三 直线的参数方程
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
第二讲 三直线的参数方程
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ， 4 3 3 4 设直线的倾斜角为 α，则 tan α＝ ，sin α＝ ，cos α＝ . 4 5 5 又∵点 P(1,1)在直线 l 上， 4 x＝1＋5t， ∴直线 l 的参数方程为 (t 为参数)． 3 y＝1＋5t ∵3×5－4×4＋1＝0，∴点 M 在直线 l 上． 4 由 1＋ t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 5 ∵点 N 不在直线 l 上，∴根据两点之间的距离公式，可 得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34. 返回 金品质•高追求 我们让你更放心！
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆ 解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其
直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4. 直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝ |－2－4|＝3 2.
2
所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
(2)如图所示，点 B 在 l1 上，只要求出点 B 对应的参数值 t，则|t|就是点 B 到点 A 的距离． 把 l1 的参数方程代入 l2 的方程中，得 1 3 － 4 ＋ t － 2 － t ＋1＝0， 2 2 3＋ 1 即 t＝ 7 ， 2 14 ∴t＝ ＝7( 3－1)． 3＋1 ∵t 为正值，∴|AB|＝7( 3－1)．
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
高中数学2-3直线的参数方程
∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.
课前自主学习
课堂讲练互动
教材超级链接
点击2 参数方程与极坐标方程的综合问题
辽宁高考)已知 P 为半圆 【例2】 (2010·
x＝cos C： y＝sin
θ ， (θ 为参 θ
数，0≤θ≤π )上的点， A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点， 点 π 点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3
课前自主学习
课堂讲练互动
教材超级链接
(2)由于 AB 的中点为 M， → → 则AM＝MB， → → → → ∴FM－FA＝FB－FM， → → → ＝1(FA＋FB)， 即FM 2 → → → ＝1(FA＋FB)＝t1＋t2e， 又FM 2 2 t1＋t2 故点 M 对应的参数为 ＝ 5， 2 t1＋t2 ∴M(3，2)，|FM|＝ 2 ＝ 5.
为常数，t 为参数)．
课前自主学习 课堂讲练互动
教材超级链接
π 【变式1】 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 ，且交直线 x－y 3 －2＝0 于 M 点，则|MM0 |＝________． 1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 y＝5＋ 3t 2 (t 为参数)， 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2
教材超级链接
2．在直线参数方程中，如果直线上的点 M1、M2 所对应的 参数值分别为 t1 和 t2，则线段 M1M2 的中点所对应的参 1 数值为 t 中 ＝ ·(t1＋t2)． 2
【思维导图】
课前自主学习
课堂讲练互动
教材超级链接
题型一
三 直线的参数方程
结论3的应用： 1.点差法 2.参数法 4 例2：过点P 2， 0 ，斜率为 的直线，与抛物线y 2 =2x
3 交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
3 x 2+ t 5 所以直线的 （t为参数） y 4 t 参数方程为： 5
1.点差法
2.参数法
由A x0 t1 cos , y0 t1 sin , B x 0 t 2 cos , y 0 t 2 sin t1 +t 2 t1 +t 2 中点为 x0 cos , y0 sin 2 2
t1 +t 2 （3）线段AB的中点对应的参数是：t中 = 2
t
（2）将直线L的参数方程中的x,y代入
3 t 2
x y 2 3 0 ，得 t (10 6 3)
所以，直线L和直线 x y 2 3 0 的交点
到点M0的距离为 | t | (10 6 3)
（3）将直线L的参数方程中的x,y 代入 x y 16 ，得 t (1 5 3)t 10 0
3 4 倾斜角为 ，由已知可得 cos 5 ,sin 5
3 x 2 t 5 4 y t 5
所以，直线的参数方程为
代入 y 2 2 x，整理得 8t 2 15t 50 0 ， t1 t 2 15 中点M的相应参数 t 2 16 所以点M的坐标为 41 3
( 16 4 , )
3.解：设过点M(2,1)的直线段AB 的参数方程为 x 2 t cos （ 为参数） y 1 t sin 带入双曲线方程，整理得，
(cos2 sin2 )t 2 2(2cos sin )t 2 0
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
三直线的参数方程
10－y 解：(1)由 y＝10－4t，得 t＝ 4 ，代入 x＝5＋3t，
10－y 得 x＝5＋3× 4 . 化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0. (2)把方程变形为 x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， y＝10＋45×（－5t）.
令 cos α＝－35，sin α＝45. u＝－5t，则参数方程的标准形式为： x＝5－35u， y＝10＋45u (u 为参数)．
[典例 4] (本小题满分 10 分)已知直线 l 经过点
P12，1，倾 斜角
α
＝
π 6
，
圆
C
的极坐标方程为
ρ＝
2·cosθ－π4.
(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直 角坐标方程；
(2)设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两 点的距离之积．
审题指导：(1)由已知直线 l 经过点 P12，1，倾斜角 α＝π6，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线 l 的参 数方程；利用两角差的余弦公式，可得到 ρ＝cos θ＋sin θ， 进而即可得到圆 C 的标准方程．
失分警示：若漏掉此步，则扣 1 分． 则 t1t2＝－14，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝14.(10 分)
归纳升华
1．标准形式的参数方程中参数的应用．
x＝x0＋tcos α，
直线 l 的参数方程为
(t 为参数)．
y＝y0＋tsin α
(1)若 P1、P2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别 为 t1，t2，则向量P→1P2的数量为 t2－t1，所以|P→2P1|＝|t2－t1|； 若 P1，P2 是直线 l 与圆锥曲线的两个交点，则弦长|P1P2| ＝|t2－t1|.
2.3直线的参数方程(人教a版)
2 2
Y
C
O A P D
B X
将 4 代入 3 得 b cos a sin t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 t cos t为参数 代入椭圆方程为 y 1 t sin ,
2 2 3sin 1 t 4 cos 2 sin t 8 0
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以 4 cos 2 sin t1 t2 因为M 为AB的中点 2 3sin 1 t1 t2 1 所以 0, cos 2 sin 0, k tan 2 2 1 直线l的方程是：y-1= x 2 即 x 2 y 4 0 2
例3：取o为原点，op所在直线为x轴建直角立坐标系，则P(300,0) 以o为圆心，250km为半径作圆o,当台风中心移动后的位置在圆o上 或圆o内时，城市将受到台风的袭击。 圆O的方程为：x2 y 2 2502 设经过时间t后，
台风中心M 的坐标为 x, y , 且M 移动形成的直线L的方程为： y
于是
x x0 t cos , y y0 t sin , x x0 t cos , y y0 t sin .
直线的参数方程中参数 t的几何意义是： t 表示参数t对应的点M t取负数；当点 M与M 0 重合时，t 0.
到定点M 0的距离。当M 0 M与e同向时，t取正数；当M 0 M与e异向时，
1 t 2 （ 2 ）t 2
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
四、课堂练习
见课本 P 第2题 39
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）4-4(1)
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）新人教A 版选修4-41．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，那么点P 到直线l 的距离为( )C ．1 答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，那么AB 的中点坐标为() A ．(3，－3) B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋ty ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )B ．4014答案：C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝3t (t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为( ) A ．210C ．2 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值别离为t 一、t2，那么线段BC 的中点M 对应的参数值是( )答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，那么P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t (t 为参数)，那么l 上任一点到定点(1,2)的距离是( ) A ．t B ．|t||t|答案：C8．(2021·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB|＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，∴x3＝y2(x≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x3＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－8，∴|AB|＝4－42＋8＋82＝16.答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－tsin π6y ＝2＋tcos π6(t 为参数)，那么直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 通过点P(1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π6y ＝1＋tsin π6， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t y ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x2＋y2＝4，得(1＋32t)2＋(1＋12t)2＝4， t2＋(3＋1)t －2＝0，t1t2＝－2，那么点P 到A ，B 两点的距离之积为2.11．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t3＋a ，y ＝b 2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2，y2＝2. 因此C1与C2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1.[ 因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 12．过抛物线y2＝4x 的核心F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y2＝4x 的核心为F(1,0)，设过核心F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)，将此代入y2＝4x ， 得t2＋42t －8＝0，设那个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝ －422＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
直线的参数方程
02
通过直线的参数方程，可以方便地表示直线上的点，以及与直线平行的向量。
03
直线的参数方程在极坐标系中也可以表示为`r=r0+λcosθ`或`r=r0+λsinθ`，其中`r0`是原点到直线的距离，λ是直线的长度。
直线参数方程在物理中的应用
在物理学中，直线的参数方程可以用来描述质点的运动轨迹。
对于匀速直线运动，其参数方程可以表示为`x=x0+vt, y=y0+vt`，其中`v`是速度，`t`是时间。
斜截式
对于斜截式直线，参数方程可以表示为 `x = ty + c`, `y = ts + b`，其中t为参数，b和c分别为y轴工程中，直线参数方程被广泛应用于机械设计、土木工程等领域。例如，在机械设计中，直线参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
工程应用
在数学建模中，直线参数方程被用来描述和分析直线的性质和特点。例如，在解析几何中，直线参数方程可以帮助我们更好地理解直线的方向、位置和形状等特性。
直线参数方程在解析几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在解析几何中，直线参数方程可以用于求解线段的中点和交点等；在物理学中，直线参数方程可以用于描述粒子的运动轨迹；在工程学中，直线参数方程可以用于绘制复杂的曲线和曲面。
直线参数方程的概念
直线参数方程的优点
直线参数方程的应用
进一步探索直线参数方程的性质
在工程中，直线的参数方程可以用来描述机构的运动轨迹。
直线参数方程的推导
03
03
直线参数方程的意义
直线参数方程将直线的几何形式转化为代数形式，便于对直线进行解析和计算。
使用向量推导直线参数方程
01
向量与参数方程的关系
2-3直线的参数方程-课件(人教A版选修4-4)
经过点
3 A－3，－2，倾斜角为
α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25
相交于 B，C 两点． (1)求弦 BC 的长； (2)当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程； (3)当|BC|＝8 时，求直线 BC 的方程； (4)当 α 变化时，求动弦 BC 的中点 M 的轨迹方程．
【错解】 把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，那么 t1＋t2＝6，t1· t2＝2， 由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|· |MB|＝|t1· t2|＝2，|AB|＝|t2－t1| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 62－4×2＝2 7.
∴方程必有相异两实根 t1，t2，且 t1＋t2＝3(2cos α＋sin α)， 55 t1 · t2＝－ 4 . (1)|BC|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 92cos α＋sin α2＋55. (2)∵A 为 BC 中点，∴t1＋t2＝0， 即 2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 3 故直线 BC 的方程为 y＋2＝－2(x＋3)， 即 4x＋2y＋15＝0.
， x＝1＋tcos 75° 方法：把原方程化为标准形式，即 ， y＝1＋tsin 75°
可以看出
直线的倾斜角为 75° .
特别提醒
x＝x0＋at b 过点 M(x0， y0)， 斜率为 k＝a的直线的参数方程为 y＝y0＋bt
(t 为参数)，这种形式称为直线的一般式参数方程，其中的参数 t 不是有向线段的数量轨迹是以 －2，－4 为圆心，以 4 为半径的圆．
易错盘点
(对应学生用书 P23)
易错点
不能正确运用直线参数方程参数 t 的几何意义 t x＝2－2， 已知过点 M(2，－1)的直线 l： y＝－1＋ t 2
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、 直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t + 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx （t.2中，参数t 的1l 的参数方程 例301，3），倾斜角yx ,为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( )A 65°B 25°C 155°D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty tx 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离. 二、直线参数方程的应用 例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB| 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. 例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
第2讲3直线的参数方程课件人教新课标
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距
离公式来求出距离，
即 2－52＋－1－02＝ 10.
12345
解析 答案
2.直线
x＝－3＋tcos y＝2＋tsin α
α，(t为参数，α＝Fra bibliotekπ 6
)不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
12345
答案
3.若直线 l1：yx＝＝21＋－2ktt， (t 为参数)与直线 l2：xy＝＝s1，－2s (s 为参数)垂直， 则 k＝_－__1_. 解析 由－2k·(－2)＝－1，得 k＝－1.
解答
类型三 直线参数方程的综合应用
x＝－4＋ 22t，
例4
已知曲线
C1：y＝
2 2t
(t 为参数)，C2：xy＝ ＝－1＋2＋ sincθos θ，
(θ 为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解答
(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.
解答
引申探究 1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB| 的值.
解答
2.在探究 1 条件不变的情况下，求|P1A|＋|P1B|的值.
解 由探究 1 知，t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝3 2，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.
所以|P1A|＋|P1B|＝|P|PAA|＋|·|P|PBB| |＝3
4
2 .
解答
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的 点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根 据参数值得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲 线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的 几何意义加以解决.
直线的参数方程
例二：设直线 l1 过点 A(2, 4) ，倾斜角为 ,求直线 l1的参数方程,设直线
5 6
l1 与 l2 交点为B，求点B与点A的距离 . l2 : x y 1 0 ，
3 x 2 t 2 解： l1 的参数方程为 .把 l1 的参数方程代入 l2 的方程，得 y 4 1 t 2
(2 3 1 t ) (4 t ) 1 0 2 2
例二：设直线 l1 过点 A(2, 4) ，倾斜角为 ,求直线 l1的参数方程,设直线
5 6
l1 与 l2 交点为B，求点B与点A的距离 . l2 : x y 1 0 ，
3 x 2 t 2 解： l1 的参数方程为 .把 l1 的参数方程代入 l2 的方程，得 y 4 1 t 2
直线的参数方程
考点二：标准的直线参数方程 t 的几何意义。 理论基础：已知直线过点 M 0 ( x0 , y0 ),倾斜角
x x0 t cos M y y0 t sin x x0 t cos ' M y y0 t sin
x x0 t cos 所以，直线的参数方程为 y y0 t sin
直线的参数方程
考点二：标准的直线参数方程 t 的几何意义。
x x0 t cos y y0 t sin
t 的几何意义为：直线上某点到定点 M 0 的距离.
例二：设直线 l1 过点 A(2, 4) ，倾斜角为 ,求直线 l1的参数方程,设直线
5 6
l1 与 l2 交点为B，求点B与点A的距离 . l2 : x y 1 0 ，
x 1 ( 1)t 6 y 3 t 6
三维坐标直线方程公式
三维坐标直线方程公式
1.向量形式：
向量形式的三维坐标直线方程可以表示为：
r = a + tb
其中，r是直线上的任意一点的坐标向量，a是直线上的一个已知点的坐标向量，b是直线的方向向量，t是参数，可以取任意实数。
2.参数方程形式：
参数方程形式的三维坐标直线方程可以表示为：
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
其中，(x0,y0,z0)是直线上的一个已知点的坐标，(a,b,c)是直线的方向向量，t是参数，可以取任意实数。
这两种形式的直线方程都可以用来描述一条直线在三维空间中的位置和方向，我们可以根据需要选择其中的一种形式来表示直线方程。
例如，如果我们知道直线上的一个点A(1,2,3)和直线的方向向量
b(2,-1,3)，那么可以将直线的向量形式表示为：
r=(1,2,3)+t(2,-1,3)
或者将直线的参数方程表示为：
x=1+2t
y=2-t
z=3+3t
通过这些方程，我们可以方便地计算直线上的任意一点的坐标，或者确定直线与其他几何体的交点等问题。
三维坐标直线方程是三维几何中重要的基础概念，对于理解和应用三维几何理论非常重要。
三 直线的参数方程
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 2 在极坐标系中，已知圆心 C3，π6 ，半径 r＝1. (1)求圆的直角坐标方程；
x＝－1＋ (2)若直线y＝12t
23t， (t
为参数)与圆交于
A，B
两点，求
弦 AB 的长.
预习导学
课堂讲义
当堂检测
解
(1)由已知得圆心
3 C
2 3，32，半径为
当堂检已知直线
x＝－ 3＋ l：y＝2＋12t，
23t (t
为参数).
(1)求直线 l 的倾斜角；
(2)若点 M(－3 3，0)在直线 l 上，求 t 并说明 t 的几何意义.
预习导学
课堂讲义
当堂检测
解
(1)由于直线
l：
x＝－ 3＋tcosπ6 y＝2＋tsinπ6
t＝－6( 3＋1).根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1).
答案 6( 3＋1)
预习导学
课堂讲义
当堂检测
要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长
例2
已知过点 M(2，－1)的直线 l：yx＝＝－2－12＋t ，2t (t 为参数)，与
圆 x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，求|AB|及|AM|·|BM|.
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α (t
为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.
直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点
M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt，(a、b 为
常数，t 为参数).
预习导学
课堂讲义
解
l 的参数方程为yx＝＝－2－1＋2222t2 t，2(t 为参数).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中点为
x0
t1 +t2 2
第四模块
c平o面s向,量y、0 数系t1的+2扩t2充s与in复数的引入
结论3的应用： 数学
1.点差法 高考总复习人教A版 · (理)
2.参数法
例2：过点P 2，0，斜率为 4的直线，与抛物线y2 =2x
3
交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
r e
反向时 t第<四0模；块 当平面点向量M、与数系M的扩0重充与合复数时的引，入t=0
例1：已知直线 l : x 数学
高考总复习人教A版 · (理)
y1 0
与抛物线
y
x2
交于A，B两点，求线段AB的长和点 M(1, 2)
到A,B两个点的距离之积.
解：因为直线过定点M且倾斜角为 3 ， 所以参数方程
y 2 4t
则点(3, 6)到直线的距离是 ____2_0__1_7_______
17
5、直线{x 2 t cos 300 (t为参数)的倾斜角
y 3 t sin 600 等于( D )
A.300 B.600 C. 450 D.135 0
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
M0(x0,y0)
x x0 t cos, y y0 t sin
O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
新课讲授 高考总复习人教A版 · (理)
因此，过定点 M0(x0, B.700 C.1100 D.1600
（2）直线x
y
1
0的一个参数方程是
x y
1
2 2
2 2
t
t （t为参数）
。
取点1，0，k tan 1
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3、直线{x 2 数学
高考总复习人教A版 · (理)
所以两个交点到点M0的距离的和为： 1 5 ，3积为:10
2.解：设过点P(2,0)的直线AB的
倾斜角为 ，由已知可得
cos 3 ,sin 4
5
5
所以，直线的参数方程为 x 2 3 t
5
代入 y2 ，2整x 理得
y 4t 5
8t2 15，t 50 0
中点M的相应参数 t t1 t2 15 2 16
即 (t1 t2 )2 5t1t2 所以, [2 2(4 p)]2 5 8(4 p)
p1
x 2 2 t 2
y 4 2 t 2
t2 2 2(4 p)t 8(4 p) 0
由根与系数的关系，得到
t1 t2 2 2(4 p) t1t2 8(4 p)
因为 | M1M2 |2 | AM1 | • | AM2 |, 所以,
(t1 t2 )2 | t1 | • | t2 | t1t2
4cos 2sin t1 t2 - cos2 sin2
因为点M为线段AB的中点，由t的几何意义
可于知 是，t1kt,2t所an以,0 2 4cos 2sin 0
因此所求直线方程为:2x-y-3=0
4.解：直线L的参数方程为
（ 为参t数）
代入 y2 ， 2得px到
2t (t为参数)上与点P(2,3)
y 3 2t
距离等于 2的点的坐标是 ( D )
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
注意：参数t的几何意义
t 2
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
4、设直线的参数方程为{x 1 t (t为参数)
为：
4
把它代入抛物线方程得 t2 2t 2 0
解得t1
2 2
10 ,t2
2 2
10
由参数t的几何意义得， | AB || t1 t2 | 10
| MA | | MB || t1t2 | 2
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
常用结论： 数学
（3）将直线L的参数方程中的x,y 代入 x2 y2 16 ，得 t2 (1 5 3)t 10 0
设上述方程的根为t1,t2，则 t1 t2 (1 5 3) t1t2 ，10可知 为t负1 , t值2 ，所以 | t1 | | t2 | (t1 t2) 1 5 3
所以直线的参数方程为：
x
y
2+ 4t 5
3t 5 （t为参数）
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
1.点差法 2.参数法
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
课堂练习 高考总复习人教A版 · (理)
（1）直线x y
3 t sin 20（0 t为参数）的倾斜角是（B t cos200
uuuuuur
M0rM （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0)
设e是r 直线l的单位方向向量，则
uuueuuur (cros,sin )
y
r e
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M0M te,即
(x x0, y y0) t(cos,sin)
uuur uuur uuur r r
r
2 AB=MB-MA=t2 e-t1e= t2 -t1 e
uuur
r
r
所以 AB = t2 -t1 e = t2 -t1 e = t2 -t1
（3）线段AB的中点对应的参数是：t中
=
t1
+t2 2
由A x0 t1 cos , y0 t1 sin , B x0 t2 cos , y0 t2 sin
y
x y
x0 y0
t cos（t为参数） t sin
M0(x0,y0)
斜率k tan sin cos
O
x
只要找出直线上一个点的坐标和直线的倾斜角， 就能写出直线的一个参数方程。
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
思考: uuuuuur r
数学 由M M 0 高考总复习人教A版 t · (理) e, 你能得到直线的参数方
教材习题答案
1.解（1）直线L的参数方程为
t x 1（ 12为t参, 数）
y 5 3 t 2
（2）将直线L的参数方程中的x,y代入
x y ，2 得3 0 t (10 6 3) 所以，直线L和直线x y 2 的3 交0点
到点M0的距离为 | t | (10 6 3 )
1 弦长公式 高考总复习人教A版 · (理)
|
AB
||
t1
t2
|
10
2 t的几何意义：| MA | | MB || t1t2 | 2
uuur r uuur r
证明：1 设MA=t1e, MB=t2 e则 MA = t1 ，MB = t2
所以 MA MB = t1 t2 = t1t2
新课导入 数学
高考总复习人教A版 · (理)
我们知道，过定点 M0(x0,y0 )，倾斜角为 的
直线的普通方程是： y y0 tan(x x0 )
y
那么， 怎样建立直线的参数方程呢？
M0(x0,y0)
O
x
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学在直高考线总复习上人教任A版 ·取(理) 一点M(x,y),则
程中参数t的几何意义吗？ y
r e
r
r
解析: Q e是单位向量， e 1
uuuuuur r
由uuMuu0uuMr
te
r
r
M0M te t e = t
M
r M0 e
O
x
t的几何意义是：
| t |等于参数t对应的点M到定点M0 的距离。
当
uuuuuuur | M0M |
与
r e
同向时t>0；当 |uMuuu0uMuur|与
所以点M的坐标为 41 3
( ,) 16 4
3.解：设过点M(2,1)的直线段AB
的参数方程为 x 2 （t co为s参数）
y 1 t sin
带入双曲线方程，整理得，
(cos2 sin2 )t2 2(2cos sin )t 2 0
设t1,t2为上述方程的解，则