立体几何第六讲：空间中的角

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空间角总结

空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。

空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。

空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。

空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。

2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。

3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。

4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。

空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。

设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。

通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。

向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。

向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。

通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。

球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。

球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。

球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。

球面角可以通过球面面积和球半径来计算。

立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。

立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。

立体角可以通过空间角和距离来计算。

立体几何空间角

2、空间四边形 ABCD中， AD BC 2， E, F 分别是 AB,CD 的中点， EF 3 ，
求异面直线 AD, BC 所成的角。
A
E
B
D F
C
6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的余弦值是多少?
8、如图，正四棱锥 P ABCD中，侧棱 PA与底面 ABCD所成角的正切值为 6 ． 2
（1）求侧面 PAD与底面 ABCD所成二面角的大小；
（2）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值．
7、如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为.
9、设平面 α∥β，两条异面直线 AC 和 BD 分别在平面 α、β 内，线段 AB、CD 中点分别为 M、N，设 MN=a，线段 AC=BD=2a，求异面直线 AC 和 BD 所成的角.
②二面角的平面角的范围是_______
。
③平面角为______的二面角叫做直二面角。
试题探究：
1、如图：表示正方体 ABCD A1B1C1D1 ，
D1 A1
C1 B1
求异面直线 BA1和CC1所成的角。
D
C
A
B
3、在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，试求直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角.
D1 A1
D
D
A
C1 B1
C
C
B
4、在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
D1 A1
C1 B1
O D

立体几何专题---空间中的角

一、概念
名称
两条异面直线所成的角
直线与平面所成的角
定义
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a， b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
二面角及它的
平面角
图形
O是空间中的任意一点
点o常取在两条异面直线中的一条上
B
A1 N
Q
AN=
AB AC BC
=
1
3
2
=
6
3
C
A
又 AC AB1 AQ B1C=AC AB1
AQ= Sin
AB1 AC B1C
= AN
2
AQN= AQ =
2
2
6
3
=1
Cos AQN= 3 3
另解： AC AB AC AA1
AC 平面AA1B1B
又 AC 平面ACB1 平面ACB1 平面AA1B1B
bˊ
b
o
θ
.
aˊ
o
α
a
一、概念
名称
定义
两条异面直线所成的角
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使 a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的
射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是0º的角。
C
分共析点：是由C1题，意但平二面面角C1没MN有与棱平，面需A1B要1C作1 出的，公 C1 再找平面角。

空间中的立体角的计算

空间中的立体角的计算主题：空间中的立体角的计算导语：在空间几何中，立体角是一种重要的概念，它用于描述物体的形状和方向。

立体角的计算涉及到几何图形的投影、体积和角度等知识。

本教案将以立体角的计算为主题，通过实际例子和具体计算方法，帮助学生理解和掌握立体角的概念和计算方法。

一、立体角的概念和性质1. 什么是立体角立体角是指由三个相交于一点的光线所张开的空间区域，用来度量物体在空间中占据的体积。

立体角的大小与光线的方向及夹角有关。

2. 立体角的特点立体角的大小与物体的形状、投影、角度等因素有关。

在立体角的计算中，我们需要考虑几何图形的高度、底面积、体积和角度等。

二、立体角的计算方法1. 立体角的计算公式a. 计算棱锥的立体角：对于一个棱锥，其立体角等于底面的面积与顶点处的球面的面积之比。

计算公式为：立体角 = 底面积 / （半径^2）。

b. 计算棱台的立体角：对于一个棱台，其立体角等于上底面的面积与下底面的面积之差除以顶点到底面的距离。

计算公式为：立体角= （上底面积- 下底面积）/ 距离。

2. 立体角的具体计算步骤以一个正方形金字塔为例，讲解立体角的具体计算步骤：a. 计算金字塔的底面积和高度。

b. 根据底面和高度计算金字塔的体积。

c. 根据金字塔的底面积和半径计算金字塔顶点处的球面的面积。

d. 根据计算结果可以得到金字塔的立体角。

三、立体角的应用举例1. 计算正方体的立体角以一个正方体为例，讲解立体角的应用：a. 计算正方体的体积和表面积。

b. 分析正方体中的一条对角线和一个表面的夹角，计算其立体角。

c. 利用立体角的计算结果，分析正方体的空间形状和方向。

2. 计算圆锥的立体角以一个圆锥为例，讲解立体角的应用：a. 分析圆锥的底面、侧面和顶点，计算其立体角。

b. 利用立体角的计算结果，描绘圆锥的空间位置和方向。

四、立体角的深入研究1. 立体角与空间几何的关系立体角作为空间几何的重要概念，与其他几何图形的性质有着密切的关系。

空间几何中的角与体积

空间几何中的角与体积角是几何中一个重要的概念，它不仅存在于平面几何中，也存在于空间几何中。

角的概念在几何学中具有广泛的应用，它不仅与形状的变化有关，还与体积的计算密切相关。

角的定义可以简单地理解为由两条线段或两条射线共同确定的图形部分。

在空间几何中，角通常由三个点来确定，这三个点分别位于三条线段或者射线上。

在空间几何中，角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。

锐角是小于90度的角，直角是等于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，而平角则是等于180度的角。

角在空间几何中的应用十分广泛。

例如，在三角形中，角是构成三角形的基本要素，通过研究和计算角的大小，可以得到诸多三角形性质的推导。

在四面体中，角的概念同样重要，通过计算四个面的角的大小，可以得到四面体的体积。

对于空间几何中的体积计算，其中涉及到与角密切相关的多面体。

多面体是由若干个平面多边形构成的立体图形，常见的多面体有三棱柱、四棱柱、四棱锥、正方体等等。

以正方体为例，正方体拥有六个面，每个面都是一个正方形。

当正方体的边长为a时，它的体积V可以通过公式V=a³来计算。

在计算正方体体积的过程中，没有涉及角的计算，这是因为正方体的每个面都是直角。

然而，并非所有的多面体都如正方体一样简单。

对于复杂的多面体，我们可以通过将其分解为若干个简单的几何体来计算它的体积。

在进行多面体的体积计算时，角的概念则十分重要。

例如，在计算四面体的体积时，可以通过计算四面体的底面积与高之积来得到。

而这个高正是一个由底面平行于另一面所构成的角所确定的垂直线段。

此外，在计算棱锥的体积时，角的作用同样不可忽视。

棱锥是底面为一个多边形，侧面为多个三角形的多面体。

通过计算棱锥底面的面积与高之积，再乘以1/3，即可得到棱锥的体积。

而这个高正是由底面上的任意一点到对面所构成的角所确定的垂直线段。

通过以上的例子可以看出，角不仅仅是空间几何中的一个基本概念，更是在体积计算过程中不可或缺的要素。

空间几何的立体角

空间几何的立体角立体角是空间几何中重要的概念，用于描述三维物体之间的角度关系。

参考欧几里得几何学中平面角的定义，立体角也是通过两个平面之间的交叉线来确定的。

本文将介绍立体角的概念、计算方法以及其在实际生活和科学研究中的应用。

一、概念在空间几何中，我们可以定义立体角为两个不共面的射线所夹的角度。

具体地说，我们可以通过从一个射线上选取一点，然后与该射线相交的另一射线还可以由无数种不同位置的点来确定。

这样，我们就可以得到不同的立体角。

根据这个定义，可以得出以下结论：1. 两个相对的直角是等于360度的立体角；2. 两个形成平面角的直线和两个形成立体角的直线具有相同的夹角。

二、计算方法为了计算立体角，我们可以使用多种方法，以下是其中两种常用的方法：1. 体积法：通过计算立体角所包围的体积来确定其大小。

具体地说，我们可以在两个不共面的射线之间构造一个四面体，然后计算该四面体的体积。

该体积就是所求立体角的大小。

这种方法需要对几何体的体积计算有一定的理解和掌握。

2. 广义平面角法：理解和应用平面角的概念和计算方法，可以将其推广到立体角的计算中。

通过选取两个不共面的射线上的点，可以构成一个平面角。

将这个平面角的两条边替换为另外两个射线，就可以得到一个立体角。

通过计算这个立体角对应平面角的大小，即可确定立体角的度数。

这种方法更加直观，易于理解和计算。

三、应用立体角在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是其中的几个例子：1. 光学：在光学领域中，研究光的传播和反射是非常重要的。

当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。

折射角的大小与入射角和介质的折射率有关。

通过计算折射角对应的立体角，可以进一步研究光的传播和折射规律。

2. 建筑设计：在建筑设计中，立体角可以用来描述建筑物之间的角度关系。

例如，在城市规划中，我们可以通过计算不同建筑物之间的立体角来优化建筑物的布局，以获得更好的采光和通风效果。

3. 数学研究：立体角作为空间几何的重要概念，被广泛应用于数学研究中。

立体几何-空间角知识点

立体几何-空间角知识点1.两条异面直线所成的角(1)异面直线所成的角的范围：(0,］。

2(2)异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。

两条异面直线a,b垂直，记作a b。

(3)求异面直线所成的角的方法：(1 )通过平移，在一条直线上(或空间)找一点，过该点作另一(或两条)直线的平行线;(2 )找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。

平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。

2•直线和平面所成的角(简称“线面角”)(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。

一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。

直线和平面所成角范围：(2) 最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

(3) 公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成B角, 且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，则有cos 1 cos 2 cos由(3)中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。

3•二面角(1)二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

若棱为I，两个面分别为，的二面角记为第1页(共2页)（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点0分别在两.个半.平面内作棱的两条垂线OA,OB，贝y AOB叫做二面角l 的平面角。

说明：①二面角的平面角范围是0,，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直。

（3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）（二）间接法：面积射影定理的方法。

空间中的角复习课

授课内容：空间的角授课教师：孟向波课件制作：孟向波E-mail:sxmxbo@高三数学复习课复习内容：空间中的角复习要求：理解空间三种角的概念并掌握其求法空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本内容，也是其重点和难点。

求空间角的一般步骤是：空间中的角有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。

1、异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。

其一般方法有：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；(3)计算。

[即：要求先证，要证先作。

]具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。

B 例1：长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AB =AA 1=2 cm ，AD =1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

如图，连B 1D 1与A 1C 1 交于O 1，O 1M ,512221=+=M A ,23212212122211=++==BD M O ,2512212211=+=O A 由余弦定理得,55cos 11-=∠M O A ∴A 1C 1与BD 1所成的角为.55arccos 取B B 1的中点M ，连O 1M ，则O 1M //D 1B ，于是∠A 1O 1M 就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角（或其补角），连A 1M ，在∆A 1O 1M 中（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

D B 1A 1D 1C 1A C 解法一（平移法）：3,52,51111===E C E A C A 在∆A 1C 1E 中，由余弦定理得55cos 11-=∠E C A ∴A 1C 1与BD 1所成的角为说明：异面直线所成角的范围是（0º，90º]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。

高中数学立体几何中的空间角解析

高中数学立体几何中的空间角解析立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中空间角是立体几何中的一个重要概念。

本文将以具体的题目为例，详细介绍空间角的定义、性质和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间角。

一、空间角的定义和性质空间角是指由两条射线在同一平面内围成的角，也可以理解为由两条射线在三维空间中围成的角。

具体来说，设有两条射线OA和OB，它们在同一平面内，那么角AOB就是由这两条射线所围成的空间角。

空间角的度量单位与平面角相同，可以用度（°）或弧度（rad）来表示。

在解题中，我们通常使用度来度量空间角。

空间角具有以下性质：1. 两条射线的方向不同，所围成的空间角大小在0°到180°之间；2. 如果两条射线的方向相同，所围成的空间角大小为0°；3. 如果两条射线的反向延长线相交，所围成的空间角大小为180°。

二、空间角的解题技巧1. 利用空间角的定义和性质进行解题在解题过程中，我们可以根据空间角的定义和性质来推导出一些结论，从而解决问题。

例如，如果题目给出了两条射线的夹角，我们可以利用空间角的定义直接得出答案；如果题目给出了两条射线的方向，我们可以根据空间角的性质判断空间角的大小。

举例：已知射线OA与射线OB的夹角为60°，射线OC与射线OB的夹角为120°，求射线OA与射线OC的夹角。

解析：根据空间角的定义，射线OA与射线OC的夹角等于射线OA与射线OB的夹角加上射线OB与射线OC的夹角。

即所求角度为60°+120°=180°。

根据空间角的性质，当两条射线的反向延长线相交时，所围成的空间角大小为180°。

因此，射线OA与射线OC的夹角为180°。

2. 利用平面角的知识解决空间角问题在解决空间角问题时，我们还可以利用平面角的知识进行推导和计算。

由于空间角是由两条射线在同一平面内围成的角，所以可以将空间角转化为平面角进行计算。

空间几何中的角度和角度关系

空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一种十分重要的概念，它可以帮助我们描述和研究各种几何形状之间的关系。

本文将介绍空间几何中的角度及其相关的角度关系。

一、角度的定义和性质角度是由两条射线（或者线段）所围成的图形，常用字母“∠”来表示。

我们常见的角度有直角、锐角和钝角。

1. 直角是最简单的角度关系，指的是两条相互垂直的射线所围成的角，其大小为90度。

直角在空间几何中有重要的应用，例如矩形的四个内角都是直角。

2. 锐角是两条射线夹角小于90度的角，其大小处于0度到90度之间。

锐角常常出现在各种三角形中，它决定了三角形的形状和性质。

3. 钝角是两条射线夹角大于90度但小于180度的角，其大小处于90度到180度之间。

钝角在空间几何中也有重要的角度关系，例如平行四边形的一个内角是钝角。

角度的性质有：1. 角度可以通过直角转化。

例如，两个相互垂直的直角是互补角（两个角的和为180度）。

互补角在三角形的补角关系中也有重要的作用。

2. 角的大小是相对的。

我们通常用角的大小来比较和描述角的大小关系，而不是单纯地依靠图形的形状。

例如，一个角度小于另一个角度表示前者比后者更为锐利。

3. 角度可以分解。

一个角度可以分解成若干个小角的和，这种分解可以帮助我们研究复杂问题。

例如，一个平行四边形的内角可以分解成两个互补角的和。

二、角度关系除了上述基本的角度类型和性质外，空间几何中还存在着一些重要的角度关系。

1. 对顶角：对顶角是指两条交叉直线所形成的相对的角。

对顶角的特点是大小相等，即它们的度数相同。

对顶角在各种几何形状中都有广泛的应用。

2. 夹角：夹角是指两条相交直线之间的角度。

夹角的大小可以决定直线的相对位置，例如两个平行直线的夹角为零。

3. 垂直角：垂直角是指两条相交直线互相垂直形成的角度，其度数为90度。

垂直角在研究垂直和垂直性的相关问题时起到重要作用。

4. 互补角和补角：互补角是指两个角度之和为90度，而补角是指两个角度之和为180度。

空间角的概念与性质

空间角的概念与性质概念：空间角是几何学中一个重要的概念，它是两个射线在三维空间中共面的情况下，通过共同端点形成的角。

与平面角类似，空间角同样由两个边构成，但由于存在三个维度，空间角的度量相对复杂一些。

性质：1. 角的度量：空间角的度量通常使用弧度制。

当两条射线在共同端点处的夹角为θ时，我们可以使用弧度来度量这个角。

一个直角等于π/2弧度，一个圆等于2π弧度。

因此，任意空间角的度量均可以转化为弧度的形式进行计算。

2. 空间角的几何关系：空间角的大小与其对应的几何关系有着密切的联系。

例如，当空间角为零时，即两个射线重合，形成的是一个平角；当空间角为直角时，两个射线相互正交，形成的是一个直角；当空间角大于直角时，两个射线夹角超过90度，形成一个钝角；当空间角小于直角时，两个射线的夹角小于90度，形成一个锐角。

3. 空间角与平行线：如果两个空间角的边分别平行，那么这两个角相等。

这是因为平行线之间的夹角为零，在三维空间中形成的空间角也不例外。

4. 空间角的投影：空间角的度量与其在投影面上形成的平面角的度量有关。

在垂直于投影面的方向上，空间角的投影是相等的。

5. 空间角的余角：与平面角类似，空间角也有余角的概念。

两个空间角的余角之和等于一个全角。

特别地，如果两个空间角之和为直角，那么这两个角即互为余角。

6. 空间角的三角函数：由于空间角的度量是以弧度为单位的，我们可以使用三角函数来计算和研究空间角。

其中，正弦、余弦和正切等三角函数与空间角的度量之间存在着特定的关系。

结论：空间角是三维空间中一组射线的几何特性的度量，它在几何学和物理学中具有广泛的应用。

在几何学中，对空间角的研究有助于解决射线之间的夹角关系以及空间图形的构造问题。

在物理学中，利用空间角可以描述物体在空间中的相对位置和方向，进而研究物体的运动规律和力学性质。

因此，空间角的概念与其性质具有重要的理论和实际意义。

立体几何之空间角

立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

）异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤⎝⎛20π，）直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm nm⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m //则α⊥a）二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法θcos S S =' ☎S 为原斜面面积 S '为射影面积 θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角✆当θ为锐角时，nm nm⋅⋅=arccos θ当θ为锐角时，nm nm ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解在正三棱柱111ABC A B C -中，若1,AB 求1AB 与B C 1所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，设O 为C B 1、B C 1的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。

设1,BB a AB ==则，于是在DOB ∆中，122211,,21,,2OB BC BD OD AB BD OB OD =======+ 即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB法二：取11A B 的中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyz O -AB 21的长度单位，则由1AB =有((())((111111110,,,0,1,0,0,2,,,220,A B B C AB C B AB C B AB C B-∴==⋅=-=∴⊥如图二所示，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是一直角梯形，90,//,,2B A D A D B C A BB C a A D a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。

空间角的概念与计算

空间角的概念与计算在几何学中，角是一个基本的概念，用于描述物体之间的相对方向。

而空间角则是在三维空间中描述物体之间方向关系的重要指标。

本文将介绍空间角的概念及其计算方法。

一、空间角的概念空间角是用来描述三维空间中两个矢量之间的夹角关系。

在二维空间中，我们可以通过一条射线和一条直线之间的夹角来描述角度，而在三维空间中，空间角则需要考虑更多的因素。

具体而言，对于任意两个非零矢量a和b，它们之间的空间角被定义为它们的夹角θ，满足0 ≤ θ ≤ π。

其中，θ=0时表示a和b共线，θ=π/2时表示a和b正交，θ=π时表示a和b反向。

二、空间角的计算1. 余弦定理计算空间角余弦定理是空间角计算中常用的方法之一。

对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，·表示矢量的点积，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长。

通过求解上式，我们可以得到空间角θ的值。

2. 向量叉积计算空间角另一种常用的空间角计算方法是利用向量的叉积。

对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：sinθ = |a×b| / (|a|·|b|)其中，×表示矢量的叉积。

通过求解上式，我们可以得到空间角θ的正弦值，进而计算出空间角的值。

三、实例演示下面通过一个实例来演示如何计算空间角。

假设有两个矢量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)。

我们希望计算出它们之间的空间角θ。

首先，我们可以通过求解余弦定理来计算空间角的余弦值：cosθ = (1×4 + 2×5 + 3×6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²)= (4 + 10 + 18) / √14 × √77= 32 / √1078 ≈ 0.979然后，通过反余弦函数可以求得空间角的弧度值：θ = arccos(0.979) ≈ 0.199 rad最后，将弧度值转换为度数，即可得到空间角的度数表示：θ ≈ 0.199 × (180/π) ≈ 11.4°因此，矢量a和b之间的空间角约为11.4°。

空间立体角定义

空间立体角定义空间立体角是数学中的一个概念，在立体几何中极为重要。

正如我们熟悉的平面角可以度量平面上两条直线的夹角一样，空间立体角可以度量空间中三条直线的夹角。

为了更好地理解空间立体角，我们先来回顾一下平面角的概念。

平面角可以通过位于同一个平面上的两条射线来定义。

这两条射线的起点被称为角的顶点，而射线所在的直线被称为角的边。

我们通常用度来度量平面角的大小，一个直角对应着90度，而一个周角则对应着360度。

那么，在空间中我们如何定义立体角呢？让我们来看一个例子。

假设我们有三条不在同一平面内的直线，它们交于一个共同的点，我们把这个点称为顶点。

我们可以从这个顶点引出三条线段，每条线段都与其中两条直线相交，我们将这些线段的两个端点称为空间角的顶点，这些线段所在的直线被称为空间角的边。

然后我们可以通过这些端点之间的距离来度量空间角的大小。

需要注意的是，空间角并不仅仅是由于几何形状的夹角而产生的。

事实上，空间角的大小还取决于这三条直线所定义的平面的偏转程度。

这意味着，即使三条直线的夹角相同，但如果它们所在的平面不同，那么它们的空间角也会不同。

为了更好地理解空间角的概念，我们可以通过一个常见的例子来进行说明。

想象一下，我们用一根笔直的棍子代表第一条直线，然后我们将其与另外两根笔直的棍子相交。

现在，我们可以看到，将这三根棍子与顶点相连后，我们得到了一个锐角、直角或者钝角。

这个角度就是我们所说的空间角。

空间角的度量方法有很多种，最常见的是用立体弧度来表示。

一个立体弧度等于球面上半径为1的圆锥的底角所对应的平面角的弧度。

空间立体角的概念在物理、几何、计算机图形学等领域具有重要的应用价值。

它不仅可以用来描述物体的旋转和旋转速度，还可以用来计算光线的散射和折射等现象。

总之，空间立体角是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们度量空间中的三条直线之间的夹角，具有广泛的应用价值。

通过理解和运用空间立体角的概念，我们可以更好地理解立体几何的性质，并能够在实际问题中进行准确的度量和计算。

探讨立体几何中的角

探讨立体几何中的角在立体几何学中，角是我们经常遇到的一个重要概念。

通过研究角的性质和特点，我们可以更好地理解立体图形的结构和性质。

本文将探讨立体几何中的角，从不同角度分析其定义、分类、性质以及应用。

一、角的定义角是由两条射线或线段的端点组成的，可以看作是平面上两条向量的夹角。

通常以大写字母表示，如∠ABC，其中A、B为角的两个端点，C为角的顶点。

二、角的分类根据角的大小和性质，可以将角分为以下几类：1. 零角：两条重合的射线或线段构成的角，角的度数为0°。

2. 直角：两条相交的射线或线段构成的角，角的度数为90°。

3. 钝角：大于90°但小于180°的角。

4. 锐角：小于90°的角。

5. 平角：两条射线或线段在平面上所成的角，角的度数为180°。

三、角的性质1. 余角性质：两个互为余角的角的和为平角，即∠A和∠B是互为余角，则∠A+∠B=180°。

2. 角的大小性质：角度的大小可以通过度数来衡量，一圆周角的度数为360°。

3. 角的对立角性质：两个互为对立角的角的度数相等，即∠A和∠B是互为对立角，则m∠A=m∠B。

4. 角的补角性质：两个互为补角的角的和为直角，即∠A和∠B是互为补角，则∠A+∠B=90°。

四、角的应用角的概念在几何学以及其他科学领域中有广泛的应用。

下面列举了一些重要的应用场景：1. 几何图形的构造：通过合理利用角的性质和大小，我们可以进行几何图形的构造和计算，例如三角形、四边形等的计算和作图。

2. 地理导航：在地理导航系统中，我们可以利用角的概念来计算方位和航向，帮助人们找到目的地。

3. 建筑设计：在建筑设计中，角的概念可以为建筑师提供指导，帮助设计出美观且结构稳定的建筑物。

4. 机械设计：在机械设计中，角的概念可以用于设计传动机构和运动装置，确保机械设备的正常运转。

总结：通过对立体几何中角的探讨，我们了解了角的定义、分类、性质以及应用。

2020高考数学考点突破——立体几何6：空间角

2020高考数学考点突破之立体几何（6）第6讲空间角【考点梳理】 1.异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则|a ·b |设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.3.求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).【考点突破】考点一、利用空间向量求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E 是PC的中点.已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：(1)△PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.[解析] (1)因为P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.又AD⊥CD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，从而CD⊥PD.因为PD＝22＋（22）2＝23，CD＝2，所以△PCD的面积为12×2×23＝2 3.图1(2)法一如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在△AEF中，由于EF＝2，AF＝2，AE＝12PC＝2.所以AF2＋EF2＝AE2，∠AFE＝90°，则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.图2法二如图2，建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (2，22，0)， E (1，2，1)，AE →＝(1, 2，1)，BC →＝(0，22，0).设AE→与BC →的夹角为θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 【类题通法】(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解.(2)两异面直线所成角的范围是θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【对点训练】将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为2π3，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.(1)求三棱锥C －O 1A 1B 1的体积；(2)求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小.[解析] (1)连接A 1B 1，因为A 1B 1︵＝π3，∴∠O 1A 1B 1＝∠A 1O 1B 1＝π3，∴△O 1A 1B 1为正三角形， ∴S △O 1A 1B 1＝12·O 1A 1·O 1B 1·sin 60°＝34. ∴V C －O 1A 1B 1＝13·OO 1·S △O 1A 1B 1＝13×1×34＝312， ∴三棱锥C －O 1A 1B 1的体积为312.(2)以O 为坐标原点建系如图，则A (0，1，0)，A 1(0，1，1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0.∴AA 1→＝(0，0，1)，B 1C →＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈AA 1→，B 1C →〉＝AA 1→·B 1C →|AA 1→||B 1C →|＝0×0＋0×（－1）＋1×（－1）1×02＋（－1）2＋（－1）2＝－22， ∴〈AA 1→，B 1C →〉＝3π4，∴异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.[解析] (1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綉AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)解取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz .由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎨⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1).于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525.所以直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525. 【类题通法】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【对点训练】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°.(1)证明：AB ⊥B 1C ；(2)若B 1C ＝2，求AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值.[解析] (1)证明连接AB 1，在△ABB 1中，AB ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°，由余弦定理得，AB 21＝AB 2＋BB 21－2AB ·BB 1·cos ∠ABB 1＝3， ∴AB 1＝3，∴BB 21＝AB 2＋AB 21，∴AB 1⊥AB .又△ABC 为等腰直角三角形，且AB ＝AC ，∴AC ⊥AB ，∵AC ∩AB 1＝A ， ∴AB ⊥平面AB 1C .又B 1C ⊂平面AB 1C ，∴AB ⊥B 1C .(2)解 ∵AB 1＝3，AB ＝AC ＝1，B 1C ＝2，∴B 1C 2＝AB 21＋AC 2，∴AB 1⊥AC .如图，以A 为原点，以AB →，AC →，AB 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，1，0)， ∴BB 1→＝(－1，0，3)， BC →＝(－1，1，0).设平面BCB 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧BB 1→·n ＝0，BC →·n ＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－x ＋y ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝3，∴平面BCB 1的一个法向量为n ＝(3，3，1).∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC →＋BB 1→＝(0，1，0)＋(－1，0，3)＝(－1，1，3)， ∴cos 〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n|AC 1→||n |＝35×7＝10535，∴AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值为10535.考点三、利用空间向量求二面角【例3】如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值； (3)求二面角B －B 1D －C 的余弦值.[解析] (1)证明取AB 中点为O ，连接OD ，OB 1， ∵B 1B ＝B 1A ，∴OB 1⊥AB . 又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1， ∴AB ⊥平面B 1OD ，∵OD ⊂平面B 1OD ，∴AB ⊥OD . ∵∠B 1BC ＝90°，即BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，∴OD ⊥BB 1，又AB ∩BB 1＝B ， ∴OD ⊥平面ABB 1A 1，又OD ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)解由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直.以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知B 1(0，0，3)，D (0，1，0)，A (－1，0，0)，C (1，2，0)，C 1(0，2，3).则B 1D →＝(0，1，－3)，AC →＝(2，2，0)，CC 1→＝(－1，0，3).设平面ACC 1A 1的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，取m ＝(3，－3，1). ∴cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m |B 1D →||m |＝0×3＋1×（－3）＋（－3）×102＋12＋（－3）2×（3）2＋（－3）2＋12＝－217，∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217.(3)解由题设知B (1，0，0)，则BD →＝(－1，1，0)，B 1D →＝(0，1，－3)，DC →＝(1，1，0).设平面BB 1D 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n 1＝0，B 1D →·n 1＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－3z 1＝0，可取n 1＝(3，3，1). 同理可得平面B 1DC 的一个法向量为n 2＝(－3，3，1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3×（－3）＋3×3＋1×1（3）2＋（3）2＋12×（－3）2＋（3）2＋12＝17.∴二面角B －B 1D －C 的余弦值为17. 【类题通法】利用向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【对点训练】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，P A ＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.(1)求证：OC⊥PD；(2)若PD与平面P AB所成的角为30°，求二面角D－PC－B的余弦值.[解析] (1)证明如图，连接OP.∵P A＝PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB.∵侧面P AB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC.∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，又OP⊥OC，OP∩OD＝O，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD.(2)解法一在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨设AD＝1，则AB ＝2.∵侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，∴DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，∴∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，∴∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，∴DP ＝CP ＝2，∴△PDC 为等边三角形.设PC 的中点为M ，连接DM ，则DM ⊥PC .在Rt △CBP 中，过M 作NM ⊥PC ，交PB 于点N ，连接ND ，则∠DMN 为二面角D －PC －B 的一个平面角.由于∠CPB ＝30°，PM ＝1，故在Rt △PMN 中，MN ＝33，PN ＝233.∵cos ∠APB ＝3＋3－42×3×3＝13， ∴AN 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋3－2×233×3×13＝3， ∴ND 2＝3＋1＝4， ∴cos ∠DMN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋3－42×33×3＝－13，即二面角D －PC －B 的余弦值为－13. 法二取CD 的中点E ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，∴AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2.∵侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，∴DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，∴∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，∴∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，∴B (0，1，0)，C (1，1，0)，D (1，－1，0)，P (0，0，2)，从而PC→＝(1，1，－2)，CD→＝(0，－2，0). 设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧PC →·n 1＝0，CD →·n 1＝0，得⎩⎨⎧x 1＋y 1－2z 1＝0，－2y 1＝0，可取n 1＝(2，0，1). 同理，可取平面PCB 的一个法向量为n 2＝(0，－2，－1).于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－13， ∴二面角D －PC －B 的余弦值为－13.。