45时谐电磁场教程

对于其他场分量， 也可以写成相量表示式
D Re[Dme jt ]
H

Re[ Hm e
jt ]

B Re[Bme jt ]

J Re[Jme jt ]

V Re[Vme jt ]
例1 将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。
4.5 时谐电磁场
一、时谐电磁场的概念
如果
场源
以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化
电磁场
这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
研究时谐电磁场具有重要意义 1 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。
广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。 2 任意的时变场
分解成基波和高次谐波分量分别研究
［解］ （1）
H (t) Re[ yˆ 0.01e j(100 e /3)z j2 5109 t ]
yˆ0.01cos[1010t (100 / 3)z] ( A/ m)
（2）由 H j 0E 知
E j H
0
xˆ
yˆ
zˆ

j

二、时谐电磁场的复数表示
1 复数
复数a定义为
a a' ja" | a | e ja | a | (cos a j sin a)
式中j是虚数 , j 1 ; a′是a的实部, a″是a的虚部, 即
a' Re[a] | a | cosa a" Im[a] | a | sin a
微分算子
t
用
j
代替
时谐电磁场的场量之间的关系
转换为复矢量之间关系
H

J

D t

E


B t
B 0

D


H
m
Fra Baidu bibliotek
Jm

j Dm


Em


j Bm
Bm 0
Dm m

H J jD




E


jB


D B


0
～ j
略去“.”和下标m
t
例2 在自由空间某点存在频率为5 GHz的时谐电磁场, 其磁 场强度复矢量为
H yˆ0.01e j(100 /3)z ( A/ m)
(1)求磁场强度瞬时值H(t); (2)求电场强度瞬时值E(t)。
三、 复矢量的麦克斯韦方程
以电场旋度方程

E


B 为例，代入相应场量的矢量，可得
t


[Re(
Eme
jt
)]


t
[Re(
Bme
jt
)]

将 、t 与Re交换次序，得
Re[

(Eme
jt
)]


Re[
t
( Bme
jt
)]

Re[
j
Bme
jt
]
即
Em jBm
E(t) E xˆExe jz yˆEye jy zˆEze jz
xˆEx yˆEy zˆEz
复矢量
E(t) Re[ Ee jt ]
复数式（复矢量）只是数学表示方式，不代表真实的场
真实场是复数式的实部，即瞬时表达式
由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量
Re［(·)ejωt］
Ex
(t)

(等效于)
Ex

Exe
jz
取其实部便可得出Ex(t)
复数 Ex(t) 是时间t的函数
实数
称为复振幅, 又称为相量 不再是t的函数而只是空间坐标的函数 复数
Ex (t) Ex cos(t x )
Ex (t) Re[ Exe jt ], Ex Exe jx
Re[(xˆExe jz yˆEye jy zˆEze jz )e jt ]
E(t) xˆEx cos(t x ) yˆEy cos(t y ) zˆEz cos(t z )
于是
Re[(xˆExe jz yˆEye jy zˆEze jz )e jt ]
a的共轭复数定义为
a* a' ja" | a | e ja | a | (cos a j sin a)
容易证明,
a' a a * , a" a a *
2
2j
a 2 aa*, (a*)* a
(a b)* a* b*
(ab)* a*b*

a b
t
Ex (t)
jEx
这就是说, Ex(t)对时间t的微分运算可化为对复振幅Ex 乘以jω的 代数运算。这正是采用复数表示的一个方便之处。
时谐电场E(t)除了分量Ex(t)外, Ey(t) ， Ez(t)
将这3个分量都用复数表示, 则有
E(t) xˆEx cos(t x ) yˆEy cos(t y ) zˆEz cos(t z )
|a|称为a的模或绝对值, 又称为a的辐角, 并有
a a'2 a"2 0
设复数b为 则
a Arg a arctg a" a'
b b' jb" | b | e j
a b (a'b' ) j(a"b")
ab | a | | b | e j(a )
a | a | e j(a) b |b|
四、亥姆霍兹方程
在时谐的情况下将
j、
t
2 t 2
2
即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。
*


a* b*
设时谐电磁场电场强度矢量E(t)的一个坐标分量为Ex(t), 它的 一般表达式为
Ex (t) Ex cos(t x )
时谐函数Ex(t)
Ex (t) Ex cos(t x )
与交流电路中的处理相似, 可将Ex(t)写作:
Ex (t) Re[ E xe j(tx ) ] Re[ E xe jx e jt ]


1010 1 109 x
y
z
36
0
0.01e j(100 /3)z 0
xˆ1.2e j(100 /3)z
E(t) Re[xˆ1.2e j(100 /3)ze j1010t ] xˆ1.2 cos[1010t (100 / 3)z] (V / m)