2020年高考数学核按钮专题复习 三角函数、解三角形4.4课件 理 精品
(课标专用)2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形教师用书文(PDF,含解析)
注意 三角形中的常用结论： （１）Ａ＋Ｂ＋Ｃ ＝ π． （２） ａ＞ｂ⇔Ａ＞Ｂ⇔ｓｉｎ Ａ＞ｓｉｎ Ｂ． （３） ｓｉｎ（ Ａ＋Ｂ） ＝ ｓｉｎ Ｃ，ｃｏｓ（ Ａ＋Ｂ） ＝ －ｃｏｓ Ｃ． （ ４） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
考点二 解三角形及其应用
高频考点
１．已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解． ２．已知两边及其一边的对角，用正弦定理，也可用余弦定理．
Ｃ
＝
ａ ｓｉｎ
Ａ
＝
２Ｒ
ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ２ ＋ｃ２ －ａ２ ； ２ｂｃ
ｃｏｓ
Ｂ
＝
ａ２
＋ｃ２ － ２ａｃ
ｂ
２
；
ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ２ ＋ｂ２ －ｃ２ ２ａｂ
解决 的问
题
已知两角和任一边，求另一角 和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其他两角
已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第 三边和其他两角； 已知两边和其中一边的对角， 求其他角和边
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（ 或坡比） （如图 ｄ，ｉ 为坡比）．
第四章 三角函数 ４ ７
对应学生用书起始页码 Ｐ８１
一、判断三角形形状的方法
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（２） 若 Ｄ 为 ＢＣ 边上的点，ＢＤ ＝ ２ＤＣ，且∠ＡＤＢ ＝ ２∠ＡＣＤ，ａ ＝
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件理新人教A版
三角函数的定义(高频考点) 三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题 的形式考查，难度较小，主要有以下四个命题角度： (1)利用三角函数定义求值； (2)判断三角函数值的符号； (3)利用三角函数线解三角不等式； (4)三角函数定义中的创新．
第四章 三角函数、解三角形
知识点
考纲下载
任意角的概念 与弧度制、任
了解任意角的概念. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互
意角的三角函 数
化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的
定义.
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋
同角三角函数 的基本关系式
cos2x＝1，csions xx＝tan x.
(2)求nθ或 nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法 ①将 θ 的范围用不等式(含有 k)表示． ②两边同除以 n 或乘以 n. ③对 k 进行讨论，得到nθ或 nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．
[通关练习] 1 ． 在 － 720° ～ 0° 范 围 内 所 有 与 45° 终 边 相 同 的 角 为 ________． 解析：所有与 45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°， 得－765°≤k×360°<－45°，解得－736650≤k<－34650， 从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°. 答案：－675°或－315°
与诱导公式
能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，
π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
第四章 三角函数、解三角形
高考总复习核按钮数学配套课件资源4章4节
必备知识
基础自测
核心考点
2022高考数学核按钮 · 专点突破
【自查自纠】
1．(1)(0，0) π2，1 (π，0) 32π，－1 (2π，0)
(2)(0，1) π2，0 (π，－1) 32π，0 (2π，1)
2．f(x＋T)＝f(x) 最小正周期 3．①R ②R ③x|x≠kπ＋π2，k∈Z ④[－1，1]
R
无对称轴； 对称中心： ⑩______ ⑬_______
单调增区间 ⑱_______
○21 _______
2022高考数学核按钮 · 专点突破
第四章 三角函数与解三角形
【常用结论】
4．关于周期性的常用结论 (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一．例如，2π，4π，6π，… 以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期．同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如 f(x) ＝2(x∈R)． (2)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x)的周期． (3)周期函数的定义域是无限集． (4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究 它在一个周期内的性质． 5．关于奇偶性的常用结论
下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是 ( )
A．y＝sin2x＋π2
B．y＝cos2x＋π2
C．y＝sin2x＋cos2x
D．y＝sinx＋cosx
第四章 三角函数与解三角形
解：对 A 项，y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，且为偶函数，不符合题意； 对 B 项，y＝cos2x＋π2＝－sin2x，最小正周期为 π，且为奇函数，符合题意； 对 C 项，y＝sin2x＋cos2x＝ 2sin2x＋4π，最小正周期为 π，为非奇非偶函数，不符合题意； 对 D 项，y＝sinx＋cosx＝ 2sinx＋π4，最小正周期为 2π，为非奇非偶函数，不符合题意．故选 B．
2020版高考数学总复习第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)第4节三角函数的图象与性质应用能
第4节三角函数的图象与性质【选题明细表】知识点、方法题号定义域、值域、最值1，2,6，7，12单调性、单调区间5,8，10奇偶性、周期性、对称性3,9,11，13综合应用4,14,15基础巩固（建议用时:25分钟）1。
x∈［0,2π]，y=+的定义域为( C ）（A）[0,）（B）(，π］（C）［π，) (D）（,2π］解析:法一由题意，所以函数的定义域为［π,）。
故选C。
法二x=π时,函数有意义,排除A，D;x=π时，函数有意义,排除B。
故选C。
2。
(2018·湖北武汉模拟）已知函数f（x）=cos（ωx—）(ω>0）且f（）=f（），若f （x)在区间（，）上有最大值，无最小值,则ω的最大值为( D ）(A）(B）（C)(D)解析:函数f（x)=cos(ωx-) （ω〉0）且f（）=f（）,所以直线x=×(+)=为f（x)=cos(ωx-）（ω〉0）的一条对称轴,且过函数最大值点.所以ω·—=2kπ，k∈Z,所以ω=k+，k∈Z，又ω〉0,且f（x）在区间(，）上有最大值,无最小值,所以T≥—=,所以≥,所以ω≤12，所以当k=4时,ω=+=为最大值.故选D。
3。
(2018·河南安阳模拟）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（-x)=3cos x—sin x，则函数f(2x）图象的对称中心为（ D ）(A）(kπ—,0)(k∈Z) （B)（kπ-，0）（k∈Z）（C）(-,0)（k∈Z）（D）(-，0）(k∈Z)解析:因为对任意x∈R，都有f(x）+2f（-x)=3cos x-sin x,①用-x代替x，得f(-x)+2f（x)=3cos (—x)-sin （—x），即f（—x）+2f(x）=3cos x+sin x,②由①②组成方程组，解得f(x）=sin x+cos x,所以f(x）=sin(x+），所以f（2x）=sin(2x+).令2x+=kπ,k∈Z，求得x=-，故函数f(2x）图象的对称中心为(—，0），k∈Z，故选D.4.(2018·湖南邵阳三模）设函数f(x）=cos(2x—),则下列结论错误的是( D ）(A）函数f(x）的一个周期为π（B）函数f（x）的图象关于直线x=-对称(C）函数f（x)的图象关于点（-,0）对称(D)函数f(x)在区间[-，]上单调递减解析:对于函数f(x）=cos(2x-），它的最小正周期为=π，故A正确.由于当x=-时,f（x)=cos (—2π)=1，为最大值，故函数f（x)的图象关于直线x=—对称，故B正确.由于当x=—时,f（x)=cos（—）=0,故函数f（x)的图象关于点(-,0)对称,故C正确.故选D.5。
2020版高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)平面几何在解三角形中的广泛应用课件理
2 x 1
2 ,AC 的长为 1.
方法点晴
三角形中的内角平分线定理、外角平分线定理、圆中相交弦定理、切割线 定理在实际解题中有很大的作用.
技巧二 构造辅助圆解题
【例 2】 在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠B=30°,AB=3 3 ,BC=5,则线段 BD 的长
度为
.
解析:∠BAD=∠BCD=90°,即有∠BAD+∠BCD=180°,所以四边形 ABCD 有外接圆☉O, 设☉O 的半径为 R,则 BD 为直径等于 2R.在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+CB2-
技巧三 由三角形的形状确定角、边的范围
【例 3】 在锐角三角形△ABC 中,A=2B,则 BC 的取值范围是( ) AC
(A)(0,2)
(B)( 2 ,2) (C)( 2 , 3 )
(D)(1, 2 )
0
B
π 2,源自解析:BC AC=
sin A sin B
=
sin 2B sin B
=2cos
(1)求 sin B ; sin C
解:(1)如图,过 A 作 AE⊥BC 于 E,因为
SABD
=
1 BD AE 2
=2,所以 BD=2DC,因为 AD 平分∠
SADC 1 DC AE
2
BAC,所以∠BAD=∠DAC,在△ABD 中, BD = AD ,所以 sin B= ADsin BAD ,所以
SABD
=
1 AB DM 2
=2,所以 AB=2AC.令 AC=x,则 AB=2x,
SADC 1 AC DN
2
2x2 12
2
2
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件理新人教A版
D. 3
答案 C
答案
解析 由三角函数的定义得sinα·cosα＝
a －42＋a2 ·
－4 －42＋a2
＝
－－442＋a a2＝ 43，即 3a2＋16a＋16 3＝0，解得a＝－4 3或a＝－433.故选
C.
解析
触类旁通 三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原 点的距离，再用三角函数的定义求解．
1．(2019·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P 35，－45 ，则sinα －cosα的值是( )
A．－75
B．－15
1
7
C.5
D.5
答案 A
答案
解析 由题意知sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα－cosα＝－45－35＝－75.故 选A.
解析
2．若sinθcosθ<0，则角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
π 2
＜2＜3＜π＜4＜
3π 2
，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴
sin2·cos3·tan4＜0.选A.
解析
角度3 利用三角函数的定义求参数
例4
(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－
4 5
，则m的
值为( )
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
答案 B
A．2 2
C弦长为2，则这个圆心角所 )
B．2sin1
D．sin2
答案 C
答案
解析 ∵2Rsin1＝2，∴R＝si1n1，l＝|α|R＝si2n1.故选C.
高考数学理科 复习 第四章三角函数 §4.4解三角形
sin A
3
3
(2)由(1)知cos A= 6 ,所以sin A= 1 cos2 A= 3 .
3
3
因为∠B=2∠A,
所以cos B=2cos2A-1= 1 .
3
所以sin B= 1 cos2B = 2 2 .
3
在△ABC中,sin C=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B= 5 3 .
65
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,
乙距离A处130t m,所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×12 =200(37t2-70t+50),
13
因0≤t≤1 040 ,即0≤t≤8,故当t= 35 时,d最小,
1-1 (2013北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
解析
(1)因为a=3,b=2
6
,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得
3 sin
A
=2 6.
sin 2A
所以 2sin Acos A = 2 6 .故cos A= 6 .
课标版 理数 § 4.4 解三角形
知识梳理
1.正弦定理、余弦定理
(1)正弦定理
在△ABC中,①
a sin
A
=
b sin
B
=
c sin
C
=2R(R为△ABC外接圆半径)
.
(课标专用)2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形课件
解析 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.
又a=b,可得b=2c,a=2c.
由余弦定理可得cos B= a2 c2 b2 = 1 . (6分)
2ac
4
(2)由(1)知b2=2ac.
因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac,得c=a= 2 .
所以△ABC的面积为1. (12分)
(1)由题设及正弦定理得sin Asin A C =sin Bsin A.
2
因为sin A≠0,所以sin A C =sin B.
2
由A+B+C=180°,可得sin A C=cos B,
2
2
故cos B =2sin B cos B .
2
22
因为cos B ≠0,故sin B = 1 ,因此B=60°.
∵sin C≠0,∴sin A+cos A=0,
∴A= 34 .
由正弦定理可得
2 sin 3
= 2
sin C
,即sin C= 1 ,
2
∵0<C< ,∴C= ,故4选B.
4
6
4.(2019课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .
答案 3 π
4
解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算. 在△ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, ∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0, 即tan B=-1,
又B∈(0,π),∴B= 3 π.
【精品课件】2020年高考数学复习专题之三角函数、解三角形PPT☆★☆★第六节 简单的三角恒等变换
第六 节
简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简
[典例] (1)sin1＋18c0o°s＋22αα·cosc9o0s2°＋ α α等于
(D)
A．－sin α B．－cos α C．sin α D．cos α
(2)化简：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)． [解] (1)原式＝2－cossi2nα2－α·csoins2αα＝－22csoins2ααc－ossαin·coαs2α＝cos α.
10°＋sin cos 35°
10°
＝
2
2 2 cos
10°＋
2 2 sin
10°
cos 35°
＝ 2cocso4s53°5－°10°＝ c2ocsos353°5°＝ 2.
答案：C
()
2．已知 α 为第二象限角，sin α＋cos α＝ 33，则 cos 2α＝(
)
A．－
5 3
[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间 的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另 外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母 相约等)的方式来求值．
考法(二) 给值求值 [典例] 已知 sinα＋π4＝102，α∈π2，π.
＝ccooss 22αα＝1.
考点二 三角函数式的求值
考法(一) 给角求值
[典例]
cos
10°1＋ 3tan cos 50°
10°的值是________．
[解析]
原式＝cos
10°＋ cos
3sin 50°
10°＝2sinco1s0°5＋0°30°＝
2020高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件
(2)由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2， 得 kπ－π4<12x<kπ＋34π. ∴2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z)． ∴y＝tan(12x－π4)的单调增区间为(2kπ－π2，2kπ＋32π)(k∈Z)．
[解析] 由 2x≠kπ＋π2，k∈Z，得 x≠k2π＋π4，k∈Z，所以 y＝tan2x 的定义域
为{x|x≠k2π＋π4，k∈Z}．
2．(教材改编)下列关于函数 y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的
是
( B)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在[－π2，π2]上是增函数，在[－π，－π2]及[π2，π]上是减函数
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
在_[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_]__，k ∈Z 上递增；
在k ∈___[Z_(2_k_－_上_1_)_递π_，__增2_k_π_；]___在，在(－π2＋kπ，π2
单调性
在_[_π2_＋__2_k_π_，__3_2π_＋__2_k_π_]____，
5．(1)函数 y＝sin(x＋π4)的单调递减区间是___[_2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__5_4π_]_(k_∈__Z__)__ (2)函数 y＝tan(12x－π4)的单调递增区间是__(2_k_π_－__π2_，__2_k_π_＋__3_2π_)_(_k_∈__Z_)_______
2020版高考理数：专题(4)三角函数与解三角形ppt课件考点四
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 核心方法 重点突破
方法1 利用正弦定理解三角形
13
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
14
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
例1、[山东2017·9]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，
【答案】
34
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 例12、[北京2016·15]在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ 2 ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求 2 cos A＋cos C的最大值．
35
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
方法5 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考．主要有以下两条途径： (1)“角化边”：把已知条件(一般是边的一次式，角的正弦、余弦)转
39
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
(2)在应用正弦定理、余弦定理解决有关的解三角形和测量问题的过程 中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，故应该提出自己的解决办 法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问 题甚至可以设计应用程序，得到在实际中可以直接应用的算法．
40
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判 断三角形的形状． (2)“边化角”：把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为 内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而 判断三角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π 这个结论．
36
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第四章§4.4 解三角形
解法二：（ 同解法一） 可得 ２ａ２ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ ２ｂ２ ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ａ．
由正、余弦定理，可得
ａ２
ｂ２ ·
＋ｃ２ －ａ２ ２ｂｃ
·ｂ
＝
ｂ２
ａ２ ·
＋ｃ２ －ｂ２ ２ａｃ
·ａ．
∴ ａ２（ ｂ２ ＋ｃ２ －ａ２ ）＝ ｂ２（ ａ２ ＋ｃ２ －ｂ２ ） ，
即（ａ２ －ｂ２）（ａ２ ＋ｂ２ －ｃ２）＝ ０．
＝ ０，所以 ａ ＝ ｂ 或 ａ２ ＋ｂ２ ＝ ｃ２ ．若 ａ ＝ ｂ，则两直线重合，不符合题意，
故 ａ２ ＋ｂ２ ＝ ｃ２ ，则△ＡＢＣ 是直角三角形，故选 Ｃ．
１－３ 在 △ＡＢＣ 中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ 所对的 边 分 别 是 ａ， ｂ， ｃ， 若
２ａｓｉｎ Ａ ＝ （２ｂ－ｃ） ｓｉｎ Ｂ＋（２ｃ－ｂ） ｓｉｎ Ｃ．
１ ２ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
§ ４．４ 解三角形
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( ) ｃｏｓ（ Ａ＋Ｂ）＝ － ｃｏｓ Ｃ；ｔａｎ （ Ａ ＋ Ｂ） ＝ － ｔａｎ Ｃ
Ａ＋Ｂ≠
π ２
； ｓｉｎ
Ａ＋Ｂ ２
＝
ｃｏｓ
高考数学复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用课件理
注意点
应用定理解题中要等价变形
任何等价变形中，一般两边不约公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
1．思维辨析 1 1 1 (1)公式 S＝2bcsinA＝2acsinB＝2absinC 适用于任意三角形．( √ ) (2)东北方向就是北偏东 45° 的方向．( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角．( × ) π (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是 0，2 .( × )
(3)解三角形应用题的一般步骤
在△ABC 中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)· sin(A＋B)，试判断△ABC 的形状．
[正解] 因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， 所以 b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]． 所以 a2cosAsinB＝b2sinAcosB. 解法一：由正弦定理知 a＝2RsinA，b＝2RsinB， 所以 sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB. 又 sinA· sinB≠0，所以 sinAcosA＝sinBcosB， 所以 sin2A＝sin2B. 在△ABC 中，0<2A<2π，0<2B<2π， π 所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B，所以 A＝B 或 A＋B＝2. 所以△ABC 为等腰或直角三角形．
第四章
三角函数
第4讲
正、余弦定理及解三角形
考点二
解三角形及其综合应用
撬点· 基础点 重难点
1
三角形的面积公式
设△ABC 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S. 1 (1)S＝2ah(h 为 BC 边上的高)；
2020年高考课标版高考理科数学 4.4 解三角形
4.4解三角形挖命题【考情探究】分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.破考点【考点集训】考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sinB,c=,且cos C=,则a=()A.2B.3C.3D.4答案B2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π答案C3.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则=.答案1考点二解三角形及其综合应用1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则△ABC的面积为()A. B. C. D.答案B2.如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m答案D3.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.答案20或24炼技法【方法集训】方法1 利用正弦、余弦定理解三角形1.(2017广东珠海调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=()A. B. C. D.答案A2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为.答案3.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD=.答案方法2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状1.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-=-,则这个三角形必含有()A.90°的内角B.60°的内角C.45°的内角D.30°的内角答案B2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.解析(1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cos A=-=,因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°.由sin B+sin C=,得sin B+sin(120°-B)=,所以sin B+sin120°cos B-cos120°sin B=.所以sin B+cos B=,即sin(B+30°)=1.因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°.所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.方法3 与面积、范围有关的问题1.(2018河南中原名校联考,9)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2absin C=(b2+c2-a2),若a=,c=3,则△ABC的面积为()A.3B.3C.2D.答案B2.(2018吉林长春一模,15)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-cos A=sin Acos C,且a=2,则△ABC面积的最大值为.答案3过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2014课标Ⅱ,4,5分,0.472)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1答案B2.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标Ⅲ,9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为-,则C=()A. B. C. D.答案C2.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=-=.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.3.(2017课标Ⅲ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解析(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)解法一:由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.解法二:由余弦定理得cos C=,在Rt△ACD中,cos C=,∴CD=,∴AD=,DB=CD=,∴S△ABD=S△ACD=×2××sin C=×=.解法三:∠BAD=,由余弦定理得cos C=,∴CD=,∴AD=,∴S△ABD=×4××sin∠DAB=.解法四:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在△ABE 中,∠EAB=-=,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D为BC中点,∴S△ABD=S△ABC=××2×4×sin∠CAB=.4.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2cos Csin C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.∴a+b=5.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=,c=.答案;34.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos-.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在△ABC中,由正弦定理=,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos-,得asin B=acos-,即sin B=cos-,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos-,可得sin A=.又a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin Acos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2Acos B-cos2Asin B=×-×=.解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos-是求解第(1)问的关键;(2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a<c确定cos A>0是求解第(2)问的关键.失分警示(1)由于忽略a<c这一条件,从而导致cos A有两个值,最终结果出现增解;(2)由于不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错.考点二解三角形及其综合应用1.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案92.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;3.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.解析(1)在△ABC中,因为cos B=-,所以sin B=-=.由正弦定理得sin A==.由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=.(2)在△ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以AC边上的高为asin C=7×=.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.4.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A==.所以,b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及a<c,得cos A=,所以sin2A=2sin Acos A=,cos2A=1-2sin2A=-.故sin=sin2Acos+cos2Asin=.方法总结 1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)认真审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算准确,注意符号.C组教师专用题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B. C.- D.-答案C2.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.答案83.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案14.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=. 答案5.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案16.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于. 答案77.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.答案-8.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案29.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=得sin B=,cos2B=2cos2B-1=-,故cos A=-,sin A=,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.评析本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.10.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD 的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B===,由题设知0<B<,所以cos B=-=-=.在△ABD中,由正弦定理得AD==-==.11.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD===3,所以BC=5.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.评析本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识,考查分析推理、运算求解能力.考点二解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3答案C2.(2015课标Ⅰ,16,5分,0.043)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.答案(-,+)3.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.答案4.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.答案-5.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,当A=时,△ABC的面积为. 答案6.(2017北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.7.(2016山东,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tanB)=+.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=,-所以cos C=-==-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.8.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求∠B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=-==.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)(2)由(1)知∠A+∠C=.cos A+cos C=cos A+cos-=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos-.(11分)因为0<∠A<,所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)9.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得==.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB①,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC②.①+2×②得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.10.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.11.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈.于是sin A+sin C=sin A+sin-=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2-+.因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2-+≤.由此可知sin A+sin C的取值范围是.12.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 13.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=-==.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD=-=-=,sin∠BAD=-=--=.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×--×=.在△ABC中,由正弦定理,得=,故BC===3.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018湖南衡阳2月调研,6)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,若2sin C=sin A+sin B,cos C=且S△ABC=4,则c=()A. B.4C. D.5答案A2.(2018山东菏泽3月联考,8)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-c-=0,a2=bc,b>c,则=()A. B.2C.3D.答案B3.(2018江西赣州2月联考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acos A=bcos C+ccos B,且b+c=4,则a的最小值为()A.2B.2C.3D.2答案A4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+asin B=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=,则△ABC的外接圆的半径为() A.1B.2C.3D.4答案A5.(2018河南郑州一模,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为()A.28B.36C.48D.56答案C6.(2018山东济宁二模,12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=c,则tan(A-B)的最大值为()A. B. C. D.答案A二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019届安徽黄山11月八校联考,15)在△ABC中,∠B=60°,b=,则当c+2a取最大值时,sin C=.答案8.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cos A=,cos B=,c=,则a=.答案三、解答题(共45分)9.(2019届广东佛山顺德第二次质检,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsin Ccos A+asin A=2csin B.(1)证明:△ABC为等腰三角形;(2)若D为BC边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的值.解析(1)证明:由正弦定理得2bccos A+a2=2cb,由余弦定理得2bc·-+a2=2bc,化简得b2+c2=2bc,所以(b-c)2=0,即b=c,故△ABC为等腰三角形.(2)如图,由已知得BD=2,DC=1,∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,∴-=--,即-=--,得2b2+c2=9,由(1)知b=c,∴b=.10.(2019届湖北、山东重点中学一联,17)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,已知acos A=R,其中R为△ABC外接圆的半径,S为△ABC的面积,a2+c2-b2=S.(1)求sin C;(2)若a-b=-,求△ABC的周长.解析(1)由正弦定理得a=2Rsin A,由已知得2Rsin Acos A=R,∴sin2A=1.又∵0<2A<2π,∴2A=,则A=.S=acsin B,∴a2+c2-b2=··acsin B,由余弦定理得2accos B=acsin B,∴tan B=.又0<B<π,∴B=.∴sin C=sin(A+B)=sin=.(2)由正弦定理得==,∵a-b=-,∴∴c=·=,∴△ABC的周长为a+b+c=++.方法总结本题主要考查正弦定理和余弦定理的边角互化与特殊角的三角函数值,属于简单题.对于余弦定理,一定要熟记两种形式:(1)a2=b2+c2-2bccos A;(2)cos A=-.11.(2019届清华大学能力诊断测试,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-=-.(1)求角C的值;(2)若a+b=4,当边c取最小值时,求△ABC的面积.解析(1)由条件和正弦定理可得-=2b-a,整理得b2+a2-c2=ab,由余弦定理得cos C=.又∵C是三角形的内角,∴C=.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab.∵a+b=4,∴c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=16-3ab,∴c2=16-3ab≥16-3·=4(当且仅当a=b=2时等号成立).∴c的最小值为2,故S△ABC=absinC=.12.(2018河南顶级名校联考,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2+ac=b2,sin A+cos B=0.(1)求cos C;(2)若△ABC的面积S=,求b.解析(1)由a2+c2+ac=b2,得a2+c2-b2=-ac,∴cos B=-=-=-.∵0<B<π,∴B=.又∵sin A+cos B=0,∴sin A=-cos B=-×-=,又0<A<,∴cos A=-=-=.∴cos C=cos-=cos A+sin A=×+×=.(2)由(1)可得sin C=-=-=.由S=acsin B及题设条件,得acsin=,∴ac=5.由==,得==,∴b2=ac=×5=25,∴b=5.。