小学数学常见错误分析—归一问题素材

归一问题

复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。

由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

例1 小红骑车3 分钟行600 米，照这样的速度她从家到学校行了10 分钟，小红家到学校有多少米？

[解]600÷3×10

=200×10

=2000（米）。

答：小红家到学校有2000 米。

[常见错误]

600÷10×3

=60×3

=180（米）。

答：小红家到学校有180 米。

[分析]

解答上题先要求出1 分钟行的路程，再求出10 分钟行的路程。错解中把3 分钟行600 米，看成了10 分钟行600 米，因此，第一步求单位量的数值就错了，后面再去乘以3 是毫无道理的。防止出错的根本办法是解题时要找准对应的数量。如上例，3 分钟行的路程对应的是600 米，10 分钟行的路程对应的小红家到学校的路程。

例2 某运输公司用6 辆汽车运水泥，每天可运96 吨。根据运输情况，现在增加4 辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？

[解]

96÷6×（6+4）

=16×10

=160（吨）。

答：每天可运水泥160 吨。

[常见错误]

96÷6×4

=16×4

=64（吨）。

答：每天可运水泥64 吨。

[分析]

解答归一问题先求出单位量的数值，但对题中要求的问题应加以分析。上题中“增加4 辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即10 辆汽车的运输量。归一问题常常发生例2 的错解，主要原因是没有认真分析与理解题意，把要求的问题所对应的数量搞错，从而出现错误。

例3 某县化肥厂计划春节前40 天生产化肥3400 吨，实际头8 天生产化肥720 吨。照这样计算，春节前可超产多少吨？

[解]

720÷8×40-3400

=90×40-3400

=3600-3400

=200（吨）。

答：春节前可超产200 吨。

[常见错误]

（1）3400÷40×（40-8）+720

=85×32+720

=2720+720

=3440（吨）。

答：春节前可超产3440 吨。

（2）720÷8×40

=90×40

=3600（吨）。

答：春节前可超产3600 吨。

（3）720÷8-3400÷40

=90-85

=5（吨）。

答：春节前可超产5 吨。

[分析]

学生对归一问题的基本应用题一般都能解答出来，但是，对归一问题的扩展题解答时却常常出错。例3 就是这种扩展题，出现的第一个错解是对题意不理解，仅根据题中已知条件的表面联系，胡乱凑在一起，进行解答。错解（2）与错解（3）都是答非所问，没有按照题目的要求，进行解答。错解（2）求出的是春节前实际生产的吨数，错解（3）求出的是实际每天比原计划每天多生产的吨数。

为了防止归一问题的扩展题解答出错，关键还是要掌握归一问题的基本解法。如例3 先求出每天实际生产的吨数，再求出春节前40 天实际生产的总吨数，最后求出超产的吨数。按照这个思路，解题就不会出现错误。

归一问题的扩展题往往有多种解法，如例3 可用倍比法先求出实际产量，再减去原计划产量就得超产量。列式为：

720×（40÷8）-3400。

也可以先求出每天的超产量，然后再求出40 天的超产量。解答的算式为：

（720÷8-3400÷40）×40。

例4 洗衣机厂计划25 天生产洗衣机4000 台，实际每天比计划多制造40台。照这样计算，完成原定生产任务要少用多少天？

[解]25-4000÷（4000÷25+40）

=25-4000÷（160+40）

=25-4000÷200

=25-20

=5（天）。

答：完成原定生产任务要少用5 天。

[常见错误]

4000÷（4000÷25+40）

=4000÷（160+40）

=4000÷200

=20（天）。

答：完成原定任务要少用20 天。

[分析]

例4 是一道较复杂的归一问题的应用题，错解算出的是完成原定生产任务所需的时间，而忽略了题中要求的是少用多少天。

解复杂的归一问题的应用题，也和解其他类型的应用题一样，可从题目本身的问题出发，逆推分析，从而求得问题解答的算式。像这道题要求少用多少天，必须知道计划天数（已知为25 天）与实际生产天数；要求实际生产天数必须知道实际生产量（已知为4000 台）与每天实际生产台数；要求每天实际生产台数必须知道原计划每天生产台数（算式为4000÷25）与实际比计划多生产的台数（已知为40 台）；这样逐步导出的解答算式为：25-4000÷（4000÷25+40）。