩形表，称为 m 行 n 列矩阵.
⎡ ⎢ x ∈R n ⇔ x = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 ⎤ ⎥ x2 ⎥ ⎥ ⎥ xn ⎥ ⎦
称为
n 维列向量.
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写成列向量的形式
A=
(
a1
a2

an
)
其中ai为A 的第 i 列. 也可写成行向量的形式
⎛ bT 1 ⎜ T ⎜ b2 A=⎜ ⎜ T ⎜ b m ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
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线性方程组的数值解法一般有两类：
1. 直接法
经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法 (若计算过程中没有舍入误差). 但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方 法也只能求得线性方程组的近似解. 回顾已经学过的一种求解线性方程组的直接方法
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克莱姆法则：
⎧ a x + a x ++ a x = b 1n n 1 ⎪ 11 1 12 2 a21x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 如果线性方程组 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ a x + a x ++ a x = b nn n n ⎩ n1 1 n 2 2
D1 D2 D3 D4 x = ,x = ,x = ,x = 由 1 D 2 D 3 D 4 D,
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = = −108 0 −5 −1 2 1 0 −7 6 2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = = 27 0 2 −1 −5 1 4 −7 0
得唯一一解为
对称正定阵. 定理4(若当（Jordan）标准型) 设 A为 n 阶矩阵， 则存在一个非奇异矩阵 P 使得
⎛ J1 (λ1 ) ⎞ ⎜ ⎟ J 2 (λ2 ) ⎜ ⎟ −1 P AP = ⎜ , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ J r (λr ) ⎟ ⎝ ⎠
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其中
⎛ λi ⎜ ⎜ J i (λi ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
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直接方法中，最具有代表性的就是高斯-约当消去法。 该方法适用于求解低阶稠密矩阵方程组及大型稀疏 矩阵方程组。 2.迭代法 是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的 方法.也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个 无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不 到精确解)
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迭代法实现的基本步骤：
(8) 正交矩阵： 如果A−1 = AT . (9) 酉矩阵：设A ∈ Cn×n , 如果A−1 = AH . (10) 初等置换阵 由单位矩阵 I 交换第 i 行与第 j 行(或交换第 i 列与 第 j 列)，得到的矩阵记为 I ij ,且
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~ I ij A = A（为交换 A第 i 行与第 j 行得到的矩阵）；
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定理2
设 A ∈ R n×n 为对称正定阵，则
(1) A为非奇异矩阵，且 A−1亦是对称正定阵. (2) 记 Ak 为 A的顺序主子阵，则
Ak (k = 1,2, , n) 亦是对称正定矩阵，其中
⎛ a11 ⎜ Ak = ⎜ ⎜a ⎝ k1

a1k ⎞ ⎟ ⎟ akk ⎟ ⎠
(k =1,2,, n).
T b 其中 i 为 A 的第 i 行.
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矩阵的基本运算： (1) 矩阵加法 C = A + B cij = aij + bij (2) 矩阵与标量的乘法 C = α A, (3) 矩阵与矩阵乘法 C = AB ,
cij = ∑ aik bkj
k =1 n
( A, B, C ∈ R m× n ) cij = α aij .
(d) det (A ) ≠ 0 ⇔ A 是非奇异矩阵。
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6.1.3 矩阵的特征值与谱半径 矩阵的特征值及其各种计算方法前面张老师已经 详细讲述，这里不再赘述。
A 的全体特征值称为 A 的谱，记 若 λ 为 A 的特征值，
为σ ( A)，即 σ ( A) = {λ1, λ2 ,, λn }.
λi 记 ρ ( A) = max 1≤i ≤ n
解:
系数行列式为
r1 − 2 r2
4 2
D=
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 0 1 2 4 −1 −7 2 6
===== r −r 0
0
0 7 −5 13 1 −3 0 −6 2 7 −1 2 −7 12
= 1× (−1) 2+1
7 5 13 2 −1 2 7 −7 12
===== C + 2C
第6章 线性方程组的求解方法
6.1 引言与预备知识 6.2 高斯消去法 6.3 矩阵三角分解法 6.4 向量和矩阵的范数 6.5 误差分析 6.6 共轭梯度法
1
6.1
引言与预备知识
2
6.1.1 引言 在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的 许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中 网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，工程中的三次样条函数的插值问题，经济运行 中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构 的设计计算问题等等，都归结为求解线性方程组或 非线性方程组的数学问题。因此线性方程组的求解 对于实际问题是极其重要的。
故 A 特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 7, A 的谱半径为 ρ ( A) = 7.
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6.1.4 特殊矩阵
n×n A = ( a ) ∈ R . 设 ij
aij = 0. (1) 对角矩阵: 如果当 i ≠ j 时，
aij = 0. (2) 三对角矩阵：如果当 i − j > 1 时， aij = 0. (3) 上三角矩阵：如果当 i > j 时，
x1 = 3, x2 = −4, x3 = −1, x4 = 1
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通过上述例子, 我们看到用克莱姆法则求解线性方程 组时,要计算 n+1 个 n 阶行列式,这个计算量是相当 大的, 所以, 在具体求解线性方程组时, 很少用克莱 姆法则. 但这并不影响克莱姆法则在线性方程组理论中的重要 地位。克莱姆法则不仅给出了方程组有唯一解的条件, 并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.
aij 的余子式.
行列式性质：
(a) det (AB ) = det (A )det (B ), (b) det (AT ) = det (A ), (c) det (cA ) = c n det (A ), A,B ∈ R n× n .
A ∈ R n× n . c ∈ R, A ∈ R n× n .
3 2
C1 − 2 C2
−3 3 = 27 ≠ 0 − 0 −1 0 = −7 −2 −7 −7 −2
−3 −5
3
故方程有唯一一解.
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2 D= 0 1
1 2 4
−5 0 −1 −7
1 −6 2 6
1 −3
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81 −5 2 −1 2 0 4 −7 6 2 1 8 1 1 −3 9 −6 D3 = = −27 0 2 −5 2 1 4 0 6
再谈向量和矩阵
用 R m× n 表示全部 m × n实矩阵的向量空间， C m×n表 示全部 m × n 复矩阵的向量空间.
A ∈R
m×n
⎡ a11 ⎢ a21 ⎢ ⇔ A = (aij ) = ⎢ ⎢ a ⎢ ⎣ m1
a12 a22 am 2

a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎥ ⎥ amn ⎥ ⎦
(4) 上海森伯格（Hessenberg）阵
如果当i > j &# = A.
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(6)
埃尔米特矩阵：设 A ∈C
n× n
, 如果 A H = A.
A H = A∗T
(7) 对称正定矩阵：
如果 (a) AT = A,
(b) 对任意非零向量x ∈ R n , ( Ax, x) = xT Ax > 0.
的系数行列式不等于零,即
a11 D= a21 an1
a12 a22
a1n a2 n ≠0
6
an 2 ann
则方程组有唯一的解,且唯一的解为
D1 D2 Dn x1 = , x2 = ,, xn = , D D D
其中 Dj (j=1,2,…,n) 是系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式,即