江苏省2017届高考专题复习不等式及应用、三元不等式

基本不等式及其应用

新课标要求: 掌握基本不等式

2

a b

+（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识：

1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则

a b

+a b =时成立）; 2.平方平均不等式：如果,a b R ∈≥2a b +;

3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.

一．基本不等式

1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+ (2)若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2

(2)若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”

） (3)若*

,R b a ∈，则2

2??

? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”

） 4.若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a +≤

+（当且仅当b a =时取“=”） 注：⑴当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正

所谓“积定和最小，和定积最大”． ⑵求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． ●主要方法：

1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式；

2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致;

3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性.

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域：（1）y ＝3x 2＋1

2x 2 ;

（2）y ＝x ＋1

x

解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设2

3

0<

技巧三： 分离

例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

技巧四：换元

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

()(0,0)()

A

y mg x B A B g x

=+

+>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x =+的单调性。

例：求函数2y =

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）231

,(0)x x y x x

++=

> （2）12,33y x x x =+>-

(3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2．已知01x <

<，求函数y .；3．2

03

x <<

，求函数y .

条件求最值

1.若实数满足2=+b a ，则b

a 33+的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b

a

33?定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

变式：若44log log 2x y +=，求11

x y

+的最小值.并求x ,y 的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且19

1x y

+=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+

∈R y x ,且12=+

y x ，求y

x

11+的最小值

(2)已知+

∈R

y x b a ,,,且1=+y

b x a ，求y x +的最小值

技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab 的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.

变式:

求函数15()2

2

y x =<<的最大值。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

应用二：利用基本不等式证明不等式

1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a

++>++222

1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

例6：已知a 、b 、c R +

∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ??????---≥

???????????

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，

又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手。

应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且

19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=

?=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .

●夯实基础

1.已知下列四个结论：①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②21,0≥+>x

x x 时当；③x x x 1

,2+≥时当的最小值为2；

④当x x x 1

,20-

≤<时无最大值.则其中正确命题的序号为 . 2.已知,x y R +

∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为 .

3.已知lg lg 1x y +=，则52

x y

+的最小值是 .

4.设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为 .

5.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,12

2

2

2

2

2

的最小值为 . ●典型例题 例1.（1）已知54x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值. （2）求函数1

422

++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值．

变式练习: (1)求函数y ＝x ＋1

2x (x <0)的最大值；

(2)求函数y ＝1

x －3

＋x (x >3)的最小值；

(3)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值．

例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b

+=x y

，求x+y 的最小值.

（2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．

变式练习: 1.函数1(01)x

y a

a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则

11

m n

+的最小值为 .

2．(2008·江苏)设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2

xz

的最小值是________．

●反馈练习

1．函数y ＝x 2＋2

x －1

(x >1)的最小值是 .

2．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c

2

的大小关系是________．

3．设x ＋y ＝1，x 、y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值是____________．

4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1

y

的最大值为 .

热点二 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用

【例2－1】 (2015·武汉模拟)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x ，y 的值分别为________． [微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题

【例2－2】 (2015·四川卷改编)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间????12，2上单调递减，那么mn 的最大值为________．

[微题型3] 基本不等式在实际问题中的应用

【例2－3】 如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一

条公路通过C 城．设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．

探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

【训练2】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是________． (2)已知关于x 的不等式2x ＋

2

x －a

≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 8．(2015·苏、锡、常、镇调研)已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2

xy －x ＋y －1的最大值为________．

10．(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．

(1)求θ关于x 的函数关系式；

(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？

一、基本不等式应用技巧