(完整版)布尔函数参考答案

湖北大学研究生课程考试参考答案及评分标准

一、概念题参考答案及评分标准：

1.设是二元有限域，n 为正整数，是上的n 维向量空间，从到的2F n F 22F n F 22F 映射：称为n 元布尔函数.

22:F F f n →一个n 元布尔函数可以表示为上的含n 个变元的多项式:

f 2F ∑∈++++++=

2

)

1()1)(1)(,,(),,(22112

1

21F a n n n

n i a x a x a x

a a a f x x x f .

n i a

n a

a

F a n x x x a a a f 212

2121),,(∑

∈=

这里表示中的加法运算，即模2的加法运算.形如上式的表示

()1

1n

i i i x a =++∏2F 称为布尔函数的小项表示.若将小项表示展开并合并同类项，则会得到如下形f 式的一个多项式：

n

n n

j i i i i i n

j i j i

j i n

i i i n x x a x x a

x x a

x a a x x x f d d

1,11,1,102111),,(++++

+=∑∑∑≤<<≤≤<≤=这里系数.

∈j i a ,2F 评分标准：答出n 元布尔函数的定义得5分，答出其多项式表示得5分.

2布尔函数的安全性指标主要有：平衡性、代数次数、差分均匀度、非线性度、相关免疫阶、弹性阶和代数免疫度等等.

平衡性：一个n 元布尔函数是平衡的，当且仅当其真值表中0和1的个数相同，也就是该布尔函数的Hamming 重量为.

12n -代数次数：密码体制中使用的布尔函数通常具有高的代数次数.差分均匀度：设是一个n 元布尔函数，其差分均匀度定义为

.

2

220max max {|()()}n n f F a F x F f x a f x βδβ∈≠∈=∈+-=非线性度：的非线性度定义为和所有仿射函数的最小Hamming 距离：

f ()NL f f .

()min (,)min ()n

n

l A l A NL f d f l wt f l ∈∈==-相关免疫阶：设是一个n 元布尔函数，其中是上独立且均匀分布的随机变量，如果与中任意个变元统计独立，则称是m 阶相关免疫函数。评分标准：每个指标2分，答出其中5个得10分.

3.（10分）设，，.线性空间中的子集合

1m ≥2m n =0r m ≤≤2n F 2(,){|,deg }

n f m RM r m c F f B f r =∈∈≤叫做r 阶的二元Reed-Muller 码其中为全体布尔函数的集合

m B 二、证明题答题要点及评分标准：

1.（1）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到

2()()(1)

n

f x x f x F W ω

ω+∈=

-∑A 22{|()}{|()}

n n x F f x x x F f x x ωω=∈=-∈≠A A 22()

n t f x ωω=-+A （2）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到

22()n

f

F W

ωω∈∑222()()(1)

(1)

n n

n

f x x f y y F x F y F ω

ω

ω++∈∈∈=

--∑∑∑A A 222()()

()

(1)

(1)n n

n

f x f y x y x F y F F ωω++∈∈∈⎛⎫=

-- ⎪ ⎪⎝⎭

∑∑∑A 2222n

n n

x y F =∈=

=∑

倒数第二个等号成立是因为仅当时取值，其他时候取值均为

2(1)n

x

F ω

ω∈-∑A 0x =2n 0.

2.证明：定义的对偶函数如下：()f x ()f

x ()()()220,2;1,2,

n

f x n f x W f x W ⎧

=⎪=⎨⎪=-⎩

运用Walsh 变换的性质得出，即也是Bent 函数.（4分）()2

2n f W a =± ()f x 再证明n 元布尔函数是Bent 函数当且仅当矩阵

()f x ()()222

,,,[2]n

n n f f u v F u v F B h u v W u v -∈∈'==+⎢⎥⎣⎦是一个的Hadamard 矩阵.（6分）n n 22⨯最后证明原命题：

（必要性）是Bent 函数则也是Bent 函数.()f x ()f x 通过，得出矩阵

()()

2

21n

u v

f W u v -++=- ()()

()

()2

2

22

,,,,[1][2]n n n n

f u v f f u v F u v F u v F H h u v W u v B -

+∈∈∈==-=+=⎢⎥⎣⎦

是Hadamard 矩阵；（5分）

（充分性）由.

()()()

2

2,,,[1]n n f x y x y F u v F H h x y +∈∈==-⎢⎥⎣⎦得出

()

()

()

()

212n f x f x y n x F y δ++∈-=∑将上式两边同时乘以，并对求和得到即，则

()1y u

⋅-y ()22

n

f

W

u =()2

2n f W u =±是Bent 函数. （5分）

()f x 3.证明：先利用McEliece 定理，证明若是相关免疫函数，，则

()f x 1m n ≤- ,对任意.（5分）

()110

mod 2

n m m d f W a --⎢⎥++⎢⎥

⎣⎦

≡2n a F ∈于是

()2

1

max 2n

m f a F W a +∈≥再结合即得()2

11

()2max 2n

n f a F NL f W a -∈=-