等腰三角形知识点归纳及提高资料讲解

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等腰三角形知识点总结

等腰三角形知识点总结等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有很多特性和性质，下面将对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行总结。

一、定义和性质等腰三角形的定义：拥有两条边相等的三角形被称为等腰三角形。

等腰三角形的性质：1. 两个底角（底边所对的两个角）是相等的。

2. 两条腰（与底边相等的两条边）相等。

3. 顶角（顶点所对的角）等于180度减去底角的一半。

二、等腰三角形的角度性质1. 顶角等于底角的两倍：在等腰三角形中，顶角是底角的两倍。

也就是说，当一个底角为x度时，顶角就是2x度。

2. 底角相等：在等腰三角形中，两个底角是相等的。

如果一个底角为x度，另一个底角也是x度。

3. 顶角对应的边相等：在等腰三角形中，顶角对应的两条边是相等的。

如果一个顶角对应的边长为a，另一个顶角对应的边长也是a。

三、等腰三角形的边长性质1. 两条腰相等：在等腰三角形中，两条腰是相等的。

如果一条腰的长度为a，另一条腰的长度也是a。

2. 底边对应的高相等：在等腰三角形中，底边对应的高是相等的。

如果一条底边的高为h1，另一条底边的高也是h1。

3. 高的长度：在等腰三角形中，可以通过勾股定理来计算高的长度。

如果底边的长度为b，腰的长度为a，则高的长度等于根号下(a^2 -b^2/4)。

四、等腰三角形的判定条件等腰三角形的判定条件：如果三角形的两边边长相等或两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。

五、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边垂直：在等腰三角形中，高线与底边垂直。

2. 角平分线等于高线：在等腰三角形中，底边上的角平分线等于高线。

3. 底边上的角平分线相等：在等腰三角形中，底边上的两条角平分线是相等的。

总结：等腰三角形是几何学中重要的概念，在很多问题中都有应用。

通过对等腰三角形的定义、性质以及相关的定理进行了解和掌握，可以帮助我们解决等腰三角形相关的问题，并在数学和几何学中运用到其他各种应用中。

等腰三角形性质及判定(提高)知识讲解

等腰三角形性质及判定（提高）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：猜想：∠A＋∠B＝90°，（2）作图：猜想：∠B＝3∠A.【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．【答案与解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠CBD=∠EBD，∵在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴CD=ED，∠C=∠BED，∵∠C=2∠A，∴∠BED=2∠A，∵∠BED=∠A+∠ADE，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CD，∵AB=BE+AE，∴AB=CD+BC；方法二：延长BC至F，使CF=CD，则∠F=∠CDF ，∵∠ACB=∠F +∠CDF ，∴∠ACB=2∠F ，∴∠ACB=2∠A ，∴∠A=∠F ，在△ABD 和△FBD 中，，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴AB=BF ，∵BF=BC +CF ，∴BF=BC +CD ，∴AB=BC +CD ．【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△ A B CD EF G,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴ 4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE ＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC,∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ）∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】已知，如图，AD 为△ABC 的内角平分线，且AD ＝AB ，CM ⊥AD 于M.求证：AM ＝12(AB ＋AC) ．【答案】证明：延长AM 至点E ，使ME ＝AM ，连接CE.,,..,....AM ME CM AE AC CE E CAM AD BAC CAM BAM E BAM AB CE B BCE =⊥=∠=∠∠∠=∠∠=∠∠=∠∵∴∴∵平分∴∴∴∥∴ ,.,..2.AB AD B ADB CDE ADB CDE BCE DE CE AM AE AD DE AB AC =∠=∠∠=∠∠=∠===+=+∵∴又∵∴∴∴ ∴()12AM AB AC =+。

等腰三角形的性质与计算知识点总结

等腰三角形的性质与计算知识点总结等腰三角形是一种特殊的三角形，在几何形状中具有重要的性质和计算知识点。

本文将对等腰三角形的性质和计算知识点进行总结，并通过例题加深对这些概念的理解。

一、等腰三角形的性质1. 两边相等性质：等腰三角形指的是两边长度相等的三角形。

其中，两边相等的边称为腰，另一边称为底边。

2. 两底角相等性质：等腰三角形的两个底角（顶点所在的两个角）相等。

3. 顶角性质：等腰三角形的顶角（与底边不相邻的角）是单个角度，并且等于底角的补角。

二、等腰三角形的计算知识点1. 等腰三角形的周长计算：等腰三角形的周长可通过底边的长度和腰的长度计算得出。

例题：已知等腰三角形的腰长为a，底边长度为b，求等腰三角形的周长。

解答：等腰三角形的周长为2a + b。

2. 等腰三角形的面积计算：等腰三角形的面积可通过底边的长度和高的长度计算得出。

例题：已知等腰三角形的底边长度为a，高的长度为h，求等腰三角形的面积。

解答：等腰三角形的面积为(1/2) * a * h。

3. 等腰三角形的角度计算：等腰三角形的角度可以通过已知边长或已知角度来计算。

例题：已知等腰三角形的腰长为a，底边长度为b，求等腰三角形的两个底角大小。

解答：由于两底角相等性质，可得到角A = 底角B = (180° - 底角C) / 2。

4. 等腰三角形的边长计算：等腰三角形的边长可以通过已知角度和一边的长度来计算。

例题：已知等腰三角形的顶角大小为α，腰长为a，求等腰三角形的底边长度。

解答：根据顶角性质可得到底角的大小为β = (180° - α) / 2。

然后，可以利用正弦定理或余弦定理计算底边的长度。

综上所述，本文总结了等腰三角形的性质和计算知识点。

了解等腰三角形的性质和计算方法，可以帮助我们更好地应用这些知识解决各种几何题。

等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解

等腰三角形性质定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a a2.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D ．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长11052=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；C A（2）例如，在△EFG中，∠G=2∠F，若△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图；（2）分类讨论等腰线段，从而求得∠F的度数.【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F=x，则∠G=2x，如图2，线段EM是等腰线段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM=EG，ME=MF，∴∠F=∠MEF=x，∠EMG=∠G=2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，∴NF=NG，GN=GE，∴∠F=∠NGF=x，∠E=∠ENG，∴∠EGN=x，∠ENG=2x，∴∠E=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了等腰三角形的性质．举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线,E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF.【思路点拨】根据点D是BC的中点，延长AD到点H，得到△ADC≌△HDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF．【答案与解析】证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD在△ADC 和△HDB 中，BD D BDH CDA AD HD C ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDB ， ∴∠1＝∠H ，BH ＝AC ∵BE ＝AC ， ∴BE ＝BH ， ∴∠3＝∠H ， ∴∠1＝∠3 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AF ＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△A BCDE FG,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， ∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC, ∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ） ∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BFAFEBFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．5、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE ，根据SAS 证△ACE ≌△BCD ，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB ，根据平行线的判定推出即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA ，即∠BCD=∠ACE ，∵在△ACE 和△BCD 中AC BC ACE BCD CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE ≌△BCD ，主要考查学生的推理能力.。

关于等腰三角形的知识点

关于等腰三角形的知识点等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形，其特点是两条底边相等，两条底边对应的角也相等。

一.等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两边相等，所以两个底角（等腰角）也相等。

2.等腰三角形的等腰角的两边垂直于底边。

3.等腰三角形的顶角是两个底角的和的一半。

二.等腰三角形的判定：1.已知三条边是否构成等腰三角形：若三条边中有两条边相等，则构成等腰三角形。

2.已知两边和一个角是否构成等腰三角形：若两边相等，且夹角和已知角相等，则构成等腰三角形。

三.等腰三角形的性质推论：1.等腰三角形的底角相等，所以它的底边中点到顶角的连线垂直于底边，且平分这个顶角。

2.等腰三角形的底边中线长度等于等腰三角形的高。

3.等腰三角形的高和底边的垂直平分线、顶角的平分线三者交于一点，该点称为等腰三角形的垂心。

四.等腰三角形的周长和面积公式：1.周长：等腰三角形的周长等于底边长度乘以2再加上两腿长的和。

2.面积：等腰三角形的面积等于底边乘以高的一半。

五.等腰三角形的应用：1.几何推理中，在证明等腰三角形的性质时，可以运用等腰三角形的特点来进行推导。

2.在实际生活中，例如电线杆、架子等物体，常常采用等腰三角形的形状设计，因为等腰三角形具有稳定的结构和均衡的分布特点。

3.在三角函数的计算中，等腰三角形也是重要的一种特殊三角形，通过利用等腰三角形的性质，能够简化计算过程。

六.相关定理：1.三角形的内角和等于180°，因此等腰三角形的底角都相等，所以两个底角相加等于180°减去顶角。

2.根据三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角也相等，因此底角相等的两个三角形的另一个角也相等。

七.正弦定理和余弦定理在等腰三角形中的应用：1. 当等腰三角形的顶角为θ时，底边和腰长可以用正弦定理和余弦定理表示为：底边=2r⋅sin⁡(θ/2)，腰长=2r⋅cos⁡(θ/2)，其中r为等腰三角形的半径。

2.利用正弦定理和余弦定理可以计算等腰三角形的周长、面积等相关问题。

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。

在几何学中，等腰三角形有着独特的特点和应用。

本文将介绍等腰三角形的基本性质和解题技巧，并通过经典例题加深对该知识点的理解。

一、等腰三角形基本性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长相等，通常表示为AB = AC。

2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等，通常表示为∠B = ∠C。

3. 对顶角平分底边：等腰三角形的对顶角（即顶点处的角）平分底边，即顶角的平分线与底边相等和垂直。

4. 底角是钝角：当等腰三角形的顶角大于90度时，底角为钝角。

二、等腰三角形的特殊性质1. 高线重合：等腰三角形的高线与底边重合，且高线上的高度等于底边的中线和中线的一半。

2. 内切圆：等腰三角形的内切圆与底边相切，且圆心在高线上。

3. 外接圆：等腰三角形的外接圆的圆心位于底边的中点，且外接圆的半径等于底边长度的一半。

三、等腰三角形的解题技巧1. 利用等腰三角形的两边相等性质，可在题目中找到相等的边长，进而推导其他角度和边长的关系。

2. 利用等腰三角形的两底角相等性质，可在题目中找到已知角度与未知角度的关系，从而推导解题过程。

3. 利用等腰三角形的对顶角平分底边性质，和底角是钝角的特点，可应用角平分线定理解题。

四、经典例题例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6cm，∠B = 60°，求角A的度数和三角形的面积。

解析：由于AB = AC，可知三角形ABC是等腰三角形。

又∠B =∠C = 60°，由等腰三角形的两底角相等性质可得∠A = 180° - 2∠B = 60°。

三角形ABC的三个角度均为60°，是等边三角形。

根据等边三角形的性质，三角形ABC的面积为√3/4 * AB^2 = √3/4 * 6^2 = 9√3 cm^2。

例题2：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，∠A = 100°，求顶角B的度数和三角形的周长。

等腰三角形知识点总结

等腰三角形知识点总结等腰三角形是初中数学中较为基础的几何图形之一，也是我们在生活中常见的一个形状，例如一些路标、旗帜等等。

对于学习等腰三角形，我们需要掌握一些基本概念和性质。

下面就来一一介绍。

一、基本概念1、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等、两个底角相等的三角形。

通常用“△ABC”表示，其中AB=AC。

2、底边等腰三角形的两条等边称为底边，通常用“BC”表示。

3、顶点角、底角等腰三角形的一个顶点所对的角称为顶点角，另外两个角称为底角。

4、高等腰三角形的高指从顶点到底边的垂线段，通常用“AD”表示。

二、等腰三角形的性质1、定理1等腰三角形的两个顶点角相等。

证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，则角B=角C。

（结合等腰三角形仿形的原理可知，两个三角形只有当对应边与对应角彼此相等时才叫做相似）2、定理2等腰三角形的底角的平分线也是它的高线。

证明：因为角A等于角B，所以它们的平分线重合，即AD 也是角B的平分线。

3、定理3等腰三角形的高线与底边平分线重合。

证明：将等腰三角形△ABC的两条等边分别延长，分别交于点D和点E，连接DE，则△EBD与△ECD是全等三角形，所以BD=DC。

（利用等腰三角形仿形的原理）又因为AD⊥BC，DE=BC，所以AD也是BC的平分线，即AD平分BC。

4、定理4等腰三角形所在的平面是一个轴对称图形，且对称轴为底边的中垂线。

证明：连接AB，AC，则AD是三角形的高和底角的平分线。

过D作法线DE交BC于点M，则DM=MB，故M为BC的中点，易知M是△ABC的中心，即AD为中心线。

根据轴对称和中心对称的知识，可知△ABC的所在平面是对称的。

三、等腰三角形的面积公式等腰三角形的面积公式为：S=1/2×底边长×高。

证明：从顶点A向BC作高线AD，分别连接AB和AC，则△ABC可看成两个直角三角形，S=1/2×AB×AD=1/2×AC×AD，化简可得S=1/2×BC×AD。

等腰三角形知识点总结

等腰三角形知识点总结
等腰三角形是一种特殊的三角形，其任意两边长度相等。

以下是等腰三角形的一些知识点总结:
1. 等腰三角形的定义：三角形任意两边长度相等，则该三角形
为等腰三角形。

2. 等腰三角形的判定方法:(1) 两边相等;(2) 两角分别相等且
夹角相等;(3) 两腰长度相等且夹角相等。

3. 等腰三角形的性质:(1) 等腰三角形的顶点到对边的距离相等;(2) 等腰三角形的底边上的中线等于底边的一半;(3) 等腰三角
形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高相互平分。

4. 等腰三角形的应用场景：等腰三角形在几何学中经常出现，
主要用于解决三角形的面积、周长、角平分线等问题。

5. 等腰三角形的求解方法:(1) 利用等腰三角形的性质求解;(2) 利用等腰三角形的判定方法求解;(3) 利用勾股定理求解。

总之，等腰三角形是三角形中一种特殊的形态，其性质和判定方法较为复杂，需要深入理解和掌握。

等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析

等腰三角形性质和判定知识点总结和重难点精析一、等腰三角形的基本概念等腰三角形是一种具有两条相等边长的三角形，其中相等两条边称为腰，另一边称为底。

等腰三角形的性质和判定是数学中的重要知识点。

二、等腰三角形的性质1.等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应的两个角也相等。

2.三角形的相似：如果两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形相似。

3.等腰直角三角形：如果一个等腰三角形的顶角为直角，那么它的两个底角相等，均为45度。

4.等边三角形：如果一个等腰三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。

三、等腰三角形的判定1.定义法：根据等腰三角形的定义，通过测量或证明两个角相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。

2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

3.垂直平分线：等腰三角形的垂直平分线上的任意一点到两个底角的距离相等。

4.底边上的中线：等腰三角形底边上的中线与两个腰的夹角相等。

5.两边相等：如果一个三角形其中两边相等，那么这个三角形是等腰三角形。

6.顶角平分线：等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合。

四、等腰三角形的应用1.几何图形：在几何问题中，等腰三角形经常出现，如在证明两个三角形全等、相似或者寻找角度之间的定量关系时。

2.代数计算：等腰三角形在代数计算中也得到广泛应用，如解方程、函数等问题。

3.实际应用：等腰三角形在实际生活中也有很多应用，如建筑设计、工程绘图等领域。

五、总结本文详细介绍了等腰三角形的性质和判定方法，重点讲解了等腰三角形的定义、性质以及常见的判定方法，并通过实例精析帮助读者更好地掌握相关知识点。

在学习过程中，建议读者首先熟练掌握基本概念和性质，然后深入理解判定方法，并在解题中加以实践。

同时，要注重知识点之间的联系与区别，以便更好地掌握和运用所学知识。

第十一章等腰三角形知识点归纳

第十一章等腰三角形知识点归纳
等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

本章将对等腰三角形的性质、定理和计算方法进行归纳总结。

1. 等腰三角形的性质
- 等腰三角形的底角（底边两边所夹的角）相等。

- 等腰三角形的两条腰（与底边平行且与底边等长的两边）相等。

- 等腰三角形的两个底角（底边所对的两个角）相等。

- 等腰三角形的高线（从底边中点垂直引到顶点）是底边的中线（把底边平分为两段相等的线段）。

2. 等腰三角形的定理
- 等腰三角形的顶角（顶点所在的角）等于底角。

- 等腰三角形的底角等于直角（底边的两条垂直平分线所交的角）的一半。

- 等腰三角形的高线等于底边的一半。

3. 等腰三角形的计算方法
- 已知底边和顶角，可以通过正弦、余弦或正切函数计算出腰
的长度和底角的大小。

- 已知底边和腰的长度，可以通过余弦函数计算出底角的大小。

- 已知底边和底角，可以通过正弦函数计算出腰的长度。

- 已知底边和高线的长度，可以通过勾股定理计算出腰的长度
和顶角的大小。

以上是关于等腰三角形的知识点归纳，通过理解和掌握这些性质、定理和计算方法，我们可以更好地解决与等腰三角形相关的问题。

(完整word版)等腰三角形知识点归纳及提高

等腰三角形知识点概括及提升知识点概括：（一）等腰三角形的性质1、相关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等推论1：等腰三角形顶角的均分线均分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

推论 2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60° .等腰三角形是以底边的垂直均分线为对称轴的轴对称图形；2、定理及推论的作用等腰三角形的性质定理揭露了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是此后证明两角相等常用的依照之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的均分线“三线合一”的性质是此后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依照。

（二）等腰三角形的判断1、相关的定理及其推论定理：假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等推论 1、三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论 2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论 3、在直角三角形中，假如一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、定理及其推论的作用。

等腰三角形的判断定理揭露了三角形中角与边的转变关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转变为边的相等关系的重要依照。

3、等腰三角形中常用的协助线等腰三角形顶角均分线、底边上的高、底边上的中线经常作为解决相关等腰三角形问题的协助线，因为这条线能够把顶角和底边折半，因此常经过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，固然顶角的均分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，增添辅助线时，有时作哪条线都能够，有时需要作顶角的均分线，有时则需要作高或中线，视详细状况而定。

例 1、如图，已知在等边三角形 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 为 BC 延伸线上一点，且CE=CD ， DM⊥ BC，垂足为 M。

求证： M是 BE的中点。

等腰三角形(基础)知识讲解

等腰三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、（2015春•张家港）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C 度数．【答案与解析】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】（2015•威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（）E B A D CF A ．13 B ．12 C ．15 D ．20【答案】选B ．解：∵EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠CBD ，∴∠EDB=∠EBD ，∴BE=ED ，同理DF=CF ，∴△AEF 的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°.【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠， ∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD ∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 90BEC ∠=︒.∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．类型四、等边三角形5、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【答案与解析】解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°∴△ODE是等边三角形；（2）答：BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC．【总结升华】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．。

八年级上册数学等腰三角形知识点总结必看

八年级上册数学等腰三角形知识点总结必看等腰三角形是初中数学中常见且重要的图形之一，它具有很多特殊性质和应用。

在八年级上册数学课程中，学生们会接触到等腰三角形的构造、性质以及相关定理的证明。

本文将对八年级上册数学中的等腰三角形知识点进行总结和归纳。

一、等腰三角形的定义和性质1. 等腰三角形的定义：一个三角形的两边长度相等，两个底角的度数也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：a. 两边相等：等腰三角形的两边长度相等，分别称为腰。

b. 底角相等：等腰三角形的底角的度数相等。

c. 顶角对应边相等：等腰三角形的顶角对应的两边与底边相等。

二、等腰三角形的构造构造等腰三角形有几种常见的方法：1. 利用直尺和圆规：已知一个顶角和两个腰的长度，使用直尺和圆规可以构造出等腰三角形。

2. 利用等边三角形的性质：等边三角形的三边相等，所以等边三角形也是等腰三角形，可以通过构造等边三角形得到等腰三角形。

三、等腰三角形的重要定理1. 等腰三角形基本定理：如果一个三角形的两边相等，那么它也是一个等腰三角形。

2. 等腰三角形顶角定理：如果一个三角形的两边相等，那么它的两个底角的度数也相等。

3. 等腰三角形的高是腰的中线：等腰三角形的高既是高线，也是腰的中线，将等腰三角形的底边分成两等分，高线和腰的中线重合。

四、等腰三角形的应用等腰三角形在日常生活和实际问题中有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用例子：1. 圆锥的侧面开平：当一个圆锥的侧面展开后，形成的平面图形为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可以求解圆锥的侧面积。

2. 建筑物的设计：在建筑物的设计中，等腰三角形常用于制作屋顶、拱门等结构，利用等腰三角形的稳定性和美观性。

3. 镜子的设计：很多镜子的形状都是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可以增强镜子的稳定性。

综上所述，等腰三角形是八年级上册数学中的重要内容。

掌握等腰三角形的定义、性质、构造以及相关定理及其证明，能够帮助我们更好地理解三角形和解决实际问题。

等腰三角形(基础)知识讲解-精品.pdf

等腰三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点二、等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、（2015春?张家港）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C 度数．【答案与解析】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】（2015?威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（）EB ADCFA ．13B ．12C ．15D ．20【答案】选B ．解：∵EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠CBD ，∴∠EDB=∠EBD ，∴BE=ED ，同理DF=CF ，∴△AEF 的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF =AE+BE+CF+AF =AB+AC =5+7 =12．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用4、已知：如图，ABC △中，45ACB ，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，BADFCD ．求证：（1）△ABD ≌△CFD ；（2）BE ⊥AC ．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°. 【答案与解析】证明：(1) ∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADC ＝∠FDB ＝90°．∵　45ACB ，∴　45ACB DAC ∴ AD ＝CD ∵　BADFCD ，∴ △ABD ≌△CFD (2)∵△ABD ≌△CFD ∴ BD ＝FD. ∵ ∠FDB ＝90°，∴　45FBD BFD . ∵　45ACB ，∴　90BEC .∴ BE ⊥AC ．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．类型四、等边三角形5、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【答案与解析】解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°∴△ODE是等边三角形；（2）答：BD＝DE＝EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC．【总结升华】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．。

等腰三角形汇总

等腰三角形汇总等腰三角形是初中数学中的重要几何图形之一，它具有独特的性质和广泛的应用。

接下来，让我们一起对等腰三角形进行一个全面的汇总。

一、等腰三角形的定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

二、等腰三角形的性质1、两腰相等这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。

2、两底角相等这是等腰三角形的重要性质，也被称为“等边对等角”。

3、顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合我们简称为“三线合一”。

这一性质在解决等腰三角形的相关问题时经常用到，例如通过已知的中线或高来推导出其他线段的关系。

4、等腰三角形是轴对称图形对称轴是底边上的高（或顶角平分线，或底边上的中线）所在的直线。

三、等腰三角形的判定1、定义法如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2、等角对等边如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

四、等腰三角形中的常见计算1、角度计算已知顶角或底角的度数，利用两底角相等和三角形内角和为 180 度的性质，可以求出其他角的度数。

例如，若等腰三角形的顶角为 80 度，则底角为（180 80) ÷ 2 ＝ 50 度。

2、边长计算如果知道等腰三角形的腰长和底边长，或者知道其中的一些角度和边长关系，可以通过勾股定理或三角函数来计算其他边长。

比如，已知等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，从顶点向底边作垂线，将底边分为两段长度相等的线段，每段长度为 3。

根据勾股定理，垂线的长度为√（5² 3²) ＝ 4，即等腰三角形的高为 4。

五、等腰三角形在实际生活中的应用1、建筑设计在一些建筑的结构中，等腰三角形的稳定性和对称性可以被利用，增强建筑的美观和坚固程度。

2、道路设计在道路的弯道设计中，等腰三角形的原理可以帮助确定弯道的弧度和长度，保障行车安全。

3、服装设计某些服装的剪裁和图案设计可能会运用等腰三角形的元素，以达到独特的视觉效果。

等腰三角形--知识点变式(1)附解析

--知识点变式（1）附解析13.3 等腰三角形学习目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用其解决相关问题。

3.借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30︒的直角三角形的性质学习重难点：1. 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法2. 能够用等腰三角形的知识点解决相应的数学问题。

3. 等腰三角形性质和判定的探索与应用。

知识点一：等腰三角形的概念有两条边氙灯的三角形叫做等腰三角形。

其中相等的两条边叫做腰，另一条叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底脚。

如图，在ABC∆中,AC AB =，则ABC ∆为等腰三角形，其中AB ，AC 为腰，BC 为底边，A ∠为顶角，B ∠、C ∠为底角.【例题1】1．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（）A ．7B ．8C ．5D ．7或8【例题2】已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A ．40°B ．70°C ．100°D ．140°【变式1】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．6或12【变式2】若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（）A ．20°B ．50°C ．80°D ．100°知识点二等腰三角形的性质【重点】性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）几何语言：在ABC ∆中，C B AC AB ∠=∠∴= （等边对等角）性质2：等腰三角形的顶角的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）几何语言：如图所示（1）;21,∠=∠=AC ABBC AD CD BD ⊥=∴,（2）BC AD AC AB ⊥=,CD BD =∠=∠∴,21（3）CD BC AC AB ==,BC AD ⊥∠=∠∴,21【例题1】如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，BD 平分∠ABC ，则∠ABD 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．20°D ．25°【例题2】如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（）A．15° B．20° C．25° D．40°【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．120°【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论不一定成立的是（）A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED C．∠B=∠C D．∠AED=2∠ECD解析知识点一：等腰三角形的概念有两条边氙灯的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形知识点归纳

等腰三角形知识点归纳等腰三角形是初中数学中的基础知识点，它具有许多特殊性质和公式，是解题和证明的重要基础。

本文将对等腰三角形的定义、性质和相关公式进行系统的归纳总结。

一、等腰三角形定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底边的边长相等，而顶角的两边也相等。

二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角和顶角对应的两条边相等。

由等腰三角形的定义可知，底角对应的两条边长度相等，顶角对应的两条边也相等。

2. 等腰三角形的底角相等。

根据等腰三角形的定义和性质1可知，底角对应的两条边相等，因此底角也相等。

3. 等腰三角形的顶角相等。

同样根据等腰三角形的定义和性质1可知，顶角对应的两条边相等，因此顶角也相等。

4. 等腰三角形的高线也是中线、角平分线和垂直平分线。

高线是从顶角所在顶点到底边的垂直线段，它与底边垂直相交于底边中点，同时也是底边的中线；高线还是顶角的平分线，即将顶角平分为两个相等的角；另外，高线还是底边的垂直平分线，将底边分为两个相等的线段。

5. 等腰三角形的面积公式。

等腰三角形的面积等于底边长度乘以与底边垂直的高线长度再除以2，即S = 1/2 * b * h。

6. 等腰三角形的周长公式。

等腰三角形的周长等于底边长度乘以2再加上斜边的长度，即C = 2b + a。

7. 等腰三角形的角平分线。

等腰三角形的底边上的角平分线既是底边的垂直平分线，也是三角形顶角的平分线。

三、等腰三角形的应用场景等腰三角形在生活和几何中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景：1. 画等腰三角形。

当我们需要画一个等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质来确定两条边的长度。

2. 计算等腰三角形的面积和周长。

等腰三角形的面积和周长公式可以帮助我们快速计算等腰三角形的相关参数。

3. 解题中的等腰三角形。

在解题过程中，等腰三角形常常被用来建立等式或者找到特殊性质，提供解题线索。

四、例题分析1. 已知等腰三角形的底边长度为12cm，顶角的两边长度分别为6cm，求等腰三角形的周长和面积。

等腰三角形知识点总结

等腰三角形一、目标认知学习目标：通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法重点：等腰三角形的性质与判定。

难点：比较复杂图形、题目的推理证明。

二、知识要点梳理知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．知识点二：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2、这两个性质证明如下：在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有∴Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．3、说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴BD=CD；或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴AD⊥BC．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则所以△ABD≌△ACD（AAS）．所以，AB=AC．2、注意：①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形如图所示．2、注意：①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．注意：这条性质只有等边三角形具有．知识点六：等边三角形的判定1、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2、证明如下：(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．于是判定（1）成立．(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形；若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．由判定（1）得△ABC是等边三角形。