非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法
数学中的非线性动力系统
数学中的非线性动力系统在数学领域中，非线性动力系统是一种研究系统中相互作用的复杂现象的分支。
它在探索生物学、物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将讨论非线性动力系统的基本概念、数学模型和动力学行为。
一、基本概念非线性动力系统是由非线性微分方程或离散差分方程描述的系统。
相比线性系统，非线性系统的特点在于其输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是包含更为复杂的非线性函数。
二、数学模型非线性动力系统可以用一组微分方程或差分方程表示。
其中，最常见的非线性微分方程模型之一是洛伦兹方程，它描述了空气流体中对流运动的行为。
洛伦兹方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x，y，z是系统的状态变量，t是时间，σ，ρ和β是模型中的参数。
三、动力学行为非线性动力系统的动力学行为多样且复杂。
其中最常见的动力学行为包括稳定点、周期解、混沌和吸引子。
1. 稳定点：当系统的状态变量不发生变化时，称之为稳定点。
稳定点有两种类型，分别是吸引性稳定点和不稳定点。
2. 周期解：当系统的状态变量在一定时间范围内以周期性方式变化时，称之为周期解。
周期解与稳定点不同，它们的动态行为是有规律可循的。
3. 混沌：混沌是非线性动力系统中最令人困惑和吸引人的现象之一。
它是指系统的状态变量在长时间内表现出高度的不可预测性和敏感性。
混沌系统具有无限数量的周期解，其轨迹在相空间中像蜿蜒曲折的河流一样。
4. 吸引子：吸引子是非线性系统中的一个重要概念，它描述了系统动力学行为的基本特征。
吸引子是一种在状态空间中具有稳定性的集合，它可以将系统的运动轨迹吸引到其中。
四、应用领域非线性动力系统的研究与实际应用密切相关。
以下是一些应用领域的例子：1. 生物学：非线性动力系统可以用于研究生物体内的神经活动、心脏跳动等生物过程。
2. 物理学：非线性动力系统可以用于描述混沌现象、相变行为以及复杂系统中的粒子运动等。
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析非线性动力系统是一种非常常见的实际物理系统，例如电路、化学反应、天气系统等，它们的行为通常比线性系统更加复杂。
数值计算非线性动力系统的稳定性与动力学特性是一个非常重要的课题，对于研究和预测实际系统的行为有着非常重要的意义。
在本文中，我们将介绍几种常见的非线性动力系统的数值计算方法及它们的稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是动力系统数值计算中最基本的一种方法。
它的基本思路是将连续的时间离散化，将微分方程转化成差分方程，然后用迭代的方式求解。
欧拉法的迭代公式为：$$y_{n+1}=y_{n}+hf(y_n)$$其中，$h$为步长，$f(y_n)$是微分方程在$y_n$处的导数。
欧拉法是一种比较简单易懂的方法，但是它的稳定性较差，容易产生数值误差。
欧拉法对于初始值的依赖性很强，如果步长$h$选取过大，就会导致解的不稳定。
因此，在使用欧拉法进行数值计算时，我们需要根据实际问题来调整步长，以保证数值解的正确性。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常见的数值积分方法，在动力系统数值计算中也常常被使用。
它的基本思路是利用微分方程的某些性质，选取合适的时间步长和权重，在数值上求得微分方程的积分近似解。
龙格-库塔法通常可以由一些权重系数和步长系数组成，如下：$$Y_{n+1}=Y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$$$k_1=hf(Y_n)$$$$k_2=hf(Y_n+\frac{1}{2}k_1)$$$$k_3=hf(Y_n+\frac{1}{2}k_2)$$$$k_4=hf(Y_n+k_3)$$其中，$k_1,k_2,k_3,k_4$均为微分方程在相应位置处的导数。
龙格-库塔法比欧拉法更加稳定，适用于多数动力系统的数值计算。
但是，龙格-库塔法在计算一些比较长时间范围内的运动时，需要降低步长以保证解的精度。
同时，权重系数和步长系数也需要根据具体问题调整，才能得到更加准确的数值解。
非线性动力学系统的建模与分析
非线性动力学系统的建模与分析深入探究非线性动力学系统的建模与分析在科学研究中，许多系统都具有非线性特征，只有对这些系统进行深入的研究和建模，才能更好地了解其规律和特性。
非线性动力学系统的建模与分析，便是其中重要的一个方面。
一、非线性动力学系统的基本概念非线性动力学系统是由一个或多个非线性微分方程组成的系统，其特点在于其响应不随着输入信号呈线性变化。
这种系统一般存在着混沌现象、周期现象或者其他的非线性现象，因此其建模和分析具有很大的挑战性。
二、非线性动力学系统的建模方法1. 全局建模法全局建模法是一种直接把原系统转化为通用数学形式的建模方法，其核心是准确地描述系统的动力学状态，并且建立一个合适的数学模型以描述其动态行为。
2. 基于神经网络的建模法基于神经网络的建模法通过构建一种可以学习的算法，来从实验数据中获取非线性系统的内在结构和动态特征。
3. 非线性滤波法非线性滤波法是以基本的线性和非线性滤波器为基础来建立非线性动力学系统模型的方法。
三、非线性动力学系统的分析方法1. 稳态分析法稳态分析法主要是通过计算系统的稳定点、特征值和特征向量等指标来研究非线性系统的稳定性和性态。
2. 线性化分析法线性化分析法是将非线性系统模型线性化后，研究其内在特征，例如特征值和特征向量。
3. 数值分析法数值分析法是通过计算机模拟和数值解析方法，来研究非线性系统的动态特性和性态。
其中最为常用的方法包括Euler法和Runge-Kutta法等。
四、实例分析以一个简单的非线性动力学系统为例，假设其状态方程如下：$$\begin{cases} \dot{x}=y \\ \dot{y}=-\sin{x}-\cos{y}\end{cases}$$应用数值分析法，我们可以通过Euler法进行模拟仿真。
在t=10时，得出系统的稳定点位于(x,y)=(nπ,nπ/2)，n为整数。
此外，我们还可以通过计算特征值和特征向量等指标，来研究该系统的特性。
非线性动力分析方法
二 经典非线性测量方法
4.K熵 K熵（柯尔莫哥洛夫熵） S熵（香农熵，信息论） 一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示
的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数
之和。
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二 经典非线性测量方法
四 小结
• 小结 采用何种方法 非线性分析
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一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 c.Torus 准周期 不可通约
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一 非线性动力系统
• 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它 们的特点之一是终态值与初始值密切相关 ，或者说对初始值具有极端敏感性；初始 取值的细微差别可能会导致完全不同的结 果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓 混沌。
非线性动力分析方法
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Outline
一、非线性动力系统
二、经典非线性测量方法
三、例子
四、小结
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一 非线性动力系统
1.线性与非线性 线性方程： y(t)=a*t+b1 非线性方程： Y(t)=cos(t)+b2; Y(t)=t^2+b3
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吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，
非线性代数方程组的数值解法
a (a
2u ) (2 ) 0
i m i 1 m i m i 1 m
i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1 i 1 am am 2am um 2m m m m 0 a
1 2 1i 1 1i 1 (im ) 2 1i 1 i 1 2 1i 1 um im 2 i 1 2
a
i 1 m
i 1 1 i 1 m
i 1 2
i 1 i i2 ( K T ) P m m
1 2 1 a(im ) 2bim c 0
4
增量弧长法
a(
i 1 2 m
) 2b
i 1 m
c 0
式中系数为
a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 )
3 增量方法
混合法:在增量法每一增量步进行自修正的迭 代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为 自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm ) n n n 1 n n Pm (a m , m ) am a a 1 m m 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的 计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代， 而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍 使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长 可以比普通增量算法的步长大一些。
3
增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
非线性动力系统的建模与分析
非线性动力系统的建模与分析非线性动力系统是指其运动方程包含非线性项的动力系统。
与线性动力系统不同，非线性动力系统具有更加复杂的行为和特性。
因此，建模和分析非线性动力系统是理解和预测实际系统行为的重要一环。
本文将介绍非线性动力系统的建模方法以及各种分析工具和技术。
一、非线性动力系统建模方法：1. 分析系统的特性：了解系统的背景和工作原理，找出系统的主要组成部分和相互作用关系。
这样可以更好地理解系统行为和特性，为后续的建模提供基础。
2. 选择适当的数学模型：非线性动力系统可以用多种数学模型进行描述，如微分方程、差分方程、动力学方程等。
根据系统的特性和需求，选择适合的数学模型是非常重要的。
3. 确定系统的状态变量：状态变量是描述系统状态的变量，可以是位置、速度、温度等。
根据系统的特性和需要，确定适当的状态变量是非线性动力系统建模的关键一步。
4. 构建系统的运动方程：根据数学模型和状态变量，建立非线性动力系统的运动方程。
这些方程描述了系统的演化规律和相互关系，是进一步分析系统行为的基础。
5. 校验和验证模型：将模型与实际数据进行比较和验证，确保模型能够准确描述系统的行为和特性。
如果有必要，可以对模型进行调整和改进，以提高模型的准确性和可靠性。
二、非线性动力系统分析工具和技术：1. 稳态分析：稳态分析是研究系统在长时间尺度下的行为稳定性和平衡点的性质。
通过稳态分析，可以判断系统的稳定性和吸引子的性质，进一步预测系统的长期行为。
2. 线性化分析：将非线性动力系统线性化为一组近似的线性方程，以便在局部范围内对系统进行分析。
线性化分析可以简化非线性系统的复杂性，从而更好地理解系统的行为和特性。
3. 相平面分析：相平面分析是用相图表示系统状态的演化和相互关系。
通过分析相图的特征，可以得到系统的稳定性和周期解等信息，为进一步研究系统的行为提供参考。
4. 分岔分析：分岔分析是研究系统参数变化时系统行为的变化和性质的分析方法。
非线性系统的线性方法
非线性系统的线性方法
非线性系统表现出的动力学特性比线性系统要复杂，因此通常不能直接使用线性方法来分析或控制非线性系统。
然而，还有一些基于线性化的方法可以在一定程度上处理非线性系统，这些方法被称为线性方法。
其中最常用的线性方法包括：
1. 线性化方法：通过在某个工作点附近对非线性系统进行泰勒展开，得到一个线性模型，然后使用线性系统的理论和方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的小扰动，且要求非线性系统在其他工作点上的行为与线性模型类似。
2. 线性误差反馈（LEF）方法：通过估计非线性系统与线性系统的误差，并利用误差来设计一个线性系统的反馈控制器。
该方法的关键是如何估计非线性系统与线性模型之间的误差，通常使用状态观测器或者误差动态模型来实现。
3. 线性拟合方法：通过在非线性系统的某个工作点上采集大量数据，并利用数据拟合技术（如最小二乘法）来得到一个线性模型。
然后使用线性系统的方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的输入输出数据已知的情况。
需要注意的是，这些线性方法只是对非线性系统的一种简化处理，只能在一定程
度上解决非线性系统的分析和控制问题。
对于复杂的非线性系统，需要使用更加复杂和全面的非线性方法来分析和控制。
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析非线性动力系统是指系统中的动力学方程无法通过线性变换等简单方法化简为线性形式的动力系统。
这类系统具有复杂的行为和性质，其数值计算方法和稳定性分析非常具有挑战性。
本文将介绍非线性动力系统的数值计算方法，并对其中一些常用方法的稳定性进行分析。
为了数值计算非线性动力系统，在时间上离散化动力学方程是首要任务。
最简单的方法是使用欧拉法，即将连续时间上的动力学方程转化为离散时间上的差分方程。
欧拉法公式如下：\[x_n = x_{n-1} + hf(x_{n-1})\]其中，\(x_n\)表示在时间步n上的系统状态，\(f(x_{n-1})\)是在时间步n-1上的系统状态的导数。
h是时间步长。
这种方法的优点是简单易行，但由于其误差随时间步长的平方增长，因此需要小心选择时间步长，以保证计算结果的精确性。
一种改进的方法是四阶龙格-库塔法（RK4）。
RK4方法将时间步长内的系统动力学进行多次迭代，以获得更精确的结果。
RK4方法的公式如下：\begin{align*}k_1 & = hf(x_{n-1}) \\k_2 & = hf(x_{n-1} + \frac{k_1}{2}) \\k_3 & = hf(x_{n-1} + \frac{k_2}{2}) \\k_4 & = hf(x_{n-1} + k_3) \\x_n & = x_{n-1} + \frac{k_1}{6} + \frac{k_2}{3} +\frac{k_3}{3} + \frac{k_4}{6}\end{align*}\]与欧拉法相比，RK4方法具有更高的精度，但计算量也相对更大。
此外，还有一种常见的数值计算方法是基于级数展开的方法，如幂级数法和泰勒级数法。
这些方法通过将非线性动力学方程展开为多项式级数，以近似求解系统的状态。
这些方法的优点是可以通过增加级数的项数来提高精度，但随着级数项的增加，计算量也会显著增加。
(参考资料)非线性化模型的线性化方法总结
非线性化模型的线性化方法总结在学习计量经济学过程中，我们所接触的经济学模型不仅仅是线性的，许多实际经济活动中的经济模型都是非线性的，例如恩格尔曲线表现为幂函数曲线形式，菲利普斯曲线表现为双曲线形式，下面介绍三种非线性模型的转化方法，分别适应于不同的模型：一、直接置换法：直接替换模型中原有的非线性变量。
适用模型如下：（1）倒数（双曲线）模型：0111u Q P ββ=++，可以用1Y Q =,1X P=来置换，变为01Y X u ββ=++（2）多项式模型：2012Y t t u βββ=+++，可以用212,X t X t ==来置换变为： 0122Y X X u βββ=+++（3）对数模型： 01ln Y X u ββ=++，将1ln X X=带入原式进行置换，得到：011Y X u ββ=++二、函数变换法：通过函数变化，如取对数、移项等方式对原模型进行变形以得到线性化模型：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+（1） 幂函数模型：u Q AK L e αβ=，方程两边取对数，得到：ln ln ln ln Q A K L u αβ=+++再对上式进行置换。
（2）指数函数模型：Q uC ab e =，方程两边取对数得到：ln ln ln C a Q b u =++，再对上式进行置换。
三、级数展开法：如CES 函数112()p p u pQ A K L e δδ---=+，方程两边取对数得到：121ln ln ln()p p Q A K L u pδδ--=-++，将式中12ln()p p K L δδ--+在p=0处展开泰勒级数，取关于p 的线性项，即得到一个线性近似式，如取0阶、1阶、2阶项，可得:212121ln ln ln ln [ln()]2K Y A K L p Lδδδδ=++- （备注：无法线性化的模型一般为：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+，其中12(,,,)k f X X X ⋅⋅⋅为非线性函数）。
第四章 非线性回归模型的线性化讲解
线性回归模型 最小二乘法求解 若不是线性回归模型，又该如何求解呢？
（一）变量关系非线性问题：
若：(1)、变量
Y 和
X 1 , X K
之间不存在
多元线性随机函数关系
Y 0 1 X 1 K X K
那么我们如何估计出模型中的未知参数呢？
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/08/08 Time: 13:51 Sample: 1980 1996 Included observations: 17 Variable Coefficient C -10.46551 X1 1.021132 X2 1.472202 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression
(2)可线性化的非线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，但是可以转化 为线性函数。例如： 生产函数模型： Y AK L e 转化为： ln Y LnA LnK LnL (3)不可线性化的非线性回归模型： 被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k以及与未知 参数 0 1...... k 之间都不存在线性关系，而且无法转化 为线性函数。 例如：Y 0 1e 1x1 2 e 2 x2
0.99841 S.D. dependent var 0.029873 Akaike info criterion
变量间的非线性关系
(1)非标准线性回归模型： 虽然被解释变量Y与解释变量X1X 2 .....X k 之间 不存在线性关系，但与未知参数 0 1...... k 之间 存在线性关系。例如： 根据平均成本与产量为U型曲线理论，总成本C 可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到总成 本函数模型如下： C 0 1 X 2 X 2 3 X 3
非线性动力系统线性模型数值计算的Taylor变换法
力学 分析 中 的 重 要 内容 ．作 者 提 出 了线 性 化 系 统 的精 确 解 来 近 似 代 替 非 线性 系 统 的解 Ｉ ，因 为 ｘ 】 线 性 系 统 的解 具 有 封 闭性 ， 因此 构 成 非 线 性 系 统 的数 值 解 同 样 具 有 封 闭性 ， 当计 算 时 间较 长 时 不 会 构 成 较 大 的累 积 误 差 ． 然 而 ，为 计 算 矩 阵 的 指数 ，该 方 法 在 每 一 时 间步 长 内都 要 不 断 进 行
维普资讯
第 ３ 卷 第 ４ 期 ４
７ 月
力 Βιβλιοθήκη 学 学 报 Ｖｏ ．３ Ｎ Ｏ Ｉ ４． ．４ Ｊ ｙ ０ ２ ｕｌ ，２ ０
２０ 年 ０２
ＡＣＴＡ ＥＣＨＡ ＮＩ Ｍ ＣＡ Ｉ Ｉ Ｓ Ｎ ＣＡ
非线 性 动 力系统 线性 模 型 数值 计 算 的 Ｔ ｙｏ ａ ｌｒ变 换 法
Ｔ ｙｏ ａ ｌｒ变 换 法求 解 系统 的线 性化 方 程，得 到 一种 非 线性 动 力 系统 数值 计算 的新 方法 ，避 免 了 指 数矩 阵展 开 的乘积 运算 ．计 算 实例表 明该方 法在 不增 加计 算机 时 的前提 下，精度 高 于传 统 的 Ｈｏ ｂ ｌ， ｉ ｏ － ｕ ｏｔ Ｗ ｌ ｎ０及 Ｎｅ ｓ ｗｍａ ｋ￣ 等 方法 ．计 算 了 Ｄｕ ｎ ｒ－ ｉ ｆ ｇ方程 和 ｖ ｎｄ ｒＰ ｌ 程 的混沌 ａ ｅ ｏ 方
也＝ ｌ ｕ ｔ （ ，）
其 中 ｔ ｛ １ ２ … ‘＝ ， （， ｌｕ ｔ ）＝ ｛ｌＵ ｔ ，（ ， … 厶（ ， ） ｆ（ ，） ２ ‘ ） ｔｔ ｔ ｔ Ｔ，且 ｔ ‘） ‘∈Ｄ ｃ （ ， Ｄ Ｒ）到 Ｄ 上 的 ｃ 映射 ．
数
， 为 ，
非线性方程的数值解法计算方法刘师少.pptx
有一个根。又 f (x) 3x2 2 当时 x 2,3
时，f (x) 0 ,故f(x)在[2, 3]上是单调递增函数, 从而f(x)在[2, 3]上有且仅有一根。
+
可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根
第12页/共63页
• 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h • 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量
又不太大。 • 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的
基础上采用对分法继续缩小该含根子区间
二分法可以看作是搜索法的一种改进。
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第22页/共63页
如果由迭代格式 xk1 (xk ) 产生的序列 xn 收敛,
即
lim
n
xn
x*
则称迭代法收敛。
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做 下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个k满足
xk xk1
即可结束计算并取 x * xk 当然，迭代函数 (x)
的构造方法是多种多样的。
y
y=f(x)
a
x b
由此可大体确定根所在子区间，方法有： (1) 画图法 (2) 逐步搜索法
记笔记 第7页/共63页
(1) 画图法
• 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。
• 也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式， 1(x) 与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为 含根
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非线性系统的线性化处理方法
非线性系统的线性化处理方法,√j}/Z非线性系大连晨光科技开发邮王士和Tp~?/,2.在各种电气设备,自动控制装置,检查与测线段联结,用于分f与”0,则得到分段线性量用仪器仪表中经常碰到线性或近似线性系统.但是,在很多情况下,也会碰到非线性系统问题关于线性系统的理论分析与计算方法在许多文献中已有讨论但是,非线性系统的理论分析与计算方法在近二十年来一直引起人们的关注还有许多线性系统问题尚待讨论.本文试图就非线性系统中一些分支问题,探讨若干处理方法这里讨论的是稳态情况下若干种非线性问题的处理方法:1.线性化法(或分段线性化法);2.函数化法(或分段函数化法),或称经验公式法;3.数字化法等等.‘一,线性化法(或分段线性化法)假设有一含非线性铁心的电路.其磁化曲线具有图1a所示形状.由图可以看出,这是非线性的但是,如果通过原点至急剧弯曲部分画一条斜线oa代替oa弯曲线时,在理论分析与计算上可以得到符合工程实际需要的分析结论与计算结果.这一类处理工程计算的方法.称谓线性化法.H图1如果将磁化曲线画分成若干段.如图1b所……示.将O1,12,23,34,蛎,56各弯曲段甩近似直线n《■气开曩》(199鼍蹄Io-●)化法显然.它比线性化法更逼真一步.在工程分析与计算上将给出更满意的结果.二,函数化法(或分段函数化法)函数化法是将非线性特性曲线近似地用一个经验公式表达,用来分析各种工程技术问题. 显然,它能够给出的计算精确度决定于经验公式与实际曲线逼近程度例如.图l给出的磁化曲线可以用下式表示,即B:,(H)(1)或H一()(2)详见参考文献1中表1—1所示由各作者给出的磁化曲线经验公式.分段函数法是将非线性曲线分割成若干段,然后对各小段分别用某一函数表示.用这些表达式分析与处理各种技术问题.显然,比前一种方法更逼真一步.但是,应用上会带来许多麻烦.计算机的出现,给解决这类工程问题带来了方便.可以看出,分段线性化方法可视作分段函数法的一个特倒.三,数字化方法数字化方法实际上是将一连续变化的非线性特性曲线实施离散化,将其储存在计算机内, 根据计算程序需要随时调用(详见文献2)以上讨论了非线性系统的直接处理方法.主要用于:非线性元件,非线性线路非线性控制,测量与检查等系统的分析与计算.下面讨论若干间接处理方法四,非线性系统的线性变换法图2中的A环节是一个非线性元件或网路,B环节是另一个非线性元件或网络.此方法的基本思想是A环节在系统中无法直接应用其非线性输入一输出特性用B环节具有另一种非线性输入输出特性来补偿.如果B环节设一25—._,●计合理.可使总的输入一输出特性线性化,如图3所示.因此B环节称作对-A环节的整直环节(或元件).设A环节具有非缉眭函数关系X2= f.(x),B环节具有另_非线性爵数关系Xa—f(x).经过综合后.得到总的输入一输出特性为X.一c.X+线性关系.这就是通过整直环节(或元件)B将非线性环节(或元件)A的菲线性系统实现线性化的线性变换法.如果得到图3的直线,再进行技术处理就很方便.例如.如欲得到X一O时.xf一0{在x正向增加时x也正向增加.只需要在B环节后再增设一级移位倒向环节C就可H实现如图4,5趼示,网?I警l3—26I4瞄5五,非线性系统的补偿网路法非线性元件(或装置)采用线性R,L,C或非线性半导体器件等组成元件或网路可以对其非线性逐段地进行朴偿,以l达到更精确的变换, 例如,目前工业上应用的热电偶上采用的各种温度一电压线性变换网路等.六,非线性系统的数字化处理方法此方法与第四章相似,只是将非线性元件(或装置)输出的模拟量用集成电路(模片)交换成数字量,即进行A/D转换.但此数字量尚须经过专用单片机(例如EPROM或EEPR0M)处理之后,才能整直,送给数字显示器或其他控制部件.这时显示器的指示量与非线性元件(或装置)的输入量呈线性关系,关于其它特殊类型的非线性元件(或装胃=)的非线性特性需要根据要求进行线性化,例如, 开关控制元件对发电机进行电压自动调整等需要特殊处理,而不一定要求对其作线性化处理, 关于这些问题,可参考文献3,4.综上所述.在遇到非线性系统问题时.可以参考上面提出的方法进行处理当然.还可根据不同的具体问题提出新的处理方法,对于这方面的具体理论和技术工作,不仅需要对控制系统及其控制的对象有深刻的了解.而且还要有丰富的元器件的理论与实际知识.参考文献[1]王士和缩自动电礁装置,大连铁道学院, 1985[2:张冠生主编电器学,规被】:业m版社】980_l3]扬自厚主编自动控制原理,精金1:业出暖社,198O[4]蔡尚峰主编.自动控制理沧,机被业m版社,198l[5]尤德裴主编数字化酬量技术眨但器.机械】= 业出版社1980[6]常健生缩.捡j羹I与转换技术.机被丁=业m版社,1981[7]王士和郭永波带热电阻捡渊播的解舟折法电杂志】99o3[8]王士和孝章武王常有智艟化湿度控制倥●气开善》(1995N0_4)。
数学中的非线性动力系统知识点
数学中的非线性动力系统知识点数学中的非线性动力系统研究的是非线性方程或微分方程的系统，其涉及的知识点十分广泛且深奥。
本文将从几个方面介绍数学中的非线性动力系统的一些核心概念和应用。
1. 动力系统基础知识动力系统是研究物体在时间和空间中运动规律的数学模型。
非线性动力系统与线性动力系统相比，更具有复杂性和多样性。
在非线性动力系统中，经典的微分方程如非线性常微分方程、偏微分方程等经常被用来描述系统的演化规律。
其中，重要的概念包括相空间、相轨道、相点等。
2. 非线性动力系统的稳定性分析稳定性分析是非线性动力系统研究中的关键问题。
通过分析系统在不同参数条件下的稳定状态，可以判断系统的演化趋势。
常用的方法有线性稳定性分析、非线性稳定性分析、Lyapunov稳定性理论等。
其中，研究系统稳定性的重要工具包括雅可比矩阵、Hessian矩阵、Lyapunov指数等。
3. 混沌理论与非线性动力系统混沌理论是非线性动力系统研究的重要分支。
混沌现象指的是某些非线性系统表现出的极端敏感性依赖于初始条件的性质。
混沌系统具有不可预测性，但具有确定性。
混沌系统的产生需要满足一定的条件，如非线性和正反馈等。
混沌系统的分析方法有Lyapunov指数、Poincaré截面、分形维数等。
4. 非线性动力系统的应用非线性动力系统理论在物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用。
例如，天体力学中的三体问题、生物学中的生态系统模型、经济学中的经济波动模型等都属于非线性动力系统的应用范畴。
非线性动力系统理论的研究和应用对于深入理解现象背后的规律以及预测未来的发展趋势具有重要意义。
5. 数值模拟与计算方法由于非线性动力系统的复杂性，解析求解往往困难，因此数值模拟与计算方法的应用显得尤为重要。
常用的数值方法有Euler方法、Runge-Kutta方法、共轭梯度法等。
这些方法可以帮助我们模拟和预测非线性动力系统的行为，加深对系统规律的认识。
非线性动力学数学模型连续调参理论设计实验分析
非线性动力学数学模型连续调参理论设计实验分析动力学系统是研究物体在运动过程中变化规律的数学模型，它广泛应用于各个领域，包括物理学、生物学、经济学等。
在实际应用中，我们常常需要对动力学模型进行参数调节以使其更好地拟合实验数据。
本文将介绍非线性动力学数学模型的连续调参理论，并设计实验来验证该理论的可行性。
一、非线性动力学数学模型的连续调参理论1. 非线性动力学模型的基本原理非线性动力学模型是描述非线性系统中物体运动的数学公式。
它与线性动力学模型不同之处在于，非线性模型中的物体运动不仅受外力的作用，还与系统内部的相互作用有关。
非线性模型通常以微分方程的形式表示，其中包含了各种非线性项。
通过求解这些微分方程，我们可以得到系统随时间变化的状态。
2. 连续调参理论的基本思想在实际应用中，我们通常需要根据实验数据来调节非线性动力学模型的参数，以使模型更好地拟合实际情况。
传统的参数调节方法包括离散调参和优化算法。
离散调参是通过人工不断修改参数值来寻找最佳拟合效果，而优化算法则是通过数值计算方法来求解一个给定的目标函数，从而找到最优参数组合。
而连续调参理论提出了一种全新的思路。
它认为非线性动力学模型的参数并不是固定不变的，而是随着时间的推移而改变。
也就是说，随着实验的进行，模型的参数值会不断地调整，以适应实际情况的变化。
这种连续调参的思想与动力学系统的特性相吻合，因为动力学系统本身就是一个随时间变化的过程。
3. 连续调参的数学形式连续调参可以通过微分方程来描述。
假设非线性动力学模型的参数向量为θ=(θ₁, θ₂, …, θθ)，则连续调参的微分方程可以写为：dθ/dt = F(θ, t)其中，F(θ, t)是关于θ和t的函数，它描述了参数向量随时间变化的速率。
通过求解这个微分方程，我们可以得到参数向量随时间变化的轨迹，从而实现连续调参。
二、实验设计与分析为了验证连续调参理论的可行性，我们设计了一个简单的实验。
在这个实验中，我们将使用一个非线性动力学模型来描述一个振动系统的运动，然后根据实验数据来连续调参，以使模型更好地拟合实际情况。
非线性系统线性化
化。
令状态偏差为 e x xd ，则有e x xd
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
e x xd f (x,u,t) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f (x,u,t) ( Ad x Bdv)] （1.3）
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。
（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
非线性成长的动力学模型及解析方法
非线性成长的动力学模型及解析方法动力学是一种研究系统随时间演化的数学方法。
非线性成长动力学模型是一种描述生物、经济、社会以及其他复杂系统中非线性增长的数学模型。
在实际生活和科学研究中，这种模型对理解系统的行为和预测未来趋势具有重要意义。
本文将讨论非线性成长的动力学模型及其解析方法。
非线性成长动力学模型旨在探索系统中非线性增长的原因和机制。
与线性增长模型不同，非线性动力学模型能够更好地描述复杂系统的行为。
这些模型通常基于一些基本假设，例如，系统的增长受到内在变量、外部环境、相互作用等因素的影响。
通过建立非线性差分方程或微分方程，可以描述系统中各个变量之间的相互作用和演化规律。
对于非线性成长动力学模型的解析方法，我们可以采用多种技术和工具。
其中一种常用的方法是通过分析稳定点和平衡状态来研究系统行为。
稳定点是系统在一定条件下达到的平衡状态，通过线性化非线性方程，可以找到稳定点的解析解，进而分析系统的稳定性和演化趋势。
另一种解析方法是采用数学和统计的技巧来推导模型的解析解。
例如，可以使用变换和简化方法来处理复杂的非线性方程，将其转化为更简单的形式，从而得到解析解。
此外，还可以利用数值分析方法，例如级数展开和近似推导，来逼近模型的解析解。
非线性成长动力学模型的解析方法还可以通过仿真和数值模拟来实现。
这种方法通过引入数值计算和计算机模拟技术，可以模拟系统的演化行为，并探索不同参数和初始条件对系统行为的影响。
通过比较模拟结果和实际观测数据，可以验证模型的准确性和适用性。
除了解析方法，还可以采用实验和观测的方法来验证非线性成长动力学模型的有效性。
通过实际数据的收集和分析，可以对模型进行参数估计和模型选择。
在实验和观测基础上得到的模型结果和推导得到的解析解可以相互印证，从而提高模型的可靠性和预测能力。
总之，非线性成长的动力学模型及解析方法是研究复杂系统行为和预测未来趋势的重要工具。
通过建立非线性差分方程或微分方程，采用稳定点分析、数学推导、数值模拟和实验验证等方法，可以更好地理解非线性增长的原因和机制。
非线性动力系统数学建模与分析
非线性动力系统数学建模与分析非线性动力系统数学建模与分析是一项复杂但重要的研究领域，其在许多科学和工程领域中都具有广泛的应用。
本文将对非线性动力系统的数学建模方法和分析技术进行介绍和探讨。
首先，我们来了解什么是非线性动力系统。
非线性动力系统是一类与时间相关的演化方程，其特点是其行为无法简单地由线性方程描述。
这类系统在物理、化学、生物等领域中经常出现，例如混沌系统、生态系统、自然振动等。
与线性系统不同，非线性动力系统的演化过程更加复杂和多样化，需要采用不同的数学方法进行建模和分析。
数学建模是理解和揭示非线性动力系统行为的重要方法。
在数学建模过程中，我们需要从实际问题中提取关键因素和变量，并根据物理规律和经验进行适当的假设和简化。
然后，我们可以利用微分方程、差分方程、离散映射等数学工具对系统进行描述，并得到一组模型方程。
这些方程可以是一阶或高阶的，可以是确定性的或随机的，取决于具体的系统。
通过数学建模，我们可以定量地研究系统的稳定性、周期性、混沌性等特征。
在分析非线性动力系统时，我们可以采用各种数学方法和技术。
其中一种常用的方法是定性分析，即通过对系统进行解析或数值计算，来确定系统的稳定点、周期点、极限环等。
这可以帮助我们理解系统的基本行为和动力学特性。
另一种常用的方法是定量分析，即通过计算和模拟，来得到系统的定性和定量的结果。
这包括利用数值方法解微分方程、差分方程或离散映射，以及使用计算机模拟混沌和复杂系统的行为。
同时，我们还可以使用各种动力学工具和指标，如李雅普诺夫指数、相图、分岔图等，来帮助分析和理解系统的演化过程。
除了数学工具和技术，非线性动力系统的建模和分析还需要考虑到系统的参数估计和模型验证。
这些过程可以通过实验数据的采集和处理来实现。
在参数估计中，我们可以利用系统观测数据和统计方法，通过最小二乘法等技术对模型中的参数进行估计。
然后，我们可以使用验证方法来检验模型的可靠性和适用性，如残差分析、模型比较等。
非线性动力学方程的求解方法
非线性动力学方程的求解方法1、概述在工程实际问题中，我们常常面临这样的选择：我们所遇的问题究竟是静力的还是动力的。
静力问题与动力问题，从力学的角度看就是是否考虑与加速度有关的力，而从数学求解方法看则是一个三维边值问题还是一个四维边值-初值问题。
在这个问题的选择上没有固定的原则，一般取决于我们研究者、分析者对工程问题的判断。
一般认为，实际工程大都是处于动力环境之中，因而属于动力问题。
但是，由于时间、经费等方面的原因的限制，我们不可能把所有的问题都按照动力问题的方法来分析。
对于许多具体的问题，与速度和加速度有关的力足够小，但是又影响结构分析结果的，将采用静力假定来模拟这些力。
线性的动力有限元控制方程如式(1-1)所示。
[]}{}]{[}]{[}{R q K q D qM =++ (1-1) 式中[M ][D ][K ]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，{R }为荷载列矢量，}{q、}{q 和}{q 分别是加速度、速度和位移列矢量。
式(1-1)的解法大体上可以分为两类：直接积分法和模态叠加法。
直接积分法在对控制方程进行数值积分之前不对方程做任何形式的变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步地对方程进行积分。
模态叠加法是在求解之前对方程进行某种数学变换，使基底降低，或使矩阵的带宽减小，再进行求解。
这两种方法在形式上不同，但是密切相关。
上述每一类求解方法中又有许多具体的解法，每一种解法又有各自的特点。
因此我们在选择一种方法求解一个问题时，要对该方法的收敛性、稳定性、效率、精度和费用等进行一些分析，讨论它对所求问题的有效性，从而使我们能够针对某一特定的问题，选择合适的方法。
直接积分法基于以下两条：(1)不是在求解时间区间内任意时刻t 都满足式(1-1)，而是在相隔△t 上的一些离散时刻满足式(1-1)。
(2)对位移、速度和加速度在每一时间区间△t 内变化的形式进行假设，事实上若把式(1-1)看成一个常系数微分方程组，便可以用任何一种有限差分格式通过位移来近似表示速度和加速度，因此不同的差分格式就得到不同的方法。
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垫拯生』选盆煎非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。
苏志霄郑兆昌（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）谁≮＇Ｉ广摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。
进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及周期特性。
关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。
然而。
由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。
各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。
运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。
与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。
非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。
因此，非线性系统的响应具有连续递推性。
由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。
本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。
该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。
计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。
文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。
１非线性系统的连续线性化模型考虑相空间中的，ｌ维自治或非自治非线性系统‘国家重点基础研究发展规划项目（编号：Ｇ１９９８０２０３１６）。
国家自然科学基金资助项目（ＮＯ．１９９７２０２９），中国博士后科学基金资助项目（中博基【１９９９】）１７号。
！望２幽生主圄谴±生生查垄金逢圭塞ｄ＝ｆ（ｕ，ｆ）ｆ１）其中ｕ＝缸。
“。
…“。
）Ｔ，ｆ（ｕ，ｆ）＝矗（ｕ，ｆ）Ａ（ｕ，ｆ）…＾（ｕ，ｆ））Ｔ，且ｕ∈ＤｃＲ一。
ｆ为（Ｄ，Ｒ）到Ｄ上的Ｃ”映射。
考虑时刻ｔ＝ｔ，设此时相空间中的状态值为ｕ（∞＝每。
（Ｄ１／２（Ｄ…／＇／ｎ（曰）Ｔ，于是将ｆ（ｕ，，）在ｔ处展开为Ｔａｙｌｏｒ级数眠嗍㈣ｍｃ㈣·制。
＋缸∽哪，，式中角标（Ｔ）表示ｔ＝ｔ，ｕ＝ｕ（Ｔ），ｏ伍）表示（ｒ—ｔ）和［ｕ（ｔ）一ｕ（Ｔ）］的高阶小量。
当时间ｔ属于ｔ的右极小邻域内，即ｔ∈ｎ，Ｔ＋矾】时，略去上式中的高阶项ｏ（Ｅ）影响其精度极小，于是㈣㈣肿卜兮剿。
十和廿“训令Ａ（田：ｉ坚警到，ｗ（∞：ｉ！！｝堕ｌ，于是将（３）式整理为仇１ｈｄｔｆ（ｔ】ｄ＝Ａ（ｆ）ｕ＋（ｔ—ｆ）Ｗ（ｆ）一Ａ（ｆ）ｕ（ｆ）＋ｆ（ｕ（ｚ），ｆ），ｆ∈【ｆ，ｆ＋ｄｚ】（４）（４）式即为非线性系统（１）在ｔ＝ｔ时刻右极小邻域内的瞬态线性化方程，当时间ｔ连续变化时，该线性化方程也连续变化。
非线性系统任意时刻的响应依赖于其上一连续时刻的线性化方程，而该连续化方程的确定又依赖于该时刻非线性系统的响应，因此，非线性系统的解对初值具有连续依赖性。
２非线性系统的数值方法（４）式为一个非齐次线性系统的方程，根据线性微分方程理论［４】’得到其解析解如下ｕ（ｔ）＝Ｐ‘“Ⅺ叫’ｕ（ｔ）＋１１ｅＡ（。
ｔｘｔ－，）【ｆ（ｕ（ｔ），百）一Ａ（伽（ｔ）＋（Ｊ－＇ＯＷ（＇Ｏ］ｄｓ（５）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋疵１，采用梯形积分法计算（５）式得盼卅喜尘≠心榔）＋譬（删＋ｇ（ｔ）（㈨）＋半（ｗ（６）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋州，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｕ（Ｔ），ｔ）一Ａ０；）ｕ（ｘ）。
当时间历程被离散化后，上式中以ｔ代替１，以ｔ＋Ａｔ代替ｔ，可得非线性系统数值计算的一种递推格式为ｎ和＋△力＝ｎ④十砉等Ａ∞抽钟＋甙力争十ｇ（，）缸＋ｗ＠等（７）玲一等事实上，上式描述的数值方法本质上在时间步长上以一个线性系统的解来近似代替非线性系统的实际解，由于线性系统的解具有封闭性，因此构成非线性系统的数值解Ｆｄ样具有封闭性，也即当计算时间较长时不会造成较大的累积误差。
下面以非线性单摆为例进行计算并说明该方法的优越性。
非线性单摆的振动方程为０＋∞：ｓｉｎ０＝０（８）其中∞：＝ｇ／ｌ，ｇ为重力加速度，ｆ为摆长。
数值计算的参数及初始条件为ｇ＝９．８，ｆ－１，ｅ（ｏ）＝０Ｒａｄ，ｅ（ｏ）＝６．２Ｒａｄ／Ｓｅｃ，计算时间为４秒。
单摆振动的最大摆角由能量守恒原理得到为ｅ～＝２．８６２２０Ｒ她。
表１为不同时间步长下采用Ｈｏｕｂｏｌｔ法、Ｗｉｌｓｏｎ－Ｓ．法、Ｎｅｗｍａｒｋ－［］．法及递推式（７）（其中求和级数中ｋ取至５）四种数值方法的最大摆角计算结果及误差。
分析计算结果可知，在各种传统方法中，以Ｎｅｗｍａｒｋ－Ｄ．法的计算精度最高。
而本文方法较Ｎｅｗｒａａｒｋ－Ｄ．法的误差约减小一半，且当时间步长较大时，仍然具有一定的计算精度。
衰，非线性单摆最大撄角数值计算结果３Ｄｕｆｆｉｎｇ方程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的数值解下面利用本文方法计算Ｄｕｆｆｍｇ方程与Ｖａｉｌｄ口ＰＤｌ方程的数值解，并通过计算结果分析这两个经典非线性系统的动力学特性。
强迫Ｄｕｔｆｉｎｇ振动的方程为ｊ＋缸一ｋｘ＋ｚ３＝ｂｃｏｓ∞ｔ强迫ｖａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ振动的方程为置＋Ｕ（ｘ２—１）ｋ＋工＝ｂｃｏｓ（Ｏｔ（１０１其中Ｄｕｆｆｍｇ方程的参数取为ｋ－－－０、８＝０．２５、６＝８．５、∞２１，ＶａｌｌｄｅｒＰｏｌ方程的参数取为肛＝５、ｂ＝５、∞＝２．４６６。
！丝！！螋生主垦竖±壁芏查盘金鱼耋基图１Ｄｕ腼Ｉｇ方程的Ｐ０ｉＩＩｃａ托截面图图２ｖ锄ｄｅｒＰ０ｌ方程的Ｐｏｉｌｌｃ：ｋ截砸图（∞－２．４６６）图１和图２分别为计算得到的Ｄｕｆｆｉｎｇ方程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｔ６截面图。
可见，在上述参数下，Ｄｕｆｆｍｇ方程产生混沌运动，其Ｐｏｉｎｃａｒ６截面反映出系统具有一个复杂的Ｕｅｄａ混沌吸引子；ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程则产生一个周期３运动，而在以往的研究结果中，在同样的参数下，认为ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程经由倍周期分叉产生混沌“。
作者通过进一步计算结果表明，当参数Ｕ和ｂ保持不变时，需要更高的强迫力频率才能使系统产生混沌运动，如当ＣＯ＝１０时，ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面如图３，可见此时系统具有一个混沌吸引子。
图３ＶａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图（ｔｏ＝１０）有关应用连续线性模型理论对高维非线性系统进行模态缩减及相应的计算方法，作者将另文介绍。
参考文献Ⅲ１郑兆昌机械振动（中册）．北京：机械工业出版杜，１９８６【２］ＷｅｅｄＷＬ，Ｐｒａｃｔｉｃａｌ＂Ｃｔｒａｅ－ｓｔｅｐｐｉｎｇＳｃｈｅｍｅｓＣｌａｒｅｎｄｏｎＰｒｅｓｓ，Ｏｘｆｏａ＇ｄ，１９９０【３）３ＣｈｉｏｕＪＳ，ＴｚｅｎｇＪＲ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ山ｅＴａｙｌⅡＴｒａａｓｆｃｃｍｔｏＮｏｎｌｉｎｅａｒＶｉｂｒａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ＂Ｉｔ＇ａｎ．ｓ∞ｆｉｏｎｓｏｆ山ｃＡＳ／ｖＩＥ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄＡｃｏｕｓｔｉｃｓ，１９９６１１８：ＰＰ８孓８７【４］李云非线性动力系统的现代数学方法及其应用北京：人民交通出版杜１９９８【５】ＵｌｒｉｃｈＰａｒｌｉｔｚ，ｗⅫＬⅡｔｅｆｌｍｍＰｅｆｉｏｄ－ｄｏｕｂｎａｇｃａｓｃａｄｅｓａｎｄｄｅｖｉｌ’ｓｍｈａｓⅨｏｆｔｈｅ士咖ｖａｎｔｉｅｒＰｏｌ∞ｃｉｌｌａｔｏｔ．ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗ．Ａ，１９８７，３６（３）：１４２８－１４３４垫垫生垡蠢金丛！堑．ＡＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＬｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎＭｏｄｅＩａｎｄＩｔｓＮｕｍｅｒｉｃａＩＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅＮｏｎ·ＬｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃＳｙｓｔｅｍｓＳｕＺｈｉｘｉａｏ，ＺｈｅｎｇＺｈａｏｃｈａｎｇ∞＂ｏｆＥａｇｈｍｌｎｇＭｒｒＡｕｍｉｃｓ，Ｔ￥ｉｌｌｇｈｕａＵｍｖｅｒｓｉ吼Ｂｅｉｊ％１０００８４．Ｏａｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ砷１ｅｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｆｉｎｅａｒｉｚａｆｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒａｌｌａｒｂｉｔｒａｒｙａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｏｒｎｏｎ—ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈｃａｌｌｆｕｌｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｓｙｓｔｅｍｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｉｓｄｅｄｕｃｅｄｔｈｒｏｕ翻ａｔｈｅＴａｙｌｏｒｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｅｗｍｎｌｌｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｍｍｆｉｖｅｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｐｒａｃｔｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｈｏｗｓｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｈｉｇｈｅｒｔｈａｎｔｈａｔｏｆｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｓｕｃｈａｓＨｏｕｂｏｌｔｍｅｔｈｏｄ，Ｗｉｌｓｏｎ一０ｍｅｔｈｏｄａｎｄＮｅｗｍａｒｋ－ｐｍｅｔｈｏｄ，ｅｔｅ，ａｎｄｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｓｈｉ曲ｅｎｏｕｇｈｅｖｅｎｗｈｅｎｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｔｉｍｅｓｔｅｐｉｓｌｏｎｇｅｒ．Ａｔｌａｓｔ，ｔｈｉｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｃｈａｏｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＤｕｆｆｍｇａｎｄｖａｎｄｅｒＰｎｌｅｑｕａｔｉｏｎｓＫｅｙｗｏｒｄｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌ，ｄｕｆｆｍｇｅｑｕａｔｉｏｎ，ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌｅｑｕａｔｉｏｎ【作者简介】苏志霄，男，１９７２年１２月生，山西山阴人，１９９９年４月获西安理工大学工学博士学位，研究方向为机械强度设计理论、机械动力学及非线性振动。
摘要关键词腔体噪声主动控制的数值分析与优化设计高峰沈亚鹏田晓耕（西安交通大学建筑工程与力学学院西安，７１００４９）本乏、ｒ一有限抚方法被用来分析合压电体的立方腔体振动噪声的主动控制问题』采用一阶剪切Ｍｉｎｄｌｉｎ板理论，建立了包含腔体奔质影响的二维动态有限元方程。
主动控制采用速度反馈，数值分析了不同结构与声腔共振频率下主动控制效果。