中点坐标公式与两点间的距离公式练习题
高中数学空间直角坐标系--空间两点间的距离公式
空间直角坐标系空间两点间的距离公式层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2＋b2B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为()A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A|AB|＝(1＋3)2＋(1＋3)2＋(1＋3)2＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为()A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P 关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b ，c )到坐标原点的距离|PO |＝________.解析：由点(x ，y ，z )关于y 轴的对称点是点(－x ，y ，－z )可得－1＝－a ，b ＝－1，c －2＝－2，所以a ＝1，c ＝0，故所求距离|PO |＝12＋(－1)2＋02＝ 2. 答案： 28．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫1－232＋⎝⎛⎭⎫2－232＋(2－4)2＝533. 层级二 应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A ．在x 轴上B ．在xOy 平面内C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.132 B.534 C.532D.532 解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532. 4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝(0－4)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝(0－0)2＋(4－5)2＋(3＋7)2＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0) 7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)．由题意，得|P 0P |＝(x －4)2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)．则|MN |＝(x 0－6)2＋(1－x 0－5)2＋(0－1)2＝2(x 0－1)2＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 由两点间的距离公式可得：|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－34a 2＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2 ＝64a .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
两点距离公式专项练习
第13课两点间距离公式、新知探究:试一试，求下列两点间的距离：(1)A(—2,0), B(2,0) (2)A(_3,5),B(3,5)(3)A(0,3), B(0, 一7) (4)A(_5,3), B(_5,—7)(5)A(6,8), B(0,0) (6)A(0,0), B(_4,_3)总结:若平面上的有两点R区y i), P2(X2”2),1、如果P、P2两点在X轴上或在平行于X轴的直线上，则两点距离PP2是 ___________________2、如果P、P2两点在y轴上或在平行于y轴的直线上，则两点距离PP2是 ___________________3、_________________________________________ 点R到原点的距离是_______________________ ，点P2到原点的距离是 _________________________________探索二：已知平面上的两点PX, yj F2(X2, y2)，如何求P(X!, yj 昭,处的距离RP?例1 已知两点A(-1,2)，B(2,、、7)。
(1)求|AB| ；( 2)在X轴上求一点P,使得|PA|=|PB|，并求|PA|例2 已知△ ABC的三个顶点是A(-1,0), B(1,O),C(2，［3)，试判断△ ABC的形状。
例3 已知△ ABC 的顶点坐标为A( 3，2)，B( 1，0)，C( 2+ ,3，1 - 3 ), 求AB边上的中线CM的长；练习：1•式子... (a 1)2(^2)2可以理解为()(A)两点(a,b)与(1,-2)间的距离(B)两点(a,b)与(-1,2)间的距离(C)两点(a,b)与(1,2)间的距离(D)两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2. 已知下列两点，求AB及两点的中点坐标(1) A (8, 6), B (2, 1) (2) A (-2 , 4) B (-2, -2)(3) A (5, 10), B (-3, 0) (4) A (-3 , -1 ), B (5, 7)3. 已知点A (-1, -1), B (b,5)，且AB =10，求b.4•已知A在y轴上，B (4, -6)，且两点间的距离AB =5，求点A的坐标5•已知A (a,-5)，点B在y轴上，点B的纵坐标为10, AB=17，求a。
两点间的距离公式参考答案
2.3.2 两点间的距离公式参考答案1．若A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |等于( ) A.13 B.12C ．3D ．2 答案 D解析 |AC |＝42，|CB |＝22，故|AC ||CB |＝2. 2．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．3＋23C ．6＋3 2D ．6＋10 答案 C解析 由两点间距离公式得|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32，|BC |＝(－1－2)2＋(0－0)2＝3，|CA |＝(2－2)2＋(3－0)2＝3.故△ABC 的周长为6＋3 2.3．在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，D 为BC 边的中点，则线段AD 的长是( )A ．2 5B ．3 5 C.552 D.752答案 C解析 由中点坐标公式可得，BC 边的中点D ⎝⎛⎭⎫32，6.由两点间的距离公式得|AD |＝⎝⎛⎭⎫4－322＋(1－6)2＝552. 4．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25， 由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 5．(多选)对于x 2＋2x ＋5，下列说法正确的是( )A ．可看作点(x ,0)与点(1,2)的距离B ．可看作点(x ,0)与点(－1，－2)的距离C ．可看作点(x ,0)与点(－1,2)的距离D ．可看作点(x ，－1)与点(－1,1)的距离答案 BCD解析 x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4 ＝(x ＋1)2＋(0±2)2＝(x ＋1)2＋(－1－1)2，可看作点(x ,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x ,0)与点(－1,2)的距离，可看作点(x ，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A 不正确．6．已知A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，当|AB |取最小值时，实数a 的值是( )A ．－72B ．－12 C.12 D.72答案 C解析 ∵A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，∴|AB |＝[(a ＋1)－5]2＋[(a －4)－(2a －1)]2 ＝(a －4)2＋(a ＋3)2＝2a 2－2a ＋25 ＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋492， ∴当a ＝12时，|AB |取得最小值． 7．已知点A (－2，－1)，B (a ,3)，且|AB |＝5，则a 的值为________．答案 1或－5解析 由两点间距离公式得(－2－a )2＋(－1－3)2＝52，所以(a ＋2)2＝32，所以a ＋2＝±3，即a ＝1或a ＝－5.8．在x 轴上找一点Q ，使点Q 与A (5,12)间的距离为13，则Q 点的坐标为________． 答案 (10,0)或(0,0)解析 设Q (x 0,0)，则有13＝(5－x 0)2＋122，得x 0＝0或x 0＝10.9．已知直线ax ＋2y －1＝0和x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且线段AB 的中点到原点的距离为24，求a 的值． 解 由题易知a ≠0，直线ax ＋2y －1＝0中，令y ＝0，有x ＝1a，则A ⎝⎛⎭⎫1a ，0，令x ＝0，有y＝12，则B ⎝⎛⎭⎫0，12，故AB 的中点为⎝⎛⎭⎫12a ，14， ∵线段AB 的中点到原点的距离为24， ∴⎝⎛⎭⎫12a －02＋⎝⎛⎭⎫14－02＝24，解得a ＝±2. 10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．解 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＝kx －k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7＋k k ＋2，y ＝4k －2k ＋2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋kk ＋2，4k －2k ＋2.由|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋kk ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.当过A 点的直线的斜率不存在时，方程为x ＝1.此时，与l 1的交点为(1,4)，也满足题意．综上所述，直线l 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.11．以点A (－3,0)，B (3，－2)，C (－1,2)为顶点的三角形是() A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是答案 C 解析 |AB |＝(－3－3)2＋22＝36＋4＝40＝210，|BC |＝(－1－3)2＋(2＋2)2＝16＋16＝32＝42，|AC |＝(－1＋3)2＋22＝8＝22，∵|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形．故选C.12．(多选)直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－1,2)D ．(0,1)答案 BC解析 设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝2. 13．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 答案 25解析 设A (a ,0)，B (0，b )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧ a ＋02＝2，b ＋02＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2， ∴|AB |＝(4－0)2＋(0＋2)2＝2 5.14．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝________. 答案 10解析 以C 为原点，AC ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A (4a ,0)，B (0,4b )，则D (2a ,2b )，P (a ，b )，所以|P A |2＝9a 2＋b 2，|PB |2＝a 2＋9b 2，|PC |2＝a 2＋b 2，于是|P A |2＋|PB |2＝10(a 2＋b 2)＝10|PC |2，即|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10.15．已知x，y∈R，S＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，则S的最小值是()A．0 B．2 C．4 D.2答案B解析S＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.证明如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－12(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，所以|AB|2＋|BC|2－12|AC|2＝2|BD|2.。
第1节 中点坐标公式和两点间距离公式
练习：已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别为 A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，
求顶点 C 的坐标．
[ 精解详析] ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同．
设 C 点坐标为 C(x，y)，则
0＋2 x＝2＋2 1＝32， 0＋2 y＝0＋2 3＝32，
已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x，y)是线段 AB 的中点，则 x＝x1＋2 x2，y＝y1＋2 y2.
典例分析：
例 1：已知 A（﹣5，4），B（3，﹣2），则线段 AB 的中点坐标为（ ） A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）
则点 P 的坐标为
．
解：设 P（x，0），则 故答案为（5，0）．
，∴x=5，∴点 P 的坐标为（5，0），
练习：已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA| 的值．
解：由已知设所求点 P 的坐标为(x,0)，于是有|PA|＝d(P，A)＝ x＋12＋0－22 ＝ x2＋2x＋5，
【解答】解：设点 M 的坐标为（a，b），根据直角坐标平面上连结点（﹣2，5）
和点 M 的线段中点是（1，0），由中点公式可得
，解得
，∴点
M 坐标为（4，﹣5），故选：B．
例 2：点 M（4，m）关于点 N（n，﹣3）的对称点为 P（6，﹣9），则（ ） A．m=﹣3，n=10 B．m=3，n=10 C．m=﹣3，n=5 D．m=3，n=5
∴xy＝＝33， ， 即 C(3,3)．
必备新知：
问题 1：如图 A(－1,1)，C(3,1)，是否能求出 d(A，C)?
两点间的距离公式与线段中点的坐标
两点间的距离公式与线段中点的坐标同步训练A 一、 选择题1、已知A （－2，5），B （0，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－2，12）B 、（－1，6）C 、（－1，－1）D 、（0，27）2、已知A （2，－1），B （3，4），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、5 C 、34 D 、263、已知A （－2，5），B 为坐标原点，则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－1，25）B 、（1，25） C 、（0，0） D 、（2，－5）4、已知A （－2，5）B 为坐标原点，则︱AB ︱＝ （ ） A 、2 B 、5 C 、29 D 、295，已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，4），C （－3，6），点D 为BC 的中点，则点D 的坐标为（ ）A 、（0，5）B 、（25，23）C 、（－21，25） D 、（0，－5）二、填空题6、已知A （2，0），B （0，－1），则线段AB 的中点M 的坐标为 ，︱AB ︱＝7、已知点P 的坐标为（1，－2），线段PQ 的中点的坐标为（－4，－5），则点Q 的坐标为 。
三、解答题8、已知M （1，－5），N （1，4），求线段MN 的中点O 的坐标和︱MN ︱。
9、已知△ABC 三个顶点坐标分别为A （3，1），B （－3，4），C （1，－6），求各个边上的中点坐标用AB 边上的中线的长度。
同步训练B 一、选择题1、已知A （－2，5），B （－2，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－2，25） B 、（－2，27） C 、（－2，－1） D 、（－2，6）2、已知A （2，－1），B （3，－1），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、1 C 、－1 D 、293、已知点A （－2，5），点A 关于点O 的对称点B 为（2，－5），则点O 的坐标为（ ）A 、（－2，5）B 、（－1，25） C 、（0，0） D 、（2，－5）4、已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－2，5），B （3，4），C （－3，6），则︱BD ︱＝ （ ）A 、130B 、2C 、210D 、265、已知菱形ABCD 中，︱AB ︱＝︱AD ︱＝2，∠A ＝60°，则︱BD ︱＝ （ ）A 、1B 、2C 、2D 、3二、填空题6、已知A （2，0），B （－1，y ），且︱AB ︱＝5，则y ＝ 。
2019-2020学年人教B版必修第二册 6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式
6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b ＝( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(－1，－2) D ．(1,2)答案 A解析 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝( 12－32，12＋32 )＝(－1,2)．2．已知点M 的坐标为(4，－1)，且AB →＝(4，－1)，下列各项中正确的是( ) A ．点M 与点A 重合 B ．点M 与点B 重合 C ．点M 在AB→上 D ．OM →＝AB →(O 为坐标原点) 答案 D解析 由于M (4，－1)，所以OM→＝(4，－1)＝AB →.3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 答案 B解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ⇒⎩⎨⎧ 4＝x －y ，2＝x ＋y ⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.所以c ＝3a －b .4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 答案 D解析 由题意得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．故选D ．5．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅答案 C解析 设a ∈M ∩N ，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎨⎧ 4μ－3λ＝3，5μ－4λ＝4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝0.所以a ＝(－2，－2)． 6．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则|b |＝( ) A ． 5 B ．2 5 C ． 3 D ．2 3 答案 A解析 b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)，故|b |＝1＋4＝ 5. 二、填空题7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB ＋2BC ＝________. 答案 5 2解析 AB ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，BC ＝(3－1)2＋(4－2)2＝22，故AB ＋2BC ＝2＋42＝5 2.8．已知O (0,0)和A (6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且OP P A ＝12，又点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ①若点P 在线段OA 上，则P A →＝2OP →，∴OA→－OP →＝2OP →，∴OP →＝13OA →＝(2,1)， ∴点P 的坐标为(2,1)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(4,2)． ②若点P 在线段AO 的延长线上． 则P A →＝－2OP →，∴OA →－OP →＝－2OP →. ∴OP→＝－OA →＝(－6，－3)， ∴点P 的坐标是(－6，－3)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(－12，－6)． 综上，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．9．如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC→＝__________；OD →＝________.答案 (1，－1) (1,1) (－1,1)解析 根据题意，知点A 与点B 关于y 轴对称，与点C 关于原点对称，与点D 关于x 轴对称，又因OA→＝(－1，－1)，O 为坐标原点，∴A (－1，－1)，∴B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)， ∴OB →＝(1，－1)，OC →＝(1,1)，OD →＝(－1,1)． 三、解答题10．已知a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )，b ＝( 2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3 )，若2a ＝3b ，试求x 与y 的值．解 ∵a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3， ∴由2a ＝3b 可得(6x ＋8y ，－4x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －9y ＋3，－9x ＋163y ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋8y ＝6x －9y ＋3，－4x －2y ＝－9x ＋163y ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3517，y ＝317.B 级：“四能”提升训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|O C →|＝2，若O C →＝λOA→＋μOB →，则λ＋μ＝________.答案 2 2解析 因为|O C →|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又O C →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.2．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)，D (x ，y )． (1)求3AB→－2AC →＋BC →的坐标； (2)若A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标． 解 (1)∵AB→＝(1,3)，AC →＝(2,4)，BC →＝(1,1)，∴3AB→－2AC →＋BC →＝3(1,3)－2(2,4)＋(1,1)＝(0,2)． (2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD→＝BC →，又AD →＝(x －1，y ＋2)，∴⎩⎨⎧ x －1＝1，y ＋2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 的坐标为(2，－1)．。
高中数学 必修二 3.3.2两点间的距离公式练习
3.3.2两点间的距离公式练习新人教A版必修2一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )A．2 B．1 C． 5 D．5[答案] C[解析] N(－1,2)，|ON|＝－2＋22＝ 5.故选C．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[答案] C[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝－1－2＋b－2＝b2－2b＋10，由5＝b2－2b＋10，解得b＝－3或b＝5.3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( )A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝－2＋－2－2＝20＝2 5.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A．26 B．65C．29 D．13[答案] A[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝－1－2＋－1－－2＝26；故选A ．6．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C [解析] |AB |＝－2＋－2＝32，|BC |＝－2＋－2＝17， |AC |＝－2＋－2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |， 且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形． 二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝_________. [答案] 1或3 [解析] 由题意得m －2＋－1－m2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝_________. [答案] 12[解析] a －2＋＋2＝－a2＋－2，解得a ＝12.三、解答题9．求证：等腰梯形的对角线相等． [证明] 已知：等腰梯形ABCD ． 求证：AC ＝BD ．证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋－c2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k x －又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7， 而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)， 又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得k ＋7k ＋2－2＋4k －2k ＋2＋2＝5⇒k ＝－34，此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.能力提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2) D ．210，(1，－2)[答案] C [解析] |AB |＝－4－2＋－2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[答案] B[解析] 根据两点间的距离公式 |PQ |＝m －2＋－2m2＝5m 2－6m ＋2＞10⇒5m 2－6m －8＞0⇒m ＜－45或m ＞2.3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( )A ．895 B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．∴|AB |＝－1－2＋25＋2＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5， 当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)． 二、填空题5．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是_________. [答案] 12[解析] 由题意得|AB |＝－a －2＋a －1－a ＋2＝2a 2－2a ＋25＝a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．6．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为_________. [答案] (9,0)或(－1,0) [解析] 设P (a,0)，则a －2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)． 三、解答题7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD 是长方形，则对平面内任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2成立．[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．证明：如图，取长方形ABCD 的两条边AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设长方形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)、B (a,0)、C (a ，b )、D (0，b )．在平面上任取一点M (m ，n )，则有AM 2＋CM 2＝m 2＋n 2＋(m －a )2＋(n －b )2，BM 2＋DM 2＝(m －a )2＋n 2＋m 2＋(n －b )2，∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ， 所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)． 设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ， 所以k AC ·k DM ＝－1， 即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意． 由两点间距离公式得DM ＝－2＋－2＝3534.。
两条直线的交点坐标两点间的距离公式同步作业高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
十四两条直线的交点坐标两点间的距离公式(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是 ( )A.-24B.6C.-6D.242.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为( )A. B. C.3 D.23.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C. D.4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是.6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.三、解答题7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.(1)求实数m的值.(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.【加练·固】已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.(15分钟·30分)1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )A. B.C. D.2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( )A. B.1+C.1+D.2-3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.5B.C.5D.24.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.十四两条直线的交点坐标两点间的距离公式(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是 ( )A.-24B.6C.-6D.24【解析】选BC.2x+3y-m=0在y轴上的截距为,直线x-my+12=0在y轴上的截距为,由=得m=±6.2.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为( )A. B. C.3 D.2【解析】选D.由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.3.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C. D.【解析】选D.联立两直线的方程得解得因为交点在第四象限,所以解得m>-.4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选C.直线ax+y-1=0经过定点P(0,1),k PA==-1,k PB==1.因为直线ax+y-1=0与线段AB相交,所以-a≥1或-a≤-1,则a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是.【解析】因为点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,所以设P(a,0),则=,解得a=1.所以P(1,0).答案:(1,0)6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.【解析】联立解得所以两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点坐标为(3,-2);当直线l过原点时,直线方程为y=-x,即2x+3y=0,当直线l不过原点时,设直线方程为x+y=a,则3-2=a,即a=1.所以直线方程为x+y-1=0.所以经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0或x+y-1=0.答案:(3,-2) 2x+3y=0或x+y-1=0三、解答题7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.(1)求实数m的值.(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.【解析】(1)解方程组得交点M(1,2).将点M(1,2)的坐标代入直线l3:2x+my-8=0,得m=3.(2)方法一:设点N的坐标为(m,n),则由题意可得解得所以对称点N的坐标为(3,-4).方法二:由(1)知M(1,2),所以,过M且与x-3y-5=0,垂直的直线方程为:y-2=-3(x-1),即3x+y-5=0.解方程组得交点为H(2,-1),因为M,N的中点为H,所以,x N=2×2-1=3,y N=2×(-1)-2=-4,所以对称点N的坐标为(3,-4).【加练·固】已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.【解析】不能.理由如下:因为k AB==2,k BC==2,即k AB=k BC,所以A,B,C三点共线,所以A,B,C,D四点不能围成四边形.(15分钟·30分)1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )A. B.C. D.【解析】选D.由2a+b=1,得b=1-2a,代入直线方程ax+3y+b=0中,得ax+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0,令解得所以该直线必过定点.2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( )A. B.1+C.1+D.2-【解析】选A.AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得,因为S△ABC=,所以×a×=,得a=或a=-(舍去).3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.5B.C.5D.2【解析】选D.因为两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,所以点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0同侧,设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b),则解得a=4,b=-2,所以C(4,-2),所以|PA|+|PB|的最小值为:|BC|==2.4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.【解析】设P(x,x-m),因为|PA|=|PB|,所以|PA|2=3|PB|2,所以(-3-x)2+(3-x+m)2=3(-1-x)2+3(1-x+m)2,化简得2x2-2mx+m2-6=0,则Δ=4m2-4×2(m2-6)≥0,解得-2≤m≤2,即实数m的取值范围是[-2,2].答案:[-2,2]5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.【解析】若l与x轴垂直,则l的方程为x=1,由得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,所以x=1为所求;当l不与x轴垂直时,可设其方程为y+1=k(x-1). 解方程组得交点B(k≠-2).由已知=5,解得k=-.所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.综上可得,所求直线l的方程为x=1或3x+4y+1=0.。
两点间距离公式及中点公式
P2 x2，y2 间的距离
P1P2 = (x2 - x1 ) +(y2 - y1 )
2
2
例1:
已知点M（8,10）和N（12,22），求线段MN的长度．
例2:
已知△ABC的顶点分别为A(2,6)，B(-4,3)， C(1，0)，求△ABC三条边的长.
构建数学:
2）、x1=x2
y
P2 x2，y2
y1
P1 x1，y1
x1 o
x2
x
o
y2
P2 x2，y2
x
P1P2 =|x2 - x1 |
P1P2 =|y2 - y1 |
构建数学: 3)x1 ≠ x2 ,y1 ≠ y2
y
o
P ，y1 1 x1
x
Qx1，y2
P2 x2，y2
练习:
(1)求线段AB的长及其中点坐标:
①A(8,10), B(-4,4) ② A(- 3, 2),B(- 2, 3)
（2）已知 ABC 的顶点坐标为A（3，2），B（1，0）， C(2 + 3, 1- 3) ，求AB边上的中线CM的长．
问题3：
初中我们证明过这样一个问题：
直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。
复习回顾：
在平面几何中，用有刻度尺的尺子可以量出两
点间的距离，用直尺和圆规可以确定线段中点的位 置．那么，如果在平面直角坐标系里，给出两点的
坐标，如何求两点间距离以及确定线段中点呢？
问题1：
已知点A（-1，3），O（0，0），B（3，-1） C（2，2），试问：四边形AOBC是什么四边形？
【中职数学】8.1两点间的距离与线段中点的坐标
3,
1）、R（ 2
9 2
,
1）. 4
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，
运 用
所以它们的坐标也相同．
知
设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
识 强 化 练
x2 35 1
2
2
y2 02 1
12
12
12
12
2
1
2
1
知
例1 求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．
巩 解 A、B两点间的距离为 固 知 识 典 | AB | (3 2)2 1 (5)2 61． 型 例 题
运
用 知
P50 1、2
识
强 化 练 习
一般地，设 P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )
动
为平面内任意两点，则线段
整
体 建
x0
x1
2
x2
,
y0
y1
2
y2
.
构
自
我
反
思
学习方法
目
标
检
测
学习行为
学习效果
作业
继 续
读书部分：阅读教材相关章节
探 索
书面作业：教材习题8.1 A（必做）
活
教材习题8.1 B（选做）
动
探
实践调查：编写一道关于求线段
究
中点坐标的问题并求解．
2．
典
型
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
例
题
即BC边上的中线AD的长度为 2 2．
《直线的交点坐标与距离公式》同步练习及答案
《2.3直线的交点坐标与距离公式》同步练习一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ．6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝17．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ）(13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=1:3410l x y 2:6870l x y 123565l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 211A ．BCD ． 10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________.4565-l1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)xy 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________． 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值.19．求经过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)． (1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上； (3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标． 当点到直线的距离最大时，求直线的方程．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，3450x y -+=(2,3)M -()0,2A ()4,0B ()0,4C ,m n 30nx my +-=2m n +1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=3:360l x y -+=()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程. 答案解析一、单选题1．过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】根据题意，易得直线的斜率为， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点， 由点斜式得所求直线方程为． 故选：A ．2．与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】设对称直线上的点为，则其关于轴的对称点在直线上， 所以即，选A.BC (3,1)M ,,A B C B (13)P -，230x y -+＝210x y +-＝250x y +-＝250x y +-＝270x y --＝230x y -+＝122-(13)-，32(1)210y x x y -=-+⇒+-＝210x y -+=x 210x y ++=210x y --=210x y +-=210x y -+=(),P x y x (),Q x y -210x y -+=()210x y --+=210x y ++=点睛：若直线，那么关于轴的对称直线的方程为，关于轴的对称直线的方程为，关于直线对称的直线的方程 .3．两条平行线与间的距离为( )A ．B ．C ．D ．1 【答案】A 【解析】直线. 故选：A4．已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】设直线的方程为，又因为该直线过点，所以，即，的方程为；故选D ．5．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】设关于直线：对称的点为，则，解得()22:00l Ax By C A B ++=+≠l x 0Ax By C -+=y 0Ax By C --=y x =0Bx Ay C ++=1:3410l x y 2:6870l x y 12356527:3402l x y --=51252==l (1,1)6540x y -+=l 56110x y +-=5610x y -+=65110x y --=6510x y --=l 650x y m -+=(1,1)056=+-m 1-=m l 6510x y --=()1,2P l 10x y ++=P l ()3,1--()2,4()3,2--()2,2-()1,2P l 10x y ++=(,)Q a b 2(1)11121022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，即关于直线：对称的点为.故选C. 6．已知直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0，则“l 1∥l 2”的必要不充分条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝1 C ．m ＝﹣2或m ＝1 D ．m ＝2或m ＝1 【答案】C 【解析】∵直线l 1：x+（m+1）y+m ＝0，l 2：mx+2y+1＝0， 若l 1∥l 2，则m （m+1）-2＝0，解得：m ＝﹣2或m ＝1 当m ＝1时，l 1与l 2重合，故“l 1∥l 2”⇔“m＝﹣2”， 故“l 1∥l 2”的必要不充分条件是“m＝-2或m ＝1”， 故选：C ．7．无论取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】由题直线，即，令， 解得，所以该直线过定点.故选：A8．已知点到直线的距离为1，则的值为（ ） AB ．D【答案】D 【解析】 由题因为,故.32a b =-⎧⎨=-⎩()1,2P l 10x y++=(3,2)--m ()()31411210m x m y m +++--=(8,9)-(9,8)-(15,14)-(14,15)-()()31411210m x m y m +++--=()341210m x y x y +-++-=3412010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩89x y =-⎧⎨=⎩(8,9)-()()1,0a a >:20+-=l x y a 21111a =⇒=0a >1a =故选：D9．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2=0与直线l 2：3x+y ﹣8=0的交点为P ，则点P 到直线l ：y=﹣2x 的距离为（ ） A ．BCD ． 【答案】C 【解析】联立，得P （2，2），∴点P （2，2）到直线l ：y=﹣2x．故选：C10．已知直线过直线与直线的交点，且点到直线的距离为2，则这样的直线的条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】方法一 由，得，即直线过点，设,因为,所以满足条件的直线有2条.故选C.方法二 依题意，设经过直线交点的直线的方程为，即 ①.由，化简得，解得或，代入①得直4565-220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩d ==l 1:10l x y -+=2:2380l x y +-=()0,4P l l 230{2380x y x y -+=+-=1{2x y ==l 1,2()1,2Q 2PQ ==>l 12,l l l ()()238230x y x y R λλ+-+-+=∈()()232380x y λλλ++-+-=2=25-8-360λλ=-2λ=185线的方程为或，故选C. 二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点关于直线的对称点为C ．过，两点的直线方程为D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，，所以围成三角形的面积是2正确，B 中在直线上，且连线的斜率为，所以B 正确，C 选项需要条件，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线.12．已知直线，动直线，则下列结论错误．．的是（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，与都有公共点C ．对任意的，与都不．重合D ．对任意的，与都不垂直．．． 【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确． B 直线过定点，直线过定点，故B 是正确的． C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项l 2y =4320x y -+=20x y --=(0,2)1y x =+(1,1)11(,)x y 22(,)x y 112121y y x x y y x x --=--(1,1)x y 20x y +-=2-0+121(,)22+1y x =+(0,2),(1,1)1-2121,y y x x ≠≠y x =1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈k 2l k 1l 2l k 1l 2l k 1l 2l 0k =2l 0x =1:10l x y --=()0,1-()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=()0,1-12x =-2l 1110222x y --=10x y --=1l 2lC 错误；D.两直线重合，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D 正确． 故选：AC.13．已知直线，则下列结论正确的是（ ） A ．直线的倾斜角是B ．若直线则C ．点到直线的距离是D ．过与直线平行的直线方程是【答案】CD 【解析】对于A ．直线的斜率k ＝tanθ故直线l 的倾斜角是，故A 错误；对于B ．因为直线的斜率k′1，故直线l 与直线m 不垂直，故B错误；对于C ．点到直线l 的距离d 2，故C 正确；对于D ．过与直线l 平行的直线方程是y ﹣2x ﹣，整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD ． 故选：CD ． 三、填空题14．已知两条平行直线与的距离为，则____________， _________. 【答案】-1【解析】()()1110k k ⨯++-⨯=k 1l 2l 10l y -+=l 6π:10,m x -+=l m ⊥l 22)l 40y --=10l y -+==3π10m x -+=：3=)==()=40y --=1:10l ax y ++=2:30l x y -+=d a =d =因为，所以，两直线的距离为故答案为：-1；15．直线关于点对称的直线的方程为_________. 【答案】 【解析】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为根据坐标中点公式可得：解得：① 点在直线②将①代入②可得： 整理可得：. 故答案为：.16．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D 重合，则点D 的坐标是________．【答案】 【解析】设折线方程为，，故，中点为，故. 故.12l l 1a =-d ==3450x y -+=(2,3)M -34410x y --=(,)P x y P (2,3)M -()00,x y 002232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩0046x xy y=-⎧⎨=--⎩——()00,x y 3450x y -+=∴003450x y -+=——3(4)4(6)50x y ----+=34410x y --=34410x y --=()0,2A ()4,0B ()0,4C 286,55⎛⎫⎪⎝⎭y kx b =+12AB k =-2k =AB ()2,13b =-23y x =-设，则，解得，. 故答案为：. 17．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．【答案】9【解析】因为直线与直线互相垂直，因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn ，从而有 ， 故答案为：9．四、解答题18．已知直线经过点，，直线经过，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，若，，； （2）∵，若，，. 19．求经过直线和的交点，且平行于直线(),D m n 41242322n m n m -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩285m =65n =286,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,m n 30nx my +-=2m n +30nx my +-=112=+m n 92225)12)(2(2=⨯+=++=+∴mn n m m n n m n m 1l (),1A m ()3,4B -2l ()1,C m ()1,1D m -+12//l l m 12l l ⊥m 3m =92m =-212k =-12//l l ∴114123k m -=-=--∴3m =212k =-12l l ⊥∴14123k m -==--∴92m =-1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=的直线的方程.【答案】【解析】由，求得， 故直线和的交点为，设所求的直线的方程为，再把点代入，求得，故所求的直线的方程为.20．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．【答案】,【解析】由方程组解得点A 的坐标为(－1,0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得 即顶点C 的坐标为(5，－6)．21．已知直线l 1：ax －y ＋b ＝0；l 2：bx ＋y ＋a ＝0(a ∈R ，b ∈R)．(1)直线l 1，l 2能否平行？说明理由；(2)若直线l 1，l 2重合，求证：点P(a ，b)与点Q(b ，a)在同一条直线上；(3)求证：两条直线l 1，l 2的交点共线．【答案】(1)直线l 1，l 2不能平行．3:360l x y -+=350x y -+=32105210x y x y +-=⎧⎨++=⎩12x y =-⎧⎨=⎩1:3210l x y +-=2:5210l x y ++=()1,2-30x y c -+=()1,2-5c =350x y -+=()1,0-()5,6-210,0,x y y -+=⎧⎨=⎩5,6,x y =⎧⎨=-⎩(2)见解析(3) 见解析【解析】(1)由题意，假设直线与平行，则满足且，即且，显然矛盾， 所以直线不能平行．(2)证明：若直线重合，由（1）可知必有，故点与点在同一条直线上．(3)证明：若两条直线相交，可得，解方程组，得，故直线的交点为， 由此可得直线的交点都在直线上．22．已知直线及点．证明直线过某定点，并求该定点的坐标．当点到直线的距离最大时，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为（2）【解析】直线方程可化为：由，解得且， 直线恒过定点，其坐标为．直线恒过定点当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大的斜率 1:0l ax y b -+=2:0l bx y a ++=12210A B A B -=12210B C B C -≠()0a b --=0a b --≠12,l l 12,l l 0a b +=(,)P a b (,)Q b a 12,l l 0a b +≠00ax y b bx y a -+=⎧⎨++=⎩1x y b a=-⎧⎨=-⎩(1,)b a --1x =-()():20++++-=l a b x a b y a b ()3,4P ()1l ()2P l l ()2,3-570x y ++=() 1l ()()2110a x y b x y ++++-=21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2x =-3y =∴l A ()2,3-()2l ()2,3A -∴P l A PA l ⊥P l PA 431325PA k -==+直线的斜率 由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，即．23．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，的中点为.（1）求的坐标；（2）求角的内角平分线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）边和所在的直线方程分别为和，∴两直线方程联立解得，∴点，∵的中点为，设，∴，解得， 即，(2)BC 直线方程为3x+y-10=0,设角的内角平分线所在直线的上的点为P （x ，y ），根据角平分线性质，P 点到AB 、BC 的距离相等，化简可得或者，根据三角形在坐标系中位置，可得角B 内角平分线所在直线的斜率为正值，∴l 15PAk k -==-P l l ()352y x -=-+570x y ++=ABC AB AC 3100x y -+=20x y +-=BC (3,1)M ,,A B C B ()1,3,(2,4),(4,2)A B C --2y x =AB AC 3100x y -+=20x y +-=1,3x y =-=()1,3A -BC (3,1)M 1122(,),(,)B x y C x y 11221212310020+=62x y x y x x y y -+=⎧⎪+-=⎪⎨⎪⎪+=⎩1212=24=42x x y y ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=-⎩(2,4),(4,2)B C -B =+2100x y -=20x y -=ABC故为. 20x y -=。
中职数学中点坐标、距离
为d=_______A_2__B_2_____. 说明：当两平行直线的方程中x，y的系数不相等时，需先 化成相等后再运用公式计算．
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基础过关 1 2 3 4 5 6
1．已知A(－2，3)，B(6，1)两点，则线段AB的中点坐标是
( D) A．(4，1)
B．(4，2)
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基础过关 1 2 3 4 5 6
3．点(1，－1)到直线x－y+2＝0的距离是( D )
A．1
B．2
C． 2
D． 2 2
【提示】 由点到直线的距离公式可得d = |1 (1) 2 | 2 2 .
1 (1)2
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4．两平行直线3x－4y+1=0与6x－8y+9=0之间的距离是( A
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基础过关 1 2 3 4 5 6
6．已知原点到直线2x－3y+m=0的距离是 13 ，则
m=_1_3_或_－__1_3_. 【提示】 d = | m | 13，∴|m|=13，即m=±13.
22 (3)2
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典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
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典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
【变式训练3】 如果两平行直线y=3x－b 与y=3x+5之间的距离为 10 ,那么 b=_5_或__－__1_5_ .
【提示】 两直线方程化为3x－y－b=0与3x－y+5=0，则 ，解1得0 =b=|5或b b5=| －15.
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两点间的距离公式课时作业(含答案)
两点间的距离公式课时作业(含答案)课时提升作业(二十) 两点间的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2013•兰州高一检测)过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y=x平行，则|AB|的值为( ) A.6 B. C. D.2 【解析】选C.kAB= =b-a. 又因为过点A，B的直线与y=x平行，所以b-a=1，所以|AB|= = . 2.(2014•佛山高一检测)已知点M(-1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( ) A.x+3y-8=0 B.x-3y+8=0 C.x-3y+9=0 D.3x-y-4=0 【解析】选D.由|PM|=|PN|，得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2，化简得3x-y-4=0. 3.已知两直线l1：x+y-2=0，l2：2x-y-1=0相交于点P，则点P到原点的距离为( ) A.B.5C.D.2 【解题指南】先求出两直线的交点，然后利用两点间距离公式求解. 【解析】选C.由得两直线的交点坐标为(1，1)，故到原点的距离为 = . 二、填空题(每小题4分，共8分) 4.(2014•南阳高一检测)已知点M(1，1)平分线段AB，且A(x，3)，B(3，y)，则x，y的值分别为________. 【解析】由中点坐标公式得解得答案：-1，-1 5.(2013•四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 【解题指南】分析四边形ABCD的形状，结合几何性质进行判断. 【解析】由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，-1)构成的四边形为凸四边形，则四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为2x-y=0，直线BD的方程为x+y-6=0，所以其交点为(2，4). 答案： (2，4) 三、解答题(每小题10分，共20分) 6.(2014•蚌埠高一检测)已知矩形ABCD的两个顶点A(-1，3)，B(-2，4)，若它的对角线的交点M在x轴上，求C，D两点的坐标. 【解析】设点M的坐标为(x，0)，由|MA|=|MB|根据两点间的距离公式，得 = ，解得x=-5，又点M是AC与BD的中点，根据中点坐标公式可得 C (-9，-3)，D(-8，-4). 7.已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：AG=AD. 【证明】建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2). 直线DE的方程为y=2x-2，直线CF的方程为y=- x+1，由得即点G . 从而|AG|= =2=|AD|，故AG=AD. 一、选择题(每小题4分，共8分) 1.已知两点M(a，b)，N(c，d)，且 - =0，则 ( ) A.原点一定是线段MN的中点 B.M，N一定都与原点重合 C.原点一定在线段MN上但不一定是中点 D.点M，N到原点的距离相等【解析】选D.将等式 - =0变形为 = ，根据两点间的距离公式可知，点M(a，b)到原点的距离与点N(c，d)到原点的距离相等. 2.(2014•济宁高一检测)已知A(1，3)，B(5，-2)，点P在x轴上，则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是( ) A.(4，0) B.(13，0) C.(5， 0) D.(1，0) 【解析】选B.点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求.直线A′B的方程是y+3= (x-1)，即y= x- .令y=0，得x=13. 【变式训练】已知A(3，-1)，B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则P点坐标是( ) A.(1，-1) B.(-1，1) C. D.(-2，2) 【解析】选C.点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连接A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3= (x-1)，即y= x- ，与x+y=0联立，解得x= ，y=- . 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2014•咸阳高一检测)已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(2+ ，1- )，则AB边上的中线CM的长为________. 【解析】由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1). 由两点间的距离公式，有 |CM|= = . 所以AB边上的中线CM的长为 . 答案：4.(2014•淄博高一检测)在△ABC中，A(1，1)，B(3，1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________. 【解题指南】因为三角形为等边三角形，所以三边相等，又三角形的两个顶点A，B坐标已知，故可设点C(x，y)，由两点间的距离公式可知|AC|=|BC|，|AC|=|AB|，进而得到关于x，y的方程组可解. 【解析】设点C的坐标为(x，y)，因为△ABC为等边三角形，所以|AC|=|BC|，即 = . ① 又|AC|=|AB|，即 = . ② 由①得x=2，代入②得y=1± . 所以所求点C的坐标为(2，1+ )或(2，1- ). 答案：(2，1+ )或(2，1- ) 三、解答题(12分) 5.在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，求线段AP的长. 【解题指南】先求出点C，M的坐标，再求出直线BD，CM的方程，从而得交点P的坐标，最后由距离公式求出AP的长. 【解析】AB的中点为M(4，1)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC的中点与BD的中点重合，设C点坐标为(x，y)，则所以C(10，6). 所以直线CM的方程为y-1= (x-4)，即5x-6y-14=0. 又直线BD的方程为y-1= (x-7)，即5x+3y-38=0. 由得P . 所以由两点间距离公式得 |AP|= = . 【变式训练】(2014•泉州高一检测)点P(x，y)在直线4x+3y=0上，且满足-14≤x-y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是________. 【解题指南】利用点P在4x+3y=0上，表示出y与x的关系.由-14≤x-y≤7求出x的范围，最后用距离公式求出所求范围即可. 【解析】由4x+3y=0得y=- x，所以x-y= x. 由-14≤x-y≤7可知-6≤x≤3，所以x2∈[0，36]，所以点P到坐标原点的距离为 = = . 因为x2∈[0，36]，所以∈[0，10]. 答案：[0，10] 【拓展延伸】与距离相关的综合问题在解决与距离相关的综合问题时，往往要与直线的有关知识进行结合，例如直线的斜率、直线的位置关系等，这些关系往往用于确定点的坐标，再根据距离公式代入求距离或相关参数的值，因此要将相关知识有机地结合起来，在解题的过程中要注意这一特点.。
第七章-应用题-中点、两点间距离公式应用
中点、两点间距离公式应用一．解答题（共5小题）1．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．2．如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为a、a+4，A点以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，同时B点以每秒1个单位长度的速度也向正方向运动，设运动时间为t秒．（1）运动前线段AB的长为，t秒后，A点运动的距离可表示为，B点运动距离可表示为；（2）当t为何值时，A、B两点重合，并求出此时A点所表示的数（用含与a的式子表示）；（3）在上述运动的过程中，若P为线段AB的中点，O为数轴的原点，当a=﹣8时，是否存在这样的t值，使得线段PO=5？若存在，求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．4．（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；（2）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是4，那么a=；（3）若此时数轴上有两点A，B对应的数分别为﹣30和20，如果点P沿线段AB 自点A向B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向A 以每秒3个单位长度的速度运动，多长时间之后P，Q两点相遇？此时点P在数轴上对应的数是多少？5．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．中点、两点间距离公式应用参考答案与试题解析一．解答题（共5小题）1．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数﹣6，点P表示的数8﹣5t（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【分析】（1）根据AB=14，点A表示的数为8，即可得出B表示的数；再根据动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点P表示的数；（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，∴点B表示的数是8﹣14=﹣6，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，∴点P表示的数是8﹣5t．故答案为：﹣6，8﹣5t；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，∵AC﹣BC=AB，∴5x﹣3x=14，解得：x=7，∴点P运动7秒时追上点Q．（3）线段MN的长度不发生变化，都等于7；理由如下：∵①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=×14=7，②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=7，∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．2．如图，在数轴上有A、B两点，所表示的数分别为a、a+4，A点以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，同时B点以每秒1个单位长度的速度也向正方向运动，设运动时间为t秒．（1）运动前线段AB的长为4，t秒后，A点运动的距离可表示为3t，B 点运动距离可表示为t；（2）当t为何值时，A、B两点重合，并求出此时A点所表示的数（用含与a的式子表示）；（3）在上述运动的过程中，若P为线段AB的中点，O为数轴的原点，当a=﹣8时，是否存在这样的t值，使得线段PO=5？若存在，求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用B点所表示的数﹣A点所表示的数即可得到运动前线段AB的长；根据路程=速度×时间即可分别求出t秒后，A、B两点点运动的距离；（2）A、B两点重合时，即A追上B，先求出追上的时间，再用运动前A点所表示的数加上追上的路程即可；（3）t秒时，A点是3t﹣8，B点是t﹣4，根据中点坐标公式求出P点坐标为2t ﹣6，再分两种情况进行讨论：①P点在原点左侧；②P点在原点右侧．然后根据PO=5列出方程．【解答】解：（1）运动前线段AB的长为：a+4﹣a=4；t秒后，A点运动的距离可表示为3t；B点运动距离可表示为1•t=t；（2）当A、B两点重合时，t=4÷（3﹣1）=2（秒），此时A点所表示的数是a+3t，即a+6；（3）存在．t秒时，A点是3t﹣8，B点是t﹣4，则P点为（6分）由线段PO=5可知，当P点在原点左侧时，﹣（2t﹣6）=5，解得：；当P点在原点右侧时，2t﹣6=5，解得：；当秒或秒时，PO=5．3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB=10，线段AB的中点表示的数为3；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；（4）由点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，即可得到结论．【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t=8﹣2t，解得：t=2，∴当t=2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，又PQ=AB=×10=5，∴|5t﹣10|=5，解得：t=1或3，∴当：t=1或3时，PQ=AB；（4）∵点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．4．（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；（2）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是4，那么a=2或﹣6；（3）若此时数轴上有两点A，B对应的数分别为﹣30和20，如果点P沿线段AB 自点A向B以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向A 以每秒3个单位长度的速度运动，多长时间之后P，Q两点相遇？此时点P在数轴上对应的数是多少？【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：a+2=±4，即可解答；（3）设P、Q两点相遇所花的时间为t秒，根据等量关系：速度和×时间=路程和，列出方程求解即可．【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1=3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）=5；（2）|a+2|=4，a+2=4或a+2=﹣4，a=2或x=﹣6．（3）设P、Q两点相遇所花的时间为t秒，依题意得：2t+3t=20﹣（﹣30），t=10，1×10=10．答：P、Q两点经过10秒后相遇，此时点P在数轴上对应的数为﹣10．故答案为：3，5；2或﹣6．5．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是﹣4；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可；（2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可．【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：2x+3x=8﹣（﹣12），解得：x=4，﹣12+2×4=﹣4．答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4；（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t，若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10=20，解得：t=2．若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10=20，解得：t=6．综上所述：t的值为2或6．故答案为：4；﹣4．。
两点间距离公式及线段中点坐标公式----------授课人
函数中实用公式
平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间距离公式：
平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）之间中点坐标公式：
例1、求A （−3，1）、B （2，−5）两点间的距离．
例2 已知点S （0，2）、点T （−6，−1），现将线段ST 四等分，试求出各分点的坐标． 例3、 已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．
1、在平面直角坐标系内，描出下列各点： (1,1)A 、(3,4)B 、(5,7)C ．并计算每两点之间的距离．
2．已知点(2,3)A 和点(8,3)B -，求线段AB 中点的坐标．
3．已知ABC ∆的三个顶点为(2,2)A 、(4,6)B -、(3,2)C --，求AB 边上的中线CD 的长度．
如图，点A 是双曲线y=（x ＞0）上的一点，连结OA ，在线段OA 上取一点B ，作BC ⊥x 轴于点C ，以BC 的中点为对称中心，作点O 的中心对
称点O ′，当O ′落在这条双曲线上时，
= ．
已知：二次函数y=x2+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．。
中点坐标公式与两点间的距离公式练习题
中点坐标公式与两点间的距离公式练习题1．在数轴上的两点A,B 分别表示实数m ，n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中，①A （3，4），D(3，-2），则=AD ； ②D(3，—2)，B （—5，-2），则=BD . ③此时=AB 。
3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A （x,0）和 B （2，3）的距离为23,求x 的值。
5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0）、()0,1B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21C ,试判断三角形的形状。
6：求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5，①试问满足条件的A 点有多少？②这样的A 点有何特点?他们的全体将构成什么图形？8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A -②()()71B 3,1A ---，，③()()12B 31A --，，，9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为:()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。
10。
求中点坐标:①已知()()5,4B ,3,2A ,求AB 的中点坐标.②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标.11。
试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。
12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(,)6-，试求B 点坐标。
13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ,)4，则平行四边形ABCD 中,试求D 点坐标。
14.ABC ∆中，三边AB ，BC,CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC∆三顶点的坐标。
高二数学 两点间距离公式及中点坐标公式练习_两点间距离公式韦达定理
两点间的距离公式与线段中点的坐标同步训练A 一、 选择题1、已知A （－2，5），B （0，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－2，12）B 、（－1，6）C 、（－1，－1）D 、（0，27）2、已知A （2，－1），B （3，4），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、5 C 、34 D 、263、已知A （－2，5），B 为坐标原点，则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－1，25）B 、（1，25） C 、（0，0） D 、（2，－5）4、已知A （－2，5）B 为坐标原点，则︱AB ︱＝ （ ） A 、2 B 、5 C 、29 D 、295，已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，4），C （－3，6），点D 为BC 的中点，则点D 的坐标为（ ）A 、（0，5）B 、（25，23）C 、（－21，25） D 、（0，－5）二、填空题6、已知A （2，0），B （0，－1），则线段AB 的中点M 的坐标为 ，︱AB ︱＝7、已知点P 的坐标为（1，－2），线段PQ 的中点的坐标为（－4，－5），则点Q 的坐标为 。
三、解答题8、已知M （1，－5），N （1，4），求线段MN 的中点O 的坐标和︱MN ︱。
9、已知△ABC 三个顶点坐标分别为A （3，1），B （－3，4），C （1，－6），求各个边上的中点坐标用AB 边上的中线的长度。
同步训练B 一、选择题1、已知A （－2，5），B （－2，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－2，25） B 、（－2，27） C 、（－2，－1） D 、（－2，6）2、已知A （2，－1），B （3，－1），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、1 C 、－1 D 、293、已知点A （－2，5），点A 关于点O 的对称点B 为（2，－5），则点O 的坐标为（ ）A 、（－2，5）B 、（－1，25） C 、（0，0） D 、（2，－5）4、已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－2，5），B （3，4），C （－3，6），则︱BD ︱＝ （ ）A 、130B 、2C 、210D 、265、已知菱形ABCD 中，︱AB ︱＝︱AD ︱＝2，∠A ＝60°，则︱BD ︱＝ （ ）A 、1B 、2C 、2D 、3二、填空题6、已知A （2，0），B （－1，y ），且︱AB ︱＝5，则y ＝ 。
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中点坐标公式与两点间的距离公式练习题
1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中，
①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ； ②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。
③此时=AB 。
3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。
5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,21C ，试判断三角形的形状。
6：求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5， ①试问满足条件的A 点有多少
②这样的A 点有何特点他们的全体将构成什么图形
8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A -
②()()71
B 3,1A ---，，
③()()12B 31
A --，，，
9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为：()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。
10.求中点坐标：
①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。
②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。
11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。
12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。
13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。
14.ABC ∆中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC ∆三顶点的坐标。