近世代数 第17讲

第17 讲§交换律、单位元、零因子、整环.(Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain)讲本讲教学目的和要求:由环的定义,环{}⋅+,,R是在某集合R上定义了两种代数运算,而这二个运算是通过分配律建立了彼此的联系.很明显,环中的这两种运算立法机关的要求是很不平衡的.特别是环中的乘法只要求满足半群—乘法封闭和结合律.所以为环在乘法方面留下了很大的余地,一旦某些乘法方面再满期点头其它一些条件,则变成了一些特殊的类型的环.本节主要介绍交换环有单位元的环,没有零因子的环和整环,扩大环论的知识面.在学习方面要求掌握:1、交换环仅是对乘法而言,可交换的一种环.由此可得到什么新结果.2、有单位元的环(习惯上称心内幺元)具有的一些重要性质.3、零因子的概念以及没有零因子与满足消去律的等价性.4、什么是整环,什么是除环和域,它们之间的差别和联系.本讲的重点和难点:零因子是一个新的概念,要真正了解并掌握它不是件易事.而”没有零因子”与”有消去律”之间的等价性的证明是难点.一．交换环设},;{⋅+R 为环,已知R 关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘法”·”,R 也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有定义1.如果环},;{⋅+R 关于乘法满足交换律:R b a ∈∀,都有ba ab =,那么称此环是交换环.例1.易知,在§1中所介绍的所有数环,一元多项式][x F ,和剩余类环m Z 都分别是变换环.但n 价矩阵环)(F M n 不是变换环. 例2.设环},;{⋅+R 的加法群是循环群,那么环F 必是变换环. 证明: };{+R 是循环群,即}|{)(R n na a R ∈==∴,,,ma y na x R y x ==⇒∈∀ ∴))((ma na xy =22][)]([nma ma n ma a n ===, 而 ))((na ma yx =222][)]([nma mna na m na a m ==== ∴yx xy =.明示1.在第二章中已知:每个阶5≤的群必是交换群.而一旦环R 中元素个数3≤,那么R 必是变换环.交换环的性质:设R 是交换环.R b a ∈∀,.那么(1)n n n b a ab N n =∈∀)(, (2) R 中满足:2222)(b ab a b a +±=±,))((22b a b a b a -+=- ))(()(2233b ab a b a b a +±=±(3) R 中满足二项式公式:n n n n n n n n n n b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)(二． 无零因子环在§1中已知：“000=⇒==ab b a 或”但反之, “000==⇒=b a ab 或 ”这样一条普通的计算规则,在一般的环中未必成立譬如,在剩余类环{}]5[],4[],3[],2[],1[],0[6=Z 中.]0[]3[],0[]2[≠≠ 但 ]0[]6[]3][2[==譬如在二阶)(2F M 中, 01001≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛= A ,00100≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B , 但00000=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= AB ,为什么会发生这种现象? 定义2.设R 为环,如果R 中元0,0≠≠b a ,但0=ab ,那么称a 是R 的一个左零因子,b 是R 的一个右零因子.(∴上例中[2],A 都是左零因子,[3],B 都是右零因子)明示2.在环R 中,关于零因子的概念要做如下解释:①R 中左零因子和右零因子这两个概念是彼此依赖, 彼此依托—“共存亡”:有左零因子有⇔右零因子.由上可知,欲说明0≠a 是左零因子,则只需证明存在b ≠0,使0=ab .欲说明0≠a 不是左零因子,只需证明任一个b ≠0,都有0≠ab (或一旦00=⇒=b ab )②若a 是R 的左零因子,一般a 未必同时是R 的右零因子.(比如,在)(2F M —中,⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 只是右零因子,不是左零因子,其中, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=F b a b a F M ,|00)(2 —).③环R 中元素a 若既是左零因子,又是右零因子,那么就称a 为零因子.显然,若环R 是变换环时, R 的每个左(右)零因子都是零因子.(6Z 中]2[,和]3[都是零因子)定义3.若环R 中没有左零因子(自然也就没有右零因子),那么称R 为无零因子环.一个环是否为无零因子环,与环中乘法的一个重要运算规则—消去律有着密切的联系.复习消去律的概念:设R c b a ∈,,.左消去律:c b a ac ab =⇒≠=0且右消去律:c b a ca ba =⇒≠=0且定理 设R 是一个环,那么(1)若R 中没有左零因子R ⇔中没有左消去律.(2)若R 中没有右零因子R ⇔中没有右消去律. 证明: (1)R c b a ∈∀⇒,,)( ,如果ac ab =且0≠a 那么0)(=-c b a .因为0≠a 且R 中没有左零因子.0=-⇒c b (否则a 就成了左零因子)即c b =由c b a ,,的任意性R ⇒中满足左消去律.)(⇐ 设 R a ∈≠0,如果0=ab显然0a ab =,∵0≠a 由左消去律0=⇒b ,这说明a 不是左零因子.由a 的任意性R ⇒中没有左零因子.关于(2),同理可证.利用左,右零因子的“共存亡”的性质.可知 推论：设R 是环，那么下列条件是等价的：①R 中没有左零因子；②R 中没有右零因子；③R 中满足左消去律；④R 中满足右消去律.说明: ④②①③定理“共存亡”定理⇔⇔⇔ 若R 是环,而含}.0|{≠∈=∙a R a R ,于是,可用∙R 的性质来刻划R 是否有零因子.结论:R 是无零因子环},{⋅⇔∙R 是半群.证明:R 是无零因子环),.(0,0∙∈≠≠⇔R b a b a ,都有0≠ab即∙∙⇔∈R R ab 是封闭的∙⇔R 是半群例3.在n 阶矩阵环)2(),(≥n F M n 中.若).(F M A n ∈那么A 是左(右)零因子0=⇔A .证明: )(⇒ 若A 是左零因子.).(0F M B n ∈≠∃⇔使 .0=AB如果⇒↑=⇒≠00||B A . 0||=∴A)(⇐ ∵0||=A ,构造地个齐线性方程组. (*)00021 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x A 由方程组的性质(*)⇒有非零解.02≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n 1c c c 即021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c A ,令 )(00000021F M c c c B n n ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 0021≠⇒≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡B c c c n 且 0)00,,00,(21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= A A c c A AB ∴ A 是零因子。

思考题1:在例3.中,能证明A 也必是个右零因子吗? 答:能. A A B B A A A ⇒==⇒==00||||'''是右零因子. 例4.剩余类m Z 是无零因子环m ⇔为素数.证明:m 为素数∙⇔m Z 是一个乘法群∙⇔m Z 是半群m Z ⇔为无零因子环(由结论)无零因子环的一个重要特性设},;{⋅+R 是一个无零因子环,那么加群},{+R 中每个非零元素的阶彼此必相同.并且,若有限时必是素数.说明:}0{.0,0≠∈≠≠∀R R b a 且设(ⅰ)若每个非零元的阶都是无限⇒它的阶都相同.(ⅱ)若0,||=+++=⇒=n a a a na n a ∴)()(0nb a b na ==, .0≠a 且R 中无零因子..||0n b nb ≤⇒=⇒若m b =||则n m ≤,重复上述的证明,同理m n ≤⇒ ∴m n =.即 n b =||.由b a ,的任意性⇒它们的阶都相同.(ⅲ)若R 中每个非零元的阶都是n .如果n 是合数⇒ 21n n n =其中n n n <<21,1.∴))(()(021b n a n ab n ==,但由于0,0121≠⇒<<a n n n n 且 02≠b n , 进而知a n 1是左零因子,而b n 2是右零因子.⇒↑, ∴n 不是合数,又 1}0{≠⇒≠n R 即n 为素数. 例4.},;{⋅+Z 作为整数环,易知是一个无零因子环.而加群},{+Z 中每个非零元a 的阶都是无穷大.例5.剩余类环7Z 是一个无零因子环,而加群},{7+Z 是7阶循环 ( 7是素数),进而知,群中每个非零元的阶为7.思考题2.指出下列哪些元素是给定的环的零因子.(1) 在)(2F M 中.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2421011-0B ,0012 ， C A . (2) 在12Z 中,它的全部零因子是哪些.(3) 11Z 中有零因子吗?答: (1) C A C A ,0||||⇒==是零因子,但B 不是.(2) 12Z 中的零因子为]10[],9[],8[],6[],4[],3[],2[(3) 11Z 中没有零因子.三．有单元的环(幺环)设},;{⋅+R 为环,就加法”+”而言.加法群},{+R 中自然有单位元,习惯上换为群},{+R 的零元,并记为.对乘法”·”而言,},{⋅R 中是会有单位元呢?定义4.一个环},;{⋅+R 中若有元素e ,使得.R a ∈∀都有a ae ea ==,那么称这个元素e 叫做环},;{⋅+R 的单位元.习惯上,记单位为R 1 注意:①环中的单位元R 1显然不只代表整数1.②并不是每个环都不得有单位元?R 1的.譬如偶数环Z 2. ③环R 中若有单位元,那么这个单位元必是唯一的. 并且我们规定:R a a R ∈∀=,10 和 n n n a a a )()(11---== ④有单位元1的环有时候为了突出单位元,常记为}1,,;{R R ⋅+ 定义5.设}1,,;{R R ⋅+是一个幺环,如果R a ∈具有下列条件:R b ∈∃使 R ba ab 1==那么称a 是R 中的可逆元.并称b 就是a 的逆元. 注意2:①只有在幺环中才能谈论逆元的问题.②既使}1,,;{R R ⋅+是幺环,也不能保证每个元素都可逆. ③在幺环R 中,若a 可逆,那么a 的逆元必是唯一的,习惯上记为1-a ,显然a a =--11)(.例6. ①因为偶数环Z 2中没有单位元,故Z 2中没有谈论逆元的“资格”.②整数环Z 中有单位元R 1(整数1).但除了1±外,,其余元都不可逆.③在)(F M n 中.单位元是E .而)(F M A n ∈可逆0||≠⇔A . 思考题3.①“ 幺环中必有可逆元”对吗?②在][x F 中,)(x f 可逆的充要条件是什么? ③若}0{=R —零环，R 中有单位元吗？④若幺环},0{≠R ,那01≠R 对吗? ⑤左(右)零因子会是可逆元吗? 0会是可逆元吗? 明示:设}1,,;{R R ⋅+是 幺环.那么① 若a 可逆1-⇒a 也可逆,且a a =--11)( ② 若a 和b 都是R 中元素:那么:a 与b 都可逆ab ⇔可逆. ③ 111)(---=a b ab结论2.设}1,,;{R R ⋅+是个幺环,由R 中所有可逆元构成的集合为 }|{可逆a R a S ∈=.那么},{⋅S 是一个乘法群. 证明:由于R 1本身是可逆的.S R ∈⇒1.即 ∅≠S .(ⅰ).)(,111---=⇒∈∀a b ab S b a ∴S ab ∈ (ⅱ)因为},{⋅R 是半群S ⇒满足结合律. (ⅲ)S R ∈1(ⅳ)S a ∈∀,则1-a 的逆元恰是S a a ∈⇒-1. 由(ⅰ)～(ⅳ)},{⋅⇒S 是乘法群.四． 整环定义5.设R 是环,如果R 满足下列条件,则叫作整环.(1)R 是交换环,(2)R 有单位元,(3)R 是无零因子环. 例6.整数环Z ,多项式环,模??剩余类环p Z (p 为素数) 都是整环.而不是整环的有:偶数环(无R 1).矩阵环)(F M n (不变换且有零因子),m Z (m 为合数,有零因子)。