2015全国初中数学联赛初二试题

合集下载

2015年全国初中数学联合竞赛试题

Ａ．１Ｂ
．
（１）证明：ＡＢＡＤ＝３ＺＤＡＣ；
时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．
第一试（Ａ）
一
二、填空题（本题满分２８分，每小题７分）１．设口，ｂ是一元二次方程ｚ。一ｚ一１＝０的两根，则３ａａ＋４６＋的值为
一
２０１５年第４期
第二试（Ａ）
、
２．若抛物线 — ＋ｋ＋ｃ与轴只有一个公共点，且过点Ａ（ｍ，），Ｂ（一８，），则＝（）．
Ａ．８Ｂ．１２Ｃ．１６Ｄ．２４
（本题满分２Ｏ分）关于的方程
形外的两点，ＢＥ＝ＤＦ＝４，ＡＦ＝ＣＥ＝３，则ＥＦ＝（）
Ａ．４、／，
Ｂ．１５
Ｃ．＾，
Ｄ．１呃
４．已知实数，Ｙ满足关系式ｚ。＋ｚｊ，＋一３，则
分线分别交ＡＤ，ＢＤ于点Ｍ，Ｎ．
Ｆ
（ｚ — ）的最小值为（）
Ａ．３Ｂ．６Ｃ．９Ｄ．１２
５．已知Ｏ为坐标原点，位于第一象限的点Ａ在反比例函数Ｙ＝（ｚ＞ｏ）的图象上，位于第二象限的点Ｂ在反比例函数ｙ＝一（ｚ＜ｏ）的图象上，且ＯＡ．Ｊ＿＿ＯＢ，则ｔａｎＡＢＯ的值为（）

2015年全国初中数学联赛试题及参考答案_第二试_

２０１５年全国初中数学联赛第二试）试题及参考答案（
第二试（Ａ）一、（本题满分２关于ｘ的方程槡０分）ｘ－ｍ
２２求实数＋２ｘ有且仅有一个实数根，ｘ－１＝槡的取值范围ｍ．２解将所给方程记为方程 ① ，显然有ｘ ≥
Ｆ－ＤＦＣＤ，（如果Ｂ证明：２）＝ＭＮ＝ＢＤＡＣＭＤ．
证明（使得１）在ＢＥ上取一点Ｐ，
①
）－（ｍ＋ｎ－１４ｍｎ－ｍ－ｎ） Δ ＝（２（）（）＝ｍ＋ｎ－４ｍｎ＋２ｍ＋ｎ＋１
２
ｚｘｓｓ．ｃｂｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔｚｘｓｓｈｉｎａｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ网址：电子邮箱：＠ｃｐｊ
至少有一个正整数解，所以 Δ 应为完全平方数．
２注意到 Δ＝（ｍ－ｎ）＋（ｍ＋ｎ）＋１＝２２（）＋），ｍ－ｎ＋１４ｎ＞（ｍ－ｎ＋１２（ｍ－ｎ）＋２ｍ＋ｎ）＋１ Δ ＝（２）），＝（ｍ－ｎ＋３－（４ｍ－８ｎ＋８若４，即ｍ＞，ｍ－８ｎ＋８０２ｎ－２＞２即 Δ＜（），ｍ－ｎ＋３２２从而有（）），ｍ－ｎ＋１ｍ－ｎ＋３＜Δ＜（
ｍ且ｘ≥ １．
２２若ｍ＜０，则槡此ｘ－ｍ＋２ｘ－１＞ｘ，槡不符合题意，故ｍ≥ 时方程 ① 无解，０．２２方程 ① 变形得２ｘ－１＝ｘ－槡ｘ－ｍ，槡２两边平方后整理得２ｘ＋ｍ－４＝２再平方，整理得８（－２ｘｘ２２－ｍ）ｘ＝－ｍ，槡２（）．ｍ－４

2015年全国初中数学联赛初二年级试题答案

）
A.9. 【答】A.
B.6.
C.3.
D.0.
∵ a b c 3， a b c 4 ，
2 2 2
∴
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 2c 2a 2b 2c 2a 2b
第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 若 x2 y 2 2 z 2 xy 2 yz 2 x 2 0 ，则 x y z A.3. 【答】C.
2 2 2
（
）
B.4.
C.5.
2 2
D.6.
2
∵ x y 2 z xy 2 yz 2 x 2 0 ，∴ 2 x 2 y 4 z 2 xy 4 yz 4 x 4 0 ， ∴ ( x 2 xy y ) ( x 4 x 4) ( y 4 yz 4 z ) 0 ，
2 2 2 2 2
∴ ( x y) ( x 2) ( y 2 z) 0 ，∴ x y 2 ， z 1 ，∴ x y z 5.
2 2 2
2. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3 ， a b c 4 ，则
2 2 2
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 （ 2c 2a 2b
∵ 2n 3n 2 是 6 的倍数，∴ m 1 是 3 的倍数，∴ m 3k 1 或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
2 2
∴ n 2(3k 1) 6k 2 或 n 2(3k 2) 6k 4 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）＝1634. 4.将数字 1，2，3，……，34，35，36 填在 6×6 的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填 6 个数字的和的最小值为______. 【答】63. 设第三列所填 6 个数字按从小到大的顺序排列后依次为 A , B , C , D , E , F . 因为 A 所在行前面需要填两个比 A 小的数字，所以 A 不小于 3；因为 B 所在行前面需要填两个比 B 小的数字，且 A 及 A 所在行前面两个数字都比 B 小，所以 B 不小于 6. 同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18. 因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63 . 如图即为使得第三列所填 6 个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）. 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 19 25 22 26 31 32 20 27 23 28 34 33 21 29 24 30 35 36 第 3 页（共 6 页）

2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
5. 已知实数 x, y 满足关系式 xy x y 1，则 2 2 .
B. 6 4 2 .
C.1.
D. 6 4 2 .
【答】B.
设 x y t ，则由题设条件可知 xy x y 1 t 1 ，所以 x, y 是关于 m 的一元二次方程
则 5n2 3n 5 125m2 15m 5 120m2 15m 5(m2 1) .
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ m2 1是 3 的倍数，∴ m 3k 1或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
∴ n 5(3k 1) 15k 5或 n 5(3k 2) 15k 10 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（5＋20＋35＋50＋65＋80＋95）＋（10＋25＋40＋55＋70＋85）
A. 8. 【答】C.
B. 12.
C. 16.
D.24.
依题意，有 n m2 bm c (m 8)2 b(m 8) c ，于是可得 b 8 2m ．
∵抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点，∴ b2 4c 0 ，∴ c 1 b2 (4 m)2 . 4
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（）
A.285. 【答】D.

2015年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷(含答案)(完整资料).doc

（1）请问AE与CD有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）若，求PM的值。
2015年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题
参考解答
一、选择题
1．D.
2．C.
3．A 延长FD至点G，使得DG=BE.显然△ABE≌△ADG.
∴AE=AG.易证△FAG≌△FAE. ∴FG=FE. ∴△ECF的周长=CF+FE+EC=CF+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC）=CD+BC=2.选A.
C、2或 D、2或
6、已知2015年3月13日是星期五，则天之后是星期（）
A、一、二C、三D、四
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7、计算： .
8、已知，则的值为.
9、如图，在四边形ABCD中，，，，，，则BD的值为.
10、如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）的个数为.
10.12. 即是 .因为原不等式组的整数解仅为1，2，3,所以即 .所以可以取9,10,11共3个数，可以取1,2,3,4共4个数. 所以适合原不等式组的整数组成的有序数对的个数为个.
三、解答题
11．解：∵a2+2ab+b2-6a-6b+9=0，……………………………………..…………………5分
∵AP=PC,CM=ME, ∴PM∥ 且PM= .………………………………….……….20分
∴PQ=PM, PQ⊥PM.
∴△MPQ为等腰直角三角形.
∴PM=PQ=2.5. .…………………………………………………………………………….25分

(完整版)2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c ac a b +++++=---（） A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2 C ．1 D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（）A．3-B．6-C ．1 D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为 .9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12BC ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 的长为 .10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .ABCD EF第二试（A ）1．（20分）关于xx 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD .3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+， ∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根，于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥），则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ，∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.ABCD E F G第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=L L . 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥），则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE .设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2），此时的和式为155P b b d ed e =++++；交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法，此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b dbd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=；当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得？？？，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD . 又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+，即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-，这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当a =2b =时，11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC . （2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α， ∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α. 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数，则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解；当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件的正整数k ＝1.。

2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c ac a b +++++=---（） A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2 C ．1 D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（）A．3-B．6-C ．1 D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为 .9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12BC ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 的长为 .10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .ABCD EF第二试（A ）1．（20分）关于xx 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD .3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+， ∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根，于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥），则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ，∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.ABCD E F G第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥），则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE .设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2），此时的和式为155P b b d ed e =++++；交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法，此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bdd b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=；当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD . 又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+，即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-，这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当a =2b =时，11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC . （2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α， ∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α. 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数，则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解；当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件的正整数k ＝1.。

2015年秋八年级上数学竞赛试题含答案

2015年八年级（上）数学竞赛卷考试时间：2015年4月22日一．选择题：(每小题3分共36分)1.用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次。

将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（）A.4527B.5247C.5742D.72452.已知一次函数()22m -1-+=m x y ,函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A 、21>mB 、2≤mC 、221<<mD 、221≤<m 3.如图－1,△ABC 中，AD 是∠BAC 内的一条射线，BE ⊥AD ，且△CHM 可由△BEM 旋转而得，延长CH 交AD 于F ，则下列结论错误的是（）A 、BM =CMB 、FM =21EH C 、CF ⊥AD D 、 FM ⊥BC图－1 图－24.如图－2所示，两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR ，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转，那么它们重叠部分的面积为（）A 、4B 、2C 、1D 、21 5. 将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种6．△ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足c b a c b a 5.1225.3222+⨯=++, 则△ABC 是 ( )(A) 直角三角形 (B)等腰三角形(A)(C)等边三角形 (D)以上答案都不对7. 以知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++)5()4()3()2()1(52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是常数，且54321a a a a a >>>>，则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是（）A ．54321x x x x x >>>>B ．53124x x x x x >>>>C ．52413x x x x x >>>>D ．24135x x x x x >>>>8. 在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是( )(A) 2005 (B)2006 (C)2007 (D)20089. 如图－3是一个正方体纸盒，在其中的三个面上各画一条线段构成△ABC ，且A 、B 、C 分别是各棱上的中点．现将纸盒剪开展成平面，则不可能的展开图是（）图－310.以知p ,q 均为质数,且满足5p 2+3q =59,则以p +3,1－p +q ,2p +q －4为边长的三角形是( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 等腰三角形11.以知数据x 1, x 2, x 3的平均数为a , y 1 y 2, y 3的平均数为b ,则数据2x 1+3y 1,2x 2+3y 2,2x 3+3y 3的平均数为( )(A) 2a +3b (B ) 2a +b (C) 6a +9b (D) a +3b12. 要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是( )（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或二、填空题：(每小题3分共24分)(A)(B)(C)(D)A BC13. 已知M =1212,12122000199919991998++=++N ，那么M ，N 的大小关系是_________.（填“>”或“<”）14. 李江同学5次数学测验的平均成绩是90，中位数是91，众数是93，则他最低两次测验的成绩之和是____________.15.现需在一段公路的一侧树立一些公益广告牌.第1个广告牌树立在这段路的始端，而后每隔5米树立一个广告牌，这样刚好在这段路的未端可以树立1个，此时广告牌就缺少21个，如果每隔 5.5米树立1个，也刚好在路的未端可以树立1个，这样广告牌只缺少1个，则这些公益广告牌有个，这段路长米.16.小王的学校举行了一次年级考试，考了若干门课程，后加试了一门，小王考得98分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了1分。

2015年全国初中数学联赛试题及参考答案第一试（有答案）

２０１６年全国初中数学联赛试题及参考答案（第一试）第一试（Ａ）一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）１．用［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，把ｘ－［ｘ］称为ｘ的小数部分，已知ｔ＝１２－槡３，ａ是ｔ的小数部分，ｂ是－ｔ的小数部分，则１２ｂ－１ａ＝（）．（Ａ）１２（Ｂ）槡３２（Ｃ）１（Ｄ）槡３［答］（Ａ）．∵　ｔ＝１２－槡３＝２＋槡３而３＜２＋槡３＜４，∴　ａ＝ｔ－３＝槡３－１又∵　－ｔ＝－２－槡３，而－４＜－２－槡３＜－３，∴　ｂ＝－ｔ－（－４）＝２－槡３．∴　１２ｂ－１ａ＝１２（２－槡３）－１槡３－１＝２＋槡３２－槡３＋１２＝１２．２．三种图书的单价分别为１０元、１５元和２０元，某学校计划恰好用５００元购买上述图书３０本，那么不同的购书方案共有（）．（Ａ）９种（Ｂ）１０种（Ｃ）１１种　（Ｄ）１２种［答］（Ｃ）．设购买三种图书的数量分别为ａ，ｂ，ｃ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，１０ａ＋１５ｂ＋２０ｃ＝５００，易得ｂ＝２０－２ａ，ｃ＝１０＋ａ，于是ａ有１１种可能的取值（分别为０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０）．对于每一个ａ值，对应地可求出唯一的ｂ和ｃ，所以，不同的购书方案共有１１种．３．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。

如：２＝１３－（－１）３，２６＝３３－１３，２和２６均为“和谐数”．那么，不超过２０１６的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）．（Ａ）６８５８（Ｂ）６８６０（Ｃ）９２６０　（Ｄ）９２６２．［答］（Ｂ）．注意到（２ｋ＋１）３－（２ｋ－１）３＝２（１２ｋ２＋１），由２（１２ｋ２＋１）≤２０１６得｜ｋ｜＜１０．取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即得所有的不超过２０１６的“和谐数”，它们的和为［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋（５３－６３）＋…＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０．４．已知⊙Ｏ的半径ＯＤ垂直于弦ＡＢ，交ＡＢ于点Ｃ，连接ＡＯ并延长交⊙Ｏ于点Ｅ，若ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ的面积为（）．（Ａ）１２（Ｂ）１５（Ｃ）１６（Ｄ）１８［答］（Ａ）．设ＯＣ＝ｘ，则ＯＡ＝ＯＤ＝ｘ＋２，在Ｒｔ△ＯＡＣ中，由勾股定理得ＯＣ２＋ＡＣ２＝ＯＡ２，即ｘ２＋４２＝（ｘ＋２）２，解得ｘ＝３．又ＯＣ为△ＡＢＥ的中位线，所以ＢＥ＝２ＯＣ＝６．所以直角△ＢＣＥ的面积为１２ＣＢ·ＢＥ＝１２．５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝槡５，ＣＤ＝１，对角线的交点为Ｍ，则ＤＭ＝（）．（Ａ）槡３２（Ｂ）槡５３（Ｃ）槡２２　（Ｄ）１２［答］（Ｄ）．作ＡＨ⊥ＢＤ于点Ｈ，易知△ＡＭＨ∽△ＣＭＤ，所以ＡＨＣＤ＝ＡＭＣＭ，又ＣＤ＝１，所以ＡＨ＝ＡＭＣＭ①设ＡＭ＝ｘ，则ＣＭ槡＝５－ｘ．在Ｒｔ△ＡＢＭ中，可得ＡＨ＝ＡＢ·ＡＭＢＭ＝槡５ｘ５＋ｘ槡２．所以，由①式得槡５ｘ５＋ｘ槡２＝ｘ槡５－ｘ，解得ｘ＝槡５２（另一解ｘ槡＝２　５舍去）．所以ＣＭ＝槡５２，ＤＭ＝ＣＭ２－ＣＤ槡２＝１２．６．设实数ｘ，ｙ，ｚ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，则Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ的最大值为（）．（Ａ）１２（Ｂ）２３（Ｃ）３４（Ｄ）１［答］（Ｃ）．Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ＝ｘｙ＋（２ｙ＋３ｘ）（１－ｘ－ｙ）＝－３ｘ２－４ｘｙ－２ｙ２＋３ｘ＋２ｙ＝－２［ｙ２＋２（ｘ－１２）ｙ＋（ｘ－１２）２］－３ｘ２＋３ｘ＋２（ｘ－１２）２＝－２（ｙ＋ｘ－１２）２－ｘ２＋ｘ＋１２＝－２（ｙ＋ｘ－１２）２－（ｘ－１２）２＋３４≤３４，所以Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ的最大值为３４．二、填空题（本题满分２８分，每小题７分）１．已知△ＡＢＣ的顶点Ａ、Ｃ在反比例函数ｙ＝槡３ｘ（ｘ＞０）的图像上，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，ＡＢ⊥ｘ轴，点Ｂ在点Ａ的上方，且ＡＢ＝６，则点Ｃ的坐标为．［答］（槡３２，２）．作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，易求得ＣＤ３　＝槡３２，ＡＤ＝３２．设Ｃ（ｍ，槡３ｍ），Ａ（ｎ，槡３ｎ），结合题意可知ｎ＞ｍ＞０，Ｄ（ｎ，槡３ｍ），所以ＣＤ＝ｎ－ｍ，ＡＤ＝槡３ｍ－槡３ｎ，故ｎ－ｍ３　＝槡３２，槡３ｍ－槡３ｎ＝３２，联立解得ｍ＝槡３２，ｎ槡＝２　３．所以，点Ｃ的坐标为（槡３２，２）．２．在四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ∥ＡＤ，ＣＡ平分∠ＢＣＤ，Ｏ为对角线的交点，ＣＤ＝ＡＯ，ＢＣ＝ＯＤ，则∠ＡＢＣ＝．［答］１２６°．因为ＢＣ∥ＡＤ，ＣＡ平分∠ＢＣＤ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，所以ＤＡ＝ＤＣ，又ＣＤ＝ＡＯ，所以ＡＤ＝ＡＯ，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＯＤ．记∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝α，∠ＡＤＯ＝∠ＡＯＤ＝β．又ＢＣ∥ＡＤ，所以△ＡＤＯ∽△ＣＢＯ，结合ＡＤ＝ＡＯ可得ＯＣ＝ＢＣ，且∠ＣＢＯ＝∠ＣＯＢ＝β．又ＢＣ＝ＯＤ，所以ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝α．结合图形可得：β＝２α且α＋２β＝１８０°，解得α＝３６°，β＝７２°．所以∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝７２°，所以ＢＤ＝ＣＤ＝ＡＤ，所以∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ＝５４°，于是可得∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ＝１２６°．３．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的３倍，这个六位数是．［答］１６７３３４．设两个三位数分别为和ｙ，由题设知１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ①由①式得ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝（３ｙ－１０００）ｘ，故ｙ是ｘ的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整数），代入①式得１０００＋ｔ＝３ｔｘ，所以ｘ＝１０００＋ｔ３ｔ．因为是三位数，所以ｘ＝１０００＋ｔ３ｔ≥１００，从而可得ｔ≤１０００２９９，又ｔ为正整数，故ｔ的可能的取值只能是１，２，３．验证可知：只有ｔ＝２符合题意，所以ｔ＝２，ｘ＝１６７，ｙ＝３３４，所求的六位数为１６７３３４．４．将５个１、５个２、５个３、５个４、５个５共２５个数填入一个５行５列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过２．考虑每列中各数之和，设这５个和的最小值为Ｍ，则Ｍ的最大值为．［答］１０．依据５个１分布的列数的不同情形分别求Ｍ的最大值，若５个１分布在同一列，则Ｍ＝５；若５个１分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为３，故２　Ｍ≤５×１＋５×３＝２０，所以Ｍ≤１０；若５个１分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为３，故３　Ｍ≤５×１＋５×２＋５×３＝３０，所以Ｍ≤１０；若５个１分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于３，与题设矛盾．１　１　１　４　５１　１　２　４　５２　２　２　４　５３　３　３　４　５３　３　３　４　５综上所述，Ｍ≤１０；另一方面，右边给出的例子说明Ｍ可以取到１０．故Ｍ的最大值为１０．第一试（Ｂ）一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）１．题目和解答与（Ａ）卷第１题相同．２．题目和解答与（Ａ）卷第２题相同．３．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的图像的顶点在第二象限，且过点（１，０）．当ａ－ｂ为整数时，ａｂ＝（）．（Ａ）０　（Ｂ）１４　（Ｃ）－３４　（Ｄ）－２［答］（Ｂ）．由于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的图象的顶点在第二象限，且过点（１，０）和（０，１），故ａ＜０，－ｂ２ａ＜０，ａ＋ｂ＋１＝０，所以ｂ＜０且ｂ＝－ａ－１，于是可得－１＜ａ＜０．当ａ－ｂ＝２ａ＋１为整数时，因为－１＜２ａ＋１＜１，所以２ａ＋１＝０，ａ＝－１２，ｂ＝－１２，所以ａｂ＝１４．４．题目和解答与（Ａ）卷第４题相同．５．题目和解答与（Ａ）卷第５题相同．６．题目和解答与（Ａ）卷第６题相同．二、填空题（本题满分２８分，每小题７分）１．已知△ＡＢＣ的最大边ＢＣ上的高线ＡＤ和中线ＡＭ恰好把∠ＢＡＣ三等分，ＡＤ＝槡３，则ＡＭ＝．［答］２．显然∠ＡＢＣ≠∠ＡＣＢ．若∠ＡＢＣ∠ＡＣＢ，则由已知条件易知△ＡＤＭ≌△ＡＤＢ，所以ＢＤ＝ＤＭ＝１２ＣＭ．又因为ＡＭ平分∠ＤＡＣ，所以，由角平分线定理可得ＡＤＡＣ＝ＤＭＣＭ＝１２，即ｃｏｓ∠ＤＡＣ＝１２，所以∠ＤＡＣ＝６０°，进而可得∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＤ＝３０°．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ槡＝３，∠ＡＣＤ＝３０°，可求得ＣＤ＝３，所以ＤＭ＝１．在Ｒｔ△ＡＤＭ中，由勾股定理得ＡＭ＝ＡＤ２＋ＤＭ槡２＝２．若∠ＡＢＣ＜∠ＡＣＢ，同理可求得ＡＭ＝２．２．题目和解答与（Ａ）卷第１题相同．３．若质数ｐ，ｑ满足：３ｑ－ｐ－４＝０，ｐ＋ｑ＜１１１．则ｐｑ的最大值为．［答］１００７．由３ｑ－ｐ－４＝０得ｐ＝３ｑ－４，所以ｐｑ＝ｑ（３ｑ－４），显然ｑ（３ｑ－４）的值随着质数ｑ的增大而增大，当且仅当ｑ取得最大值时ｐｑ取得最大值．又因为ｐ＋ｑ＜１１１即ｐ＋ｑ＝４ｑ－４＜１１１，所以ｑ＜２９．因为ｑ为质数，所以ｑ的可能的取值为２３，１９，１７，１３，１１，７，５，３，２．当ｑ＝２３时，ｐ＝３ｑ－４＝６５，不是质数；当ｑ＝１９时，ｐ＝３ｑ－４＝５３，是质数．所以，ｑ的最大值为１９，ｐｑ的最大值为５３×１９＝１００７．４．题目和解答与（Ａ）卷第３题相同．。