实际问题与二次函数(中考复习专题)

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2023年九年级中考数学复习：实际问题与二次函数(拱桥问题)专训(附答案)

试卷第1页，共6页2023年九年级中考数学复习：实际问题与二次函数（拱桥问题）训练一、单选题1．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ，请根据所给的数据，则支柱MN 的长度为（）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．62．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m3．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（） A ．1 B ．1.5 C ．2D ．34．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的试卷第2页，共6页顺利航行( ) A ．2.76米B ．7米C ．6米D ．6.76米5．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB 位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m ，水面宽为4m ，水面下降1m 后，水面宽为（） A ．5mB ．6mC．6mD ．26m6．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（） A ．2.76米B ．6.76米C ．6米D ．7米7．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（） A ．2254y x =B ．2254y x =- C ．2425y x =-D ．2425y x =8．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米二、填空题9．某古城门断面是由抛物线与矩形组成（如图），一辆高为h 米，宽为2.4米的货车通过该古城门，则h 的最大值是___ __米．试卷第3页，共6页10．拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB=16m ，拱顶O 到水面的距离为8m ，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是________11．如图，是某座抛物线型桥的示意图，已知抛物线的函数表达式为211036y x =-+，为保护桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8.5米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是________米（结果保留根号）．12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．13．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为12 m ，宽为5 m ，抛物线的最高点C 离路面AA 1的距离为8 m ，过AA 1的中点O 建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的函数表达式为_____.试卷第4页，共6页14．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，当水位上涨1m 时，水面宽CD 为m ，则桥下的水面宽AB 为_____m ．15．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高为________．（水泥建筑物厚度不计，精确到1米）；16．如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶离水面2m ．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x 轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m 时，此时水面的宽度增加了_____m （结果保留根号）．三、解答题17．如图所示，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度AB 为4m ，跨度OC 为10m ．试卷第5页，共6页(1)请建立适当直角坐标系，并求这条抛物线所对应的函数关系式． (2)如图，在AB 右边1m 的D 处所对应桥洞离水面的高是多少？18．有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离． (3)隧道内设双向单车道（中间有一条隔离带，隔离带宽度忽略不计），一辆满载后车身宽2.5m ，高2.8m 的卡车能否安全通过？19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面1AA 的距离为8m ，建立如图所示平面直角坐标系．(1)求该抛物线的表达式，并写出自变量x 的取值范围；(2)一辆大型货运汽车装载大型设备后高为7m ，宽为4m ．如果该隧道设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？试卷第6页，共6页20．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m ，宽为4m ，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为216y x c =-+（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E 到地面BC 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米?答案第7页，共1页参考答案：1．C 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．C 8．B 9．5.64 10．218y x =-11．6612．2.76 13．y ＝－2112x ＋8 14．6 15．6.9 16．6﹣4． 17．(1)()245425y x =--+； (2)962518．(1)238y x =-(2)灯与点B 的距离为7.5m(3)车身宽2.5m ，高2.8m 的卡车能安全通过19．(1)21812y x =-+，66x -≤≤ (2)不能安全通过，20．（1）抛物线的表达式为21106y x =-+，拱顶E 到地面BC 的距离为10m ；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是3。

中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案

中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案一、单选题1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t-5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（）A．5米B．10米C．1米D．2米2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．6米B．5米C．4米D．1米3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣ x2D．y= x24．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A．45B．83C．4 D．565．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y= √32x2B．y= √3x2C．y=2 √3x2D．y=3 √3x26．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如图，正方形ABCD的顶点A（0，√22），B（√22，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤√2），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（）A．B．C．D．8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间t（单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t=1.5s时，小球的高度h=30m．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题9．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s=60t-1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了米．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的取值范围是。

九年级数学中考专题训练实际问题与二次函数

九年级数学中考专题训练实际问题与二次函数1．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为60元时，可售出300套．应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．(1)若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写表格：时间第一个月第二个月销售定价(元/套)60 ______销售量(套)300 ______(2)若商店预计要在第二个月的销售中获利4000元，则第二个月销售定价每套多少元？(3)若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少？此时第二个月的最大利润是多少？2．如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？3．某品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？4．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？5．有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？6．如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD=米，宽3AB=米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．(2)现将A 型活动板房改为B 型活动板房．如图2，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN ，点G 、M 在AD 上，点N 、F 在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设(),0M m ，且满足112m ≤≤，当窗户框架FGMN 的周长最大时，每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架FGMN 成本）(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润W （元）最大？最大利润是多少？7．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设肉粽每盒售价x 元，y 表示该商家每天销售肉粽的利润（单位：元）．(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元(2)若每盒利润率不超过50%，问肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？(3)若x 满足5060x ≤≤，求商家每天的最大利润．8．北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 做水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线21144:1233C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者琪琪从点O 正上方A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当琪琪滑到离A 处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为172米，则b =______，c =______． (2)在（1）的条件下，当琪琪滑出后离A 的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为43米？ (3)琪琪若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．9．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：每千克售价x （元）… 25 30 35 … 日销售量y （千克） … 102 92 82 …(1)直接写出y 与x 之间的函数表达式______；(2)该超市要想获得1280元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？(3)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大并求出最大利润．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=8cm ，点D 是AB 中点，连接CD ，动点P 从点C 5cm/s 的速度向终点D 运动．过点P 作PE⊥BC 于E ，以PE 、PD 为邻边作平行四边形PDFE ．设点P 的运动时间为t （s ），平行四边形PDFE 的面积为S （cm 2）．(1)求CD 的长；(2)求S 关于t 的函数解析式，并求出S 的最大值．11．在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB ，CD 垂直于水平地面上，在AB ，CD 间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线2120y x bx c =++，已知绳子最低点距离地面74米．以点B 为坐标原点，直线BD 为x 轴，直线AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图1所示．(1)求立柱AB 的长度；(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD 之间与AB 相距4米的地方加上一根立柱MN 撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线1F 的最低点相对点A 下降了1米，距立柱MN 也是1米，如图2所示，求MN 的长；(3)若加在线段BD 之间的立柱MN 的长度是2.4米，并通过调整MN 的位置，使抛物线1F 的开口大小与抛物线21112y x =+的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN 与CD 的距离．12．如图，排球运动场的场地长18m ，球网在场地中央且高度为2.24m ，球网距离球场左、右边界均为9m ．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm ，当排球运动到水平距离球网3m 时达到最大高度2.5m ，建立如图平面直角坐标系．(1)当2h =时：①求抛物线的表达式；②排球过网后，如果对方没有拦住球，判断排球能否落在界内，并说明理由；(2) 若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h 的取值范围．13．为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．杨老板按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y ＝−10x ＋500．(1)杨老板在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设杨老板获得的利润为W （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果杨老板想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14．如图，在矩形ABCD 中，3cm,3cm AB AD ==．动点P 在边AB 上从点A 向点B 运动速度为1cm/s ；过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为(s)x ，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．(1)当x =__________s 时，点Q 与点C 重合；(2)①求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②在点P 的运动过程中，是否存在y 的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．15．一身高1.8m 的篮球运动员在距篮板4m 处跳起投篮并命中。

2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题1．某工厂生产A 型产品，每件成本为20元，当A 型产品的销售单价为x 元时，销售量为y 万件．要求每件A 型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝23时，y ＝34；x ＝25时，y ＝30． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A 型产品的销售单价是多少元？ (3)设该工厂销售A 型产品所获得的利润为w 万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？2．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为12m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数表达式．(2)如果要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？(3)根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：(1)求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；(2)商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？4．某大型商场准备购买一批A 型和B 型商品，已知一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元，用6000元采购A 型商品的件数是用1200元采购B 型商品的件数的2倍．(1)求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？(2)该商场购进A 型和B 型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A 型商品赠送一件B 型商品，通过一段试销发现A 型商品每天的销售量y （件）与A 型商品的销售单价x （元）满足：2200y x =-+，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A 型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润．5．某数学兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC ∠（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．(1)若围成的花园面积为291m ，求矩形花园AB 的长；(2)在点P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别为12m 和6m ，要能将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），又使得花园面积有最大值，求此时矩形花园AB 的长．6．第一届全国青年运动会射箭项目决赛于10月20-24日在福建省莆田市体育公园举行．我市某工艺厂为青运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数：当售价为20元/件时，每天销售量为800件；当售价为25元/件时，每天的销售量为750件． (1)求y 与x 的函数关系式(2)如果该工艺品售价最高不能超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?(利润=售价-成本)7．中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价(0)x x>元，每天所获得的利润为w元．(1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？(2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？最大的利润是多少？8．贫困户李大爷在某单位精准扶贫工作队的帮扶下，将一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：①第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克：①销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如下函数关系：76(120)(2030)mx m x xyn x x-≤<⎧=⎨≤≤⎩，为正整数，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第23天的售价为25元/千克．(1)填空：m＝_______，n＝_______；试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为_______；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润W最大？最大利润是多少元？(3)求试销的30天中，当天利润W不低于870元的天数共有几天？9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．10．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）](1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式．(2)①填空：该产品的成本单价是元，表中a的值是．①求该商品日销售利润的最大值．11．小茗同学准备用一段长为50米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形ABCD，墙长为25米．设花圃的一边AD为x米．)(1)如图1，写出花圃的面积S（平方米）与x（米）的函数关系式；(2)图1中花圃的面积能为300平方米吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a米(04)<<的门（如图2)，且最a终围成的花圃的最大面积为325平方米，直接写出a的值．12．包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元/kg，如果在未来40天葡萄的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：120(120)4135(2140)2t t tpt t t⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，为整数，为整数，且葡萄的日销量y（千克）与时间t（天）的关系如下表：(1)请直接写出y与t之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？(2)在后20天（即2140t≤≤，t为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？(3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（8n<）给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，请求出n的取值范围．13．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；①乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？14．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =-++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2116y x bx c =-++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．15．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)在横线上直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？16．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如表：(1)求一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式并写出x的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利w最大？最大利润为多少？17．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数) 18．某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元()40x >，请用含x 的代数式表示该玩具的销售量______．(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B 种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C 种玩具，到月末又可获利10%；方案①：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．参考答案：1．(1)y 与x 的函数关系式为280y x =-+，自变量x 的取值范围是2028x ≤≤ (2)每件A 型产品的销售单价是27元(3)该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元2．(1)()232448S x x x =-+≤<； (2)AB 的长为5m ；(3)当4x =时，围成的花圃的面积最大，最大面积为248m ．3．(1)涨10元或30元 (2)80元4．(1)一件A ，B 型商品的进价分别为50元，20元(2)A 型商品的销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为800元5．(1)13m 和7m ． (2)8m6．(1)101000y x =-+(2)当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为12000元．7．(1)每千克29元(2)定为32元时可使每天销售利润最大，最大的利润是4000元8．(1)12-，25，416P x =+；(2)第18天的利润最大，最大利润为968元； (3)共有12天9．(1)销售单价定为60元时，月销售量为450千克，销售利润为9000元 (2)销售单价应定为60元(3)当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元．10．(1)10900y x =-+(2)①40，4560 ①该商品日销售利润的最大值为6250元11．(1)21252S x x =-+(2)能为300平方米，此时x 的值为20 (3)a 的值为112．(1)2120y t =-+；90kg (2)21天，1131元 (3)58n ≤＜13．(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①222686930y x x =-+-，①乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．14．(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)21370162y x x =-++； (3)18m15．(1)()107404452y x x =-+≤≤(2)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元(3)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元答案第3页，共3页 16．(1)5501504201yx x(2)18元 (3)当22x =时，w 有最大值3200元．17．(1)240y x =-+ (2)()()1411044541118x x p x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ (3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元18．(1)101000x -+(2)max 11250w =元。

实际问题与二次函数-2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)

【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）实际问题与二次函数1．二次函数的定义形如 y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做x 的二次函数. 2．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象和性质函数二次函数y=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)图象a >0a <0性质①当a >0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸. ②对称轴是a b x 2−=,顶点坐标是①当a <0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.②对称轴是abx 2−=,顶点坐标是（1）二者的形状相同,位置不同,y=a (x -h )2+k 是由y=ax 2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k). （2）y=ax 2的图象y=a (x -h )2的图象y=a (x -h )2+k 的图象. 4．二次函数的解析式的确定要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0);（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a (x -h )2+k (a ≠0). 5．二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x 轴有交点时，令y=0，解方程ax 2+bx+c=0就可求出与x 轴交点的横坐标.6设抛物线y=ax 2+bx+c (a>0)与x 轴交于(x 1,0),(x 2,0)两点，其中x 1<x 2,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为x>x 2或x<x 1，不等式ax 2+bx+c<0的解集为x 1<x<x 2.右左上下【考点1】图形问题（实际问题与二次函数）【例1】（2023·天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，当AB=6时，40−x2=6，解得：x=28，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x·40−x2=192，整理得：x2−40x+384=0，解得：x=24或x=16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：y=x·40−x2=−12(x2−40x)=−12(x−20)2+200，∵−12<0，20<26，∴当x=20时，y有最大值，最大值为200．故③正确．∴综上所述，结论②③正确，即正确的结论有2个，故选：C．设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，根据AB=6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积=192.解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．【例2】（2024·湖北模拟）用12米长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 都一样【答案】C【解析】解：设围成的图形的面积为ym2，方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为(12−2x)米，由题意得：y=x(12−2x)=−2(x−3)2+18，当x=3时，y有最大值为18；方案二：∴等腰三角形的腰为6米，当顶角为直角时，面积最大，为：12×6×6=18；方案三：设圆的半径为r米，则：πr=12，解得：r=12π，∴y=12π(12π)2=72π≈23，∵23>18，故选：C．先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．本题考查了二次函数的应用，计算图形的面积是解题的关键．1.（2024·浙江模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG 交DC于K.已知AB=10，设AC=x(5<x<10)，记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2.则S1S2与x的函数关系为( )A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 反比例函数关系D. 二次函数关系【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD，BCFG为正方形，∴AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10−x，S1=S△EDK=12DE⋅DK，S2=S△EAC=12AC⋅AK，∵∠EDC=∠DFG=90°，∴ED//FG，∴△EDK∽△GFK，∴KF KD =FGED=10−xx，∴KD=x10−x⋅KF，∵DK+KF+CF=CD，∴KF+x10−x⋅KF+10−x=x，∴KF=(2x−10)(10−x)10，∴DK=x(2x−10)10，∴S1=12x⋅x(2x−10)10=12x2⋅2x−1010，S2=12x2，∴S1 S2=2x−110=15x−1，∴S1S2与x的函数关系为一次函数，故选：B．根据四边形ABCD，BCFG为正方形，得出AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10−x，再根据△EDK∽△GFK求出KF和DF，再根据直角三角形的面积公式求出S1和S2，再作比值即可．本题考查二次函数的应用，关键是写出S1，S2的与x的关系式．2.（2024·江西模拟）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系( )A. 一次函数B. 二次函数C. 反比例函数D. 其它函数【答案】B【解析】解：设图2外面正方形为正方形ABCD，里面正方形为正方形EFGH，如图：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=6，∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH，∠AEF=∠DHE=90°−∠DEH，在△AEF与△DHE中，{∠A=∠D∠AEF=∠DHE EF=EH，∴△AEF≌△DHE(AAS)，∴AE=DH=x，AF=DE=(6−x)，∴S=EF2=AE2+AF2=x2+(6−x)2=2x2−12x+36，∴S与x之间是二次函数关系，故选：B．先根据正方形性质可得∠A=∠D，EF=EH，再由同角的余角相等得到∠AEF=∠DHE，就可以根据AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x，AF=DE=(6−x)，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式，即可解答．本题考查正方形的性质、二次函数在实际生活中的应用，是中考高频考点，解题关键是证明△AEF≌△DHE．【考点2】图形运动问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·江苏模拟）如图，正方形ABCD 的边长为5，动点P 的运动路线为A →B →C ，动点Q 的运动路线为B →D.点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止.设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：(1)点P 在AB 上运动时，0<x ≤5，如右图，∵正方形ABCD 的边长为5，点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，作QE ⊥AB 交AB 于点E ，则有AP =BQ =x ，∠EBQ =∠EQB =45∘， ∴BP =5−x ，QE =√22x ， ∴△BPQ 的面积为：y =12BP ⋅QE 12×(5−x)×√22x =−√24x 2+5√24x(0<x ⩽5)，∴此时图象为抛物线开口方向向下；(2)点P 在BC 上运动时，5<x ≤5√2，如右图，∵正方形ABCD 的边长为5，点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，作QE ⊥BC 交BC 于点E ，则有AB +BP =BQ =x ，∠QBE =∠BQE =45∘， ∴BP =x −5，QE =√22x ，∴△BPQ 的面积为：y =12BP ⋅QE =12×(x −5)×√22x =√24x 2−5√24x(5<x ≤5√2)， ∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y 随x 的增大而增大；综上，只有选项B 的图象符合，故选B.分两种情况：P 点在AB 上运动和P 点在BC 上运动时；分别求出解析式即可．本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．【例2】（2024·广东模拟）如图，菱形ABCD中，∠B=60∘,AB=2.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是( )A. B.C. D.【答案】A【答案】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC=AB=2，∠BAC=60∘=∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与χ之间函数关系，由二次函数的性质可求解．【解答】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于点H，由题意得BP=AQ=x，∵菱形ABCD中，∠B=60∘，AB=2∴AB=BC=CD=AD=2，∠B=∠D=60∘，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC=AB=2，∠BAC=∠ACD=60∘∵sin∠BAC=HQAQ，∴HQ=AQ⋅sin60∘=√ 32x，∴△APQ的面积y=12(2−x)×√ 3x2=−√ 34(x−1)2+√ 34，当2<x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于点N，由题意得AP=CQ=x−2，∵sin∠ACD=NQCQ =√ 32，∴NQ=√ 32(x−2)∴△APQ的面积y=12(x−2)×√ 32(x−2)=√ 34(x−2)2，该图象开口向上，对称轴为直线x=2∴2<x≤4时，y随为的增大而增大，∴当x=4时，y有最大值为√ 3⋅故选A．1.（2024·安徽模拟）如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的ΔCPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图像大致是 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查的是二次函数的应用、二次函数的图象及根据实际问题列二次函数关系式的知识，依据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键．先根据三角形的面积公式列出y与x的函数关系式，由y与x的函数关系式可知，函数图象是一条抛物线的一部分，且抛物线的开口向上，从而求得问题的答案．【解答】解：∵运动时间xs，则CP=xcm，CO=2xcm；∴S△CPO=12CP×CO=12x·2x=x2．∴△CPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系式是：y=x2(0<x≤3)．∴根据二次函数的图象特点，C正确．故选C．2.（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm.动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是( )A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm2【答案】C【解析】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程(路程=时间×速度)；这类动点型问题一般情况都是把面积的最值问题，转化为函数求最值问题，求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．先根据已知点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列出S关于t的函数关系式，并求最值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=6cm，BC=8cm，由题意得：AP=t，BP=6−t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S，则S=12×BP×BQ=12×2t×(6−t)，∴S=−t2+6t=−(t2−6t+9−9)=−(t−3)2+9，∵P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．【考点3】拱桥问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·陕西模拟）某市新建一座景观桥.如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为( )A. 13米B. 14米C. 15米D. 16米【答案】C【解析】略【例2】（2024·山西模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数y=−125x2，在正常水位时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=( )A. 20米B. 15米C. 10米D. 8米【答案】A【解析】解：∵AB=30米，∴当x=15时，y=−125×152=−9，当水位上升5米时，y=−4，把y=−4代入y=−125x2得，−4=−125x2，解得x=±10，此时水面宽CD=20米，故选：A．根据正常水位时水面宽AB=30米，求出当x=15时y=−9，再根据水位上升5米时y=−4，代入解析式求出x即可．本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值．1.（2024·河北模拟）如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3m，水面宽6m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )A. y=−13x2 B. y=13x2 C. y=−3x2 D. y=3x2【答案】A【解析】解：设出抛物线方程y=ax2(a≠0)，由图象可知该图象经过(−3,−3)点，故−3=9a，a=−13，故y=−13x2，故选：A．设出抛物线方程y=ax2(a≠0)代入坐标求得a．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．2.（2024·陕西模拟）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是( )A. 8√ 5米B. 10米C. 6√ 5米D. 8√ 3米【答案】A【解析】本题考查了二次函数的应用．由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y=8，把y=8代入y=−140x2+10得：x=±4√ 5，即E点坐标为(−4√ 5,8)，F点坐标为(4√ 5,8)，∴EF=8√ 5(米)．3.（2024·山西模拟）小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y=−14x2+bx+c，如果AB= 8m，AD=2m，则隧道顶端点N到地面AB的距离为( )A. 8mB. 7mC. 6mD. 5m【答案】C【解析】解：由题意可得：点D坐标为(0,2)，点C的坐标为(0,8)，将点D和C代入抛物线表达式可得{2=c2=−14×82+8b+c，解得{b=2c=2，∴y=−14x2+2x+2，令x=4，可得y=−1×42+2×4+2=6．4故选：C．根据条件易有点D坐标为(0,2)，点C的坐标为(8,2)，点N的横坐标为4，将点D和C代入抛物线表达式可解的b 和c的值，然后令x=4计算点N的纵坐标即为距离．本题主要考查二次函数的实际应用，能够根据条件得到对应点的坐标，解出抛物线表达式是解题的关键，然后在将实际问题转化为二次函数点的坐标问题．【考点4】销售问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·广东模拟）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价( ) A. 5元 B. 15元 C. 25元 D. 35元【答案】C【解析】解：设应降价x元，则(20+x)(100−x−30)=−x2+50x+1400=−(x−25)2+2025，∵−1<0，∴当x=25元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价25元．故选：C．设应降价x元，所求利润的关系式为(20+x)(100−x−30)=−x2+50x+1400，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．此题考查二次函数在销售利润方面的应用，利润，公式：利润=销售价−成本价；还考查求二次函数的极值方法，求极值一般有三种方法：第一种根据图象顶点坐标直接得出；第二种是配成顶点式；第三种是利用顶点坐标公式进行计算．解题关键是熟练掌握以上方法．【例2】（2024·河北模拟）农特产品展销推荐会在杨凌举行.某农户销售一种商品，每千克成本价为40元.已知每千克售价不低于成本价，不超过80元.经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克.为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为( )A. 20B. 60C. 70D. 80【答案】C【解析】解：设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y=(x−40)[100−2(x−50)]=−2x2+280x−8000=−2(x−70)2+1800，答：当为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为70元，故选：C．设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y=−2(x−70)2+1800，根据二次函数的性质即可得到结论．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．1.（2024·河北模拟）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．( )A. 50B. 90C. 80D. 70【答案】D【解析】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元，由题意可得：w=(x−50)[200+(80−x)×20]=−20(x−70)2+8000，∴当x=70时，w取得最大值，故选：D．根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．2.（2024·天津模拟）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件.若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )A. 50元B. 80元C. 90元D. 100元【答案】C【解析】略18.（2024·广东模拟）一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某商店销售一批头盔，每顶头盔的售价为80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每顶头盔的售价每降低1元，每月可多售出20顶.已知每顶头盔的进价为50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为( ) A. 60元 B. 65元 C. 70元 D. 75元【答案】C【解析】设每顶头盔降价x元，利润为w元.由题意可得，w=(80−x−50)(200+20x)=−20(x−10)2+ 8000，∴当x=10时，w取得最大值，此时80−x=70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头备的售价为70元，故选C．【考点5】喷水问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·北京模拟）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OP的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图所示)，水平距离x(m)与水流喷出的高度y(m)之间的关系式为y=−29x2+43x+2，则水流喷出的最大高度是( )A. 5.5mB. 5mC. 4.5mD. 4m 【答案】D【解析】本题考查二次函数的应用，关键是把抛物线解析式化为顶点式．把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求最值．【解答】解：y=−29x2+43x+2=−29(x−3)2+4，∵−29<0，∴当x=3时，y有最大值，最大值为4，故选：D．【例2】（2024·山东模拟）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距喷水头的水平距离为8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最大水平距离OC是( )A. 20米B. 18米C. 10米D. 8米【答案】A【解析】由题意可知抛物线的顶点坐标为(8,1.8)，设水流所在抛物线的表达式为y=a(x−8)2+1.8(a≠0)，将点(0,1)代入，得1=a(0−8)2+1.8，解得a=−180，∴y=−180(x−8)2+1.8.当y=0时，0=−180(x−8)2+1.8，解得x=−4(舍去)或x=20．∴水流喷射的最大水平距离OC是20米，故选A．1.（2024·广东模拟）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为2.25m，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心1m时，水柱的最高点为3m，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为( )A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m【答案】A【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．根据题意设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，把(0,2.25)代入求出函数解析式，再令y=0，即可得出答案．【解答】解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为(1,3)，与y轴的交点坐标为(0,2.25)，设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，把(0,2.25)代入到y=a(x−1)2+3中得：a+3=2.25，∴a=−0.75，∴抛物线解析式为y=−0.75(x−1)2+3，当y=0时，则−0.75(x−1)2+3=0，解得x=−1(舍去)或x=3，∴水柱落地的位置与喷水池中心的距离为3m，故选A．2.（2024·河北模拟）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+5x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A. 4.5米B. 5米C. 6.25米D. 7米【答案】C【解析】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+5x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=−x2+6x的顶点坐标的纵坐标，∴y=−x2+5x=−(x−2.5)2+6.25，∴顶点坐标为：(2.5,6.25)，∴喷水的最大高度为6.25米，故选：C．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=−x2+5x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．本题考查了二次函数的应用，从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题是解题的关键．3.（2024·吉林模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m.则水管OA的高是A. 2mB. 2.25mC. 2.5mD. 2.8m【答案】B【解析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解本题关键，属于基础题.可设水柱高度y 和水柱落地处离池中心距离x的关系为y=ax2+bx+c，根据待定系数法求出该二次函数解析式，然后令x=0，求出此时的y值即可．【解答】解：根据题意知喷出的抛物线形水柱的图像是二次函数，故可设水柱高度y和水柱落地处离池中心距离x的关系为y=ax2+bx+c，根据题意知函数y经过点(1,3)，(3,0)，且−b2a=1，代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=39a+3b+c=0−b2a=1，解得{a=−34b=32c=94，∴y=−34x2+32x+94，当x=0时，函数值便是水管OA的高，∴水管OA的高为94m=2.25m，【考点6】其他问题（实际问题与二次函数）【例1】（2023·北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】略【例2】（2023·上海）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x+m)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为( ) 第一次训练数据A. 23.20cmB. 22.75cmC. 21.40cmD. 23cm【答案】A【解析】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，∴k=23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，故选：A．根据表格中数据求出顶点坐标即可．本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．1.（2024·湖北模拟）如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+ bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 10mB. 20mC. 15mD. 22.5m【答案】C【解析】此题考查了二次函数的应用，将点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)，则{c=54.01600a+40b+c=46.2400a+20b+c=57.9，解得：{a=−0.0195b=0.585c=54.0，∴抛物线的解析式为y=−0.0195x2+0.585x+54，开口向下，对称轴为直线x=−b2a =−0.5852×(−0.0195)=15，∴当该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为15m．2.（2024·山西模拟）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(单位：米)与飞行的水平距离x(单位：米)之间具有函数关系y=−116x2+58x+32，则小康这次实心球训练的成绩为( )A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米【答案】B【解析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．【解答】解：当y=0时，则−116x2+58x+32=0，解得x=−2(舍去)或x=12，则小康这次实心球训练的成绩为12米．3.（2024·黑龙江模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−k)2+ℎ.已知球与O点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m.高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是( )A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界C. 球会过球网并会出界D. 无法确定【答案】C【解析】利用球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，可得k=6，ℎ=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点(0,2)代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=−160(x−6)2+2.6=2.45，所以球能过球网；当y=0时，−160(x−6)2+2.6=0，解得：x1=6+2√ 39>18，x2=6−2√ 39(舍去)，故会出界．此题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y=a(x−6)2+2.6，∵抛物线y=a(x−6)2+2.6过点(0,2)，∴2=a(0−6)2+2.6，解得：a=−1，60(x−6)2+2.6，故y与x的关系式为：y=−160(x−6)2+2.6=2.45>2.43，当x=9时，y=−160所以球能过球网；(x−6)2+2.6=0，当y=0时，−160解得：x1=6+2√ 39>18，x2=6−2√ 39(舍去)故会出界．故选C．。

人教版九年级中考数学专题：实际问题与二次函数(销售问题)训练含答案

人教版九年级中考数学专题：实际问题与二次函数（销售问题）训练一、单选题1．某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x （元）与产品的销售量y （件）满足当130x =时，70y =，当150x =时，50y =，且y 是x 的一次函数，为了获得最大利润S （元），每件产品的销售价应定为（）A ．160元B ．180元C ．140元D ．200元 2．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．260(1)y x =-B ．()2601y x =-C ．260y x =-D ．260(1)y x =+ 3．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高( )A ．8元或10元B ．12元C ．8元D ．10元4．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（）A ．y=（x ﹣35）（400﹣5x ）B ．y=（x ﹣35）（600﹣10x ）C ．y=（x+5）（200﹣5x ）D ．y=（x+5）（200﹣10x ）5．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元 6．“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利x 元，一天可售出()8x -个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（）A ．600元B ．625元C ．650元D ．675元8．某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（）A ．60元B ．50元C ．40元D ．40元或60元二、填空题9．进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为_________________．10．已知某商品每箱盈利10元，现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．设每箱涨价x 元时（其中x 为正整数），每天的总利润为y 元，则y 与x 之间的关系式为_______．11．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为_______元.12．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元． 13．服装店将进价为每件100元的服装按每件()100x x >元出售，每天可销售()200 x -件，若想获得最大利润，则x 应定为_____元．14．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件，则商场按_______元销售时可获得最大利润__________．15．某花圃用花盆培育花苗，经试验发现，每盆的盈利与每盆种植的株数构成一定的关系．每盆植入4株时，平均每株盈利4元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0．5元．要使每盆盈利达到最大，则每盆应植______株．16．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为5元/件．已知此产品每一季度的销售量y (万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式20y x =-+．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是__________．三、解答题17．某精品店购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品共需36元，购进3件甲商品与2件乙商品共需64元．(1)求甲商品的和乙商品的进价．(2)甲商品售价是10元一件，可售出200件，据商家统计，甲商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，请问售价定为多少时，才能使利润最大，并求出最大利润．18．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：2240.w x =-+设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：(1)求y 与x 的关系式；(2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，应将销售单价定为多少元？19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．(1)若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？(2)若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？20．九年级某班数学小组经过市场调查，整理出某种商品在第()190x x ≤≤天的销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设当天销售该商品的利润为y 元(1)求出y 与x 之间的函数关系式(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？(3)该商品在销售过程中，共有多少天销售利润不低于4800元？请直接写出结果参考答案：1．A2．A3．A4．A5．B6．D7．B8．A9．2(1)y a x=-10．2230500y x x=-++（x为正整数）11．512．7013．15014．95225015．616．2254元17．(1)甲、乙两种商品进价分别为8元/件，20元/件(2)甲商品售价为14元/件时，获得利润最大，最大利润为720元18．(1)2234012000y x x=-+-；(2)当销售单价定为85元时，可获得最大利润；(3)将销售单价定为75元时，可获得2250元的销售利润．19．(1)每件衬衫应降价20元(2)每件衬衫降价18元时，商场所获得的利润最大为2420元20．(1)()()221802000150120120005090x x xyx x⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)45(3)41答案第1页，共1页。

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题(附带答案)

中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．有一块形状如图的四边形余料ABCD ，4AB BC CD ===测得∠B=90°，60C ∠=︒要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AB 上，并使截得的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一个顶点恰好为D ，求该矩形材料的面积．(2)能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由．2．如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园ABCD ，与围墙平行的一边BC 上要预留3米宽的入口（如图MN 所示，不用砌墙），用45米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．5．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽OP为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）(2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物线上，点B，C在OP，，的长度之和的最大值．上，求所需的三根“光带”AB AD DC、分别在x轴、y轴的正6．如图1，以边长为16的正方形OABC的顶点O为原点建立直角坐标系，OA OC方向上．(1)求以y 轴为对称轴，且经过点A C 、的抛物线的函数解析式；(2)平移正方形OABC ，但保持抛物线与对应边O A ''交于点D 、与对应边B C ''交于点E ，且点D 不与点O A ''、重合，点E 不与点B C ''、重合，如图2，设点C '的坐标为(),C a b '且0a >．①当OE AE =时，求出点D E 、的坐标；①在①的条件下，直接写出a 的取值范围；①当7b =时，是否存在实数a 使得点E 为边B C ''的中点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．7．如图，在Rt ABC △中1ABC S =△，点P 是BC 边上任意一点(点P 与点B ，C 不重合)，矩形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．(1)若BP ：PC=2：3求BPF S ；(2)已知2BC =，设BP x =，矩形AFPE 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，y 在x 为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．8．为了进一步保护好人们的眼睛，某公司投资生产了一种护眼台灯．这种台灯的成本为每盏20元，公司派一名销售员进行市场销售，第一个月以每盏22元的售价出售了280盏．第二个月进行了市场调查，每盏台灯提高0.5元就少销售5盏台灯，设第二个月月销售量为y （盏）与销售单价x （元），在销售过程中，销售单价不低于第一个月售价，且每盏台灯的利润不高于成本价的60%．(1)请求出销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围．(2)设第二个月的利润为w （元），求出第二个月的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，第二个月的销售利润最大，最大利润为多少元．(3)如果公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，那么公司第二个月的成本最少需要多少元？9．跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m ，并且相距4m ．现在以两人的站立点所在的直线为x 轴，过小明拿绳子的手作x 轴的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式为216y x bx c =-++．(1)求出绳子所对应的抛物线的解析式．(2)身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由．(3)身高为1.64m的小颖，站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为dm，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，请直接写出的取值范围．10．某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但x≥），每天售出水果的总重量为y千克．售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（8(1)求y与x的函数关系式；x x≥的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最(2)设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与(8)大，最大利润是多少？11．小李在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行路线满足抛物线21855y x x =-+（如图所示），其中()m y 是球的飞行高度，()m x 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．(1)请写出抛物线的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)请求出球洞距离击球点的水平距离；(3)若小李再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行的路线应满足怎样的抛物线？求其表达式．12．要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m 处达到最高，且最高为3m ，水柱落地处离广场中央3m ，建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)求水管的长度；(3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5m 的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？13．根据心理学研究表明，学生上课对概念的接受能力y与讲授概念的时间x之间的关系是二次函数，如图OC ．是y与x的函数图象，点A是该抛物线的顶点，且43(1)求y与x的函数关系式；(2)研究表明，当学生的接受能力在55及以上时，视为学生接受能力的黄金期．①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容，学习效果会更好．请问，张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适？①若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟，请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完？说明理由．14．如图，某长为800m 的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为4m 的墙OA ，右侧是高为5m 的墙BC ，拱壁上某处离地面的高度()m y 与其离墙OA 的水平距离()m x 之间的关系满足216y x bx c =-++．现测得,OA BC 两墙体之间的水平距离为12m ．(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OC 的距离．(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于203m 32，每相邻两排吊灯之间的水平距离为2m ，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为10m ．求共需要多少盏吊灯？(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为5m ，两条车道之间是宽为1m 的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为5m 、宽为4m ，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．15．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．(1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为()>40x x 元，求该商品销售量y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？(3)若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？参考答案答案第11页，共11页最大利润为2160元(3)公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，公司第二个月的成本最少为3600元9．【答案】(1)212163y x x (2)绳子不能过他的头顶(3)1.6 2.4d << 10．【答案】(1)4108y x =-+(8x ≥)(2)当352x =时,利润最大,最大利润为361元 11．【答案】(1)开口向下，顶点为16(4,)5，对称轴为4x =(2)球洞离击球点的距离为10m (3)21616(5)1255y x =--+ 12．【答案】(1)()23134y x =--+(2)2.25米(3)012m ≤<+ 13．【答案】(1)20.1(13)59.9y x =--+(2)①张老师在上课6~20内讲授重点内容合适；①能在学生接受能力的黄金期内讲完14．【答案】(1)212510096496y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 1009m 96(2)486盏 (3)货车无论从哪条车道都能安全通过15．【答案】(1)2160y x =-+(2)50(3)定为54元时，每天销售毛绒玩具所获利润W 最大，最大利润是1248元。

2024年中考数学高频考点专题复习-销售问题(实际问题与二次函数)

2024年中考数学高频考点专题复习-销售问题（实际问题与二次函数）1．某商家出售的一种商品成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）满足一次函数2100y x =-+．设这种商品每天的销售利润为w 元．(1)求w 关于x 的函数解析式；(2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？2．2022年北京冬奥会前夕，某网络经销商以5元/件的价格购进了一批以冬奥会为主题的饰品进行销售，该饰品的日销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间有如表所示的关系：x … 6 6.5 7 8 …y … 180 170 160 140 …(1)已知上表数据满足我们初中所学函数中的一种，请判断是何种函数并求出y 关于x 的函数表达式；(2)当该饰品的销售单价定为多少时，日销售利润最大？(3)销售一段时间后，物价部门出台新的规定：单件利润不得超过80%．在新的规定下，求该饰品的最大日利润．3．大熊猫属于中国独有的一种动物，数量稀少，被称为“中国国宝”，某店专门销售熊猫公仔玩具，成本为30元/件，每天销售量y (件)与销售单价x (元)之间存在如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天熊猫公仔玩具的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少?4．但愿人长久，千里共婵娟，9月29日是今年的中秋佳节，某商店销售一种礼盒月饼，这种月饼的成本价为60元/盒，依照相关规定，每盒月饼的售价不能低于成本价且不能高于成本价的两倍，经过市场调查发现，月饼的销售数量y（盒）与销售单价x（元）存在如图所示的函数关系，在销售过程中，商店还需每天付给促销员200元的工资，设每天所得利润为W元．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求每天销售月饼能获得的最大利润．5．2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕．吉祥物“小喜”，以合肥市鸟喜鹊为原型，活泼可爱、神情欢快，突出了地域特色，也体现了合肥开放包容、热情友好的城市气质．某商家新开发了一款“小喜”玩偶套装，每套成本为30元，规定销售单价不低于成本且不高于52元，且为整数．销售一段时间发现，每天的销售量y （套）与售价x（元/套）满足一次函数关系，部分数据如表所示．售价x（元/套）…354045…每天销售量y（套）…908070…(1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么售价应定为每套多少元？(3)若要使每天销售所得利润不低于1200元，请写出所能确定的售价x的值．6．第20届中国草莓文化旅游节于2023年12月在我市邹城举办，邹城有11个镇种植，涉及20多个品种，是我市最大的绿色草莓生产基地。

中考数学专题复习《实际问题与二次函数》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《实际问题与二次函数》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．电商平台经销某种品牌的儿童玩具进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y （个）与销售单价x （元/个）满足一次函数关系（其中x 为整数且50100x ≤≤）．部分数据如下表所示：销售单价x （元/个）55 60 70 销售量y （个） 220 200 160根据以上信息解答下列问题：(1)求y 与x 的函数关系式(2)求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W 元的最大值(3)电商平台希望每周获得不低于1100元的利润请计算销售单价的范围．2．掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球实心球行进路线是一条抛物线行进高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系如图2所示掷出时起点处高度为5m 3当水平距离为3m 时实心球行进至最高点3m 处．(1)求y 关于x 的函数表达式(2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生）投掷过程中实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分请说明理由．3．跳绳是很多同学都喜爱的一项体育运动当绳子甩到最高处时其形状可近似的看作一条抛物线．如图是甲乙两人将绳子用到最高处时的示意图已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m并且相距6m绳子最高点距离地面2米．现以两人的站立点所在的直线为x 轴过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．(1)求绳子用到最高处时所对应的抛物线表达式(2)身高1.70m的小明能否站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶？(3)现有9位身高均为1.60m的同学采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图2）但为了保证安全人与人之间距离至少0.5米此时绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？4．某公园的人工湖里安装一个喷泉在湖中心竖直安装了一根高为3米的喷水管它喷出的抛物线形水柱在与喷水管的水平距离为1 米处达到最高水柱落地处离喷水管3米．以喷水管与湖面的交点为原点建立如图的平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式(2)现公园准备通过只调节喷头露出湖面的高度使得游船能从抛物线水柱下方正中间通过．为避免游客被喷泉淋湿要求游船从抛物线水柱下方正中间通过时游船顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 1.5米已知游船顶棚宽度为1米顶棚到湖面的高度为2.5米那么公园应将喷头至少向上移动多少米才能符合要求？、分别在5．如图1 以边长为16的正方形OABC的顶点O为原点建立直角坐标系OA OCx轴y轴的正方向上．(1)求以y 轴为对称轴且经过点A C 、的抛物线的函数解析式(2)平移正方形OABC 但保持抛物线与对应边O A ''交于点D 与对应边B C ''交于点E 且点D 不与点O A ''、重合点E 不与点B C ''、重合如图2 设点C '的坐标为(),C a b ' 0a >．①当OE AE =时求出点D E 、的坐标①在①的条件下直接写出a 的取值范围①当7b =时是否存在实数a 使得点E 为边B C ''的中点？若存在求出a 的值若不存在说明理由．6．如图在ABC 中 90B 12cm AB = 24cm BC = 动点P 以2cm/s 的速度从点A 开始沿边AB 向点B 移动动点Q 以3cm/s 的速度从点B 开始沿边BC 向点C 移动若P Q 、两点分别从A B ，两点同时出发设运动时间为t ．(1)AP = ______ BP = ______ BQ = ______ （用含t 的式子表示）(2)t 为何值时 PBQ 的面积为224cm ？(3)t为何值时PBQ的面积最大？最大面积是多少？7．如图在某中学的一场篮球比赛中小明在距离篮筐中心8m（水平距离）处跳起投篮已知球出手时距离地面2m当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度此时高度为6m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分篮筐中心距离地面3m．(1)建立如图所示的平面直角坐标系求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式．(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮筐中心请通过计算说明小丽的判断是否正确．(3)若小明将球出手的角度和力度都不变请直接写出小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮筐中心．8．某一抛物线形隧道一侧建有垂直于地面的隔离墙其横截面如图所示并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过()03， 141,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 27,3⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．(1)求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）(2)有一辆高5m 顶部宽4m 的工程车要通过该隧道该车能否正常通过？并说明理由(3)现准备在隧道上A 处安装一个直角形钢架BAC 对隧道进行维修．B C 两点分别在隔离墙和地面上且AB 与隔离墙垂直 AC 与地面垂直求钢架BAC 的最大长度．9．面对全球疫情蔓延芯片短缺等不利影响新能源汽车销量仍大幅增长因此 2022年的新能源汽车补贴标准在2021年基础上退坡30%．某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元今年受补贴标准的影响二月份A 型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元在卖出相同数量的A 型汽车的前提下二月份的销售额为320万元．(1)求今年二月份每辆A 型汽车的售价．(2)经过一段时间后该销售公司发现 A 型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元销售量会减少2辆已知A 型汽车的进价不变每辆12万元那么如何确定售价才可以获得最大利润？10．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动一种热销商品进货价为每个14元标价为每个20元．(1)商城举行了“感恩老客户”活动对于老客户商城连续两次降价每次降价的百分率相同最后以每个16.2元的价格售出求商城每次降价的百分率(2)市场调研表明：当每个售价20元时平均每天能够售出40个当每个售价每降1元时平均每天就能多售出10个在保证每个商品的售价不低于进价的前提下商城要想获得最大利润每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？11．掷实心球是2024年郑州巿高中阶段学校招生体育考试的抽考项目如图1是一名男生投实心球实心球的行进路线是—条抛物线行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示掷出时起点处高度为9649m 当水平距离为5m时实心球行进至最高点4m处．(1)求y关于x的函数表达式（不写x的取值范围）(2)根据郑州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生）在投掷过程中实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.4m时此项考试得分为满分10分请判断该男生在此项考试中是否能得满分并说明理由．12．如图①是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图．企业经历了从投入到盈利过程如图②的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润S（亿元）与销售时间t （年）之间的关系（即前t（年）的利润总和S与t之间的关系）．请根据图象提供的信息解答下列问题：(1)求累积利润S（亿元）与时间t（年）之间的函数关系式(2)求截止到几年末企业累积利润可达到30亿元(3)求第8年企业所获利润．13．羽毛球运动是一项很好的健身项目羽毛球发球时羽毛球飞行路线为抛物线的一部分如图一运动员站在O 点发球．且羽毛球飞行高度()m y 与水平距离()m x 之间满足函数关系式2114y x x =-++．(1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度．(2)已知羽毛球球网高度为1.55m 发球点A 与球网的水平距离为3m 通过计算说明这次发球是否能过网？14．要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m 处达到最高且最高为3m水柱落地处离广场中央3m建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的解析式(2)求水管的长度(3)当音乐喷泉开始喷水时在广场中央有一身高为1.5m的男孩未及时跑到喷泉外问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时才不会淋湿衣裳？15．如图1是汝南北城古桥斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面OBA可视为抛OA 桥拱顶点B到水面的距离是4m．物线的一部分在某一时刻桥拱内的水面宽8m(1)按如图2所示建立平面直角坐标系求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时桥下水位刚好在OA 处有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾他的头顶是否会触碰到桥拱请说明理由（假设船底与水面齐平）．参考答案：1．(1)()444050100y x x =-+≤≤(2)3600W =最大值（元）．(3)销售单价x 的范围是：55100x ≤≤．2．(1)()243327y x =--+ (2)该女生在此项考试中没有得满分3．(1)212193y x x =-++． (2)小明站在绳子的正下方距离甲的距离不小于3303⎛ ⎝⎭米且不大于3303⎛+ ⎝⎭米时绳子能通过他的头顶．(3)此时绳子不能否顺利的甩过所有队员的头顶．4．(1)()214y x =--+ (2)应将喷头至少向上移动14米才能符合要求．5．(1)211616y x =-+ (2)①()85,4D - ()8,12E ①85168a << ①当7b =时不存在实数a 使得点E 为边B C ''的中点．6．(1)2cm t ()122cm t - 3cm t(2)当2s =t 或4s 时 PBQ 的面积是224cm(3)当t 为3s 时 PBQ 的面积最大最大面积是227cm7．(1)21(4)64y x =--+(2)小丽的判断是正确的(3)小明应该向前走(4-米才能命中篮筐中心8．(1)该抛物线的解析式为21233y x x =-++(2)工程车不能正常通过(3)钢架BAC 最大长度为9m9．(1)16万元(2)每辆A 型车的售价为19万元时可以获得最大利润且最大利润为98万元10．(1)10％(2)19元 250元11．(1)24(5)449y x =--+(2)该男生在此项考试中能得满分12．(1)2122=-S t t(2)截止到10年末企业累积利润可达30万元(3)第8年企业所获利是5.5万元．13．(1)2(2)能过网14．(1)()23134y x =--+(2)2.25米 (3)01m ≤<15．(1)2124y x x =-+ (2)工人不会碰到头。

中考数学复习《实际问题与二次函数》专项测试卷(含参考答案)

中考数学复习《实际问题与二次函数》专项测试卷(含参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、中考再现，品味真题1. （2023年·武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．探究发现：x 与t ，y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m ，求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．2. （2022年·武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．3.（2021年·武汉中考）在“乡村振兴”行动中某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．4.（2020年·武汉中考）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=ax2+bx+c，当x=10时，y=400当x=20时，y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a，b的值（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．二、模拟训练，冲刺中考1．某“精准扶贫”农平台为安康村农户销售苹果，平台的苹果销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的苹果销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系：，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围：，（）．（2）若某一周苹果的销售量不少于6000千克，求本周安康村农户获得的最大收入和苹果售价分别为多少元？（3）该平台制定新政策：每销售一千克苹果便向村福利院捐款a元．实施新政策后发现，农户每周的收入依然随售价的增大而增大．请直接写出a的最小值是元．2．某风景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，销售单价不低于15元/件．市场调查发现，该商品每天的销售量不少于10件，且销售量y（件）与销售单价x(元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式(2)若某天的销售利润为144元，求销售单价(3)求这种纪念品每天销售的最低利润是多少元？3．一次足球训练中小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式(2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是2.25m ，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？(3)在射门路线的形状最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________．①2.3m ①2.4m ①2.5m ．（填序号即可√6.72≈2.5922）．4．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过(0，3) (1,143) (7,23)三点．(1)求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）(2)有一辆高5m 顶部宽4m 的工程车要通过该隧道该车能否正常通过？并说明理由(3)现准备在隧道上A 处安装一个直角形钢架BAC 对隧道进行维修．B C 两点分别在隔离墙和地面上且AB 与隔离墙垂直 AC 与地面垂直求钢架BAC 的最大长度．5．冻雨是湖北不常见的天气情况一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．武汉市在二月份下了多次冻雨许多树木因为冻雨结冰发生折断我们对一无冰．．树枝置于武汉的2024年2月3日15点开始的冻雨下进行观察发现一段含冰树枝的重量y （千克）和时间x （小时）(0≤x ≤10)近似满足二次函数关系：y=−1x2+bx+c当x=2时该含冰树枝重9.75千克当x=6时该含冰树枝增重到15.75千克．16(1)求二次函数的解析式．(2)由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时．．．．的3.5倍时树枝会发生折断请问树枝会折断吗？如果会何时断裂如果不会说明理由．(3)在（2）的树枝折发生折断的经验下从2月3日15时观察同一段树枝经过10小时后冻雨雨量开始增大平均每小时的重量额外增加n千克发现该段树枝在次日凌晨2:00到2:30之间折断请直接写出n的范围__________．6．某市新建了一座室内滑雪场该滑雪场地面积雪厚达40cm整个赛道长150m全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪小明从赛道顶端A处下滑测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据整理得下表．经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．小明出发的同时小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．(1)直接写出s关于x的函数解析式和y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？(3)小明出发多久后与无人机相遇？7．根据市场调查某公司计划投资销售A B两种商品．信息一：销售A商品x（吨）所获利润y A（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：销售B商品x（吨）所获利润y B（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx且销售2吨时获利润20万元销售4吨时可获利润32万元．(1)直接写出y A与x之间的关系式为______ 并求出y B与x的函数关系式(2)如果企业同时对A B两种产品共购进并销售10吨每吨产品购进成本为4万元请设计能获得最大利润的采购方案并求出最大利润(3)假设购买A商品的成本为3万元/吨购买B商品的成本为5万元/吨某公司准备投资44万元购进A B 两种商品并销售完毕要求A商品的数量不超过B商品数量的2倍且销售总利润不低于53万元直接写出B商品的销售数量x的取值范围是______．8．问题背景：为美化校园某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植红蓝黄三种颜色的花卉在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉正方形IJKL内种植蓝色花卉剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．AB的长为8m AE=LI．红蓝黄三种花卉的单价分别为40元/m2100元/m260元/m2．建立模型：设AE的长为xm购买花卉的总费用为W元．（1）用含x的式子分别写出红蓝黄三种颜色花卉的种植面积（2）求W与x之间的函数表达式方案决策：（3）当购买花卉的总费用最少时求EI的长．9．某宾馆有100个房间供游客居住当每个房间每天的定价是200元时房间会全部住满当每个房间每天的定价每增加5元时就会有一个房间空闲空闲的房间可以出租储存货物每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润如果游客居住房间宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用储存货物不需要额外支出费用设空闲房间有x间．(1)用含x的式子表示下列各量．①供游客居住的房间数是______间①每个房间每天的定价是______元①该宾馆每天的总利润w是______元(2)若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？(3)该宾馆计划接受130吨的货物存储每个房间最多可以存储3吨当每间房价定价为多少元时宾馆每天的总利润w最大最大利润是多少元？10．如图灌溉车为绿化带浇水喷水口H离地竖高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度DE=2.5m竖直高度EF=0.7m H点是下边缘抛物线的最高点下边缘喷水的最大射程OB=2m上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.4m灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．(1)直接写出上下边缘抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）(2)此时距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带直接写出d（米）的取值范围．11．某食品公司通过网络平台直播对其代理的某品牌瓜子进行促销该公司每天拿出2000元现金作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg每日销售y/(kg)与销售单价x（元/kg）满足关系式：y=kx+b部分数据如表：经销售发现销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）．(1)求y与x的函数关系式w与x的函数关系式．(2)当销售单价定为多少时销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？(3)网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a<4）的相关费用若此时日获利的最大值为42100元直接写出a的值．m铅球运12．一名男生推铅球铅球在空中运行的路径可以看作是一条抛物线若铅球出手时的高度为53行时在4m处达到最大高度3m 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求铅球运行路径所对应的抛物线的解析式(2)求该男生推铅球的距离(3)若该男生向前进0.5m同时铅球的出手高度增加ℎm铅球运行的路线与（1）中抛物线形状相同最后)m则ℎ的值是______________．推铅球的距离增加了(2√10−11213．某商店销售一种水产品市场调查得数据如下表：通过分析发现该水产品每千克的销售成本是一个常数月销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足一次函数关系．(1)直接写出该产品每千克的销售成本并直接写出月销售量y与销售价格x之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）(2)要确保该产品月销售利润达到8000元并控制月销售成本不超过12000元销售价格应定为多少元/千克？(3)当该产品销售价格为多少元/千克时月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？14．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米以出球口为原点平行于地面的直线为x轴垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系．力度变化时抛物线的顶点在直线y=kx上移动从而产生一组不同的抛物线y=ax2+bx（如图2）．(1)若k=1．①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度①若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m 求该球运行路线的解析式及此球落地点离发球机的水平距离(2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间若k=12直接写出当a满足什么条件时距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下能在最佳区间接到球．15．在投掷实心球的运动中实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s）垂直向上的速度为b（单位：m/s）实心球在空中运动时其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x=at高度y（单位：m）与时间t的关系为y=−5t2+bt+2．(1)在小伟同学的一次投掷中测得a=6m/s b=3m/s①写出x与t的函数关系式为y与t的函数关系式为根据以上关系可得y与x的函数关系式为（不用写出x的取值范围）①求出本次实心球的投掷距离．(2)研究表明：在投掷力度一定时水平速度与垂直向上的速度越接近则实心球的投掷距离越远改进投掷方法后小伟投出了8m的最佳成绩若本次投掷中求实心球在投掷过程中的最大高度．16．如图1 一钢球P从斜面顶端A静止滚下斜面与水平面的夹角∠ABD为30°斜面顶端到水平线的距离AD为10dm．钢球P在斜面上滚动的路程S1是滚动时间t的二次函数部分对应值如下表钢球P在斜面上滚动的速度v(dm s⁄)是时间t(s)的正比例函数函数图像如图2所示．(1)求S1关于t的函数解析式(2)求钢球P滚至底端B的速度(3)钢球P滚动至有阻力的水平线BC上时滚动路程S(dm)与时间T(s)的关系式为S=−2T2+V0TV0(dm s⁄)指的是钢球P在点B的速度大小T指的是从B开始滚动的时间．若在水平线BC上的点M处（M 在B左侧）有另一钢球Q当钢球P从A出发时钢球Q同时从M开始向右滚动已知MB=92dm且钢球Q滚动的平均速度为16dm/s请直接写出两球出发后______秒相撞．（忽略两球半径大小）17．小红和小琪在玩沙包游戏某同学借此情境编制了一道数学题请解答这道题．如图在平面直角坐标系中一个单位长度代表1m．小红站在点D(6,0)处在点A(6,1.5)处将沙包（看作点）抛出其运动的路线为抛物线C1:y=a(x−3)2+2.5（a为常数a≠0）的一部分小琪恰在点B(0,c)处接住沙包然后跳起在点C处将沙包回传其运动的路线为抛物线C2:y=−18x2+n8x+c+1（n为常数）的一部分．(1)求a c的值(2)若小红在与点A的竖直距离不超过12m的范围内可以直接接到回传的沙包当n=3时小红能否接住沙包？请说明理由．(3)若小红可以接到回传的沙包的范围为与AD的水平距离不超过1m与点A的竖直距离不超过12m的矩形请直接写出n的取值范围．18．有一款自动热水壶其工作方式是：常规模式下热水壶自动加热到100°C时自动停止加热随后转入冷却阶段当水温降至60°C时热水壶又自动加热______ 重复上述过程若在冷却过程中按下“再沸腾”键则马上开始加热加热到100°C后又重复上述程序．如图是常规模式下冷却加热过程中水温y(°C)与时间x（min）之间的函数图象其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点）表示冷却过程线段BC表示加热过程．(1)直接写出抛物线AB段线段BC分别对应的函数解析式(2)从100°C开始冷却其间按下“再沸腾”键马上加热到100°C．①若按下“再沸腾”键时水温是82.5°C求该冷却加热过程一共所用时间①若该冷却加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min 直接写出按下“再沸腾”键时的水温．19．某商品的进价为每件40元当售价为每件50元每月可卖出200件如果售价每上涨1元则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）如果售价每下降1元则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数）每月的销售量为y件．(1)①当售价上涨时y与x的函数关系为______ 自变量x的取值范围是______①当售价下降时y与x的函数关系为______ 自变量x的取值范围是______(2)每件商品的售价x定为多少元时每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)商家发现：在售价上涨的情况下每件商品还有a(a>0)元的其他费用需要扣除当售价每件不低于60元时每月的利润随x的增大而减小请直接写出a的取值范围______．20．如图某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面1m的喷头中向同一侧喷出每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为xm喷出水流与湖面的垂直高度为ym．下表中记录了一个喷头喷出水柱时xm与ym的几组数据：(1)如图以喷泉与湖面的交点为原点建立如图平面直角坐标系求此抛物线的解析式(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇顶棚每一处离湖面的距离为1.75m．顶棚刚好接触到水柱求该皮划艇顶棚的宽度．(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度使得游船能从抛物线形水柱下方通过为避免游客被喷泉淋湿要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5m 已知游船顶棚宽度为2m 顶棚到湖面的高度为1.5m 那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少m 才能符合要求？（直接写出结果）参考答案与解析5. （2023年·武汉中考）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．探究发现：x 与t y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m 求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ）求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．【解析】探究发现：x 与t 是一次函数关系 y 与t 是二次函数关系设x kt = 2y ax bx =+由题意得：102k = 422216440a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：15122k a b ==-=，， ∴215122x t y t t ==-+，．问题解决（1）解：依题总得211202-+=t t ．解得 10t =（舍） 224t =当24t =时 120x =．答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m ．（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为m n 飞机相对于安全线的飞行高度21122'=-++y t t n ．125130x << 1255130t ∴<< 2526t ∴<<在21122'=++y t t n 中当25,0'==t y 时 12.5n =当26,0'==t y 时 26n =．12.526∴<<n ．答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m 且小于26m ．6.（2022年·武汉中考）在一条笔直的滑道上有黑白两个小球同向运动黑球在A处开始减速此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据整理得下表．小聪探究发现黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时求它此时的运动速度(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．【分析】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系设表达式为v=kt+b代入两组数值求解即可根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系设表达式为y=at2+bt+c代入三组数值求解即可（2）当黑球减速后运动距离为64cm时代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t再将tt2−代入v关于t的函数解析式求得速度v即可（3）设黑白两球的距离为w cm得到w=70+2t−y=148t+70化简即可求出最小值于是得到结论．【详解】（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系设表达式为v=kt+b代入（0 10）（1 9.5）得{10=b 9.5=k +b 解得{k =−12b =10①v =−12t +10根据运动距离y 与运动时间t 之间成二次函数关系设表达式为y =at 2+bt +c 代入（0 0）（1 9.75）（2 19）得{0=c 9.75=a +b 19=4a +2b 解得{a =−14b =10c =0①y =−14t 2+10t ;（2）依题意得−14t 2+10t =64 ①t 2−40t +256=0 解得 t 1=8 t 2=32当t 1=8时 v =6 当t 2=32时 v =−6（舍）答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s ．（3）设黑白两球的距离为w cmw =70+2t −y =14t 2−8t +70=14(t −16)2+6 ①14>0 ①当t =16时 w 的值最小为6①黑白两球的最小距离为6cm 大于0 黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用待定系数法求解析式解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．7.（2021年·武汉中考）在“乡村振兴”行动中某村办企业以A B两种农作物为原料开发了一种有机产品A原料的单价是B原料单价的1.5倍若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时每天可以销售500盒每涨价1元每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数）每天的利润是w元求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数且是整数）直接写出每天的最大利润．【详解】解：（1）设B原料单价为m元则A原料单价为1.5m元．依题意得900m −9001.5m=100．解得m=3 1.5m=4.5．经检验m=3是原方程的根．①每盒产品的成本为：4.5×2+4×3+9=30（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10x2+1400x−33000（3）①抛物线w=−10x2+1400x−33000的对称轴为x=70 开口向下①当a≥70时a=70时有最大利润此时w=16000 即每天的最大利润为16000元当60<a<70时每天的最大利润为(−10a2+1400a−33000)元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用二次函数的应用等知识点正确理解题意列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．8.（2020年·武汉中考）某公司分别在A B两城生产同种产品共100件．A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=ax2+bx+c当x=10时y=400当x=20时y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a b的值（2）当A B两城生产这批产品的总成本的和最少时求A B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件从B城把该产品运往C D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件C地需要90件D地需要10件在（2）的条件下直接写出A B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．【分析】（1）先根据题意得出产品数量为0时总成本y也为0 再利用待定系数法即可求出a b的值（2）先根据（1）的结论得出y与x的函数关系式从而可得出A B两城生产这批产品的总成本的和再根据二次函数的性质即可得（3）设从A城运往C地的产品数量为n件A B两城总运费的和为P先列出从A城运往D地的产品数量从B城运往C地的产品数量从B城运往D地的产品数量再求出n的取值范围然后根据题干运费信息列出P与n的函数关系式最后根据一次函数的性质求解即可得．【详解】（1）由题意得：当产品数量为0时总成本也为0 即x=0时则{c=0100a+10b+c=400400a+20b+c=1000解得{a=1b=30c=0故a=1b=30（2）由（1）得：y=x2+30x设A B两城生产这批产品的总成本的和为W则W=x2+30x+70(100−x)=x2−40x+7000。

中考复习函数专题25 利用二次函数解决实际问题(学生版)

专题25 利用二次函数解决实际问题知识对接考点一、怎样解二次函数的最值在实际问题中的应用问题二次函数的最值在现实生活中应用广泛，通常是先列出二次函数关系式，然后利用ab ac y 442-=最值或将二次函数的解析式化成项点式进行求解. 考点二、怎样解生活中的“抛物线型”问题抛物线是人们最为熟悉的曲线之一，诸如抛出球的运动路线、抛物线型大门、抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型栏杆等，都: 是抛物线型. 解此类问题，主要是建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质解决相关问题.一、单选题1．如图，小明以抛物线y =x 2-2x +4为灵感设计了一款杯子，若AB =4，DE =2，则杯子的高CE 为（）A ．4B ．5C ．6D ．72．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）的关系大致如下：S 甲21110010x =+，S 乙21120020x x =+．由此可以推测（） A ．甲车超速B ．乙车超速C ．两车都超速D ．两车都未超速3．如图，平面图形ABD 由直角边长为1的等腰直角AOD △和扇形BOD 组成，点P 在线段AB 上，PQ AB ⊥，且PQ 交AD 或交DB 于点Q ．设()02AP x x =<<，图中阴影部分表示的平面图形APQ （或APQD ）的面积为y ，则函数y 关于x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ． 4．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为21(4)2h t m =--+，若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（）A ．08a ≤≤B ．18a ≤≤C ．09a ≤<D ．19a ≤< 5．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r +l ＝6，这样的圆锥的侧面积（）A ．有最大值94πB ．有最小值94πC ．有最大值92πD ．有最小值92π 6．如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P '，设运动时间为ts ，MN P '与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．7．用一段长为20m 的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为x m ，面积为y m 2，则y 与x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．如图1，正方形ABCD 的边长和等腰直角FGH 的边AD 与FG 重合，边AB 与FH 在一条直线上，FGH 以1cm/s 的速度向右移动，直到点H 与点B 重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为S （2cm ），图2所示的是FGH 向右移动时，面积S （2cm ）与随时间t （s ）的变化的关系图象，则a 的值是（）A ．16B ．8C ．2D ．49．设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2y x 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（）A ．12B ．2CD ．110．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B-1C．4，0D，-1二、填空题11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．12．如图，用一段长为10米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为______．（不要求写出自变量x的取值范围）13．二次函数22=-++（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三y x mx nk≥），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（0成等边三角形，则k的值为________．14．某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48 米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是___米．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．三、解答题16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx 过点A （4，0）和B （－12，－94）．（1）求抛物线的解析式；（2） C 、D 为第一象限抛物线上的两点，CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，直线BC 、BD 交y 轴于M 、N ．求证：ME ⊥NF ；（3）将抛物线向左平移3个单位，新的抛物线交y 轴于Q ，直线y ＝kx （k ＜0）交新抛物线于G 、H ．当⊥GQH ＝90°时，求k 的值．17．如图1，已知直线6y kx =+，交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且:4:3OA OB =．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图2，动点C 以1个单位/秒的速度从点O 出发沿OA 向A 运动，动点D 以2个单位/秒的速度从点A 出发沿AB 向B 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为t ，ACD ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当S 取最大值时，将ACD ∆向右平移得到EFG ∆，FG 交AB 于点H ，若EFG ∆的面积被直线AB 分成1:2两部分，求线段HF 的长度．18．某矩形工艺品长60cm ，宽40cm ，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．。

2023年中考数学专题训练——二次函数与实际问题的综合

2023年中考数学专题训练——二次函数与实际问题的综合一、综合题1．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？2．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取265=）3．如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－(x －1)2＋2.25．（1）求喷出的水流离地面的最大高度；（2）求喷嘴离地面的高度；（3）若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？4．某公园对一块长 20m ，宽10m 的场地进行设计，方案如图所示．阴影区域为绿化区(四块全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m ，不大于8m ．设出口长均为x(m)，活动区面积为y(m)．（1）求y 关于x 的函数表达式：（2）当x 取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m 2，绿化区布置成本为8元/m 2，布置场地的预算不超过1850元，当x 为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x 值及此时的布置成本．5．在 “母亲节” 期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批进价为6元/个的许愿瓶进行销售，并将所得的利润捐给慈善机构. 根据市场调查，这种许愿瓶每日的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间满足关系式： y 20x 400=-+.（1）求每日销售这种许愿瓶所得的利润w (元)与销售单价x 之间的函数关系式.（2）求每日销售这种许愿瓶所得的利润w(元)的最大值及相应的销售单价.（3）“国庆节” 期间，该校公益团队想继续销售许愿瓶的慈善活动，却发现批发商调整了许愿瓶的进货价格，进价变为了m元/个. 但是许愿瓶每日的销量与销售单价的关系不变. 为了不亏本，至少需按照12元/个销售，而物价部门规定销售单价不得超过15元/个. 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随x的增大而增大，求m的最小值.6．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天分别可多售出2，4件．设甲店每件衬衫降价m元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价n元时，一天可盈利y2元．（1）当m＝3时，求y1的值．（2）求y2关于n的函数表达式．（3）若总公司规定：m﹣n＝6（m，n为正整数），请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？7．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．8．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．（1）求y关于x的一次函数解析式（2）当销售价格定为多少元时，每月获得利润3630元？9．十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）.（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围.10．网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量()y kg与销售价x（元/kg）满足关系式：y100x5000.=-+经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元/kg.设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元）．（1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式；（2）当W46400=元时，此时的销售单价定为多少元？11．某商店销售一种书包，进价为每个20元，物价部门规定每个书包的销售利润不得高于进价的60%，销售过程中发现，每天的销售量y（个）与每个书包的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/个）302523销售量y（个）80100108（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每个书包的售价定为多少元时，该商店销售这种书包每天获得的利润最大？最大利润是多少元？12．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8x 15≤≤，且x 为整数).当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？13．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？14．一名高尔夫球手某次击出的球的高度 ()h m 和经过的水平距离 ()d m 满足下面的关系式：20.01h d d =- ．（1）当球经过的水平距离为 50m 时，球的高度是多少？（2）当球第一次落到地面时，经过的水平距离是多少？（3）设当球经过的水平距离分别为 20m 和 80m 时，球的高度分别为 1h 和 2h ，比较 1h 和 2h 的大小．15．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系，且当15x =时，50y =；当17x =时，30y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？16．某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量 y （件）与销售时间 x（天）之间的关系式是 203062403040x x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩，，，销售单价 p （元/件）与销售时间 x （天）之间的函数关系如图所示.（1）第15天的日销售量为件；（2）当 030x <≤ 时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？17．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．（1）求y 关于x 的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．18．某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克.设苹果售价为x 元/千克（10x ≥，且x 为整数）. （1）若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W 元，求W 的最大值和最小值；（3）若政府每日给该经销商补贴10m 元后（m 为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m 的值.（日收入=销售额+政府补贴）19．某公司把一种原料加工成产品进行销售，已知某月共加工原料x 吨，恰好能生产相同吨数的产品并能完全销售．每吨原料的加工成本Q （万元）与x （吨）有如下关系：30bQ ax x=+-（其中a 、b 均为常数），且在整个过程中，经过统计得到如下数据：x （吨）30 60Q （万元）70 35（1）求a 、b 的值；（2）若这个月的加工总成本为2052万元，求x 的值；（3）若生产的产品每吨售价60万元，求该月可获得的最大利润是多少万元？20．在乡村振兴活动中，某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为50元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为80元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用400元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系（其中50≤x≤90，且x 为整数）．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？答案解析部分1．【答案】（1）解：()500105550-⨯-500105=-⨯ 50050=- 450= (千克)．答：每月销售水果450千克；（2）解：设每千克水果售价为x 元，总利润为y 元，由题意可得()()()240500105010709000y x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦， ∵-100<，∴当70x =时，y 有最大值为9000，答：每千克水果售价为70元时，利润最大为9000元.【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；（2）设每千克水果售价为x 元，总利润为y 元，根据题意列出函数解析式()()()240500105010709000y x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，再利用二次函数的性质求解即可。

中考数学专题复习《二次函数—二次函数解决实际问题》专题训练

二次函数--二次函数解决实际问题1. 如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2B.43m2C.83m2 D.4m2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m ，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A.－20mB.10mC.20mD.－10m5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是( )A.2米B.3米C.4米D.5米6. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm2 7. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y ＝－x2＋8x ＋9，且售价x 的范围是1≤x≤3，则最大利润是( )A.16元B.21元C.24元D.25元8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y ＝－116x2＋4表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m ，小于8m10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm ，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y ＝－29x2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为米.12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x ＝米时菜园的面积最大.14. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y ＝－x2＋1200x －357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元.16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y ＝－35x2＋3x ＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18. 一种进价为每件40元的T 恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T 恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T 恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？19. 如图，某足球运动员站在点O 练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x2＋bx ＋c 表示，且抛物线时的点C 到墙面OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？参考答案：1—9 CACCB CCAA10. 2511. 512. 1513. 1514. 25215. 600 240016. 2217. 解：(1)y ＝－35x2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194，∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米； (2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功. 18. 解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x2＋1300x －36000(60≤x≤90).配方，得y ＝－10(x －65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x ＝65时，y 有最大值6250，因此，当该T 恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.19. 解：(1)由题意得：函数y ＝at2＋5t ＋c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5＝c 3.5＝0.82a －5×0.8＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2516c ＝12，∴抛物线的解析式为：y ＝－2516t2＋5t ＋12，∴当t＝85时，y 最大＝4.5； (2)把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，172)，把B(0,4)，C(3，172)代入y ＝－16x2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝4－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝4，所以抛物线解析式为y ＝－16x2＋2x ＋4，则y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA 的交点为(2,0)或(10,0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；(3)令y ＝0，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.。

2025年中考数学一轮专题训练：实际问题与二次函数(销售问题)

2025年中考数学专题训练：实际问题与二次函数（销售问题）1．某商店销售童装每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销决定降价销售，减少库存．经市场调查发现，每降1元每星期可多卖30件，已知童装的成本价为40元，问(1)如何定价能使利润为6720元？(2)如何定价使利润最大？2．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y(单位：盒)是销售单价x(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒，日销售量为200盒．销售单价x/(元/盒)1513日销售量y/盒500700(1)求乌馒头的日销售量y与销售单价x的函数解析式；(2)端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元；(3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．3．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？(3)超市销售这种苹果每天要获利150元并要使顾客实惠，那么每千克这种苹果的售价应定为多少元？4．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （单位：个）与销售单价x （单位：元）有如下关系：()603060y x x =-+≤≤．设这种双肩包每天的销售利润为w 元．(1)求w 与x 之间的函数解析式；(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？5．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保鲜期为20天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否在保鲜期内销售完这批蜜柚？请说明理由．6．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各40盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；①花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共80盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为12,W W （单位：元）(1)用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？7．某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x 天生产的产品数量为y 件，y与x满足关系式为：20(05)10100(520)x xyx x≤≤⎧=⎨+<≤⎩．(1)小强第几天生产的产品数量为200件？(2)设第x天每件产品的成本价为a元，a（元）与x（天）之间的函数关系图象如图所示，求a与x之间的函数关系式；(3)设小强第x天创造的利润为w元．①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？①若第①题中第m天利润达到最大值，若要使第(1)m+天的利润比第m天的利润至少多124元，则第(1)m+天每件产品至少应提价几元？8．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．(1)直接写出：①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式________；②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式________．(2)小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元？(3)若每袋口罩的利润不低于10元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．9．某商店经营一种小商品，进价为3元．据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是400件，而销售价每降低一元，平均每天就可以多售出100件．(1)假定每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润y元，请写出y与x之间的函数关系．（注：销售利润=销售收入-购进成本）(2)当每件小商品降低多少元时，该商店每天能获利4800元？10．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足一种函数关系，售价x （元/件）与y （万件）的对应关系如表：(1)求该产品每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间的函数关系式；(2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．①求2023年该特产的售价；①该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少?11．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x 天(x 为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示．(1)请计算第几天该商品的单价为25元？(2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y （元）关于x （天）的函数关系式．(3)这30天中，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？12．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元/kg 的该大米，以不低于成本价且不超过12.5元/kg 的价格销售．当售价为8元/kg 时．每天售出大米1000kg ；当售价为9元/kg 时，每天售出大米900kg ，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量()y kg 与售价x （元/kg ）满足一次函数关系．(1)请写出y 与x 的函数关系式；(2)当售价定为多少元/kg 时，每天销售该大米的利润可达到3500元；(3)当售价定为多少元/kg 时，每天获利最大？最大利润为多少？13．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（020x≤≤，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客．(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式；(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元；(3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？14．成都市某新能源汽车销售商，购进某种型号的汽车成本价为20万元/台，投入市场销售，其销售单价不低于成本，开展购买新能源汽车补贴活动后，发现每月销售量y（台）与销售单价x（万元/台）之间存在一次函数关系，且已知两月数据为：销售价定20.1万元，每月销售39台；销售价定为20.3万元，每月销售37台．(1)若该店销售这种新能源汽车每月获得30万元的利润，则这种新能源汽车的销售单价定为多少元？(2)设每月的总利润为w万元，当销售单价定为多少时，该店每月的利润最大？最大利润是多少？15．某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）；(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元5（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价m≥格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．。

中考复习专题------实际问题与二次函数

2
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元。
国家基础教育课程改革青海省潢中县实验区2004年升中试题
已知二次函数 y=0.5x² +bx+c 的图象经过点A(c，-2)，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x＝3。题目中的黑色部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象。若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的黑色部分添加一个适当的条件，把原题补充完整。
确定自变量的取值范围；（4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方
求出二次函数的最大值或最小值；
（5）检验结果的合理性、拓展等。
例3.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 20 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。问此球能否投中？
●课后练习
1.小明家用长为8米的铝合金
条制成如图所示形状的矩形窗框,
小明爸爸想使窗户透光面积最大, 应怎样设计窗户的长和宽?
设变量,建立函数关系,并求函数最大值.
8 3x 2
x
2.如图,某小区要在一块空地上修建如图所示形状的花坛,并分别在两个区域内种上不同的花,已知四边形ACDE和CBFG都是正方形,AB=2,设BC=x (1)AC=______ (2)设花坛总面积为s,求s与x函数关系式;
Q
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB的延长线上时

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∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
D
二
C
次函
数
与
最
大
面
积
回顾《何时获得最大利润》和《最大面积是多少》这两节解决问题的过程，试总结解决此类问题的基本思路。
（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；（3）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，
由抛物线经过点（－2，2），可得 a 1
2
所以，这条抛物线的二次函数为：
y 1 x2 2
当水面下降1m时，水面的纵
坐标为 y 3
当 y 3 时，x 6
所以，水面下降1m，水面的
二次函数与生产生活
宽度为2 6 m
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
例4.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球
x
❖ 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？
6y
4

0,
20 9

2
（4，4）（5，4） (７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
6
7
8
9
10
X
-2
用抛物线的知识解决运动场上或者生活中的一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系二次函数
值分别为（ 55 ）、（ 13）。
求函数的最值问题，应注意什么?
6
4
2
0
x
-4 -2
2
二次函数与最大利润二次函数与最大面积二次函数与生产生活二次函数与体育运动
例1.某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是 500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
单价(元) 销售量(件)
13.5 500
x
二
500 20013.5 x
次函
单件利润(元) 13.5 2.5
x 2.5
数与
总利润(元)
13.5 2.5 500 x 2.5500 20013.5 x
9
0
4
8
x
如图，建立平面直角坐标系，
点（4，4）是图中这段抛物
线的顶点，因此可设这段抛
物线对应的函数为：
y ax 42 4 (0≤x≤8)
当x 8时，y 20 9
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
抛物线经过点 0，20
20
9
a0 42 4
最大
利
润
例1.某商店经营T恤衫，已知成批购进
时单价是2.5元。根据市场调查，销售
量与销售单价满足如下关系：在一段
时间内，单价是13.5元时，销售量是
500件；而单价每降低1元，就可以多
售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
解：设销售单价为 x 0 x 13.5 元，则所获利润
鸡场的最大面积。
D 二
C次函数与最大面积
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 鸡场长BC为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2)当x＝
b 3 时，
2a
A
S最大值＝ 4ac b2＝36（平方米） B
4a
(3) ∵墙的可用长度为8米
如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系
式为_y___6_00__5_x__10_0__x__。
y 5x2 100 x 60000
确定自变量的取值范围；
（4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方
求出二次函数的最大值或最小值；
（5）检验结果的合理性、拓展等。
y
解：设这条抛物线表示的二次
函数为 y ax2
0
(-2,-2) ●
x
(2,-2) ●
例3.抛物线形拱桥，当水面在 l
时，拱顶离水面2m，水面宽度4m，
水面下降1m，水面宽度增加多少？
y x 2.5500 20013.5 x
二次
即
y 200 x2 3700 x 8000
函
当
x

2
3700
200

9.25
时
数与最
y

4 200 8000 3700 4 200
2

9112 .5
大利润
实际问题与二次函数
——中考数学专题复习
课前热身 1、求下列二次函数的最大值或最小值：
y
⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=x2＋4x
2、图中所示的二次函数图像的解析式
为： y 2x2 8x 13
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值
分别为（ 55 ）、（ 5 ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小

9
若假设出手的角度和力度都不变, 探究则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点（2）向前平移一点
❖ 在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4

0,
20 9

2
（4，4）
（8，3）

8,
20 9

01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
问题求解
找出实际问题的答案
某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有_1_0_0__x_ 棵橙子树，这时平均每棵树结_6_0_0__5_x_个橙子。
出手时离地面高 20米，与篮圈中心的水平
9
距离为8米，当球出手后水平距离为4米时
到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为
抛物线，篮圈中心距离地面3米。问此球能否投中？
20 9
4米
4米 8米
二
次
函
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数
与
体
3米
育
运
动
y
（4，4）
20 9
a 1 9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
所以销售单价是9.25元时，获利最多，达到9112.5元。
例2:如图，在一面靠墙的空地上用长为24
米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的
长方形鸡场，设鸡场的宽AB为x米，
面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值
范围； (2)当x取何值时所围成的鸡场面积最大，A
最大值是多少？
B
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成