矢量分析总结
第1章矢量分析
第1章 矢量分析§1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。
二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。
),(t r u u =矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。
),(t r A A =三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。
)(r u u =)(r A A =时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。
),(t r u u=),(t r A A =标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。
§1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。
矢量场可以用一个矢量函数)(r A来表示。
在直角坐标系中表示为：),,()(z y x A r A=(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。
矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。
例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。
(3)矢量线方程0)(=⨯r A r d在直角坐标系下为：)()()(r A dzr A dy r A dx z y x == 2、矢量场的通量 通过面积元的通量：S d r A d⋅=Φ)(通过有限面积的通量：⎰⋅=ΦSS d r A)(通过闭合曲面的通量：⎰⋅=ΦS S d r A)(二、矢量场的散度 1、散度的定义在矢量场)(r A中的任意一点M 处作一个包围该点的任意闭合曲面S ，所限定的体积为τ∆。
矢量场)(r A 在点M 处的散度记作A div，其定义为：ττ∆⋅=⎰→∆SS d r A A div)(lim 0 2、散度在坐标系下的表示A A div ⋅∇=定义哈密顿算符：ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇(1)在直角坐标系中的表示zu y u x u A ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇(2)在圆柱坐标系中的表示()zA A A A z ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ11 (3)在球坐标系中的表示()()φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r r r A r sin 1sin sin 11223、散度的性质(1)散度是通量源的密度；0>⋅∇A表示该点有发出通量线的正通量源； 0<⋅∇A表示该点有接收通量线的负通量源；0=⋅∇A表示该点无通量源。
矢量分析知识点
电工基础教研室 金钊
哈尔滨工业大学
K 1.基本概念：标量 ϕ ( x, y, z ) 和矢量 A( x, y, z )
2.几何表示：
矢量分析知识点（2014.02.21）
ϕ ( x, y , z ) = C 标量场的等值面： K K 矢量场的矢量线：dl × F = 0 Fx Fy Fz = = dx dy dz
2 2 2
∂ ∂ ∂ ∇ =∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
2014-2-26 电工基础教研室金钊 6
矢量分析知识点（2014.02.21）
5.拉普拉斯算子：
2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ u ∂ u ∂ u 2 ∇ u =( 2 + 2 + 2 )u = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z K K K 2 2 2 2 2 2 K ∂ ∂ ∂ K ∂ A ∂ A ∂ A 2 ∇ A=( 2 + 2 + 2 ) A = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问 题；
2014-2-26
电工基础教研室金钊
13
谢谢聆听！
矢量分析知识点（2014.02.21）
4.关于哈密顿算子：
∂ϕ K ∂ϕ K ∂ϕ K gradϕ = ∇ϕ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z K ∂ K ∂ K ∂ K K K K ∇ ⋅ A=( ex + ey + ez ) ⋅ ( Ax ex + Ay ey + Az ez ) ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z
矢量分析总结
第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A)(t（1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x =（1.1.2）其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
愿点O 也称为矢端曲线的极。
由于终点为),,(z y x M 的矢量OM 对于原点O 的矢径为zk yj xi r ++==当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即)(),(),(t A z t A y t A x z y x ===（1.1.3）此式就是曲线l 的参数方程。
矢量分析
v v v A × B = AB sin α e v v
v v v v v v i ×i = j × j = k ×k = 0
大学物理讲义
青岛科技大学
v v v i × j =k v v v j × i = −k
记忆方式
v v v j ×k = i v v v k × j = −i
y
y
v j
v *P r
v i
v v v v r = xi + yj + zk
vv v j k 式中 i、 、 分别为x、y、z
轴方向的单位矢量. 轴方向的单位矢量
o z v x k z
x
v 的大小(模 为 位矢r 的大小 模)为
青岛科技大学
v 2 2 2 r = r = x + y +z
大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
v 矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量 A 矢量的模 ：矢量的大小称为矢量的模。 v 的模记为： 的模记为：A 或 | A |。
矢量具有平移不变性(translation invariant)：把矢量在 矢量具有平移不变性 ： 空间中平移，矢量的大小和方向不会改变， 空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质 称为矢量平移的不变性。 称为矢量平移的不变性。 二 矢量的表示
v v A = AeA
有
v v deA dA dA v = eA + A dt dt dt
大学物理讲义
青岛科技大学
2. 矢量的积分 矢量的积分(integral) 的积分： （1）对时间 t 的积分： ）
∫
t2
t1
v v t2 v v Adt = ∫ ( Ax i + Ay j + Az k )dt
矢量分析
矢 量 分 析一：定义标量：只有大小，没有方向的物理量。
如质量，时间，温度等矢量：即有大小，又有方向的物理量。
如力，位移，速度等 二：矢量表示法线段的长度表示矢量的大小箭头的指向表示矢量的方向 记为：A或x o三：矢量的模和单位矢量模： 矢量的大小，记为A单位矢量：若矢量0A的模为1，且方向与 A 相同,则称0A 为A方向上的单位矢量。
有A =A0A----大小和方向分离表示四：矢量运算相等：两个大小相等且方向相同的矢量相等。
平移：矢量平移后，大小和方向均保持不变。
负矢量：大小相等，方向相反的矢量，记为-A加法：既矢量合成，服从平行四边形法则=A+ BA可演化成三角形法则多矢量合成服从多边形法则减法：既矢量的分解，是加法的逆运算)(BABAC-+=-=大小Am数乘：AmAm=⨯方向: m＞0 与A同向m＜0 与A反向五：矢量的坐标表示222ZY X Z Y X A A A A kA j A i A A ++=++= 令 两矢量kB j B i B B kA j A i A A Z Y X Z Y X++=++=则有kmA j mA i mA k A j A i A m A m k B A j B A i B A B A z y x z y x z z y y x x ++=++=±+±+±=±)()()()( B A = 当且仅当 z z y y x x B A B A B A===六：标积（点积）两矢量相乘得到一个标量A B Cos B A B A C⋅==⋅=θ c由定义可知当θ=0时 C οS θ=1 BA B A=⋅ B当θ=π/2时 C οS θ=00=⋅B A七：矢积（叉积）A两矢量相乘得到一个矢量B A C⨯= 大小: ),(B A Sin B A Sin B A =θ方向: 右手系由定义可知当θ=0时 Sin θ=0 0=⨯B A当θ=π/2时 Sin θ=1 B A B A=⨯)(A B B A⨯-=⨯ 不服从交换律八：矢量的求导令存在矢量 k t A j t A i t A t A z y x )()()()(++=则有:k dtt dA j dt t dA i dt t dA dt t A d z y x)()()()(++=例： 一人字原点出发，先向东走了30米，又向南走了10米，再向西北走了18米，求合位移的大小和方向。
矢量分析报告
第一章 矢量分析
静电场的基本方程是
(1-52) 对于各向同性的媒质, 电通量密度和电场强度的关系为
D=εE, 因而式(1-52)可改写为
假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散 度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令
第一章 矢量分析
由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度, 根据矢量场由其 散度和旋度唯一确定, 那么矢量g应该为零矢量, 也就是矢量 F 与矢量G是同一个矢量。
因为▽·F= ▽ ·G, 所 以
同样由于▽ ×G= ▽ ×F, 所 以
拉普拉斯微分算子▽ 2的表示式为
第一章 矢量分析
例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中, 当距 r>>l离时, 其空间电位的表达式 为
求其电场强度E(r, θ, φ)。 解: 在球面坐标系中，哈密顿微分算子▽的表达式为
第一章 矢量分析
因为
第一章 矢量分析
1.6 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的简单表达是: 若矢量场F在无限空间中处处单 值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场 由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度 和一个矢量函数的旋度之和， 即
图 1-6 例 1-11 图
第一章 矢量分析
解: 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。
第一章 矢量分析
例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点 M(1，0 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
解: 矢量场A的旋度
矢量分析要点
重要的知识点1 矢性函数，矢径，坐标表示方法2 矢端曲线，可表示为曲线方程或参数方程3 矢性函数的极限、导数、微分、不定积分与定积分，基本运算法则4 矢性函数导数、微分的几何意义（物理意义）。
圆函数5 数量场、矢量场6 数量场的等值面、等值线7 如何求等值面方程8 数量场的方向导数、梯度，二者的关系，其基本运算公式9 数量场对弧长的导数10 矢量场的矢量线（区别于矢端曲线）11 如何求矢量线方程12 矢量场的通量、散度，基本运算公式，高斯公式（二维为格林公式）13 正源与负源14 环量、环量面密度、旋度，基本运算，斯托克斯公式15 环量面密度、旋度的关系16 有势场、无旋场、保守场、梯度场，充要条件17 势函数的求解法18 无源场、管形场、旋度场，充要条件19 矢势量的求解方法20 调和场，无旋无源场，调和函数，拉普拉斯方程（二维/平面调和场的势函数与力函数, 共轭调和函数）21 哈密顿算子，拉普拉斯算子基本表示方法22 梯度、散度、旋度的算子表示方法， 基本运算法则()[()]'()grad uv vgradu ugradvgrad f u f u gradv =+=()div uA udivA A gradu=+⋅ ()rot uA urotA gradu A =+⨯拉普拉斯算子 :x y z ∂∂∂∆++∂∂∂222222 ， div grad() ， ()∇⋅∇ ， ∇2p55.2 p55.5求穿过非封闭曲面的通量解题思路：计算散度，如果散度为常数，则尝试高斯公式。
对于非封闭曲面，可考虑先用形状简单的曲面，将其补偿为封闭面。
如果散度不是常数或在一些区域无定义，则不考虑高斯公式，直接采用通量的一般计算式（p51例3）p81.1求势函数的两种方法p82.2判断矢量场是否保守（有势），并计算曲线积分解题思路：计算该矢量场的旋度。
若无旋，则根据有势场充要条件（p68定理1），该场保守、有势，积分与路径无关，然后任意选取最简捷的路径计算曲线积分；如果有旋度，则按曲线积分一般方法进行计算。
矢量分析总结
2 f 2 f 2 f f f (ex e y e z ) (e x e y ez ) f 2 2 2 x y z x y z x y z
有一种情况例外：微分操作只对它右边的表达式发生作
• 直角坐标系中的计算公式：
A B Ax Bx Ay B y Az Bz
矢量乘法
（2）叉乘（矢积）（洛伦兹力）
C A B ＝> C AB sin ，
方向满足右手定则。(ex ,ey ,ez ,ex ,ey) • A⊥B 时有最大模值。
• •
A∥B A B 0 。 直角坐标系中的计算公式：
螺线管线圈磁力线
矢量的面积分、通量
（2）矢量场的面积分、通量
① 面积元 dS
面积元
② 通量：矢量的面积分
称作矢量 A 穿过曲面 S 的通量。例：
B dS
S
I J dS
S
通量
通量与散度
（3）高斯散度定理、散度
① 回忆高等数学中的高斯公式：
P Q R V ( x y z )dV S Pdydz Qdzdx Rdxdy
dx d y dS x ex dydz
y
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
• 圆柱坐标系
坐标变量 坐标单位矢量
, , z
e , e , ez
位置矢量
线元矢量
r e e z z
dl e d e d ez dz
圆柱坐标系
面元矢量 dS e ddz e ddz ez dd 体积元
⑥ 法向单位矢量与切向单位矢量：en，et
矢量分析报告
矢量分析报告简介矢量分析是地理信息系统（GIS）中常用的一种分析方法，通过对矢量数据进行处理和分析，从中提取有用的信息并得出结论。
本文档将介绍矢量分析的基本概念和方法，并以实际案例解释如何应用矢量分析来解决各种问题。
什么是矢量数据？在GIS中，矢量数据是用于表示现实世界中的地理对象的一种数据模型。
它利用矢量空间来描述和存储地理对象，在计算机中以点、线和面的形式表示。
矢量数据具有以下特点： - 离散性：矢量数据以离散的点、线和面对象形式存储。
- 拓扑性：矢量数据中的要素之间具有拓扑关系，可以通过空间关系进行分析。
- 位置和属性：矢量数据不仅包含地理位置信息，还包含与之相关的属性数据。
矢量数据的基本属性矢量数据包含两个基本属性：几何属性和属性数据。
几何属性几何属性描述了地理对象的位置和形状。
在矢量数据中，几何属性可以是点、线或面。
•点（Point）：在地理空间中的一个离散位置。
点没有长度或面积，仅有一个坐标位置。
•线（Line）：由一系列连接的点组成的几何对象。
线可以表示道路、河流或边界等。
•面（Polygon）：由一系列闭合的线组成的几何对象。
面可以表示土地使用类型、行政区划等。
属性数据属性数据是与几何对象相关联的数据。
它描述了地理对象的特征和属性。
属性数据可以是任何类型的信息，如名称、面积、人口数量等。
这些属性数据通常以表格的形式存储，其中每一行代表一个地理对象，每一列代表一个属性。
矢量分析方法矢量分析基于矢量数据进行，可以帮助我们理解和解释地理现象，从而做出决策。
以下是常用的矢量分析方法：缓冲区分析缓冲区分析用于确定距离某个地理对象一定范围内的其他地理对象。
它可以帮助我们分析空间关系、评估风险和规划用地。
缓冲区分析的步骤如下：1.选择要进行缓冲区分析的对象。
2.指定缓冲区的半径或距离单位。
3.进行缓冲区分析并可视化结果。
叠加分析叠加分析用于确定两个或多个矢量对象之间的空间关系。
通过叠加分析，我们可以识别出重叠、相交、包含和邻近等关系。
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
矢量分析的知识点总结
矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。
矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。
二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。
矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。
2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。
矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。
2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。
曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。
2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。
曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。
三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。
3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。
第一章 矢量分析重点内容总结
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
4、柱坐标和球坐标系与直角坐标系的关系
柱坐标与直角坐标微分关系
e ex sin ey cos e
e ex cos ey sin e
球坐标与直角坐标微分关系
R R R 2( x x)ex R e x ey ez x y z 2 ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2 2( y y)e y 2( z z )ez R 2 2 2 2 2 2 R 2 ( x x) ( y y) ( z z ) 2 ( x x) ( y y) ( z z )
矢量 A与 B 的夹角
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
（2）矢量的矢积（叉积）
数值大小： A B en AB sin 方向：右手螺旋法则
用坐标分量表示为 A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
0
有净的矢 量线进入
0
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
3、矢量场的散度 F
为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小 体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利 用极限方法得到这一关系：
3）当矢量场的方向为圆球面的法向或切向时，用圆球坐标表 示不但形式简单，而且形象，更易理解。
(完整版)矢量分析
矢量代数赵黎晨第一节 矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。
因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若 123(,,)a a a a =v123(,,)b b b b =v则 a v , b v的点乘(也称标量积)112233a b a b a b a b ⋅=++v v (cos a b b a a b α⋅=⋅=v v vv v v )a v ,b v的叉乘(也称矢量积))()()(122133113223321321321321b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==⨯ϖϖϖϖϖϖϖϖ 的大小b a ϖϖ⨯sin a b αvv ，α为a v , b v的夹角方向：既垂直于a ϖ，又垂直于b ϖ,与b a ϖϖ,满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性 a b b a ϖϖϖϖ⨯-=⨯2.三个矢量的混合积112233()()()()c a b c a b c a b c a b ⋅⨯=⨯+⨯+⨯v v v v v v v v v=)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+-几何解释:以c b a ϖϖϖ,,为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯v v v v v v v v v(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。
()()()()a b c a c b b a c c b a ⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯v v v v v v v v v v v v(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。
《矢量分析与场论》知识点归纳
⎢⎢a
y
⎥ ⎥
=
⎢⎢sinθ
sin
ϕ
⎢⎣az ⎥⎦ ⎢⎣ cosθ
cosθ cosϕ cosθ sinϕ
− sinθ
− sinϕ cosϕ
− sinϕ cosϕ
0
0⎤⎡aρ ⎤
0⎥⎥
⎢⎢aϕ
⎥ ⎥
1⎥⎦⎢⎣az ⎥⎦
（1-2-10）
如果矢量 A 是在圆柱坐标系给定的，根据式（1-2-10）
可以变换成直角坐标系的表达式，反之，若矢量 A 是在直角坐标系给定的，则根据式（1-2-9）
可以变换成圆柱坐标系的表达式。
P 沿 ρ 、ϕ 和 z 方向的长度增量分别为
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡sinθ ⎢⎢cosθ
cosϕ cosϕ
⎢⎣aϕ ⎥⎦ ⎢⎣ − sinϕ
sinθ sinϕ cosθ sinϕ
cosϕ
cosθ ⎤⎡ax ⎤
−
sin
θ
⎥ ⎥
⎢⎢a
y
⎥ ⎥
0 ⎥⎦⎢⎣az ⎥⎦
同样，将上式求逆即可得到由球坐标变换到直角坐标的关系式
（1-2-23）
⎡ax ⎤ ⎡sinθ cosϕ
矢量分析与场论
实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量 称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即 所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场； 如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空 间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该 场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
矢量相关物理知识点总结
矢量相关物理知识点总结矢量是描述物理量的一种数学工具，它可以用来表示物理量的大小和方向。
在物理学中，矢量被广泛应用于描述力、速度、加速度、位移等物理量。
在本文中，我们将总结矢量相关的物理知识点，包括矢量的基本概念、矢量的运算、矢量的坐标表示、以及矢量在物理学中的应用等内容。
一、矢量的基本概念1. 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。
在数学上，矢量可以表示为箭头，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量在物理学中有着广泛的应用，例如表示力、速度、加速度、位移等物理量。
2. 矢量的性质矢量有三个基本性质：大小、方向和起点。
矢量的大小表示为矢量的模，通常用|A|表示；矢量的方向表示为矢量的方向角，通常用θ表示。
起点是矢量的起始位置，通常用A表示。
3. 矢量的分解矢量可以分解为两个或多个分量矢量，分量矢量的和等于原始矢量。
矢量的分解可以帮助我们理解矢量的性质和运算规律。
二、矢量的运算1. 矢量的加法矢量的加法满足平行四边形法则，即两个矢量的和等于这两个矢量构成的平行四边形的对角线。
在坐标表示下，矢量的加法可以表示为A+B=(Ax+Bx, Ay+By)。
2. 矢量的减法矢量的减法可以看作是矢量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
在坐标表示下，矢量的减法可以表示为A-B=(Ax-Bx, Ay-By)。
3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。
数量积的结果是一个标量，表示为A·B=|A||B|c osθ。
4. 矢量的向量积矢量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的正弦值，并且方向垂直于这两个矢量所在的平面。
向量积的结果是一个矢量。
三、矢量的坐标表示1. 矢量的坐标分量矢量在笛卡尔坐标系中可以表示为一个有序实数对(x,y)，其中x表示矢量在x轴上的分量，y表示矢量在y轴上的分量。
关于矢量的总结
关于矢量的总结矢量，即向量，是物理学与数学中常用的概念。
它具有方向和大小，并可以用箭头来表示。
矢量在各个学科中都有广泛的应用，例如力学、物理学、工程学、计算机图形学等。
下面将对矢量的定义、性质、运算法则以及应用进行详细的总结。
一、矢量的定义与性质1. 定义：矢量是一个有向线段，它具有大小和方向。
用加粗的小写字母表示，例如 a、b。
2. 大小：矢量的大小是指矢量的长度，用绝对值表示，例如|a|。
3. 方向：矢量的方向由与其平行的无数直线所组成的集合表示。
4. 自由矢量与固定矢量：自由矢量表示一个具有大小和方向的箭头，可以平行移动而不改变其性质；固定矢量表示一个固定在空间中的点，它具有大小和方向，但不能平行移动。
5. 等于矢量：如果两个矢量的大小及方向都相等，则称它们是等于矢量，用等号表示，例如 a = b。
6. 相反矢量：如果两个矢量的大小相等，方向相反，则称它们是相反矢量，用负号表示，例如 -a。
7. 单位矢量：大小为1的矢量称为单位矢量，用小写的带一个“^”的字母表示，例如 a^。
二、矢量的运算法则1. 矢量的加法：矢量的加法满足交换律和结合律，即 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 矢量的减法：矢量的减法可以看作是加上相反矢量，即 a - b = a + (-b)。
3. 数量积（点积）：数量积是指两个矢量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，记作a·b，其结果是一个标量。
4. 向量积（叉积）：向量积是指两个矢量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，记作a×b，其结果是一个矢量。
5. 数量积和向量积的运算法则：数量积满足分配律和交换律，a·(b + c) = a·b + a·c，a·b = b·a；向量积不满足交换律，a×b = -b×a。
6. 混合积：混合积是指三个矢量的乘积的结果，记作(a×b)·c，其结果是一个标量，它表示一个平行六面体的体积。
矢量图形知识点总结
矢量图形知识点总结1. 矢量图形的特点矢量图形具有以下几个显著的特点：1) 无限放大缩小，不会失真：矢量图形是由数学公式来描述的，因此可以根据需要随意放大或缩小而不会失真，这是矢量图形的最大特点之一。
2) 文件大小小：由于矢量图形是以数学公式来描述的，因此文件大小一般比位图图形要小得多。
3) 可编辑性强：矢量图形是以数学公式存储的，可以方便地修改颜色、线条、形状等属性。
4) 不适合描述真实场景：由于矢量图形是以线段、曲线等基本图元来描述的，因此不适合用来描述真实场景。
2. 矢量图形的基本要素矢量图形的基本要素包括顶点、线段、曲线、填充等。
1) 顶点：顶点是矢量图形的基本构成单元，两个顶点之间可以通过线段或曲线相连，从而形成图形。
顶点包括坐标信息和属性信息。
2) 线段：线段是由两个顶点相连而成的直线，它可以是直线段，也可以是曲线段。
3) 曲线：曲线是由多个顶点相连而成的曲线，常见的曲线包括贝塞尔曲线、样条曲线等。
4) 填充：填充是对图形内部进行填充颜色或纹理，常见的填充方式包括纯色填充、渐变填充、图案填充等。
3. 矢量图形的表示方法矢量图形可以通过多种方式来表示，包括直角坐标系表示法、极坐标系表示法、参数方程表示法等。
1) 直角坐标系表示法：直角坐标系表示法是最常见的表示方法，它以直角坐标系为基础，使用x轴和y轴的坐标来描述顶点的位置。
2) 极坐标系表示法：极坐标系表示法是以极坐标系来描述顶点的位置，它使用极坐标(r,θ)来表示点的位置，其中r为半径，θ为角度。
3) 参数方程表示法：参数方程表示法是通过参数t来描述点的位置，点的坐标可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别是参数t的函数。
4. 矢量图形的常见应用矢量图形在很多领域都有广泛的应用，包括计算机图形学、图形设计、工程制图等。
1) 计算机图形学：矢量图形在计算机图形学中被广泛应用，它可以用来描述几何图形，进行图形变换、光照、渲染等。
关于矢量的总结
1.2 矢量1.2.1 矢量、矢量基与基矢量(1)几何矢量定义(2) 几何矢量的运算(3)几何矢量的运算性质(4)一些有用的公式(5)矢量基(简称基)矢量基的定义与基矢量的右旋正交性基的矢量列阵的表达，矢量列阵的运算1.2.2 矢量的代数描述(1) 矢量在某基下的代数表达、坐标阵与坐标方阵(2) 矢量坐标阵的矩阵表达形式(3) 矢径的定义；矢量与矢径间的关系(4)几何矢量的运算与在同一个基下的坐标阵运算间的关系。
1.2.3 矢量的导数(1) 矢量对时间导数的定义，矢量在某基下对时间导数的定义(2) 在某基下矢量导数的运算与其坐标阵导数运算间的关系几何矢量定义矢量是一个具有方向与大小的量。
它的大小称为模，记为，或简写为a。
模为 1 的矢量称为单位矢量。
模为0的矢量称为零矢量，记为。
矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模，箭头在某一空间的指向为它的方向。
利用这种方式描述的矢量又称为几何矢量。
几何矢量的运算矢量相等模相等、方向一致的两矢量与称为两矢量相等，记为(1.2-1)标量与矢量的积标量α与矢量的积为一个矢量，记为，其方向与矢量一致，模是它的α倍，即(1.2-2)矢量的和(平行四边形法则)(a)(b)图1-1 几何矢量运算两矢量与的和为一个矢量，记为，即(1.2-3)它与两矢量与的关系遵循如图1-1a的平行四边形法则矢量的点积(标积)两矢量与的点积(或称为标积)为一个标量，记为α，它的大小为(1.2-6)其中θ为两矢量与的夹角。
如果已知两矢量的点积，可以由上式计算两矢量夹角，即特殊情况，，此时α =0，有，即矢量自身的点积为其模的平方。
有时也简写为。
矢量的叉积(矢积)两矢量与的叉积(或称为矢积)为一个矢量，记为，即(1.2-8)它的方向垂直于两矢量与构成的平面，且三矢量、、的正向依次遵循右手法则(见图1-1b)。
定义矢量的模为(1.2-9)其中α为两矢量与的夹角。
几何矢量的运算性质加法运算遵循结合律与交换律矢量的和运算遵循结合律与交换律，即有结合律：(1.2-4)交换律：(1.2-5)矢量的点积的交换律矢量的点积有交换律，即(1.2-7)矢量的叉积无交换律矢量的叉积无交换律，但有(1.2-10)矢量的点积与叉积的分配律矢量的点积与叉积有分配律，即(1.2-11)(1.2-12)一些有用的公式由矢量的基本运算可以得到如下常用的较复杂的运算关系式：(1.2-13)(1.2-14)式(1.2-13)左边称为三矢量的两重叉积，式(1.2-14)左边称为三矢量的混合积。
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用，因此 f f 。
标量场的梯度
此外，在不同坐标系中，算子具有不同的表达形式。 q 3 2 【例1】求标量场 f ( r ) x y z 和 ( r ) 的梯 4 0 r 度。 解： f f i f j f k 3x 2 i 2 yj k
1 1 R ( x x) ( ) 2 x R R x R3
1 1 1 1 因此，( ) ( )e x ( )e y ( )e z R x R y R z R ( x x)ex ( y y)e y ( z z )e z eR R 3 2 3 R R R
(en A) en A An en
S A
en
An
AT = en A At
如果单位矢量为一平面的法向，则矢量与该法向 单位矢量的叉积表达矢量在平面上的切向信息。
(en A) en A An en At
3．坐标系
• 三种常用的正交坐标系
z
z
ez ez
ey
er
e
dx d y dS x ex dydz
y
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
• 圆柱坐标系
坐标变量 坐标单位矢量
, , z
e , e , ez
位置矢量
线元矢量
r e e z z
dl e d e d ez dz
圆柱坐标系
面元矢量 dS e ddz e ddz ez dd 体积元
⑥ 法向单位矢量与切向单位矢量：en，et
法向分量：An 切向分量：At
2．矢量代数
（1）点乘（标积）：(做功）
u A B AB cos
• • •
A∥B 时取最大值。 A⊥B A B 0 ，矢量A与B正交。 矢量的投影（分量）：AB A eB 。
法向分量 An A en 。
有时用 ex e y ez 表示函数对点 r 的导数。
x y z
R ( x x) R 2 2 2 (x x ) ( y y ) (z z ) x x R x
更一般地有
f ( R) f ( R) x x
螺线管线圈磁力线
矢量的面积分、通量
（2）矢量场的面积分、通量
① 面积元 dS
面积元
② 通量：矢量的面积分
称作矢量 A 穿过曲面 S 的通量。例：
B dS
S
I J dS
S
通量
通量与散度
（3）高斯散度定理、散度
① 回忆高等数学中的高斯公式：
P Q R V ( x y z )dV S Pdydz Qdzdx Rdxdy
e
e
y
r
e
ex
x
直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
• 直角坐标系
坐标变量
z z z0 （平面 ）
x, y, z
ex , e y , ez
x
ex
o
ez
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
坐标单位矢量
y
y y0（平面）
位置矢量 线元矢量
r ex x e y y ez z
4．标量场的梯度
（1）标量场的图形表示——等值面
地形图与等高线
f (r ) const
标量场的图示
—— 绘制场图（草图）是工程电磁场中最重要和最 常用的分析方法之一，也是最基本的技能。
电场等位线（面）
标量场的梯度 （2）梯度的概念
标量函数 f ( x, y, z ) 的微分为
f f f df dx dy dz x y z
ey y Ay ez z Az
2 f 2 f 2 f f f (ex e y e z ) (e x e y ez ) f 2 2 2 x y z x y z x y z
有一种情况例外：微分操作只对它右边的表达式发生作
dl ex dx e y dy ez dz
x x0 （平面）
直角坐标系
面元矢量 dS ex dydz e y dzdx ez dxdy
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
体积元
dV dxdydz
o x
距离矢量 R r r ( x x)ex ( y y)e y ( z z)ez
1 。 个不同的点，R r r 表示其距离矢量。求 R 解：R ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
R ( x x) 2 2 2 (x x ) ( y y ) (z z ) x x R
f G dl
l
函数的微分表 示空间位置发 生小的变化时 函数值的增量
f f f ( ex e y ez ) (ex dx e y dy ez dz ) x y z
f f f ，则 定义： df G dl G ex e y ez x y z
第2 章
1 2 3 4 5 6 7源自矢量分析关于矢量的一些约定 矢量代数 坐标系 标量场的梯度 矢量面积分，通量与散度 矢量线积分，环量与旋度 亥姆霍兹定理
1．关于矢量的一些基本约定
——为了撰写科技论文、报告的规范性，我们做一些 约定。遵守这些约定，会让人觉得你训练有素。
① 矢量的记法：
印刷打印：矢量 A，B，E； 标量 u，f
x y
f f f G ex e y ez x y z
z
f f f 梯度简写为：G ex e y ez f x y z
叫做哈密顿算子，读做 del 或 nabla。它是
一个矢量微分算子。在直角坐标系中，多数情况下，
可以当作一个普通矢量那样参与运算。例如：
手 写 ： 矢量 A, B, E 等；
② 矢量的模（绝对值）： A A
A ③ 单位矢量：e A(或) A ；相应的 A Ae A A
0
关于矢量的基本约定
④ 坐标单位矢量 ：
直角坐标系 (x, y, z) ：ex , ey , ez ；
⑤ 矢量的坐标分量表示：
A Ax ex Ay e y Az ez
• 直角坐标系中的计算公式：
A B Ax Bx Ay B y Az Bz
矢量乘法
（2）叉乘（矢积）（洛伦兹力）
C A B ＝> C AB sin ，
方向满足右手定则。(ex ,ey ,ez ,ex ,ey) • A⊥B 时有最大模值。
• •
A∥B A B 0 。 直角坐标系中的计算公式：
ex A B Ax Bx ey Ay By ez ( Ay Bz Az By )e x Az ( Az Bx Ax Bz )e y Bz ( Ax By Ay Bx )ez
矢量乘法
• 矢量与单位矢量叉积，给出矢 量的横向信息：
AT en A en At
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
• 球坐标系
坐标变量
r , ,
r er r
dl er dr e rd e rsin d
球坐标系
坐标单位矢量 er , e , e 位置矢量 线元矢量
面元矢量
dS er r 2sin d d e rsin drd e rdrd
体积元
dV r 2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
坐标系
• 在各种坐标系中，直角坐标系是唯一一种方向不变的
坐标系。
• 原则上，所有问题都可以使用直角坐标系描述。但是
根据问题的不同类型，选取不同的坐标系可能更方便，
例如用圆柱坐标系描述轴对称问题，用球坐标系描述 球对称问题等。 • 直角坐标系中的运算公式要求熟练掌握；其它坐标系 要求会用，不同坐标系中的转换关系可以查表解决。
1 1 1 1 因此， ( ) ( )e x ( )e y ( )e z R x R y R z R 1 R eR ( ) 3 2 R R R
5．矢量的面积分、通量与散度
（1）矢量场的场图——矢量线
A dl 0
电荷与接地金属球之间的电力线
梯度是这样的一个矢量，它与位移的点乘给出标
量的变化。（ dl e dx e dy e dz ） x y z
标量场的梯度
df G dl
（3） 梯度的物理意义和性质
回顾： df ( x ) f ( x )dx • • 梯度就是导数，就是变化率; 梯度指向函数变化最快的方向;
•
• •
方向导数等于梯度与方向单位矢量的点积（投影） f df G dl G el dl Gl dl Gl l 梯度是所有可能的方向导数中取值最大的那个；
梯度G 垂直于函数的等值面;
标量场的梯度 （4）梯度的计算， 算子
引进符号： e e e x y z
令： A ex P e y Q ez R （ dS ex dydz e y dzdx ez dxdy）
高斯散度定理： AdV A dS
V S
矢量的记法真是简洁又明快！
标量场的梯度
散度
ex A ( e x e y e z ) ( Ax e x Ay e y Az ez ) x y z x Ax 拉普拉斯运算
2
Ax Ay Az A (e x e y ez ) ( Ax ex Ay e y Az ez ) x y z x y z 旋度