高二数学倍角公式和半角公式

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半角与倍角公式

半角与倍角公式在我们的数学世界里，半角与倍角公式就像是神秘的魔法咒语，虽然它们看起来有些复杂，但一旦掌握，就能为我们解决很多难题，打开神奇的数学大门。

还记得我上高中那会，有一次数学考试，最后一道大题就是关于半角与倍角公式的应用。

当时我瞅着那道题，心里就有点打鼓。

题目说：已知角α的正弦值为 3/5，且α在第一象限，求α/2 的余弦值。

我深吸一口气，开始在草稿纸上写写画画。

先根据已知条件，利用三角函数的平方关系算出α的余弦值是 4/5 。

然后呢，就该轮到半角公式登场啦。

半角的余弦公式是：cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2] 。

因为α/2也在第一象限，所以取正号。

把cosα = 4/5 代入公式，经过一番计算，终于算出了答案。

当我算出结果的那一刻，心里那叫一个美，就好像攻克了一座坚固的城堡。

咱们先来说说半角公式。

半角公式包括正弦、余弦和正切的半角公式。

就拿正弦的半角公式来说吧，sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2] 。

这里为啥有个正负号呢？这就得看角所在的象限啦，如果在第一、二象限就是正的，如果在第三、四象限就是负的。

可别小瞧这个正负号，一不小心就容易出错哟！再看看余弦的半角公式，cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2] 。

同样要注意正负号的判断。

还有正切的半角公式，tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)] 或者tan(α/2) = (1 - cosα) / sinα 或者tan(α/2) = sinα / (1 + cosα) 。

是不是感觉有点眼花缭乱？别慌，多做几道题，熟练了就好。

说完半角公式，咱们再来聊聊倍角公式。

倍角公式那也是相当重要的。

比如正弦的倍角公式sin2α = 2sinαcosα 。

想象一下，一个角变成了它的两倍，正弦值也跟着有了新的变化。

余弦的倍角公式就有三种形式：cos2α = cos²α - sin²α ，cos2α =2cos²α - 1 ，cos2α = 1 - 2sin²α 。

三角函数的倍角公式与半角公式

三角函数的倍角公式与半角公式在学习三角函数的过程中，倍角公式和半角公式是非常重要的推导与应用。

它们能够使我们简化复杂的三角函数运算，并且在解决问题时提供更加灵活和便捷的方法。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。

一、三角函数的倍角公式1. 正弦函数的倍角公式对于一个角θ，正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的正弦函数的两倍时，可以通过将这个角的正弦函数与余弦函数相乘得到。

这在解决一些三角函数运算较为复杂的问题时非常有用。

2. 余弦函数的倍角公式同样地，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的余弦函数的两倍时，可以通过将这个角的余弦函数的平方减去正弦函数的平方得到。

这个公式可以在求解一些三角函数的平方和差问题时提供便捷的方法。

3. 正切函数的倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1-tan²θ)这个公式给出了正切函数的两倍与原角度的正切函数之间的关系。

在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够帮助我们简化计算，得出更加精确的结果。

二、三角函数的半角公式1. 正弦函数的半角公式对于一个角θ，正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的正弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的差再除以2开方得到。

这个公式在一些角的半角问题的解决中非常有用。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的余弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的和再除以2开方得到。

在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够提供简化计算的方法。

3. 正切函数的半角公式tan(θ/2) = sinθ/(1 + cosθ)这个公式给出了正切函数的半角与原角度的正弦函数和余弦函数之间的关系。

三角形半角公式和倍角公式

三角形半角公式和倍角公式
三角形半角公式：
假设在三角形ABC中，已知A角的大小为α，B角的大小为β，C 角的大小为γ，则三角形ABC中任意一条边对应的半角记作β/2，则该半角所对应的角度θ可以用以下公式计算：
tan(θ/2) = √[(s-a)(s-b)/(s-c)(s)]
其中，s为半周长，即(s-a+b+c)/2，a、b、c分别为三角形ABC 中的三边长。

三角形倍角公式：
假设在三角形ABC中，已知A角的大小为α，则A角的倍角为
2α，则三角形ABC中任意一条边对应的倍角记作2α/2=α，则该倍角所对应的角度θ可以用以下公式计算：
sin 2α = 2 sin α cos α
另外，还存在余弦和正弦的倍角公式，它们分别如下：
cos 2α = cos²α - sin²α
sin 2α = 2sinα cosα
至于拓展，三角函数公式有很多，比如三角形的正弦余弦定理，三角形的面积公式等等，都是很重要的数学公式。

倍角公式和半角公式

半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

倍角公式和半角公式有哪些

倍角公式和半角公式有哪些你们知道倍角公式和半角公式有哪些吗?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。

下面是由小编小编为大家整理的“倍角公式和半角公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1.三角函数二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα;正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α));余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)。

2.三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α);cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α);tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)。

3.三角函数半角公式①正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2);sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)。

②余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2);cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)。

③正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA));tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))。

1.按照计算的一般顺序进行首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求;其次，观察题目特点，看看几步运算，有无简便算法;再次，确定运算顺序。

在此基础上利用有关法则、定律进行计算;最后，要仔细检查，看有无错抄、漏抄、算错现象。

2.解题模型第一步，观察已知与未知是否为同一个角，若相同，则利用同角的基本关系求解，若不同则进行第二步。

第二步，观察已知与未知是否为同倍角，若相同，则求两角的和差为特殊值，利用已知角表示未知角化为同角问题，进行第一步，若不同则进行第三步。

第三步，因为已知与未知不是同倍角。

所以可将低倍角平分再降次升高角的倍数，或者展开高倍角降低角的倍数，角同倍数后进行第二步。

3.函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想。

高二数学倍角公式和半角公式

cos2 cos sin
2 2
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
2 tan tan 2 1 tan 2
一、倍角公式
sin 2 2 sin cos (S2 )
公式左端的角是右端角的二倍
在这两个公式中分别 2a和cos2a 求出sin 2
1 cos 2 cos 2 2 2 cos 1 sin 2 2 sin 1 cos 2 2 2 2 cos2 cos sin (1 sin ) sin 2 2 2 cos (1 cos ) 1 2 sin 2 2 cos 1
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1、 sin 22。 30， cos22。 30，
2 2、 2 cos 1 8 2
2

2 4
2 3、 sin cos 8 8 2
2 2

试试看伴你学134页8题
1 4、 8 sin cos cos cos 2 48 48 24 12
3.2.1倍角公式
复习回顾：
• 完成下列和角公式
sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan 思考：
若我们可以得到怎样的结论？
cos10 3 sin10 sin 50 cos10 2 sin 40 sin 50 cos10 2sin 40 cos 40 cos10 sin 80 1 cos10

高中数学半角及倍角公式有哪些

高中数学半角及倍角公式有哪些高中数学半角及倍角公式半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2高考数学选择题答题方法1.特值检验法对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

2.极端性原则极将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

3.排除法选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

4.数形结合法由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。

数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。

高考提高数学成绩的方法做好总结，专项训练每一道题，做错了都有做错的原因：公式使用不熟练，忽视了函数的值域，去绝对值忽视正负符号，三角函数变形生疏…..将错误的题目分类整理好，再进行专项训练，每种错误类型，连续找十道类似的题型进行训练，基本上可以克服，比起盲目的刷题，效率天差地别。

三角函数倍角半角公式大全

三角函数倍角半角公式大全二倍角公式：sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]拓展资料：倍角公式：是三角函数中非常实用的一类公式。

就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。

在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

半角公式：是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。

三角函数差角公式又称三角函数的减法定理是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。

三角函数二倍角公式和半角公式

三角函数二倍角公式和半角公式一、二倍角公式1.正弦函数的二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ推导：设A = θ，B = θ，根据正弦函数的定义，有sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。

将A=B=θ代入上述公式，即得到sin2θ =sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ。

2.余弦函数的二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ = 2cos²θ - 1推导：同理可得cos2θ = cosθcosθ - sinθsinθ = cos²θ - sin²θ。

另一方面，根据单位圆上点(x, y)的性质，有x² + y² = 1，其中cosθ = x，sinθ = y。

代入该等式，得1 - sin²θ = cos²θ，即cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ。

同时，由正弦函数的二倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ，我们可以得到sin²θ = (1 - cos2θ)/2，将其代入1 - 2sin²θ即可得到cos2θ = 2cos²θ - 13.正切函数的二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)推导：由正切函数的定义，tan2θ = (sin2θ)/(cos2θ) =(2sinθcosθ)/(cos²θ - sin²θ)。

代入sin²θ = (1 - cos2θ)/2和cos²θ = (1 + cos2θ)/2，消去cos²θ和sin²θ后即可得到tan2θ的公式。

二、半角公式1.正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]推导：根据单位圆上点(x, y)的性质，有x² + y² = 1，其中cosθ = x，sinθ = y。

三角函数的倍角和半角公式

三角函数的倍角和半角公式三角函数中的倍角和半角公式，那可是数学世界里相当有趣又实用的家伙们！咱们先来说说倍角公式。

sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos²α - sin²α =2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α，tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)。

这些公式看起来有点复杂，但只要咱们好好理解，就会发现它们其实就像咱们熟悉的好朋友。

记得我以前教过一个学生小明，他一开始对这些公式那叫一个头疼。

有一次上课，我出了一道题：已知sinα = 3/5，α是锐角，求sin2α 的值。

小明瞪着题目，一脸茫然。

我就引导他，先根据sinα 求出cosα，然后再用倍角公式。

我一步一步地带着他算，最后得出了答案。

从那以后，小明像是突然开了窍，对倍角公式不再害怕了。

再说说半角公式，sin²(α/2) = (1 - cosα) / 2 ，cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2 ，tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] 。

这些公式在解决一些复杂的三角问题时，往往能起到意想不到的效果。

就像有一次考试，有一道题是求一个角的半角的正弦值。

好多同学都被难住了，但平时认真掌握了半角公式的同学就轻松地做出来了。

其实啊，倍角和半角公式就像是数学大厦里的一块块基石，虽然它们本身可能不起眼，但组合起来就能构建出各种复杂而美妙的数学结构。

比如说在解决几何问题中，如果遇到角度之间的倍数或者半倍关系，这时候倍角和半角公式就能大显身手啦。

想象一下一个三角形，其中一个角是另一个角的两倍，我们就可以通过这些公式找到它们之间的关系，从而求出未知的角度或者边长。

在物理中，当研究波动、振动这些现象时，也常常会用到三角函数的倍角和半角公式。

比如声波的传播，电磁波的变化，都离不开这些公式的帮助。

倍角公式和半角公式

半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。

si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-cosα)/si nα=+或-[1-cosα）/（1+c osα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαco sαt an2α=2t anα/(1-tan^2(α))c os2α=c os^2(α)-si n^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2si n^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：si n(2α)=2sinα·c osαc os(2α)=c os^2(α)-sin^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：si n3α=3sinα-4si n^3(α)c os3α=4c os^3(α)-3c osαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nα·万能公式：si nα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]c osα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：si nα·cosβ=(1/2)[si n(α+β)+sin(α-β)]c osα·si nβ=(1/2)[si n(α+β)-sin(α-β)]c osα·c osβ=(1/2)[c os(α+β)+c os(α-β)]si nα·si nβ=-(1/2)[c os(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：si nα+si nβ=2si n[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]si nα-si nβ=2cos[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]c osα+c osβ=2c os[(α+β)/2]c os[(α-β)/2]c osα-c osβ=-2si n[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]·其他：si nα+si n(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+si n(α+2π*3/n)+……+si n[α+2π*(n-1)/n]=0c osα+c os(α+2π/n)+c os(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及si n^2(α)+si n^2(α-2π/3)+si n^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：si n4A=-4*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1))c os4A=1+(-8*c os A^2+8*c os A^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：si n5A=16si nA^5-20si nA^3+5si nAc os5A=16c os A^5-20c os A^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：si n6A=2*(cosA*si nA*(2*si nA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*si nA^2))c os6A=((-1+2*c os A^2)*(16*c os A^4-16*c os A^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：si n7A=-(sinA*(56*si nA^2-112*si nA^4-7+64*si nA^6))c os7A=(c osA*(56*c osA^2-112*c osA^4+64*c os A^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：si n8A=-8*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1)*(-8*si nA^2+8*sinA^4+1))c os8A=1+(160*c os A^4-256*c os A^6+128*c os A^8-32*c os A^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：si n9A=(sinA*(-3+4*si nA^2)*(64*sinA^6-96*si nA^4+36*si nA^2-3))c os9A=(c osA*(-3+4*cosA^2)*(64*c os A^6-96*cosA^4+36*c os A^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：si n10A=2*(c os A*sinA*(4*sinA^2+2*si nA-1)*(4*sinA^2-2*si nA-1)*(-20*si nA^2+5+16*si nA^4))c os10A=((-1+2*c os A^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*c os A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

三角形倍角公式和半角公式

三角形倍角公式和半角公式大家好，今天我们来聊聊三角形倍角公式和半角公式。

这两个公式可是数学里的小宝贝哦！它们可以帮助我们解决很多三角形的问题。

不过，别看它们小小的，可是个个都是“大腕儿”呢！让我们来认识一下三角形倍角公式。

三角形倍角公式是这样的：sin2A + sin2B +sin2C = 2sin(A + B)cos(A B)。

你看，这个公式里面有三个角A、B、C,而且这三个角都是三角形的内角。

这个公式的意思是说，一个三角形的两个角的正弦值的平方之和等于另外两个角的正弦值的两倍乘以这两个角的余弦值之差。

这个公式可厉害了，它可以帮助我们求出三角形的各个角度，还可以用来判断一个三角形是不是直角三角形。

接下来，我们来说说半角公式。

半角公式是这样的：cos(A/2) = (1 tan(A/2)) / (1 + tan(A/2))。

这个公式里面只有一个角A,而且这个角也是三角形的一个内角。

这个公式的意思是说，一个三角形的一个角度的一半的余弦值等于这个角度一半的正切值减一除以这个角度一半的正切值加一。

这个公式可神奇了，它可以帮助我们求出一个三角形的一个角度的一半的余弦值，还可以用来判断一个三角形是不是等腰三角形。

那么，这两个公式有什么用呢？其实，它们在我们的日常生活中也有很多应用。

比如说，我们在装修房子的时候，需要测量墙角的角度，这时候就可以用到这两个公式了。

还有，我们在玩游戏的时候，如果要让角色沿着一个圆弧走，也可以用到这两个公式。

这两个公式可是我们生活中的小助手哦！学会了这两个公式还不够，我们还需要知道它们的逆运算。

比如说，我们知道了sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos(A B),那么它的逆运算就是什么呢？没错，就是sin(A + B)cos(A B) = sin2A + sin2B + sin2C。

同样地，我们知道了cos(A/2) = (1 tan(A/2))/ (1 + tan(A/2)),那么它的逆运算就是什么呢？没错，就是tan(A/2) = (1 cos(A/2)) / (1 + cos(A/2))。

三角函数的倍角与半角公式

三角函数的倍角与半角公式三角函数的倍角与半角公式是数学中经常使用的工具，用于计算角的两倍或一半的三角函数值。

这些公式广泛应用于三角学、几何学、物理学等领域。

在本文中，我们将深入探讨三角函数的倍角与半角公式及其应用。

一、三角函数的倍角公式三角函数的倍角公式是指通过已知角的三角函数值，计算角的两倍的三角函数值的公式。

对于正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的倍角公式分别如下：1. 正弦函数的倍角公式：设角θ，则sin(2θ) = 2sinθcosθ。

2. 余弦函数的倍角公式：设角θ，则cos(2θ) = cos²θ - sin²θ。

3. 正切函数的倍角公式：设角θ，则tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)。

这些公式可以大大简化计算过程，并且在解决复杂的三角方程以及证明题目中的等式时非常有用。

二、三角函数的半角公式三角函数的半角公式是指通过已知角的三角函数值，计算角的一半的三角函数值的公式。

半角公式可用于将角的计算范围缩小一半，从而简化问题的求解。

以下是常用的三角函数的半角公式：1. 正弦函数的半角公式：设角θ，则sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]。

选择正负号要根据具体问题中的角所在象限来决定。

2. 余弦函数的半角公式：设角θ，则cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]。

3. 正切函数的半角公式：设角θ，则tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]。

三、三角函数的倍角与半角公式的应用三角函数的倍角与半角公式在数学和物理的问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 解三角方程当需要求解含有三角函数的方程时，倍角与半角公式可以将原方程转化为更简单的方程，从而更容易求解。

2. 证明三角恒等式在证明三角恒等式时，可以利用倍角与半角公式将一个较复杂的三角函数表达式转化为一个较简单的形式，以便证明恒等式成立。

高数—二倍角与半角的余弦、正弦和正切教师版

【难度】★★★
【答案】证明：由 3sin2 1 2sin2 得 3sin2 cos 2 ……①
由 3sin 2 2sin 2 得 3sin cos sin 2 ……② , 都是锐角
①②得 sin cos 2 cos cos 2 sin sin 2 0 cos sin 2
22
2
二、半角公式和万能公式
（一）知识精讲
sin 1 cos ； cos 1 cos ； tan 1 cos
2
2
2
2
2 1 cos
（ tan sin 1 cos ） 2 1 cos sin
2 tan
1 tan2
2 tan
13
5

【难度】★★
【答案】∵ 0 π ，∴ cos 1 sin2 5 ．
2
13
又∵ 0 π ， 0 π ，∴ 0 ．若 0 π ，
2
2
2
∵ sin( ) sin ，∴ 不可能．故 π ．∴ cos( ) 3 ．
3 / 24
【难度】★★
【答案】 a b 1 ab
【例 8】（1）已知 sin 5 , ( , ) ，求 sin 2 ， cos 2 ， tan 2 的值；
13
2
（2） tan 1 , 则cos 2
；
2
（3）若 cos 48 a , 则sin 2004 的值是
0,
2

，则
sin

.
7 / 24
【难度】★★
【答案】 sin 4 2 . 9