b确定一次函数表达式(图像)
一次函数的图像和性质
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。
《用二元一次方程组确定一次函数表达式》优秀ppt课件
间的关系，观察图象，回答下列问题： L2
（1）途中乙发生了什么事？ s
（2）他们几时相遇？
L1
P
D
12
E
10
AB
8
0 0.5 1 1.2
t
10
例：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定 质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行 李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，现 知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，王华 带了90千克的行李，交了行李费10元 （1）写出y与x之间的函数表达式 （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
s 与t 之间的关系图象， 20 找出交点的横坐标就行了！
0
11 22(A)33 4 t
7
用方程 解 行程问题
A、B 两地相距150千米，
1 时后乙距A地
甲、乙两人骑自行车分别从A、
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数. 1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
12
2、仿例题，做习题， 完成P127的随堂练习1－2题。
13
课堂检测
1.已知一次函数 y kx 5与y 3x b的图象 交点为 P(2,3), 则k _1__, b -_9__ . 2.已知一次函数 y 2x a与y x b的图象都 经过点 A(2,0), 且与 y轴分别交于 B, C两点,则
5.7 用二元一次方程组确 定一次函数表达式
1
任意一个二元一次方程都可以转 化成y=kx+b的形式,所以每个二 元一次方程都对应一个一次函数.
初中数学知识点精讲精析 确定一次函数的表达式
4 确定一次函数的表达式学习目标1. 了解两个条件确定一次函数。
2. 能根据所给信息（图像、表格、实际问题等）确定一次函数的表达式。
知识详解1．确定一次函数表达式（1）借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx（k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式。
（2）确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx（k≠0）中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式。
②一次函数y＝kx＋b（k≠0）有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值。
用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b（k≠0）的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式。
2．待定系数法（1）定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数。
（2）用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式。
【典型例题】例1：一次函数图象如图所示，求其解析式．【答案】设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点(0，－2)，∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.∵一次函数图象过点(1,0)，∴0＝k×1＋b，∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.【解析】利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式。
一次函数的图像和性质
图象关系 图象平移得到，b>0，向上平移 b 个单位；b<0，向
下平移b个单位
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直 线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可
第14讲┃ 考点聚焦
(2)正比例函数与一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限
k>0
_一__、__三__象__限_
一次函数图象的
解即两函数图象的交点坐标
交点坐标
一条直线与坐标 轴围成的三角形
的面积
直线y＝kx＋b与x轴交点坐标为－bk，0，与y轴交
点为(0，b)，三角形面积为S△＝12－kb
×
|b|
第14讲┃ 考点聚焦 考点5 由待定系数法求一次函数的表达式
因在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知系数k和b，所 以要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点
图 11－1
B．m<1
C．m<0
D．m>0
[解析] 根据函数的图象可知m－1＜0，求出m的取 值范围为m＜1.故选B.
第14讲┃ 归类示例
► 类型之二 一次函数的图象的平移 命题角度： 1．一次函数的图象的平移规律； 2．求一次函数的图象平移后对应的关系式． [2012·衡阳] 如图11－2，一次函数y＝kx＋b的图
y随x增 大而增大
_一__、__二__、__四__象__限__ _二__、__三__、__四__象__限__
y随x增 大而减小
第14相交
__k_1_≠__k_2_⇔l1 和 l2 相交
＋b1 和 l2：y＝k2x 平行 ＋b2 的位置关系
y＝kx (k≠0)
k<0
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式
求出一次函数的表达式是数学练习题中常见的提问方式，下面介绍一下确定一次函数的表达式的三种方法。
用待定系数法确定一次函数解析式
待定系数法是确定一次函数的表达式最常用的方法，解题步骤包括“一设、二列、三解、四写”，具体内容如下：
1、根据题中所给的已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
2、将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
3、解方程得出未知系数的值；
4、将得到的待定系数代回所求的函数关系式中就可以得到该函数的解析式。
用图像平移法确定一次函数表达式
一次函数的图像在平移时的规律为：直线在平移的倾斜率不变，即k的值保持不变。
当b>0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像；当b<0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移∣b∣个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。
根据直线的对称性确定一次函数表达式
关于y轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx+b
（k≠0）；关于x轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx-b （k≠0）；关于原点对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=kx-b （k≠0）。
以上为同学们介绍了确定一次函数的表达式的三种方法，同学们都掌握了吗？其中待定系数法的应用是较为广泛的，同学们一定要学好，利用图像来确定一次函数的表达式属于较为灵活的方法，可以用在选择填空中快速确定答案。
北师版八年级数学上册精品教学课件 第四章 一次函数 第1课时 确定一次函数的表达式
练一练
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l 的表达式.
解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的表达式为y=-2x+2.
例3：正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的 表达式．
解：设y=kx+b(k≠0) 由题意得：14.5=b, 16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5. 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5. 当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）.
故当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
归纳总结
解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系， 并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b2的图象上，
∴－ ＝5 b，
代入3＝24k2＋b中，得k2＝ . ∴一次函数的表达式为y2＝ x－
11
8
.
11
8
5 2
做一做
某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余 油量y（L）与工作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数图象如图 所示. （1）求y关于x的函数表达式；
解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的 表达式为y2＝k2x＋b. ∵点A(4，3)是它们的交点，
∴代入上述表达式中，
得∴k31＝＝4k1，，43 3＝4k2＋b. 即正比例函数的表达式为y＝ x.
3
4
∵OA＝
一次函数课件ppt
奇偶性
一次函数既不是奇函数也不是偶函数 ，因为它们的图像不关于原点或 y 轴 对称。
02 一次函数的表达式与系数
一次函数的表达式
01
一次函数的一般表达式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常 数，且 $a neq 0$。
02
当 $a > 0$ 时，函数为增函数； 当 $a < 0$ 时，函数为减函数。
已知函数与$x$轴和$y$轴的截距，使用截 距式$y = frac{x}{a} + frac{b}{a}$求函数解 析式。
一次函数的解题技巧
数形结合
利用函数图像直观理解 函数性质，如增减性、
最值等。
整体代入
在求解过程中，将表达 式整体代入，简化计算
。
分类讨论
根据不同情况分类讨论 ，得出不同情况下的函
斜率与图像
斜率决定了图像的倾斜程 度，当 a > 0 时，图像向 右倾斜；当 a < 0 时，图 像向左倾斜。
一次函数的性质
单调性
无界性
一次函数的单调性由斜率决定，当 a > 0 时，函数单调递增；当 a < 0 时 ，函数单调递减。
一次函数的值域是全体实数，即对于 任意实数 x，y = ax + b 总有一个对 应的值。
一次函数的系数
一次函数的斜率为 $a$，表示函数图 像的倾斜程度。
当 $a > 0$ 时，函数图像从左下到右 上倾斜；当 $a < 0$ 时，函数图像从 左上到右下倾斜。
一次函数的应用
一次函数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
在实际生活中，一次函数可以用来描述一些简单的问题，如速度与时间的关系、 价格与数量的关系等。
一次函数概念、图象与性质
描点法步骤：首先确定两个点， 然后通过这两点绘制直线。通常 选择函数与坐标轴的交点作为描
点。
一次函数与x轴交点为(-b/k, 0)， 与y轴交点为(0, b)，其中k为斜
率，b为截距。
斜率对图象影响
斜率k决定了直线的倾斜程度。当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右 下方倾斜。
|k|的大小决定了直线的倾斜角。|k|越大，倾斜角越大，直线越陡峭；|k|越小，倾斜 角越小，直线越平缓。
边际收益分析
利用一次函数描述收益与 销量之间的关系，分析边 际收益。
边际利润决策
根据边际成本和边际收益， 确定最优产量和价格策略。
物理学中运动规律描述
匀速直线运动
通过一次函数表示位移与时间的 关系，描述匀速直线运动规律。
匀变速直线运动
利用一次函数表示速度与时间的关 系，分析匀变速直线运动过程。
自由落体运动
线性关系判断
判断方法
通过观察数据点是否大致分布在一条直线上来判断两个变量之间是否存在线性 关系。
线性关系特点
若两个变量之间存在线性关系，则它们的变化趋势是一致的，即当一个变量增 加时，另一个变量也相应地增加或减少。
02 一次函数图象绘制
直角坐标系中通过在直角坐标系中描点法绘
截距和斜率共同决定了直线的 位置和方向。不同的截距和斜 率组合可以得到不同的直线方 程和图象。
03 一次函数性质分析
单调性
一次函数在其定义域内具有单调性。具体来说，当一次函数的斜率k>0时，函数 在整个定义域内单调递增；当k<0时，函数在整个定义域内单调递减。
一次函数的单调性可以通过其图象直观地反映出来。在平面直角坐标系中，当 k>0时，函数的图象是一条从左下方到右上方的直线，表示函数值随x的增大而 增大；当k<0时，函数的图象是一条从左上方到右下方的直线，表示函数值随x 的增大而减小。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而确定一次函数的表达式，则是我们能够顺利通过这座桥梁，解决各种实际问题的关键钥匙。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（其中 k、b 是常数，k ≠ 0）。
这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度；b 则是截距，也就是函数图像与 y 轴的交点。
要确定一次函数的表达式，实际上就是要找出 k 和 b 的值。
那怎么来找呢？通常有两种常见的方法：待定系数法和利用函数图像的特征。
先说待定系数法。
假设我们知道一次函数上的两个点的坐标，比如（x₁, y₁）和（x₂, y₂），把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就可以得到一个关于 k 和 b 的方程组。
举个例子，如果已知点（1, 3）和（2, 5）在某个一次函数上，那么把（1, 3）代入函数表达式得到 3 ＝ k×1 ＋ b，即 k ＋ b ＝ 3；把（2, 5）代入得到 5 ＝ k×2 ＋ b，即 2k ＋ b ＝ 5。
接下来解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值。
从第一个方程 k ＋ b ＝ 3 可以得到 b ＝ 3 k，把它代入第二个方程2k ＋ b ＝ 5 中，就有 2k ＋ 3 k ＝ 5，解得 k ＝ 2。
再把 k ＝ 2 代入 b＝ 3 k ，得到 b ＝ 1。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1。
再来说说利用函数图像的特征来确定表达式。
如果我们能从图像中直接看出函数与 y 轴的交点，那这个交点的纵坐标就是 b 的值。
而斜率 k 呢，可以通过图像上任意两个点的坐标来计算。
比如说，函数图像与 y 轴交于（0, －2），并且还经过点（2, 4）。
那么 b ＝－2，而斜率 k ＝（4 （－2））÷（2 0）＝ 3 。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 3x 2 。
在实际应用中，确定一次函数的表达式非常有用。
确定一次函数表达式四法
确定一次函数表达式四法一、 定义确定法例1、己知()3221-+-=-k xk y k 是关于x 的一次函数，则这个函数的表达式为二、 待定系数法 例2、若一次函数b kx y +=的图象经过A （一1，一5）B （2，1）两点，求该一次函数的解析式．例3、己知直线b kx y +=与直线x y 3=平行且过点A （1，一5），求该直线的解析式例4、己知一次函数b kx y +=的图象经过A （3，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个函数的解析式．三、 方程式确定法 ．例5、如图Rt △ABC 中，∠C =︒90，BC =6，AC =8，点P 是AC 上一动点AP BC AB PQ ⋅=⋅，P Q ⊥AB 于Q ，设PC =x ，P Q=y 求y 与x 之间的函数关系式，并分别指出x 与y 的取值范围．四、 算式确定法例6、某电信公司手机A 类收费标准是：月租费18元，另外，每通话1分钟收费0.7元．（1） 写出每月应缴费用y 元与通话时间x （分）之间的函数关系式（2） 如果小明的手机10月份通话时间是82分钟，它应缴费多少元？实际问题中一次函数图象例1 两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据如图1中给出的数据信息，解答问题：(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y (cm)与饭碗数x (个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度.例2今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图2所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用 户该月用了多少度电？例3、小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，收入50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共收入70元．已知在降价前销售收入y （元）与销售重量x （千克）之间成正比例关系．请你根据以上信息解答下列问题：（1）求降价前销售收入y （元）与售出草莓重量x （千克）之间的函数关系式；并画出其函数图象；（2）小强共批发购进多少千克草莓？小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元？图2图1例4、某种形如长方体的2000毫升盒装果汁，其盒底面是边长为10cm的正方形，现从盒中倒出果汁，盒中剩余果汁的体积y（毫升）与果汁下降高度x(cm)之间的函数关系如图所示（盒子的厚度不计）．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若将满盒果汁倒出一部分，下降的高度为15cm，剩余的果汁还能够倒满每个容积为180毫升的3个纸杯吗？请计算说明．例5、恩施山青水秀，气候宜人.在世界自然保护区星斗山，有一种雪白的树蟋蟀，人们发现他15秒钟所叫次数与当地温度之间满足一次函数关系.下面是蟋蟀所叫次数与温度变化（1（2）在该地最热的夏天，人们测得这种蟋蟀15秒钟叫了50次，那么该地当时的最高温度大约为多少摄氏度？。
一次函数的图像(解析版)
5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线； 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（ ） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限 【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误； 当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案． 【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>， 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误； 将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标． 【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=， 解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+， 解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，； 故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（ ）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=， 即2224(8)x x +=-， 解得：3x =， ∴(0,3)M ， 又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______． 【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解． 【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限， 可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______． 【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可． 【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称， 则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6． 故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <， 故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______． 【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（） ， 两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______． 【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围． 【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2； 当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ． （1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可． 【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-． 故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点． 若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可； （3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可． 【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=， 解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠， 解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值． 【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值； （2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =， 故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+， 将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =， 故函数的解析式为：132y x =+， 故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-， 设直线1l 的解析式是1y k x =， 则可得：124k =， 解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =， 把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+． 【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由． 【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可； （2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+； （2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下： 对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标． 【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标； （2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可． 【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，， 令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标． 【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断； （2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”； （2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，； （3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=， 解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是 ；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是 ，n 的值是 ．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； 故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； （5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。
一次函数的图象(描点)
一次函数的表示方法
01
02
03
点斜式
通过已知的点$(x_1, y_1)$和斜率$k$，可以表 示为$y-y_1=k(x-x_1)$。
两点式
通过已知的两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，可 以表示为$frac{y-y_1}{xx_1}=frac{y_2-y_1}{x_2x_1}$。
一般式
一次函数的标准形式为 $y=kx+b$，其中$k$和 $b$是常数，且$k neq 0$。
02 一次函数的图象
一次函数图象的形状
线性形状
一次函数的图像是一条直线，这是因为一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k 和b为常数，k不为0。
斜率与截距
一次函数的图像有确定的斜率和截距，斜率是k，截距是b。斜率决定了图像的 倾斜程度，截距决定了图像与y轴的交点位置。
实际问题举例
一次函数图象在经济学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在经济学中， 消费和收入之间的关系可以用一次函数来表示，通过分析这种关系可以了解消费者的消
费习惯和预测未来的消费趋势。
应用价值
一次函数图象能够直观地表示两个变量之间的线性关系，帮助人们更好地理解和分析实 际问题。
对未来研究的展望
一次函数图象可以用来描述物体在恒力作用下的匀速直线运 动，如速度与时间的关系。
弹簧问题
弹簧的伸长量与作用力之间的关系也可以用一次函数来表示 ，通过图象可以直观地分析弹簧的弹力与形变量之间的关系 。
一次函数图象在数学问题中的应用
线性规划
一次函数图象可以用来表示线性规划 问题中的约束条件和目标函数，通过 图象可以直观地分析最优解。
一次函数的图象(描点)
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数是我们经常会遇到的重要概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也能帮助我们解决许多问题，比如计算成本、预测趋势等等。
而要有效地运用一次函数，首先我们得学会确定它的表达式。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是截距。
确定一次函数的表达式，关键就在于求出 k 和 b 的值。
那怎么求呢？最常见的方法就是利用给定的条件来建立方程组，然后求解。
比如说，已知一次函数经过两个点的坐标，（x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
我们把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就能得到两个方程：y₁＝ kx₁＋ by₂＝ kx₂＋ b这样就组成了一个关于 k 和 b 的二元一次方程组，通过解方程组，就能求出 k 和 b 的值，从而确定一次函数的表达式。
举个例子，已知一次函数经过点(1, 3)和(2, 5)。
我们把这两个点代入表达式中：对于点(1, 3)，有 3 ＝ k × 1 ＋ b ，即 k ＋ b ＝ 3 ①对于点(2, 5)，有 5 ＝ k × 2 ＋ b ，即 2k ＋ b ＝ 5 ②用②①，得到：2k ＋ b （k ＋ b) ＝ 5 32k ＋ b k b ＝ 2k ＝ 2把 k ＝ 2 代入①式，得到 2 ＋ b ＝ 3，b ＝ 1所以，这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1 。
除了已知两个点的坐标这种情况，有时候我们还会遇到已知函数图像与坐标轴的交点来确定表达式。
比如，已知一次函数图像与 x 轴交于点(a, 0)，与 y 轴交于点(0, b)。
那么，把这两个点代入表达式 y ＝ kx ＋ b 中，可得：0 ＝ ka ＋ b ③b ＝ 0 × k ＋ b ，即 b ＝ b ④由③式可得 b ＝ ka，将其代入④式，就可以求出 k 的值，进而求出b 的值，确定函数表达式。
另外，如果给定的条件是关于函数的斜率和一个点的坐标，那确定表达式就更简单了。
一次函数的图象及表达式
确定一次函数的表达式1、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>02、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为与y轴交点坐标为(0，b)．3、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.4、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求x、y例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？5、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1≠b2 （2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.8、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.。
一次函数的图像课件
图像是一条直线，其上每一个点 的坐标 $(x, y)$ 都满足该函数的 解析式。
解析式中参数对图像的影响
$k$ 的影响
当 $k > 0$ 时，图像为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下降直线。
$b$ 的影响
当 $b > 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于 正半轴；当 $b < 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于负半轴。
如果将一次函数的x替换 为x+h（h>0），则图 像向左移动h个单位。
如果将一次函数的x替换 为x-h（h>0），则图像
向右移动h个单位。
03 一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
一次函数在经济学中的应用
一次函数可以用来描述经济活动中的关系，例如成本与产量的关 系、价格与需求的关系等。
一次函数在物理学中的应用
截距
一次函数的截距为b，表示函数图像 与y轴的交点。当b>0时，交点在y轴 的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的 负半轴上。
一次函数图像的平移
上平移
下平移
左平移
右平移
如果一次函数的b值增加 （即向上平移），则图 像向上移动相应的距离。
如果一次函数的b值减小 （即向下平移），则图 像向下移动相应的距离。
在物理学中，一次函数可以用来描述线性关系，例如速度与时间的 关系、力与位移的关系等。
一次函数在统计学中的应用
在统计学中，一次函数可以用来拟合数据，例如线性回归分析等。
一次函数在数学题目中的应用
一次函数在代数题中的应用
在代数题目中，一次函数可以用来解决方程和不等式问题，例如求解一元一次方 程、一元一次不等式等。
描点，最后将这些点连接成一条直线。
一次函数图像及其性质
一次函数图像及其性质一、一次函数图像1、一次函数y=kx+b 的k 、b 的值对一次函数图象的影响：① ② ③ ④①k ﹥0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、三象限；②k ﹥0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在一、三、四象限； ③k ﹤0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、四象限；④k ﹤0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限。
2、一次函数的性质⑴正比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过一、三象限，y 随x 的增大而_增大__； 当k<0时，图象过__二、四__象限；y 随x 的增大而_减小___.⑵一次函数y=kx ＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y 随x 的增大而_增大_； 当k<0时，y 随x 的增大而__减小_k>0时，k 越大，y 增长得越快；k<0时，k 越大，减小得越快；⑴在一次函数y=kx ＋b 中，令y=0，得一元一次方程kx ＋b=0，它的根就是一次函数y=kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标.⑵一元一次不等式kx ＋b>0(或kx ＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx ＋b 当函数值大于或小于0时相应的自变量x 值的取值范围.⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解.题型考点一：一次函数的增减性例1、已知关于x 的一次函数2(3)2y m x m =-++-．(1) m 为何值时，函数的图象和直线y=－x 平行? (2)m 为何值时，y 随x 的增大而减小？【变式】已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？ （2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？ （4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=x ？ （5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？题型考点二：一次函数图像与象限关系例2、直线y=x+b （b>0）与直线y=kx （k<0）的交点位于（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【练习】若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y=ax+b 的图象可能是（ ）题型考点三：一次函数图像的交点例3、如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（） A 、-5 B 、-2 C 、3 D 、5【练习】如图，直线l ：233y x =--与直线y a =（a 为常数）的交点在第四象限， 则a 可能在（）A 、1<a<2B 、-2<a<0C 、32a -≤≤-D 、-10<a<-4二、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
八年级数学一次函数的图象和性质
描点作图
将计算出的点在坐标轴上 标出，并使用平滑的曲线 连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数 值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自 变量变化的速率，斜率k>0时， 函数值随自变量增大而增大；斜 率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第 二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函 数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增 函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用
一次函数的表达式与图象
二、图象
b 1、一次函数的图象是一条过点（0，b）和（ ， 的直线。 0） k
思考： 一次函数的图象 和正比例函数的 图象有什么关系？
观察：下面两个解析式有什么相同之处？
y 2x
y 2x 3
比例系数相同
y
7 6 5 4 3
y 2x 3
y 2x
两条直线有什么样的 位置关系？
下课了!
研究函数
解析式
图象
性质
正比例函数
一般地，形如 y = kx （k 是常数，k ≠ 0） 的函数，叫 做正比例函数。k 叫做比例系数。
我市出租车起步价是 7 元（路程小于或等于2千米），超过 2 千米，每增加1千米，加收 1.6 元，请写出出租车车费 y（元） 与行程 x（千米）之间的函数关系式。
二、图象
y
7 6 5 4 3
y 2x 3
y 2x 3
1、列表
x y
-2 -1 -1 1
0 3
1 5
2 7
2 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1
-2
1
2
3
4
5
6
x
-3
2、描点 3、连线
-4 -5 -6 -7
y 2x 3
x y
x y
-2 -1 -1 1
0 3
判断对错： ①所有的正比例函数都是一次函数 ②所有的一次函数都是正比例函数
练习
（1）若 y (m 1 ）x m1 3 是一次函数，则m=________ 。 2
（2）若 y (m 2) x n1 1 是正比例函数，则n_______ =2 ， m______ ≠2 。
初中数学 如何通过函数方程确定一次函数的图像
初中数学如何通过函数方程确定一次函数的图像要通过函数方程确定一次函数的图像，我们可以按照以下步骤进行操作。
首先，我们需要了解一次函数的一般形式y = mx + b，其中m 表示斜率，b 表示y 轴截距。
步骤一：确定斜率和截距根据给定的函数方程，我们可以确定一次函数的斜率和y 轴截距。
例如，对于方程y = 2x + 1，斜率为2，截距为1。
步骤二：绘制坐标系在纸上或计算机上绘制一个坐标系，包括x 轴和y 轴。
根据具体的题目要求，确定坐标系的范围和刻度。
步骤三：确定两个点选择两个x 值，可以是任意的实数，然后根据函数方程计算对应的y 值。
例如，对于方程y = 2x + 1，我们可以选择x = 0 和x = 2。
当x = 0 时，y = 2(0) + 1 = 1，所以我们得到第一个点(0, 1)。
当x = 2 时，y = 2(2) + 1 = 5，所以我们得到第二个点(2, 5)。
步骤四：绘制直线在坐标系上，根据确定的两个点，画一条直线。
通过这两个点，我们可以确定直线的斜率和截距，从而画出准确的直线。
对于方程y = 2x + 1，我们已经确定了两个点(0, 1) 和(2, 5)。
我们可以将这两个点用直线连接起来，形成一条斜率为2，截距为1 的直线。
步骤五：确定图像的范围和形状根据所求的一次函数方程，确定图像的范围和形状。
一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距决定了直线的倾斜程度和位置。
例如，对于方程y = 2x + 1，由于斜率为正数2，表示直线向上倾斜，并且截距为正数1，表示直线与y 轴相交于(0, 1)。
因此，我们可以确定图像是一条从左下方向右上方倾斜的直线，与y 轴相交于(0, 1)。
通过以上步骤，我们可以通过给定的函数方程确定一次函数的图像。
通过绘制直线，我们可以更直观地理解函数的性质和行为。
希望以上内容能够帮助你理解如何通过函数方程确定一次函数的图像。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、填空
1、正比例函数y=kx 的图象过点（3，-2），则k= 该函数的表达式为：
2、若一次函数y=5x+m 的图象过点（-1，0），则m=
3、一次函数图象如图1所示，则函数关系式是
4、请你写出一个图象经过点(0，2)，且y 随x 的增大而减小的一次函数解析式 。
二、选择题：
5、已知一次函数的图象与直线y= -x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为： （ ）
A 、y=2x-14
B 、y=-x-6
C 、y=-x+10
D 、y=4x
6、一次函数y=ax+b ，若a+b=1，则它的图象必经过点（ ）
A 、(-1,-1)
B 、(-1, 1)
C 、(1, -1)
D 、(1, 1)
三、综合题：
7、已知一次函数的图象过点M(3,2),N(－1,－6)两点.
(1)求函数的表达式；
(2)画出该函数的图象.
(3)求出该直线与x 轴y 轴所构成三角形的面积
8、已知y+2与x-1成正比例，且x=3时y=4。
(1) 求y 与x 之间的函数关系式；
(2) 当y=1时，求x 的值。
9、在直角坐标系中，判断A(2,0),B(0,2),C （-1,3)是否在一次函数y=kx+b 这条直线上。
-2 0 -1y
x （图1）
10、已知一次函数的图像经过点P(0,2),且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，求一次函数的表达式。
11．已知直线m经过点（0,3）和（－2,6）
（1）试确定m的函数解析式并画出图象
（2）求直线m与两坐标轴围成的图形的面积
（3）现有直线n与m平行，且点（4,12）在直线n上，求直线n与x、y轴的交点坐标（4）试问：在直线n上是否存在着这样的一点P，使得它到x轴的距离与它到y轴的距离之比为3:2，若存在，请写出P的坐标；若不存在，简洁说明理由.。