(完整版)布尔函数参考答案

湖北大学研究生课程考试参考答案及评分标准
一、概念题参考答案及评分标准：
1.设是二元有限域，n 为正整数，是上的n 维向量空间，从到的2F n F 22F n F 22F 映射：称为n 元布尔函数.
22:F F f n →一个n 元布尔函数可以表示为上的含n 个变元的多项式:
f 2F ∑∈++++++=
2
)
1()1)(1)(,,(),,(22112
1
21F a n n n
n i a x a x a x
a a a f x x x f .
n i a
n a
a
F a n x x x a a a f 212
2121),,(∑
∈=
这里表示中的加法运算，即模2的加法运算.形如上式的表示
()1
1n
i i i x a =++∏2F 称为布尔函数的小项表示.若将小项表示展开并合并同类项，则会得到如下形f 式的一个多项式：
n
n n
j i i i i i n
j i j i
j i n
i i i n x x a x x a
x x a
x a a x x x f d d
1,11,1,102111),,(++++
+=∑∑∑≤<<≤≤<≤=这里系数.
∈j i a ,2F 评分标准：答出n 元布尔函数的定义得5分，答出其多项式表示得5分.
2布尔函数的安全性指标主要有：平衡性、代数次数、差分均匀度、非线性度、相关免疫阶、弹性阶和代数免疫度等等.
平衡性：一个n 元布尔函数是平衡的，当且仅当其真值表中0和1的个数相同，也就是该布尔函数的Hamming 重量为.
12n -代数次数：密码体制中使用的布尔函数通常具有高的代数次数.差分均匀度：设是一个n 元布尔函数，其差分均匀度定义为
.
2
220max max {|()()}n n f F a F x F f x a f x βδβ∈≠∈=∈+-=非线性度：的非线性度定义为和所有仿射函数的最小Hamming 距离：
f ()NL f f .
()min (,)min ()n
n
l A l A NL f d f l wt f l ∈∈==-相关免疫阶：设是一个n 元布尔函数，其中是上独立且均匀分布的随机变量，如果与中任意个变元统计独立，则称是m 阶相关免疫函数。

评分标准：每个指标2分，答出其中5个得10分.
3.（10分）设，，.线性空间中的子集合
1m ≥2m n =0r m ≤≤2n F 2(,){|,deg }
n f m RM r m c F f B f r =∈∈≤叫做r 阶的二元Reed-Muller 码其中为全体布尔函数的集合
m B 二、证明题答题要点及评分标准：
1.（1）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到
2()()(1)
n
f x x f x F W ω
ω+∈=
-∑A 22{|()}{|()}
n n x F f x x x F f x x ωω=∈=-∈≠A A 22()
n t f x ωω=-+A （2）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到
22()n
f
F W
ωω∈∑222()()(1)
(1)
n n
n
f x x f y y F x F y F ω
ω
ω++∈∈∈=
--∑∑∑A A 222()()
()
(1)
(1)n n
n
f x f y x y x F y F F ωω++∈∈∈⎛⎫=
-- ⎪ ⎪⎝⎭
∑∑∑A 2222n
n n
x y F =∈=
=∑
倒数第二个等号成立是因为仅当时取值，其他时候取值均为
2(1)n
x
F ω
ω∈-∑A 0x =2n 0.
2.证明：定义的对偶函数如下：()f x ()f
x ()()()220,2;1,2,
n
f x n f x W f x W ⎧
=⎪=⎨⎪=-⎩
运用Walsh 变换的性质得出，即也是Bent 函数.（4分）()2
2n f W a =± ()f x 再证明n 元布尔函数是Bent 函数当且仅当矩阵
()f x ()()222
,,,[2]n
n n f f u v F u v F B h u v W u v -∈∈'==+⎢⎥⎣⎦是一个的Hadamard 矩阵.（6分）n n 22⨯最后证明原命题：
（必要性）是Bent 函数则也是Bent 函数.()f x ()f x 通过，得出矩阵
()()
2
21n
u v
f W u v -++=- ()()
()
()2
2
22
,,,,[1][2]n n n n
f u v f f u v F u v F u v F H h u v W u v B -
+∈∈∈==-=+=⎢⎥⎣⎦
是Hadamard 矩阵；（5分）
（充分性）由.
()()()
2
2,,,[1]n n f x y x y F u v F H h x y +∈∈==-⎢⎥⎣⎦得出
()
()
()
()
212n f x f x y n x F y δ++∈-=∑将上式两边同时乘以，并对求和得到即，则
()1y u
⋅-y ()22
n
f
W
u =()2
2n f W u =±是Bent 函数. （5分）
()f x 3.证明：先利用McEliece 定理，证明若是相关免疫函数，，则
()f x 1m n ≤- ,对任意.（5分）
()110
mod 2
n m m d f W a --⎢⎥++⎢⎥
⎣⎦
≡2n a F ∈于是
()2
1
max 2n
m f a F W a +∈≥再结合即得()2
11
()2max 2n
n f a F NL f W a -∈=-
.（5分）
1()22n m NL f -≤-类似的，若是m 阶弹性函数
()f x ，对任意.（5分）
()220
mod 2
n m m d f W a --⎢⎥++⎢⎣⎦
≡2n a F ∈再结合即得()211
()2max 2n
n f a F NL f W a -∈=-.（5分）
11()22n m NL f -+≤-4. 证明：记为所有代数次数不超过的n 元单项式构成的集合；
T 2n ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
令,则
{}|Tf fX X T =∈，
（5分）222n n i n T Tf i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎛⎫
+=> ⎪⎝⎭
∑注意到T 中所有元素线性无关，从而
，
0X
Y X T
Y T
a
X a fY ∈∈+=∑∑其中，,且存在某个.令
X a 2Y a F ∈0Y a ≠，，
X
X T
h a
X ∈=
∑Y Y T
g a Y ∈=∑则
，（5分）
0f gh +=其中.
0,deg ,deg 2n g g h ⎡⎤
≠≤⎢⎥⎢⎥
于是，若，则，否则，所以
0h =0fg =()10f h +=（5分）.
()2n AI f ⎡⎤
≤⎢⎥⎢⎥
因为是到的映射，总有，于是
f 2n F 2F ()10f f +=（5分）
()deg AI f f ≤。