共线向量

+9．5共线向量与共面向量

一、知识点

1、空间向量的定义

2、空间向量的加减与数乘运算

3、平行六面体的定义和性质

4、共线向量的定义或平行向量的概念、向量与平面平行（共面）意义及它们的表示

法

5、共线向量定理及推论、空间直线的向量参数方程和线段中点的向量公式

6、共面向量及推论、空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件）

7、空间向量基本定理及其推论

8、空间向量夹角和模的概念和表示方法

9、两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律

10、两个向量的数量积的主要用途，用它解决立体几何中的一些简单问题。

二、课时安排5课时

第一课时：空间向量及其加减与数乘运算

教学目标：

1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；

2、会用图形说明空间向量的加法、减法和数乘向量及它们的运算律；

3、了解平行六面体的定义和性质；

4、能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。

教学重点：

空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律

教学难点：

应用向量解决立体几何问题

教学过程：

复习回顾

在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向

量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

探索研究

1、空间向量的概念

⑴定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：①“空间的一个平移就是一个向量”，即“将图形上的所有点沿相同方向移动相同的长度”。

②向量不能比较大小。

⑵向量的表示：

①几何表示：用有向线段表示

②字母表示：用黑体小写英文字母表示

a

⑶向量的相等：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

⑷向量的平移：空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段来表示。 说明：

①平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移； ②平面上，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立。

③空间任意两个向量都是共面向量，因此凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们（到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）。

2、空间向量的运算

加法：OB ＝OA ＋AB ＝a ＋b 减法：BA ＝OA －OB ＝a －b

数乘：OP ＝λa(λ∈R)

空间向量加法与数乘向量运算满足如下运算律　1()加法交换律：a ＋b ＝b ＋a

2()加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c) 3()数乘分配律：λ(a ＋b)＝λa ＋λb

3．平行六面体：

平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的 轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''。

它的六个面都是平行四边形，每个面的边 叫做平行六面体的棱。 反思应用

A

A '

C

B

D B '

C '

D '

基础演练

1、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，则CD BC AB ++为（ ）A A 、AD B 、BD C 、AC D 、0

2、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则

)(2

1

BC BD AB ++为（ ）A

A 、AN

B 、CN

C 、BC

D 、

BC 2

1

3、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若,,1111b D A a B A ==

,1c A A =则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）A

A 、c b a ++-

2121 B 、c b a ++2121 C 、c b a +-2121 D 、c b a +--2

1

21 4、A 1、A 2、A 3是空间不共线的三点，则133221A A A A A A ++＝＿；类比上述性质得到一般性结论是＿。0， 0113221=+⋅⋅⋅++-A A A A A A A A n n n 。

例1、已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式，标出化简结果的向量：

⑴BC AB +； ⑵A A AD AB '++； ⑶C C AD AB '++2

1； ⑷)(3

1

A A AD A

B '++。 解：如图： ⑴A

C BC AB =+；

⑵ A A AD AB '++=C A A A AC '='+；

⑶设M 是线段C C '的中点，则AM CM AC C C AD AB =+='++2

1

； ⑷设G 是线段C A '的三等份点，则AG C A A A AD AB ='='++3

1

)(31。