江苏省2017届高考专题复习不等式及应用、三元不等式

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三元均值不等式的证明与应用

三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。

2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。

（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。

根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。

（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。

那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。

高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二十三章选修系列 23.4 不等式选讲

m 2 n 2 的最小值为设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则
5 2
1 2
5 2
1 2
.
答案 5
(m 2 n 2 )(a 2 b 2 ) ≥ |ma+nb|= 5 ,当且仅当解析根据柯西不等式得 m2 n 2 = · = (a2+b2=5,
5.(2017课标全国Ⅱ理,23,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2. 证明本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 5
1 5
m a
n b
10 ma+nb=5),即m=a=n=b= 时取等号,故 m2 n 2 的最小值为 5 . 2
4.(2013湖南理,10,5分)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为答案 12
.
解析由柯西不等式(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2得3(a2+4b2+9c2)≥36,所以a2+4b2+9c2≥12.当且仅当a=2b=3c=2时,a2+4b2+9c2取得最小值12.

【推荐】专题07 不等式-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编(江苏特刊)

一、填空1.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】若函数，则函数y的最小值为___________．【答案】32.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知2,0a b b+=>，当最小值时，实数的值是▲ ．【答案】2-【解析】，即2,4a b=-=时取等号3.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数、y满足20,50,40,x yx yy-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y+≥+恒成立，则实数的最小值是．【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC因[2,4]上单调递增，所不等式222()()a x y x y +≥+恒成立等价于4. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】设实数，满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥则32x y +的最大值为 ▲ ．【答案】35. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知正数，满足，则ab 的最小值为 ▲ ．【答案】36 【解析】试题分析：当且仅当9b a =时取等号，因此ab 的最小值为366. 【2017届高三七校联考期中考试】正数y x ,满足22=+y x ，则的最小值为▲ ．【答案】9 【解析】当且仅当y x 4=时取等号7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若3z x y =+的最大值为M ，最小值为m ，且0M m +=，则实数的值为_____________．【答案】1-8. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知正实数,a b 满足37a b +=，___________．【解析】试题分析: 因为9. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知正实数,x y 满足，则y x =___________．二、解答1. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -．（1）当0a >时，解关于的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于的函数1()3xx y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当01a <≤时，原不等式的解集为；当1a >时，原不等式（2【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，从而，解得1,3.m n =⎧⎨=⎩，再化简不等式，因式分解：(2)(2)0x ax -->，最后根据两根22）先化简函数，为一元二次函数12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-2(32)3t a t =-+-，其中2a t a ≤≤，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为t a =时，y 取最小值试题解析：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为[]1,n -知，关于的方程2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，∴1,3.m n =⎧⎨=⎩所以原不等式化为(2)(2)0x ax -->，①当01a <<时，原不等式化为或2x <； ②当1a =时，原不等式化为2(2)0x ->，解得x R ∈且2x ≠； ③当1a >时，原不等式化为或2x >；综上所述：当01a <≤时，原不等式的解集为当1a >时，原不等式的解集为（2）假设存在满足条件的实数，由（1）得：1m =，2()23f x x x =--，12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-．令x a t =（2a t a ≤≤），则2(32)3y t a t =-+-，（2a t a ≤≤），因为(0,1)a ∈，所以21a a <<，所以函数2(32)3y t a t =-+-在2,a a ⎡⎤⎣⎦单调递减，所以当t a =时，y 的最小值为2223y a a =---5=-，解得2. .【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知函数()|1|f x x =-，2()65g x x x =-+-（x R ∈）．（1）若()()g x f x ≥，求的取值范围；（2）求()g x ()f x -的最大值．【答案】（1）[]1,4（2时，()g x 22()65(1)760f x x x x x x -=-+-+-=-+-<，试题解析：（1）当1x ≥时，()1f x x =-，由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-，整理得(1)(4)0x x --≤，所以[]1,4x ∈；当1x <时，()1f x x =-，由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-，整理得(1)(6)0x x --≤，所以[]1,6x ∈，由1,16x x <⎧⎨≤≤⎩，得x ∈∅，综上的取值范围是[]1,4．（2）由（1）知，()()g x f x -的最大值必在[]1,4上取到，。

(江苏专用)2017届高三数学一轮总复习第七章不等式第四节基本不等式及应用课件理

解析：函数的定义域为x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0 x 时，f(x)＝＝ x＋1 1 答案： 2 1 1 ≤ ，故f(x)的最大值为 . 1 2 2 x＋ x 1
3．(教材习题改编)已知 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______．
1 1 1 x＋4y 2 解析：依题意xy＝ x· 4 y≤ ＝，当且仅当x 4 4 2 16
1 1 2 2 当 2＝ 2，即 a＝b 时等号成立，又因为ab＋ab≥2 ab＝2 2， ab· a b 2 1 1 2 当且仅当ab＝ab 时等号成立，所以 2＋ 2＋ab≥ab＋ab≥2 2， a b
1 1 a2＝b2，当且仅当 2 ＝ab， ab
即 a＝b＝ 2时取等号．
4
1 1 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________． [解析 ] ∵a>0，b>0， a＋b＝ 1，
得
1 －1 x

1 －1 y

1 － 1 >8. z
[即时应用] 1 1 设 a，b 均为正实数，求证： 2＋ 2＋ab≥2 2. a b
1 1 证明：由于 a，b 均为正实数，所以 2＋ 2≥2 a b 1 1 2 · ＝，当且仅 a2 b2 ab
1 b2 ＋ 2 2

2
，
1 b2 2 b2 1 3 ＋＝，＋＝a ＋ 2 2 2 2 2
2
所以a 1＋b ≤
2
1 3 3 2 × ＝， 2 2 4
5 因为 x< ，所以 5－4x>0. 4
1 1 所以(4x－5)＋＝－5－4x＋5－4x≤ 4x－5

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第十四章系列4选讲 14.4 课时2 不等式的证明课件理

2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 (a2 ＋ b2)(c2 ＋
2 2 ( ac ＋ bd ) d )≥
(当且仅当ad＝bc时，等号成立).
②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α· β| ，等号当且仅当α，β共线时成立.
解因为 6＝x＋2y＋3z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋9，
2 2 2
18 y z 所以 x ＋y ＋z ≥ 7 ，当且仅当 x＝2＝3
3 6 9 18 2 2 2 即 x＝7，y＝7，z＝7时，x ＋y ＋z 有最小值 7 .
思维升华
解析答案
跟踪训练3
x2 y2 已知大于 1 的正数 x， y， z 满足 x＋y＋z＝3 3.求证：＋ x＋2y＋3z y＋2z＋3x z 3 ＋ ≥2. z＋2x＋3y
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
1 即 ab＋bc＋ca≤3.
解析答案
a2 b2 c2 (2) b ＋ c ＋ a ≥1.
证明 a2 b2 c2 因为 b ＋b≥2a， c ＋c≥2b， a ＋a≥2c，
a2 b2 c2 故 b ＋ c ＋ a ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
a b c 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
解析答案
1
2
3
4
5
6
1 1 ∴x＋y x＋y min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
1
2
3
解析答案
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题型分类深度剖析
题型一
用综合法与分析法证明不等式
1 (1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋ 2 2≥2y＋3； x －2xy＋y

江苏省丹阳高级中学2017届高三数学第二轮复习：专题3-不等式(1)-教案

专题三（1）-不等式解法与线性规划【教学目标】1.掌握常规不等式的解法2.理解三个二次之间的关系3.会解决简单的线性规划问题【教学要点】重点：理解三个二次之间的关系难点：不等式中参数的讨论【考情分析】不等式在高考中很少单独成题，常常与其他知识点相互渗透在一起，是求解数学问题的重要工具. 【例题分析及变式】类型1：不等式的解法例1.（1）(2016·江苏第5题)函数23-2-x x 的定义域是.【答案】[-3，1]【解析】由题意知3-2x-x 2≥0，解得-3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[-3，1]. （2）.(2015·江苏第7题)不等式2-2x x<4的解集为 .【答案】(-1，2)【解析】由2-2xx<4，知x 2-x<2，解得-1<x<2，所以原不等式的解集为(-1，2).（3）(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax 2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4}，则a= ，b= .【答案】-112 712【解析】由题意知3和4是方程ax 2+bx-1=0的两根，所以a (x-3)(x-4)=0，所以a=-112，b=712.例2（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数 f (x ) ＝｜x －1｜＋｜x +3｜（1）解不等式 f (x ) ≥8；（2）若不等式 f (x ) ＜2a －3a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围.（1）22,3()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，由228x --≥，解得5-≤x ；年份题号知识点分值 2014年第10，19题二次函数与二次不等式；函数与不等式的综合21分 2015年第7，19题指数函数与基本不等式；不等式的解法 21分2016年第5，12，14，19题一元二次不等式的解法；线性规划；基本不等式40分当31x -≤≤时，()4f x =，()8f x ∴≥无解；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥．所以不等式()8f x ≥的解集为{}35≥-≤x x x 或．（2）因为4)3()1(31)(=++--≥++-=x x x x x f ，所以()min 4f x = 又不等式a a x f 3)(2-<的解集不是空集，所以432>-a a , 所以14-<>a a 或即实数a 的取值范围是),4()1,(+∞--∞Y 例3 解关于x 的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-2<0，所以x<2. 当a ≠0时，原不等式化为a (x-2)x-2a>0，①当a>1时，2a <2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，所以x<2a 或x>2.②当a=1时，2a=2，原不等式化为(x-2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2. ③当0<a<1时，2a >2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，则x<2或x>2a . ④当a<0时，2a <2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，所以2a <x<2. 综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a>1时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a<1时，原不等式的解集为22x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a<0时，原不等式的解集为22x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式解关于x 的一元二次不等式ax 2+(a-1)x-1>0.【解答】由ax 2+(a-1)x-1>0，得(ax-1)(x+1)>0. 当a>0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a ；当-1<a<0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a <x<-1；当a=-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x ∈∅；当a<-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a .综上所述，当a>0时，不等式的解集为1|-1xxx a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当-1<a<0时，不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=-1时，不等式的解集为∅；当a<-1时，不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.题组小结：.类型2：三个二次之间的关系例4（1）.(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递增，且f (3)=0，则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 . 【答案】(-1，3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3<x 2-2x<3，解得-1<x<3，从而不等式的解集为(-1，3). （2）(必修1 P32习题7改编)若定义在R 上的二次函数f (x )=ax 2-4ax+b 在区间[0，2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是 .【答案】{m|0≤m ≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2，且在[0，2]上为增函数，知a<0，根据函数图象可得实数m 的取值范围是{m|0≤m ≤4}.（3）.(2014·江苏第10题)已知函数f (x )=x 2+mx-1，若对于任意的x ∈[m ，m+1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 .【答案】-02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为二次函数开口向上，在区间[m ，m+1]上始终满足f (x )<0，所以只需()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即可，由222-10(1)(1)-10m m m m m ⎧+<⎨+++<⎩，，解得3-02m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，故实数m的取值范围为-02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 例5 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1.(1)当a=1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 【解答】(1)由f (x )≥g (x )，当a=1时，即解不等式x|x-1|≥x 2-1.当x ≥1时，不等式为x 2-x ≥x 2-1，解得x ≤1，所以x=1；当x<1时，不等式为x-x 2≥x 2-1，解得-12≤x ≤1，所以-12≤x<1. 综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. (2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，，而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2)，即24a <4-2a ，解得-4-4+4，所以当0<a<44时，F (a )=4-2a ；令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2)，即24a ≥4-2a ，解得a ≤-4-4或a ≥-4+4，所以当4-4≤a<2时，F (a )=24a .当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤2a <2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ；当2a≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4；综上，F (a )=24-2442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，，，，变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ，g (x )=bf (1-x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】因为g (x )=b (2-x +a )，所以f (x )≥g (x )，即2x-1+a ≥2x b +ab ，即(2x)2-2a(b-1)2x-2b≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x的方程(2x)2-2a(b-1)2x-2b=0的2x的值分别为4，-2b.因为2x取正值，要想2x最小为4，所以-2b≤0，即b≥0.又因为4-2b=2a(b-1)，所以b=4(2)41aa++≥0，解得a≤-2或a>-14.题组小结：.类型3：线性规划问题例6(2016·全国卷)若实数x，y满足约束条件-10-202-20x yx yx y+≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y的最大值为.【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x yx y=⎧⎨+=⎩，，得A112⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线z=x+y过点A时，z取得最大值，所以z max=1+12=32.变式1(2016·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39x y x y +=⎧⎨=⎩，，得3-1x y =⎧⎨=⎩，，由图可知，当x 2+y 2=z 过点(3，-1)时，z 取得最大值，即(x 2+y 2)max =32+(-1)2=10.变式2 (2016·苏州中学)若实数x ，y 满足约束条件-30--3001x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x y x y ++的最小值为 .【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，易知z=21y x y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，. 变式3 (2016·江苏第12题)已知实数x ，y 满足约束条件-2402-203--30x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，那么x 2+y 2的取值范围是 .【答案】4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2+y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x+y-2=0的距离2212+=55，则(x 2+y 2)min =45；点B 为直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2+y 2)max =13.综上，x 2+y 2的取值范围是4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 变式4 (必修5 P77练习2改编)不等式组-2-10y x y x y ≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为 .【答案】14【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B =1，x C =2.由-2-1y x y x =+⎧⎨=⎩，，解得y D =12，所以S △BCD =12×(x C -x B )×12=14.变式5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，y ≥x －2，y ≥－12x ＋52，且目标函数z ＝－kx ＋y 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1时取得最小值，则实数k 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－12，114【解析】由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC 及其内部，其中A (3,1)，B (4,2)，C (1,2)．将目标函数变形得y ＝kx ＋z ，当z 取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y ＝kx ＋z 绕定点A 旋转进行分析，知－12<k <1，故所求实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.题组小结：.【课堂总结】1.含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．2.解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．【巩固作业】学案作业专题三（1）-不等式解法与线性规划作业：一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最大值是.【答案】7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以z max=2×5-3=7.2.若对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以解得a>.3.(2015·山东卷)若变量x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值为.【答案】7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立解得即A(1，2)，故z max=1+3×2=7.4.若关于x的不等式ax2+2x+a>0的解集为R，则实数a的取值范围是.【答案】(1，+∞)【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a≠0时，要使不等式ax2+2x+a>0的解集为R，必须满足解得a>1.5.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件则z=x+y的最小值是.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.6.(2016·淮阴中学)已知x，y∈R，且x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围是.【答案】[4，12]【解析】因为2xy=6-(x2+4y2)，而2xy≤2242x y+，所以6-(x2+4y2)≤2242x y+，所以x2+4y2≥4，当且仅当x=2y时取等号.又因为(x+2y)2=6+2xy≥0，即2xy≥-6，所以z=x2+4y2=6-2xy≤12.综上可得4≤x2+4y2≤12.7.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0，+∞)恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值集合为.【答案】{8，-2}【解析】当b≤0时，由(ax+3)(x2-b)≤0得ax+3≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，则a<0，且a·0+3≤0，矛盾，故b>0.当b>0时，由(ax+3)(x2-b)≤0可设f(x)=ax+3，g(x)=x2-b，又g(x)的大致图象如图所示，那么由题意可知3-aba<⎧⎪⎨=⎪⎩，，再由a，b是整数得到-19ab=⎧⎨=⎩，或-31ab=⎧⎨=⎩，，因此a+b=8或-2.8.(2016·启东中学)已知f(x)=x2+2x+a ln x，若f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为.【答案】(-∞，-4]∪[0，+∞)【解析】由题意知f'(x)=2x+2+ax=222x x ax++，因为f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f'(x)在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在区间(0，1]上恒成立，即a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)，而函数y=-2x2-2x 在区间(0，1]上的值域为[-4，0)，所以a≥0或a≤-4.9.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ，对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立，则实数x 的取值范围是 . 【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调增，f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-53<x<-13. 10.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0，从而a-1<f (x )<a+1，要使f (f (x ))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a ≤-2. 二、解答题11.（惠州市2017届高三第三次调研）已知函数f (x )＝|x －a |.（Ⅰ）若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3.解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. （Ⅱ）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]．12.(2016·江苏怀仁中学)设函数f (x )=ax 2+(b-2)x+3(a ≠0). (1)若不等式f (x )>0的解集为(-1，3)，求a ，b 的值； (2)若f (1)=2，a>0，b>0，求1a +4b的最小值. 解：(1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩，，即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得-14.a b =⎧⎨=⎩，(2) 因为f(1)=2，所以a+b=1，所以1a+4b=(a+b)14a b⎛⎫+⎪⎝⎭=5+ba+4ab≥9，当且仅当b=2a=12时取等号.13.(2016·泰州中学)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)满足①f(1)=5；②6<f(2)<11.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若对任意的x∈[1，2]，都有f(x)-2mx≥0恒成立，求实数m的取值范围.解：(1) 由题知5=a+c+2，即c=3-a.又6<4a+c+4<11，所以-13<a<43.又a∈N*，所以a=1，c=2.所以f(x)=x2+2x+2.(2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x∈[1，2]上恒成立.因为当x∈[1，2]时，x+2x∈223⎡⎤⎣⎦，，所以2(m-1)≤22，即m≤2+1，所以实数m的取值范围为(-∞，2+1].14.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?解(1) 设AP=x m，AQ=y m，则x+y=200，△APQ的面积S=12xy·sin 120°=34xy，所以S232x y+⎫⎪⎝⎭=2 5003S max=2 5003当且仅当200x yx y=⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m，AQ=y m，由题意得100×(x+1.5y)=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2=x2+y2-2xy cos 120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40000=1.752800-7y⎛⎫⎪⎝⎭+12000074003y⎛⎫<<⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值200217，此时x=2007.15.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y，m∈N*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为{1，2，3}.证明：①因为，c>0，故a+c>b恒成立.②若a+b>c恒成立，即恒成立.=2+m<2故当m<2+a+b>c恒成立.③若b+c>a恒成立，即=+恒成立.令t≥2)，则当t=2时，取得最大值，得m>2m>2b+c>a恒成立.综上，22+由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案文解析版

１．基本不等式错误!≤错误!（１）基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.（２）等号成立的条件：当且仅当a＝b.２．几个重要的不等式（１）a２＋b２≥ ２ab（a，b∈R）；（２）错误!＋错误!≥错误!（a，b同号）；（３）ab≤错误!２（a，b∈R）；（４）错误!２≤错误!（a，b∈R）．３．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．４．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则（１）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是２错误!（简记：积定和最小）．（２）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是错误!（简记：和定积最大）．[小题体验]１．（２0１9·南京调研）已知m，n均为正实数，且m＋２n＝１，则mn的最大值为________．解析：∵m＋２n＝１，∴m·２n≤错误!２＝错误!，即mn≤错误!，当且仅当m＝２n＝错误!时，mn 取得最大值错误!.答案：错误!２．若实数x，y满足xy＝１，则x２＋２y２的最小值为________．解析：x２＋２y２＝x２＋（错误!y）２≥２x（错误!y）＝２错误!，所以x２＋２y２的最小值为２错误!.答案：２错误!３．若把总长为２0 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m２.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为（１0—x）m，由题知0＜x＜１0，则面积S＝x（１0—x）≤错误!２＝２５，当且仅当x＝１0—x，即x＝５时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为５m时面积取到最大值２５m２.答案：２５１．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．２．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．３．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]１．（２0１9·启东检测）函数y＝x＋错误!（x＞１）的最小值为________．解析：∵x＞１，∴x—１＞0，∴y＝x＋错误!＝（x—１）＋错误!＋１≥２错误!＋１＝7，当且仅当x＝４时取等号．答案：7２．函数f（x）＝x＋错误!的值域为____________________．答案：（—∞，—２]∪[２，＋∞）错误!错误![典例引领]１．（２0１8·启东期末）设正实数a，b满足a＋b＝１，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：∵a＋b＝１，∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋４≥２错误!＋４＝8，当且仅当错误!＝错误!，即a＝错误!，b＝错误!时等号成立，∴错误!＋错误!的最小值为8．答案：8２．（２0１9·常州调研）若实数x满足x＞—４，则函数f（x）＝x＋错误!的最小值为________．解析：因为x＞—４，所以x＋４＞0，所以f（x）＝x＋错误!＝x＋４＋错误!—４≥２错误!—４＝２，当且仅当x＋４＝错误!，即x＝—１时取等号．３．（２0１8·徐州调研）已知实数x，y满足x２＋y２＝３，|x|≠|y|，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：因为（２x＋y）２＋（x—２y）２＝５（x２＋y２）＝１５，所以令（２x＋y）２＝t，（x—２y）２＝μ，所以t＋μ＝１５，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!（t＋μ）错误!＝错误!错误!≥错误!（５＋４）＝错误!，当且仅当t＝５，μ＝１0时取等号，所以错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误![由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：（１）对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．（２）条件变形，进行“１”的代换求目标函数最值．[即时应用]１．设0＜x＜错误!，则函数y＝４x（３—２x）的最大值为________．解析：y＝４x（３—２x）＝２[２x（３—２x）]≤２错误!２＝错误!，当且仅当２x＝３—２x，即x＝错误!时，等号成立．又因为错误!∈错误!，所以函数y＝４x（３—２x）错误!的最大值为错误!.答案：错误!２．已知正数x，y满足x２＋２xy—３＝0，则２x＋y的最小值是________．解析：由题意得y＝错误!，所以２x＋y＝２x＋错误!＝错误!＝错误!错误!≥３，当且仅当x＝y＝１时，等号成立．答案：３３．（２0１7·天津高考）若a，b∈R，ab＞0，则错误!的最小值为________．解析：因为ab＞0，所以错误!≥错误!＝错误!＝４ab＋错误!≥２错误!＝４，当且仅当错误!时取等号，故错误!的最小值是４．错误!错误![典例引领]经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x＝３—错误!（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是１万件．已知２0２0┄２0２１届生产该产品的固定投入为8万元，每生产１万件该产品需要再投入１6万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的１．５倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（１）将２0２0┄２0２１届该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（２）该厂家２0２0┄２0２１届的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（１）由题意可知，当m＝0时，x＝１，所以１＝３—k，解得k＝２，即x＝３—错误!，每１万件产品的销售价格为１．５×错误!（万元），所以２0２0┄２0２１届的利润y＝x错误!—（8＋１6x＋m）＝４＋8x—m＝４＋8错误!—m＝２8—错误!—m（m≥0）．所以利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝２8—错误!—m（m≥0）．（２）由（１）知y＝—错误!＋２9（m≥0）．因为m≥0时，错误!＋（m＋１）≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝m＋１，即m＝３时取等号．所以y≤—8＋２9＝２１，即当m＝３时，y取得最大值２１．所以当该厂家２0２0┄２0２１届的促销费用投入３万元时，厂家获得的利润最大，为２１万元．[由题悟法]解实际应用题的３个注意点（１）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（２）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．（３）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A１B１C１D１和人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A１B１C １D１的面积为４000 m２，人行道的宽分别为４m和１0 m（如图所示）．（１）若设休闲区的长和宽的比错误!＝x（x＞１），求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（２）要使公园所占面积最小，则休闲区A１B１C１D１的长和宽该如何设计？解：（１）设休闲区的宽为a m，则长为ax m，由a２x＝４000，得a＝错误!.则S（x）＝（a＋8）（ax＋２0）＝a２x＋（8x＋２0）a＋１60＝４000＋（8x＋２0）·错误!＋１60＝80错误!错误!＋４１60（x＞１）．（２）S（x）＝80错误!错误!＋４１60≥80错误!×２错误!＋４１60＝１600＋４１60＝５760，当且仅当２错误!＝错误!，即x＝２．５时，等号成立，此时a＝４0，ax＝１00．所以要使公园所占面积最小，休闲区A１B１C１D１的长和宽应分别设计为１00 m,４0 m.错误!错误![典例引领]１．（２0１9·淮安调研）若x∈（0,１）时，不等式m≤错误!＋错误!恒成立，则实数m的最大值为________．解析：∵x∈（0,１），∴１—x∈（0,１），∵x＋（１—x）＝１，∴错误!＋错误!＝错误![x＋（１—x）]＝２＋错误!＋错误!≥２＋２错误!＝４，当且仅当错误!＝错误!，即x＝错误!时取等号，∴m≤４，即实数m的最大值为４．答案：４２．已知函数f（x）＝错误!（a∈R），若对于任意的x∈N*，f（x）≥３恒成立，则a的取值范围是________．解析：对任意x∈N*，f（x）≥３，即错误!≥３恒成立，即a≥—错误!＋３．设g（x）＝x＋错误!，x∈N*，则g（x）＝x＋错误!≥４错误!，当x＝２错误!时等号成立，又g（２）＝6，g（３）＝错误!.因为g（２）＞g（３），所以g（x）min＝错误!.所以—错误!＋３≤—错误!，所以a≥—错误!，故a的取值范围是错误!.答案：错误![由题悟法]求解含参数不等式的求解策略（１）观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．（２）在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]１．（２0１9·东台月考）若对任意x＞0，错误!≤a恒成立，则a的最小值为________．解析：错误!＝错误!，∵x＞0，∴x＋３＋错误!≥３＋２错误!＝３＋２＝５，当且仅当x＝错误!，即x＝１时取等号，∴0＜错误!≤错误!，∴要使错误!≤a恒成立，则a≥错误!，故a的最小值为错误!.答案：错误!２．已知正数x，y满足x＋２错误!≤λ（x＋y）恒成立，求实数λ的最小值．解：依题意得x＋２错误!≤x＋（x＋２y）＝２（x＋y），即错误!≤２（当且仅当x＝２y时取等号），即错误!的最大值为２．又λ≥错误!，因此有λ≥２，即λ的最小值为２．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·连云港调研）若x＞0，y＞0，且log２x＋log２y＝２，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：∵x＞0，y＞0，且log２x＋log２y＝log２xy＝２，∴xy＝４，∴错误!＋错误!≥２错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!且xy＝４，即x＝错误!，y＝２错误!时取等号，∴错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!２．当x＞0时，f（x）＝错误!的最大值为________．解析：因为x＞0，所以f（x）＝错误!＝错误!≤错误!＝１，当且仅当x＝错误!，即x＝１时取等号．答案：１３．（２0１8·苏州期末）已知a＞0，b＞0，且错误!＋错误!＝１，则３a＋２b＋错误!的最小值为________．解析：∵a＞0，b＞0，且错误!＋错误!＝１，∴３a＋２b＋错误!＝３a错误!＋２b错误!＋错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝１１，当且仅当a＝b＝２时取等号，∴３a＋２b＋错误!的最小值为１１．答案：１１４．当３＜x＜１２时，函数y＝错误!的最大值为________．解析：y＝错误!＝错误!＝—错误!＋１５≤—２错误!＋１５＝３．当且仅当x＝错误!，即x＝6时，y max＝３．答案：３５．（２0１8·通州期末）若log４（a＋４b）＝log２错误!，则a＋b的最小值是________．解析：∵log４（a＋４b）＝log２错误!，∴log２错误!＝log２错误!，a＋４b＞0，ab＞0．∴错误!＝错误!，即a＋４b＝ab，∴错误!＋错误!＝１，∴a＋b＝（a＋b）错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当a＝２b＝6时取等号．∴a＋b的最小值是9．答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为１元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是错误!元，每件产品的仓储费用是错误!元，则错误!＋错误!≥２错误!＝２0，当且仅当错误!＝错误!，即x＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·盐城调研）若x＞0，y＞0，且x＋错误!＋y＋错误!≤9，则错误!＋错误!的最大值为________．解析：令x＋y＝n，错误!＋错误!＝m，∴m·n＝（x＋y）错误!＝５＋错误!＋错误!≥9．∴错误!⇒9≥m＋n≥m＋错误!.∴m２—9m＋9≤0，解得错误!≤m≤错误!.∴错误!＋错误!的最大值为错误!.答案：错误!２．已知ab＝错误!，a，b∈（0,１），则错误!＋错误!的最小值为________．解析：由题意得b＝错误!，所以0＜错误!＜１，即a∈错误!，得错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋２．４（１—a）＋（４a—１）＝３，记S＝错误!＋错误!，则S＝错误!＋错误!＝错误![（４—４a）＋（４a—１）]错误!＝２＋错误!错误!≥２＋错误!，当且仅当错误!＝错误!时等号成立，所以所求最小值为４＋错误!.答案：４＋错误!３．（２0１8·连云港期末）已知x＞0，y＞0，且２x＋４y＝４，则错误!＋错误!的最小值是________．解析：∵x＞0，y＞0，且２x＋４y＝４，∴４＝２x＋４y≥２错误!，即x＋２y≤２，∴错误!＋错误!≥错误!错误!（x＋２y）＝错误!错误!≥错误!错误!＝４，当且仅当x＝２y时等号成立，∴错误!＋错误!的最小值是４．答案：４４．（２0１9·湖北七市（州）协作体联考）已知直线ax＋by—6＝0（a＞0，b＞0）被圆x２＋y２—２x—４y＝0截得的弦长为２错误!，则ab的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为（x—１）２＋（y—２）２＝５，圆心坐标为（１,２），半径r ＝错误!，故直线过圆心，即a＋２b＝6，所以a＋２b＝6≥２错误!，可得ab≤错误!，当且仅当a＝２b ＝３时等号成立，即ab的最大值是错误!.答案：错误!５．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图），考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9错误!m２，且高度不低于错误!m，记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长（梯形的上底与两腰长的和）为y m，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长x＝________.解析：设横断面的高为h，由题意得AD＝BC＋２·错误!＝BC＋x，h＝错误!x，所以9错误!＝错误!（AD＋BC）h＝错误!（２BC＋x）·错误!x，故BC＝错误!—错误!，由错误!得２≤x＜6，所以y＝BC＋２x＝错误!＋错误!（２≤x＜6），从而y＝错误!＋错误!≥２错误!＝6错误!，当且仅当错误!＝错误!（２≤x＜6），即x＝２错误!时等号成立．答案：２错误!6．（２0１8·苏州期末）已知正数x，y满足x＋y＝１，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：令x＋２＝a，y＋１＝b，则a＋b＝４（a＞２，b＞１），所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!（a＋b）错误!＝错误!错误!≥错误!（５＋４）＝错误!，当且仅当a＝错误!，b＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!时取等号．则错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!7．（２0１8·南通三模）若正实数x，y满足x＋y＝１，则错误!＋错误!的最小值是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝１，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋４≥２错误!＋４＝8，当且仅当错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!时取“＝”，所以错误!＋错误!的最小值是8．答案：88．（２0１8·扬州期末）已知正实数x，y满足x＋y＝xy，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：∵x＋y＝xy，∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２x＋３y.又∵x＋y＝xy可化为错误!＋错误!＝１，∴２x＋３y＝（２x＋３y）错误!＝错误!＋错误!＋５≥２错误!＋５＝２错误!＋５，当且仅当２x２＝３y２时取等号，∴错误!＋错误!的最小值为２错误!＋５．答案：２错误!＋５9．（１）当x＜错误!时，求函数y＝x＋错误!的最大值；（２）设0＜x＜２，求函数y＝错误!的最大值．解：（１）y＝错误!（２x—３）＋错误!＋错误!＝—错误!＋错误!.当x＜错误!时，有３—２x＞0，所以错误!＋错误!≥２错误!＝４，当且仅当错误!＝错误!，即x＝—错误!时取等号．于是y≤—４＋错误!＝—错误!，故函数的最大值为—错误!.（２）因为0＜x＜２，所以２—x＞0，所以y＝错误!＝错误!·错误!≤ 错误!·错误!＝错误!，当且仅当x＝２—x，即x＝１时取等号，所以当x＝１时，函数y＝错误!的最大值为错误!.１0．（２0１9·泰州调研）已知x＞0，y＞0，且２x＋y＝４．（１）求xy的最大值及相应的x，y的值；（２）求9x＋３y的最小值及相应的x，y的值．解：（１）因为４＝２x＋y≥２错误!⇒xy≤２，所以xy的最大值为２，当且仅当２x＝y＝２，即x＝１，y＝２时取“＝”．（２）因为9x＋３y＝３２x＋３y≥２错误!＝１8，所以9x＋３y的最小值为１8，当且仅当9x＝３y，即２x＝y＝２⇒x＝１，y＝２时取“＝”．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·启东期中）已知α为锐角，则２tan α＋错误!的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tan α＞0，∴２tan α＋错误!＝２tan α＋错误!＝错误!＋错误!≥２错误!＝错误!，当且仅当tan α＝错误!，即α＝错误!时取得等号，∴２tan α＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏北四市联考）已知对满足x＋y＋４＝２xy的任意正实数x，y，都有x２＋２xy＋y２—ax—ay＋１≥0，则实数a的取值范围为________．解析：法一：由x＋y＋４＝２xy≤错误!得（x＋y）２—２（x＋y）—8≥0，又x，y是正实数，得x ＋y≥４．原不等式整理可得（x＋y）２—a（x＋y）＋１≥0，令x＋y＝t，t≥４，则t２—at＋１≥0，t∈[４，＋∞）（*）恒成立，当Δ＝a２—４≤0，即—２≤a≤２时，（*）式恒成立；当a＜—２时，对称轴t＝错误!＜—１，（*）式恒成立；当a＞２时，对称轴t＝错误!，要使（*）式恒成立，则错误!＜４，且１6—４a ＋１≥0，得２＜a≤错误!.综上可得（*）式恒成立时，a≤错误!，则实数a的取值范围是错误!.法二：由x＋y＋４＝２xy≤错误!得（x＋y）２—２（x＋y）—8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥４．原不等式整理可得（x＋y）２—a（x＋y）＋１≥0，令x＋y＝t，t≥４，则t２—at＋１≥0，t∈[４，＋∞）（*）恒成立，则a≤错误!min＝错误!，故实数a的取值范围是错误!.答案：错误!３．某工厂某种产品的年固定成本为２５0万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝错误!x２＋１0x（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝５１x＋错误!—１４５0（万元）．每件商品售价为0．0５万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（１）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．（２）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：（１）因为每件商品售价为0．0５万元，则x千件商品销售额为0．0５×１000x万元，依题意得：当0＜x＜80时，L（x）＝（0．0５×１000x）—错误!x２—１0x—２５0＝—错误!x２＋４0x—２５0．当x≥80时，L（x）＝（0．0５×１000x）—５１x—错误!＋１４５0—２５0＝１２00—错误!.所以L（x）＝错误!（２）当0＜x＜80时，L（x）＝—错误!（x—60）２＋9５0．此时，当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝9５0万元．当x≥80时，L（x）＝１２00—错误!≤１２00—２错误!＝１２00—２00＝１000．此时x＝错误!，即x＝１00时，L（x）取得最大值１000万元．由于9５0＜１000，所以，当年产量为１00千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为１000万元．命题点一一元二次不等式１．（２0１7·山东高考改编）设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝________.解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：[—２,１）２．（２0１４·江苏高考）已知函数f（x）＝x２＋mx—１，若对于任意x∈[m，m＋１]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是________．解析：由题可得f（x）＜0对于x∈[m，m＋１]恒成立，即错误!解得—错误!＜m＜0．答案：错误!３．（２0１２·江苏高考）已知函数f（x）＝x２＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．解析：因为f（x）的值域为[0，＋∞），所以Δ＝0，即a２＝４b，所以x２＋ax＋错误!—c＜0的解集为（m，m＋6），易得m，m＋6是方程x２＋ax＋错误!—c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得错误!解得c＝9．答案：9命题点二简单的线性规划问题１．（２0１6·江苏高考）已知实数x，y满足错误!则x２＋y２的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则（x，y）为阴影区域内的动点．d＝错误!可以看做坐标原点O与可行域内的点（x，y）之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线２x＋y—２＝0的距离．由错误!可得A（２,３），所以d max＝错误!＝错误!，d min＝错误!＝错误!.所以d２的最小值为错误!，最大值为１３．所以x２＋y２的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件错误!则z＝３x＋２y的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝３x＋２y，得y＝—错误!x＋错误!.作直线l0：y＝—错误!x.平移直线l0，当直线y＝—错误!x＋错误!过点（２,0）时，z取最大值，z max＝３×２＋２×0＝6．答案：6３．（２0１7·全国卷Ⅲ改编）设x，y满足约束条件错误!则z＝x—y的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z ＝x—y过点A（２,0）时，z取得最大值２，当直线z＝x—y过点B（0,３）时，z取得最小值—３，所以z＝x—y的取值范围是[—３,２]．答案：[—３,２]４．（２0１8·全国卷Ⅱ）若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．由错误!得点A（５,４），∴z max＝５＋４＝9．答案：9５．（２0１8·北京高考）若x，y满足x＋１≤y≤２x，则２y—x的最小值是________．解析：由条件得错误!即错误!作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z＝２y—x，即y＝错误!x＋错误!z，作直线l0：y＝错误!x并向上平移，显然当l0过点A（１,２）时，z取得最小值，z min＝２×２—１＝３．答案：３6．（２0１7·天津高考）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70５60乙60５２５已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于３0分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的２倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（１）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（２）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（１）由已知，x，y满足的数学关系式为错误!即错误!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．（２）设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋２５y.考虑z＝60x＋２５y，将它变形为y＝—错误!x＋错误!，这是斜率为—错误!，随z变化的一族平行直线.错误!为直线在y轴上的截距，当错误!取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋２５y经过可行域上的点M时，截距错误!最大，即z最大．解方程组错误!得点M的坐标为（6,３）．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧３次时才能使总收视人次最多．命题点三基本不等式１．（２0１7·江苏高考）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为４x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：由题意，一年购买错误!次，则总运费与总存储费用之和为错误!×6＋４x＝４错误!≥8错误!＝２４0，当且仅当x＝３0时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是３0．答案：３0２．（２0１6·江苏高考）在锐角三角形ABC中，若sin A＝２sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________．解析：在锐角三角形ABC中，因为sin A＝２sin B sin C，所以sin（B＋C）＝２sin B sin C，所以sin B cos C＋cos B sin C＝２sin B sin C，等号两边同除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝２tan B tan C.所以tan A＝tan[π—（B＋C）]＝—tan （B＋C）＝错误!＝错误!.１因为A，B，C均为锐角，所以tan B tan C—１＞0，所以tan B tan C＞１．由１得tan B tan C＝错误!.又由tan B tan C＞１得错误!＞１，所以tan A＞２．所以tan A tan B tan C＝错误!＝错误!＝（tan A—２）＋错误!＋４≥２错误!＋４＝8，当且仅当tan A—２＝错误!，即tan A＝４时取得等号．故tan A tan B tan C的最小值为8．答案：8３．（２0１8·天津高考）已知a，b∈R，且a—３b＋6＝0，则２a＋错误!的最小值为________．解析：∵a—３b＋6＝0，∴a—３b＝—6．∴２a＋错误!＝２a＋２—３b≥２错误!＝２错误!＝２错误!＝２×２—３＝错误!，当且仅当错误!即错误!时等号成立．答案：错误!４．（２0１7·全国卷Ⅰ改编）已知F为抛物线C：y２＝４x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l１，l２，直线l１与C交于A，B两点，直线l２与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．解析：抛物线C：y２＝４x的焦点为F（１,0），由题意可知l１，l２的斜率存在且不为0．不妨设直线l１的斜率为k，则l１：y＝k（x—１），l２：y＝—错误!（x—１），由错误!消去y，得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），所以x１＋x２＝错误!＝２＋错误!，由抛物线的定义可知，|AB|＝x１＋x２＋２＝２＋错误!＋２＝４＋错误!.同理得|DE|＝４＋４k２，所以|AB|＋|DE|＝４＋错误!＋４＋４k２＝8＋４错误!≥8＋8＝１6，当且仅当错误!＝k２，即k＝±１时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为１6．答案：１6。

高考专题复习不等式及应用、三元不等式

基本不等式及其应用新课标要求: 掌握基本不等式2a b+（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识：1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则a b+a b =时成立）;2.平方平均不等式：如果,a b R ∈≥2a b +;3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：⑴当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． ⑵求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． ●主要方法：1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式；2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致;3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性.应用一：求最值例1：求下列函数的值域：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ;（2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 51技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

专题2.6 不等式-2017届高三数学三轮考点总动员(江苏版)(解析版)

2017三轮考点总动员【江苏版】【重点·提醒】1.利用基本不等式a+b ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭求函数的最值时，要注意“等号成立”时的条件(一正、二定、三相等).2.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，同时要注意“同号可倒”，即a>b>0⇒1a <1b；a<b<0⇒1a >1b. 3.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”. 4.常用放缩技巧：1n -11n +=1(1)n n +<21n <1(-1)n n =1-1n -1n. 5.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，例如，-2-2y x 是指已知区域内的点与点(2，2)连线的斜率，而(x-1)2+(y-1)2是指已知区域内的点到点(1，1)的距离的平方.6.对于不等式恒成立问题，常用的方法是将问题转化为最值问题.解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要方法有数形结合法、分离变量法、换元法，通过最值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的区别.例如，对∀x ∈[a ，b ]，都有f (x )≤g (x )成立，即f (x )-g (x )≤0的恒成立问题；但对∃x ∈[a ，b ]，使f (x )≤g (x )成立，则为存在性问题，即f (x )min ≤g (x )max ，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系. 【经典·剖析】例1. 求f (x )=3+lg x+4lg x的最大值(0<x<1). 分析：因为0<x<1，所以lg x<0，4lg x<0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.【解答】因为0<x<1，所以lg x<0，4lg x <0，所以-lg x>0，-4lg x>0.所以(-lg x )+4-lg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭4，所以lg x+4lg x ≤-4，所以f (x )=3+lg x+4lg x≤3-4=-1. 当且仅当lg x=4lg x ，即x=1100时取得等号.则有f (x )=3+lg x+4lg x (0<x<1)的最大值为-1. 学科*网例2. 求函数f (x )21的最小值.【解答】 f (x )21211，令t，则原函数变形为y=t+1t+1，在区间+∞)上是增函数，所以当y=t+1t+1取得最小值31.所以当x=0时，f (x )21取得最小值为3+1.例3. 解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.【点评】解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a=0时的情况进行讨论；(2)在不等式两端约掉系数a 时，若a<0，忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合.这几点有一个地方出错都会导致结果错误或解题不完整. 【防错·练习】1. 已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0错误！未找到引用源。

(江苏专用)2017版高考数学专题7 不等式 51 基本不等式的基本功” 理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题7 不等式 51 基本不等式的“基本功” 理1．(2015·长沙一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则a ＋b的最小值是________．2．(2015·湖南改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．3．(2015·北京东城区一模)已知b >0且a ≠0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为________．4．(2015·大连期末)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为________． 5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为_________________________． 6．若实数x ，y 满足x 2＋xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为________． 7．若a >b >0，则a 2＋1ba －b的最小值为________． 8．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________． 9．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为________．10．(2015·郑州第一次质量预测)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且a ·c ＝b ·c ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是________．11．(2015·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是________．12．(2015·广州调研)已知点P 在曲线y ＝4e x＋1(其中e 为自然对数的底数)上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________．13．(2015·株洲教学质量检测一)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是________．14．已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案解析1．4解析由题意得1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ×ab＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.2．2 2解析由1a ＋2b ＝ab ，知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.3．2解析由两条直线垂直的充要条件可得，(－b 2＋1a )·1b 2＝－1，解得a ＝b 2＋1b 2，所以ab ＝b 2＋1b 2·b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b.因为b >0，所以b ＋1b≥2b ·1b＝2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取“＝”．4．1解析由a x＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1，知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3(a ＋b 2)2＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y的最大值为1.5．大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0， ∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1. 6.233解析由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233.7．4解析依题意得a －b >0，所以a 2＋1ba －b ≥a 2＋1[b ＋a －b 2]2＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b >0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值为4. 8．a ≤2解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立 ⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立，⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立．∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.9．3＋2 2解析画出y ＝1＋sin πx (0<x <2)的图象(图略)，知此曲线的对称中心为(1,1)，则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)，所以a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝1＋b a ＋2ab＋2≥3＋22，当且仅当b a＝2ab时取等号．即(1a ＋2b)min ＝3＋2 2.10．2 2解析 ∵a ，b 是互相垂直的单位向量，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．由a ·c ＝b ·c ＝1，得x ＝y ＝1，即c ＝(1,1)， ∴c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋(t,0)＋(0，1t )＝(1＋t,1＋1t)，∴|c ＋t a ＋1tb |＝＋t2＋＋1t2＝ 2＋t ＋1t ＋t 2＋1t2， ∵t >0，∴t ＋1t ≥2，t 2＋1t2≥2，当且仅当t ＝1时取等号，∴|c ＋t a ＋1t b |≥2＋4＋2＝22，故|c ＋t a ＋1tb |的最小值为2 2. 11．(2,4]解析设a ＝2x ，b ＝2y，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0， ∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4. 12．[－1,0)解析由导数的几何意义，得tan α＝y ′＝－4e xe 2x ＋2e x＋1＝－4e x＋1e x ＋2≥－42 e x·1ex ＋2＝－1，当且仅当e x＝1ex ，即x ＝0时取等号．又因为e x>0，所以tan α<0，故tan α∈[－1,0)．13．18解析由已知得AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos∠BAC ＝23， ∴|AB →||AC →|＝4，∴S △ABC ＝x ＋y ＋12＝12|AB →||AC →|sin∠BAC ＝1，即x ＋y ＝12，而1x ＋4y ＝2(1x ＋4y )·(x ＋y )＝2(5＋y x ＋4xy)≥2(5＋2y x ·4xy)＝18，当且仅当y ＝2x 时，等号成立． 14．(－∞，658]解析因为x ＋y ＋8＝xy ≤(x ＋y2)2，即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2，解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤x ＋y 2＋1x ＋y恒成立，令x ＋y ＝t (t ≥8)，且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1t.函数f (t )在[8，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝658.所以实数a 的取值范围为(－∞，658]．。

江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编：不等式

江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编不等式一、填空题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ .2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）设实数x ，y 满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥ 则32x y +的最大值为 ▲ ．4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为． 5、（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤431y x x x y ，则目标函数y x z -=2的最大值是6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 7、（无锡市2017届高三上学期期末）设不等式1,0,4,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为M,若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是 . 8、（扬州市2017届高三上学期期中）不等式21<+xx 的解集为 9、（扬州市2017届高三上学期期中）若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≥-02540232y x y x y ，则目标函数y x z 2+=的最大值为。

10、（扬州市2017届高三上学期期末）若实数,x y满足1010 1x yy xx+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为▲ 11、（镇江市2017届高三上学期期末）已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0>x时，xxxf42-=)(，则不等式xxf>)(的解集为．12、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知函数()4f x x x=+-，则不等式2(2)()f x f x+>的解集用区间表示为▲．13、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a，b满足195aba b+=-，则ab的最小值为▲14、（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c>>>，且2a b+=，则522ac c cb ab c+-+-的最小值为.15、（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>ba，且3=+ba，则使得214-+ba取得最小值的实数a= 。

江苏省丹阳高级中学2017届高三数学第二轮复习：专题3-不等式(2)教案

专题三（2）-基本不等式与不等式综合问题【教学目标】1.熟练掌握基本不等式的内容及应用条件2.理解恒成立问题中不等式的灵活应用3.不等式在实际问题中的应用【教学要点】重点：恒成立问题的解决方案难点：运用基本不等式的条件【考情分析】不等式知识常与函数、导数、数列综合，常以含参不等式恒成立问题、与函数相关的最值问题等出现. 【例题分析及变式】类型1：基本不等式问题例1（1）若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋bb ＋1的最大值为________．答案 23，解析 ∵正数a ，b 满足a ＋b ＝1， ∴a a ＋1＋bb ＋1＝a b ＋1＋b a ＋1a ＋1b ＋1＝2ab ＋a ＋bab ＋a ＋b ＋1 ＝2ab ＋1ab ＋2＝2ab ＋2－3ab ＋2＝2－3ab ＋2≤2－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a a ＋1＋b b ＋1的最大值为23.（2）若圆(x －2)2＋(y －2)2＝9上存在两点关于直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋9b 的最小值为__________．答案 16解析圆(x －2)2＋(y －2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线ax ＋by －2＝0必经过圆心(2,2)，即a ＋b ＝1. 所以1a ＋9b ＝(1a ＋9b )(a ＋b )＝10＋b a ＋9ab ≥10＋2b a ·9a b ＝16(当且仅当b a ＝9a b ，即a ＝14，b ＝34时年份题号知识点分值 2014年第10，19题二次函数与二次不等式；函数与不等式的综合21分 2015年第7，19题指数函数与基本不等式；不等式的解法 21分2016年第5，12，14，19题一元二次不等式的解法；线性规划；基本不等式40分等号成立)，所以1a ＋9b 的最小值为16.（3）(2016·泰州期末)若正实数x ，y 满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y的最大值是 .【答案】2-1【解析】方法一：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即21-2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=5111-22y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12-1y ，x-1522y ，+1y 成等比数列，设公比为q (q>1)，将x ，1y用q 表示，则x+12y=23(-1)1q q ++12=32-12-1q q +++12≤2-1，当且仅当q-1=2-1q ，即1时等号成立.（4）(2016·天一中学)设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若a x =b y =2，a+=4，则2x +1y的最大值为 .【答案】4【解析】因为x=log a 2，y=log b 2，所以2x +1y =2log 2a +1log 2b =log 2a 2+log 2b=log 2(a 2b ).又4时取等号，所以a 2b ≤16，所以log 2(a 2b )≤4.（5） (2015·扬州期末)设实数x ，y 满足x 2+2xy-1=0，则x 2+y 2的最小值是 .【答案】2【解析】方法一：由x 2+2xy-1=0，得y=21-2x x ，从而x 2+y 2=x 2+221-2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=254x +214x -12-12=2，当且仅当. （6）(2015·扬淮南连二调)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg 4lg z x +lg lg zy的最小值为 . 【答案】98【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z 2=xy ，从而lg z=12(lg x+lg y )，所以lg4lgzx+lglgzy=lgz14lg x⎛⎝+1lg y⎫⎪⎭=lg lg2x y+·114lg lgx y⎛⎫+⎪⎝⎭=58+12lglgxy⎛⎝+lg4lgyx⎫⎪⎭≥58+12·lg lg·lg lgx yy x=98当且仅当lglgxy=lg4lgyx，即y=x2时取等号.题组小结：.类型2：恒成立问题:例2（1）(必修5 P94习题11改编)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(0，8)【解析】因为x2-ax+2a>0在R上恒成立，所以Δ=a2-4×2a<0，所以0<a<8.（2）(必修5 P71练习5改编)在R上定义运算：x*y=x(1-y)，若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x 恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】13-22⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】依题意知x-a-x2+a2<1恒成立，即21-2x⎛⎫⎪⎝⎭+23-4a a⎛⎫+⎪⎝⎭>0恒成立，于是a2-a-34<0恒成立，解得-12<a<32.例3已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意的x∈[-1，1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，需满足Δ=4a2-4(-a+2)≤0，解得-2≤a≤1.故实数a的取值范围是[-2，1].(2)由题知对称轴方程为x=-a，当-a<-1，即a>1时，f(x)min=f(-1)=3-3a≥0，解得a≤1，与已知矛盾，舍去；当-a>1，即a<-1时f(x)min=f(1)=3+a≥0，解得-3≤a<-1；当-1≤a≤1时，f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0，解得-1≤a≤1.综上，实数a的取值范围是[-3，1].(3)对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，等价于g(a)=(2x-1)a+x2+2>0，所以222-120-2120x xx x⎧++>⎨++>⎩，，解得x≠-1，所以x的取值范围是{x|x≠-1}.变式(2016·盐城中学)已知函数f(x)=22x x ax++，x∈[1，+∞).(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的a∈[-1，1]，f(x)>4恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，即22x x ax++>0，x∈[1，+∞)恒成立，亦即x2+2x+a>0，x∈[1，+∞)恒成立，即a>-x2-2x，x∈[1，+∞)恒成立，即a>(-x2-2x)max，x∈[1，+∞)，而(-x2-2x)max=-3，x∈[1，+∞)，所以a>-3.所以实数a的取值范围为{a|a>-3}.(2)因为a∈[-1，1]时，f(x)>4恒成立，即22x x ax++>4，x∈[1，+∞)恒成立，所以x2-2x+a>0对a∈[-1，1]恒成立，把g(a)=a+x2-2x看成a的一次函数，则使g(a)>0对a∈[-1，1]恒成立的条件是(1)0(-1)0gg>⎧⎨>⎩，，即22-210-2-10x xx x⎧+>⎨>⎩，，解得x<1-2或x>2+1.又x≥1，所以x>2+1，故所求x的取值范围是(2+1，+∞).题组小结：.类型3：不等式的实际应用例4.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．例5.(2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y (单位：万元)与x 的函数关系式；(2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3，问：P 能否大于120?并说明理由. 【解答】(1)依题意得y=mkn=mk (ax+5)，x ∈N *. (2)依题意知x=0.2a.所以P=mx y =(5)x k ax +=20.2(0.25)a k a +=2(25)a k a + ≤23(25)aa +=1253a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2532a a⨯⨯=130<120.答：P 不可能大于120. 例6. (2016·苏北四市摸底)如图，墙上有一幅壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x>1)、离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大? (2)若tan θ=12，当a 变化时，求x 的取值范围.【解答】(1)当a=1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD=0.5 m ，且θ=∠ACD-∠BCD. 由已知知观察者离墙x m ，且x>1，则tan ∠BCD=0.5x ，tan ∠ACD=2.5x. 所以tan θ=tan(∠ACD-∠BCD )=22.50.5-2.50.51x x x ⨯+=221.251x x+=21.25x x +=5，当且仅当x=1.25x ，即x=2>1时取等号.又因为tan θ在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以当观察者离墙2m 时，视角θ最大. (2)由题意得tan ∠BCD=2-a x ，tan ∠ACD=4-a x ，又tan θ=12，所以tan θ=tan(∠ACD-∠BCD )=24-2--(4-)(2-)1a ax x a a x ⋅+=222(-68)x x a a ++=12. 所以a 2-6a+8=-x 2+4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2-6a+8≤3，所以0≤-x 2+4x ≤3，即22-40-430x x x x ⎧≤⎨+≥⎩，，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.又因为x>1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4].题组小结：.【课堂总结】1.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即2.条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【巩固作业】学案作业专题三（2）-基本不等式与不等式综合问题作业：一、填空题1.(2016·新海中学)已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (-2，0)的距离相等，则2x +4y 的最小值为 . 【答案】4【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x +4y=24，当且仅当x=2y=32时，等号成立，故2x +4y 的最小值为4.2.(2016·上海卷)设a>0，b>0.若关于x ，y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩，无解，则a+b 的取值范围是 .【答案】(2，+∞) 【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax ，代入第二个方程整理得(1-ab )x=1-b ，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b ≠0，所以ab=1且b ≠1，所以由基本不等式得a+b>2，故a+b 的取值范围是(2，+∞).3.(2015·苏锡常镇二模)已知常数a>0，函数f (x )=x+-1ax (x>1)的最小值为3，则a 的值为 . 【答案】1 【解析】因为f (x )=x-1+-1ax +1，且x-1>0，所以f (x)≥2+1=3，当且仅当x-11>0时取等号，此时a=1.4.(2015·福建卷)若直线x a +yb=1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b 的最小值为 . 【答案】4【解析】依题意得1a+1b=1，所以a+b=(a+b )1a ⎛ ⎝+1b ⎫⎪⎭=1+a b +b a +1≥2+4，当且仅当a=b=2时等号成立. 5.(必修5 P91习题5改编)已知函数f (x )=x+1x-2(x<0)，那么f (x )的最大值为 . 【答案】-4【解析】因为x<0，所以f (x )=-1(-)(-)x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x ，即x=-1时等.6.(必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log 3x+log 3y=1，则1x +1y的最小值为 .【答案】3【解析】由log 3x+log 3y=1，得x·y=3，所以1x +1y23. 7.(必修5 P91习题3改编)函数2的最小值为 .【答案】52【解析】设(t ≥2)，易知y=t+1t在[2，+∞)上是单调增函数，所以当=2，即x=0时，y min=5 2 .8.(2016·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x+y=2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为.【答案】1【解析】因为正实数x，y满足x+y=2，所以xy≤2()4x y+=224=1，所以1xy≥1.又1xy≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.9.(2016·南师附中)若当x>-3时，不等式a≤x+23x+恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(-∞，2-3]【解析】设f(x)=x+23x+=(x+3)+23x+-3，因为x>-3，所以x+3>0，故f(x3=3，当且仅当x=-3时等号成立，故a的取值范围是(-∞，2-3].10.(2016·常州中学)当x∈(-∞，-1]时，不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】(-1，2)【解析】原不等式变形为m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为函数y=12x⎛⎫⎪⎝⎭在(-∞，-1]上是减函数，所以12x⎛⎫⎪⎝⎭≥-112⎛⎫⎪⎝⎭=2.当x∈(-∞，-1]时，m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭恒成立等价于m2-m<2，解得-1<m<2.11.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0，则实数a的取值范围是.【答案】17-4∞⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】对于正实数x，y，由x+y+4=2xy，得x+y+4=2xy≤2()2x y+，解得x+y≥4.不等式x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0可化为(x+y)2-a(x+y)+1≥0，令t=x+y(t≥4)，则该不等式可化为t2-at+1≥0，即a≤t+1t对于任意的t≥4恒成立，令u(t)=t+1t(t≥4)，则u'(t)=1-21t=22-1tt>0对于任意的t≥4恒成立，从而函数u(t)=t+1t(t≥4)为单调增函数，所以u(t)min=u(4)=4+14=174，于是a≤174.12.(2016·江苏信息卷)若对任意实数x>1，y>12，不等式p ≤22-1x y +24-1y x 恒成立，则实数p 的最大值为 .【答案】8 【解析】令a=2y-1，b=x-1，则22-1x y +24-1y x =2(1)b a ++2(1)a b+，问题转化为求2(1)b a++2(1)a b+的最小值.又2(1)ba ++2(1)a b+≥2=2=2+≥2×(2+2)=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时取等号. 二、解答题13.(1)当点(x ，y )在直线x+3y-4=0上移动时，求3x +27y +2的最小值； (2)已知x ，y 都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy 的最小值. 解：(1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x +27y +2=3x +33y ++2=2=2=20，当且仅当3x =33y 且x+3y-4=0，即x=2，y=23时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy ，所以5≤x+y+5=3xy ，所以3xy-5≥0，所以5)≥053，即xy ≥259，当且仅当x=y=53时取等号，故xy 的最小值是259. 14.(2016·江苏第19题节选第1问)已知函数f (x )=a x +b x (a>0，b>0，a ≠1，b ≠1).设a=2，b=12. (1)求方程f (x )=2的根；(2)若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立，求实数m 的最大值. 解：因为a=2，b=12，所以f (x )=2x +2-x . (1)方程f (x )=2，则2x +2-x =2，即(2x )2-2×2x +1=0，所以(2x -1)2=0，所以2x =1，解得x=0. (2)由题意知f (2x )=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=(f (x ))2-2，因为f (2x )≥mf (x )-6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤2(())4()f x f x +对于x ∈R 恒成立.又2(())4()f x f x +=f (x )+4()f x4，且2((0))4(0)f f +=4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.15.(2014·江苏第19题节选第2问)已知函数f (x )=e x +e -x .若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m-1在(0，+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围.解：由题意，m (e x +e -x )≤e -x +m-1，即m (e x +e -x -1)≤e -x -1.因为x ∈(0，+∞)，所以e x +e -x -1>0，即m ≤--e -1e e -1x x x +对x ∈(0，+∞)恒成立.令t=e x (t>1)，则m ≤21--1tt t +对任意t ∈(1，+∞)恒成立.因为21--1t t t +=-2-1(-1)(-1)1t t t ++=-11-11-1t t ++≥-13，当且仅当t=2，即x=ln 2时等号成立，所以实数m 的取值范围是1|-3m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 16.(2015·浙江卷)设函数f (x )=x 2+ax+b (a ，b ∈R ).(1)当b=24a +1时，求函数f (x )在区间[-1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在区间[-1，1]上存在零点，且0≤b-2a ≤1，求实数b 的取值范围.解：(1) 当b=24a +1时，函数f (x )=22a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1，故其图象的对称轴为直线x=-2a. 当a ≤-2时，g (a )=f (1)=24a +a+2；当-2<a ≤2时，g (a )=f -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1；当a>2时，g (a )=f (-1)=24a-a+2.综上，g (a )=222-241-22-2 2.4a a a a a a a ⎧++≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，，，，，(2) 设s，t为方程f(x)=0的解，且-1≤t≤1，则-.s t a st b+=⎧⎨=⎩，因为0≤b-2a≤1，所以-22tt+≤s≤1-22tt+(-1≤t≤1).当0≤t≤1时，2-22tt+≤st≤2-22t tt+，由于-23≤2-22tt+≤0和-13≤2-22t tt+≤9-45，所以-23≤b≤9-45.当-1≤t<0时，2-22t tt+≤st≤2-22tt+，由于-2≤2-22tt+<0和-3≤2-22t tt+<0，所以-3≤b<0.故b的取值范围是-39-45⎡⎤⎣⎦，.17(2016·镇江期末)如图(1)，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，距离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直的公路AB经过该中转站，公路AB把园区分成两个区域.(1)设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域的面积的最小值；(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值.【解答】(1)如图(2)，过点O作OH⊥AB，垂足为H，记OH=d，α=2∠AOH，因为cos∠AOH=10d，要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图象可得d≤OP=5 km，当且仅当AB⊥OP时，d max=5 km.此时αmin=2∠AOH=2×π3=2π3.设公路AB把园区分成两个区域，其中较小区域的面积记为S，由题意得S=f(α)=S扇形AOB-S△AOB=50(α-sin α)，f'(α)=50(1-cosα)≥0恒成立，所以f(α)为增函数，所以S min=f2π3⎛⎫⎪⎝⎭=502π3-32⎛⎫⎪⎪⎝⎭km2.答：视角的最小值为2π3，较小区域的面积的最小值是502π3-32km2.(2)如图(3)，过点O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是H，H1，记OH=d1，OH1=d2，(变式2(3))由(1)可知d1∈[0，5]，所以21d+22d=OP2=25，且22d=25-21d，因为AB=221100-d，CD=22100-d，所以AB+CD=21100-d22100-d)=21100-d2175d+)，记L(d1)=AB+CD=21100-d2175d+)，可得[L(d1)]2=4[175+2211(100-)(75)d d+，由21d∈[0，25]，可知21d=0或21d=25时，[L(d1)]2的最小值是100(7+3，从而AB+CD的最小值是(20+3.答：两条公路长度和的最小值是(20+103.【点评】(1)主要利用OP为定值这一条件，从而根据垂径定理得出取得最值的特殊位置来解题；(2)利用OP为定值和勾股定理构造基本不等式解题.。

2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第七章不等式第1讲含答案

基础巩固题组(建议用时:40分钟）一、填空题1。

（2015·广州一调)若f（x）＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x）的大小关系是________.解析f（x）－g(x)＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1＞0⇒f（x）＞g（x）.答案f(x)>g(x)2.(2016·徐州调研）若a，b为实数，则“a>b〉0”是“a2〉b2”的________条件. 解析当a〉b〉0时,a2〉b2显然成立；当a2>b2时,令a＝－2,b＝1，则b〉a,故a2>b2错误!a〉b〉0成立。

答案充分不必要3.（2015·盐城期中）若－1〈a＋b<3，2〈a－b〈4,则2a＋3b的取值范围为________. 解析设2a＋3b＝x(a＋b）＋y(a－b），则错误!解得错误!又因为－错误!〈错误!（a＋b）<错误!,－2<－错误!(a－b）〈－1，所以－错误!〈错误!(a＋b)－错误!(a－b）<错误!.即－错误!〈2a＋3b〈错误!。

答案错误!4。

若集合A＝｛x|ax2－ax＋1<0｝＝∅，则实数a的取值范围是________.解析由题意知a＝0时，满足条件.a≠0时,由错误!得0＜a≤4，所以0≤a≤4。

答案[0，4］5.(2016·皖南八校联考）若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________。

解析由于x2－2x＋5＝（x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.答案［－1，4］6。

已知f(x)是定义在R上的奇函数。

当x〉0时,f(x）＝x2－4x,则不等式f（x）〉x 的解集用区间表示为________。

解析由已知得f（0）＝0，当x<0时，f（x）＝－f(－x）＝－x2－4x，因此f(x)＝错误!不等式f(x)〉x等价于错误!或错误!解得x>5或－5<x〈0。

三元不等式sos

三元不等式sos
三元不等式是包含三个未知数的不等式，形如：a+b+c>k，其中a，b，c是未知数，k是一个常数。

求解三元不等式的方法有多种，下面介绍一种常用的方法：代入法。

代入法的基本思路是将三元不等式转化为二元或一元不等式，然后逐一求解。

具体步骤如下：
选取一个容易求解的未知数，通常选取一个变量等于某个特定值，从而将三元不等式转化为二元或一元不等式。

将选取的未知数代入原不等式中，得到一个较简单的二元或一元不等式。

解这个简单的二元或一元不等式，得到另一个未知数的取值范围。

将得到的取值范围代回原不等式中，继续求解，直到得到所有未知数的取值范围。

需要注意的是，代入法的适用范围有限，只适用于某些特定类型的不等式。

同时，代入法也可能会引入误差或遗漏解，因此需要谨慎使用。

江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习第一层次专题

专题3：不等式问题（两课时）班级姓名一、前测训练1．解下列不等式：（1）－3x 2＋4x ＋4＞0；（2）－2＋xx ＋1≤2；（3）4x －3·2x ＋12－8≤0；（4）ax 2－ax ＋1＜0.答案：（1）(－23，2)；（2） (－∞，－4]∪(－1，＋∞)；（3）(－∞，52]；（4）当0≤a ≤4时，解集为∅；当a ＞4时，a －a 2－4a 2a ＜x ＜a ＋a 2－4a2a ；当a ＜0时，x ＞a －a 2－4a 2a 或x ＜a ＋a 2－4a 2a ．2．(1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________．(2)若不等式x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＞0对于一切m ∈[－1，1]恒成立，则x 的取值范围是________．(3)已知两个函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 3＋5x 2＋4x ，其中k 为常数．若对任意的x ∈[－3，3]，都有f (x )≤g(x )，则k 的取值范围为；若对任意的x 1，x 2∈[－3，3]，都有f (x 1)≤g(x 2)，则k 的取值范围为．答案：(1)[－3，1]；(2) (－∞，1)∪(3，＋∞)；(3) k ≥45； k ≥141．3．（1）已知正数x ，y 满足xy ＝1，求2x ＋y 的最小值是_____________. （2）已知0＜x ＜12，则x (1－2x )的最大值是______________.（3）若函数f (x )＝x ＋4x ，若 x ＞0，则函数的最小值是_________；若x ＞3，则函数的最小值是_________.（4）若x ＞－2，则函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是 .（5）已知x ＞0，y ＞0 ，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为．答案：（1）22；（2）18．（3）2，133；（4）－3；（5）16；4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1 ，则(1) z ＝x ＋2y 的最小值为；(2)z ＝2x －y 的最大值为；(3) z ＝x 2＋2x ＋y 2的最大值为；(4) z ＝yx ＋4的最大值为．答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)2225．二、方法联想1．解不等式问题(1)一元二次不等式的解法方法借助二次函数的图象，步骤:①求对应方程的根；②作出对应二次函数的图象(关注根与开口方向)；③根据图象及不等号写解集． (2)分式不等式的解法：方法:转化为一元二次不等式来解．① f (x )g (x )＞0等价于f (x )g (x )＞0； f (x )g (x )＜0等价于f (x )g (x )＜0．② f (x )g (x )≥0等价于f (x )g (x )≥0且g (x )≠0； f (x )g (x )≤0等价于f (x )g (x )≤0且g (x )≠0．注意考虑分母不为0的情况． (3)指(对)数不等式的解法方法1：转化为同底的指(对)数，借助于指(对)数函数的单调性，转化为代数不等式；方法2：换元转化为代数不等式求解 (4)与分段函数的有关的解不等式方法1：分区间讨论，再求各部分的并集；方法2：图象法．(5)已知不等式的解集，求参数的值或范围方法：转化为已知对应方程的根，求系数问题如：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，则α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a ＜0．2．不等式恒成立问题（1）若不等式的左右都是相同的变量x ，如：对 x ∈D ，f (x )≤g (x )恒成立．方法1 分离变量法(优先)．方法2 设F (x )＝f (x )－g (x )，转化F (x )的最值问题．方法3 构造两个函数的图象判断位置关系．方法4 转化为二次函数图象问题．方法5 转化为一次函数图象问题．技巧可以通过先取满足条件的特殊值来缩小变量的范围．（2）若不等式的左右都是不相同的变量，如：对∀x 1∈D 1，∀x 2∈D 2， f (x 1)≤g (x 2)恒成立，则f (x )max ≤g (x )min ．说明：若是不等式有解问题，则求最值与恒成立的问题正好相反． 3．基本不等式求最值方法1：直接型运用不等式一步求出函数的最大值或最小值；利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．方法2：间接型运用不等式构造一个新的不等式，再解不等式即可．变式：已知x ＞0，y ＞0 ，且1x ＋9y ＝1，则xy 的最小值为． (答案:36)方法3：双勾函数f (x )＝x ＋ax （其中a ＞0，x ＞0）型（1）对定义域的限制，产生的变式问题；（2）形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c dx ＋e (或f (x )＝dx ＋eax 2＋bx ＋c )型；（3）形如|ax y ＋byx |型．方法4：形如(ax ＋by )(m x ＋ny )型，其中a ，b ，m ，n ，x ，y 均为正数． 4．利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．变式1：已知三个正实数a ，b ，c 满足b ＜a ＋c ≤2b ，a ＜b ＋c ≤2a ，则ab 的取值范围是______.(答案：(23，32)，考查如何将多元函数问题的值(或最值)转化为线性规划问题)三、例题分析例1：设函数f(x)＝x2＋ax＋3．（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；（2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；（3）设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范围．答案：（1）－6≤a≤2．（2）－7≤a≤2．（3）x≤－3或x≥0．〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．不等式恒成立问题方法1：f(x)≥0，∀x∈D恒成立⇔f(x)min≥0转化为求函数f(x)的最小值．(求最值时，可能要对参数进行讨论)；方法2：变量分离，转化为求函数的最值；即f(x)≥a，∀x∈D恒成立⇔f(x)min≥a．方法3：根据函数的图象和几何意义采用数形结合法.（2）方法选择与优化建议：本题属于不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理．第二问是二次不等式对x∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优．第三问是根据a的范围求x的范围，可将函数视为关于a的一次函数.例2：（1）正数a、b满足a2＋b2＝4，则a＋b的最大值是____________．（2）若a2＋b2＝4，则a＋2b的最大值是____________．（3）满足a2＋2b2＝4，则a＋2b的最大值是____________.（4）非负数a、b满足a2＋2b2＝4，则a＋2b的最小值是____________．答案：（1）22；（2）25；（3）23；（4）2．〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．利用基本不等式最值．方法1：直接选用不等式求最值．方法2：消元，再用不等式求最值，或利用函数的方法求最值．方法3：利用变量的几何意义求最值．第(1)题，3种方法均可采用，第(2)(3)(4)用方法1行不通，用方法2时，考虑三角换元的方法进行消元，也可用方法3，利用图形的几何意义来解．（2）方法选择与优化建议：不等式是解决一类含有两个变量的最值问题，因此对这样的问题不仅仅是方法的选择，也是一种解题思路的优化．不等式作为解题的基本方法（其实它是一种解题的工具），在求最大值和最小值时，应作为解题的首选方法，不管问题是含有条件的二元函数还是一元函数，都应该首先想到能否运用不等式求解．例3：(1)已知函数f (x )＝x 2－2ln x －m ，g (x )＝(12)x ＋m ．①存在x 1∈[1，4]，对任意x 2∈[－2，－1]，有不等式f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数m 的取值范围；②对任意x 1∈[1，4]，对存在x 2∈[－2，－1]，使不等式f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数m的取值范围．(2)对任意x 1∈R ，存在x 2∈[1，2]，使不等式x 21＋x 1x 2＋x 22≥2x 1＋mx 2＋3成立，求实数m 的取值范围．答案：(1)[－12，＋∞)； (2) [6－2ln2，＋∞)；(3) (－∞，12]．〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．不等式恒成立问题(不等式的左右是不相同的变量)．方法：转化为研究两个函数的最值的关系．对∀x 1∈D 1，∀x 2∈D 2， f (x 1)≤g (x 2)恒成立，则f (x )max ≤g (x )min ．对∃x 1∈D 1，∀x 2∈D 2， f (x 1)≤g (x 2)恒成立，则f (x )min ≤g (x )min ．对∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2， f (x 1)≤g (x 2)恒成立，则f (x )max ≤g (x )max ．（2）方法选择与优化建议：第(1)小题转化为研究两个函数最值之间的关系，通过解不等式求出参数的取值范围；第(2)小题先将含x 2的项集中到左边，再求其最小值，然后变成含有x 2及参数的不等式，对x 2∈[1，2]有解问题，再用分离参数的方法求解．四、反馈练习1.已知a ＞b ＞0，给出下列四个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －1；③a －b ＞a －b ；④a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式是________. (填写序号) 答案：①②③；(考查不等式的基本性质).2.设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．答案：27；(考查不等式的基本性质).3.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案：9；(考查一元二次不等式的解集，二次函数与一元二次方程).4. 若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，则mn 的最大值是________. 答案：3； (考查基本不等式求最值).5.已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数且p ＞0)，若f (x )在区间(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．答案：94；(考查基本不等式的应用).6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)； (考查分段函数，解不等式).7.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，若点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为 .答案：6；(考查线性规划问题).8.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 9. 已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________. 答案：[－1，2]. (考查不等式恒成立，解不等式).10.若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．答案：12；(考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系).11.已知函数f (x )＝x 2ax ＋b (a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根x 1＝3，x 2＝4.（1）求函数f (x )的表达式；（2）设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜(k ＋1)x －k2－x .答案：（1） f (x )＝x 2－x ＋2；（2）当1＜k ＜2时，不等式的解集为(1，k )∪(2，＋∞)；当k ＝2时，不等式的解集为(1，2)∪(2，＋∞)；当k ＞2时，不等式的解集为(1，2)∪(k ，＋∞).(考查求函数解析式，解含参的关于x 的不等式，分类讨论的思想方法).12.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b ．（1）解关于a 的不等式f (1)＞0；（2）若不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值；（3）若不等式f (x )≥b ＋4对于x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）x ≤－6时，不等式无解；b ＞－6时，不等式的解集为{x |3－b ＋6＜x ＜3＋b ＋6}．（2） a ＝3±3，b ＝9．（3）实数a 的取值范围为[2，4]．(考查解不等式，不等式的解集与方程根的关系，不等式恒成立问题).13.若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30.（1）求xy 的取值范围；（2）求x ＋y 的取值范围．答案：（1）(0，18]；（2）[82－3，30)． (考查基本不等式的应用，函数的单调性).14. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米. 设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？答案：（1）θ＝10＋2x 10＋x(0＜x ＜10)；（2）y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ，(0＜x ＜10)；当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．(考查扇形的面积与弧长，基本不等式求最值的实际应用问题).。

专题09 基本不等式应用-2017年高考数学理母题题源系列

【母题原题1】【2017江苏，理10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.【母题原题2】【2016江苏，理14】在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .【答案】8【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．【母题原题3】【2015江苏，理10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+=【考点定位】直线与圆位置关系,基本不等式求最值【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.【命题意图】基本不等式是C 级要求，是高中数学的重要知识，高考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查．等价代换或转换是解题方法,也是解题难点．【命题规律】对基本不等式的考查,往往与函数最值、恒成立及存在性问题联系在一起,对相关代数式的变形、添拆项是主要命题的方向.【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：第一步：建立目标函数关系式第二步：判断是否满足“一正二定三相等”的条件，利用基本不等式求最值【方法总结】1.对于公式22a b a b ab +⎛⎫≥≤ ⎪⎝⎭＋要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a ＋b 的转化关系.2.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正:各项均为正；二定:积或和为定值；三相等:等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.1. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知，均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为．【答案】72. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．【解析】11sin 22ABC S ab C ∆==== 而222228242ab a b c ab c ≤+=-⇒≤-，所以225ABCS ∆≤==，当且仅当28,5a b c ==时取等号 3. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】不等式42<-x x a ln log （0>a 且1≠a ）对任意),(1001∈x 恒成立，则实数的取值范围为．【答案】()140,1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】)100ln ,0(ln )100,1(∈⇒∈x x ，所以x xa x x a ln ln 4ln 14ln log 2+<⇒<-，又 4ln ln 42ln ln 4=⨯≥+x x x x ，当且仅当)100ln ,0(2ln ∈=x 时取等号，因此 104ln 1<<⇒<a a或41e a >4. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】若函数cos 21tan 0sin 22y θπθθθ+⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则函数y 的最小值为___________．【答案】25. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知2,0a b b +=>，当1||2||a a b+取最小值时，实数的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】试题分析：1||||||132||4||4||4||44a a b a a b a a b a b a a b ++=+=++≥-+=，当且仅当||0,=4||b a a a b <，即2,4a b =-=时取等号6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】设0a b c >>>，若不等式log 2017log 2017log 2017a b a b c cd +≥对所有满足题设的,,a b c 均成立，则实数d 的最大值为____________．【答案】【解析】lg 2017lg 2017lg 2017log 2017log 2017log 2017lg lg lg a b a b c c d d a b a b c c +≥⇒+≥，因为0,a b c >>>所以lg 0,lg 0,lg 0,a b a b c c >>>设lg ,lg a b x y b c ==，则lg a x y c =+，因此11()()d x y x y ≤++的最小值，而11()()224y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当x y =时取等号，从而4d ≤，即实数d 的最大值为.7. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知21,,26x y x y x y +∈+++=R ，则2x y +的最大值为_____________．【答案】【解析】令2(0)x y m m +=>，则216m x y+=-，因为2121214()(4)x y y x x y x y m m x y++=+=++18(4m m ≥+=，当且仅当2x y =时取等号，所以286,680,24m m m m m -≥-+≤≤≤，即2x y +的最大值为（当且仅当22x y ==时取等号）．8. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知,x y ∈R 且22231x xy y +-=,则22z x y =+的最小值为_______.【答案】9. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若tan ,tan ,tan A B C 依次成等差数列，则tan tan tan A B C 的取值范围为．【答案】)+∞【解析】由题意得tan tan 2tan tan tan 2tan()tan tan 2tan tan 1tan tan A C B A C A C A C A C A C+=+⇒-+=+⇒-=+- 因为锐角三角形ABC ，所以tan 0,tan 0A C >>，因此tan tan 3A C =，2tan tan B B ≥ （当且仅当tan tan A C =时取等号），从而tan tan tan A B C ≥10. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】对任意的π(0,)2θ∈，不等式2214|21|sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】[4,5]-。

2017届高三数学一轮总复习(江苏专用)课件：第七章第一节不等关系与不等式

第二十七页，编辑于星期六：一点十分。
[变式 3] 已知函数 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2， 2≤f(1)≤4.求 f(－2)的取值范围．
第二十八页，编辑于星期六：一点十分。
解：由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b. f(－2)＝4a－2b. 设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. 则mm＋－nn＝＝4－，2，解得mn＝＝31.， ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10. 即f(－2)的取值范围为[5,10]．
2．(易错题)若 a＝ln22，b＝ln33，则 a____b(填“＞”或“＜”)．解析：易知 a，b 都是正数，ba＝23llnn 32＝log89＞1，所以 b＞a. 答案：＜
第十三页，编辑于星期六：一点十分。
3．若实数a≠1，比较a＋2与1－3 a的大小．解：a＋2－1－3 a＝－a12－－aa－1＝a2＋a－a＋1 1∴当 a>1 时，a＋2>1－3 a；当 a<1 时，a＋2<1－3 a.
第二十四页，编辑于星期六：一点十分。
[越变越明] [变式 1] 将母题条件改为“－1<x<y<3”，求 x－y 的取值
范围．
解：∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，
∴－4<x－y<4.
①
又∵x<y，∴x－y<0，
②
由①②得－4<x－y<0.故x－y的取值范围为(－4,0)．
第二十五页，编辑于星期六：一点十分。
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专题1.5 应用题解法-2017届高三数学三轮考点总动员(江苏版) Word版含解析

【方法引领】数学应用问题是高考中常见题型之一.常见的应用题有：(1)函数与不等式模型；(2)函数与导数模型；(3)三角函数模型；(4)数列模型.首先，要掌握解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.【举例说法】一、关系分析法:通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型.例1某工厂有容量为300 t的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t，工业用水量W(单位：t)与时间t(单位：h，定义早上6时t=0)的函数关系式为t10级，第一级每小时进水10 t，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t，若某天水塔原有水100 t，在供水同时打开进水管.(1)设进水量选用第n级，写出在t时刻时水的存有量；(2)问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?【读懂题意】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存有量∈(0，300)”.【建立模型】因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10t+100t，所以在选用第n级的进水量时，t时刻水的存有量为t n，使t(0，16]上恒成立.【精要解析】面对上述不等式，如何求解?是否会转化为“-10t+t+1<n≤20t+t+1对一切0<t≤16恒成立”，是否会作一个代换“令t=x，x≥14”，将上式转化为“-10x2+10x+1<n≤20x2+10x+1对一切x≥14恒成立”.由于g(x)=20x2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最小值为194，h(x)=-10x2+10x+1在14∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上的最大值为7 2，所以72<n≤194，从而确定n=4.【练习】某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值.二、列表分析法: 对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型. 例2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1 4 .(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，试写出它们的表达式；(2)问：至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【读懂题意】在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少11”“54和旅游业收入每年会比上年增加”，其投入资金数列和收入(产出)数列均为等比数列，注意题目“设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元”中的“n年内”说明“an”，“bn”表示等比数列的前n项和.【建立模型】(1)第n年的投入与收入资金数列表如下：第几年投入资金(单位：万元) 旅游收入(单位：万元)1 800 4002 80011-5⎛⎫⎪⎝⎭400114⎛⎫+⎪⎝⎭3 800211-5⎛⎫⎪⎝⎭4002114⎛⎫+⎪⎝⎭4 800311-5⎛⎫⎪⎝⎭4003114⎛⎫+⎪⎝⎭5 800411-5⎛⎫⎪⎝⎭4004114⎛⎫+⎪⎝⎭………n 800·n-111-5⎛⎫⎪⎝⎭400·n-1114⎛⎫+⎪⎝⎭(2)略第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×114⎛⎫+⎪⎝⎭万元，…，第n年旅游业收入为400×-1114n ⎛⎫+⎪⎝⎭万元，所以n年内的总收入bn=400+400×114⎛⎫+⎪⎝⎭+ (400)-1114n⎛⎫+⎪⎝⎭=1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)设至少经过n年旅游业的总收人才能超过总投入，所以bn-an>0，即1 600×5-14n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-4 000×41-5n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0，化简，得5×45n⎛⎫⎪⎝⎭+2×54n⎛⎫⎪⎝⎭-7>0，即45n⎛⎫⎪⎝⎭<25，可得n≥5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. @网三、图象分析法:通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题数学模型.例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图(2)所示的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)图(1) 图(2)【读懂题意】(1)观察图象求出市场售价函数P=f(t)和种植成本函数Q=g(t).(2)由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h(t)=f(t)-g(t).【建立模型】由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300-02002-300200300t tt t≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2(-150)200t+100，0≤t≤300.【精要解析】(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=300-02002-300200300t t t t ≤≤⎧⎨<≤⎩，，，；由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2(-150)200t +100，0≤t≤300.当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-1200(t-50)2+100，所以当t=50时，h(t)取得区间0，200]上的最大值100；当200<t≤300时，配方整理得h(t)=-1200(t-350)2+100，所以当t=300时，h(t)取得区间(200，300]上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【练习】某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元.(1)若当销售价p 为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?所以当40≤p≤58时，S=(-2p+140)(p-40)×100-600m-13 200，当58<p≤81时，S=(-p+82)(p-40)×100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-2×52+140)(52-40)×100-600m-13 200=0，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2)由题意知S=(-2140)(-40)100-372004058 (-82)(-40)100-372005881 p p pp p p+⨯≤≤⎧⎨+⨯<≤⎩，，，，当40≤p≤58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当58<p≤81时，求得当p=61时，S取最大值6 900(元).所以当p=55时，S有最大值为7 800元.设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意得12×7 800×n-268 000-200 000≥0，解得n≥5，即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格定为每件55元. %网四、建立坐标系法: 通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题.例4如图(1)所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，半径为2 m，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC的长为1 m.现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在»D C上，E在线段AB上，F在线段AD上)作圆柱的侧面，若以PE为母线，问：如何裁剪可使圆柱的体积最大?其最大值是多少?(例4(1))【读懂题意】该问题是方案设计问题，如何确定点P的位置使得以PE为母线，以矩形PEAF(其中P 在»D C上，E在线段AB上，F在线段AD上)作圆柱的侧面围成的圆柱的体积最大.【建立模型】因为点P在»D C上，其圆心为A，半径为2 m，且AD⊥AB，BC⊥AB，所以分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，如图(2)所示，(例4(2))则»DC 的方程为x2+y2=4(0≤x≤3，y>0)，设P(x ，y)(0<x≤3)，圆柱底面半径为r ，体积为V ，则PE=24-x ，2πr=AE=x，则r=2πx ，所以V=πr2l=2π2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭·24-x=14πx224-x .设t=x2∈(0，3]，令u=t2(4-t)，则u'=-3t2+8t=-3t 8-3t ⎛⎫⎪⎝⎭，令u'=0，得t=83.当83<t≤3时，u'<0，u 是减函数；当0<t<83时，u'>0，u 是增函数，所以当t=83时，u 有极大值，也是最大值，所以当x=263 m 时，V 有最大值39πm3，此时24-x 233m. 故裁一个矩形，两边长分别为263 m 和33 m 时，能使圆柱的体积最大，其最大值为39πm3.【练习】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线22xa-22yb=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=5×3402，故双曲线方程为22680x-225340y⨯=1.将y=-x代入上式，得x=±6805因为PB>PA，所以x=-68055即P(-68055，故10答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心10处.【实战演练】1. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 km，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=2ax b+(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度.则点P 的坐标为t ，21000t . 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，y'=-32000x ，则直线l 的方程为y-21000t =-32000t(x-t)，由此得A 302t ⎛⎫⎪⎝⎭，，B 230000t ⎛⎫⎪⎝⎭，，故222330002t t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62434102t t ⨯+20]. ②设g(t)=t2+64410t ⨯，则g'(t)=2t-651610t⨯.令g'(t)=0，解得2.当t∈(5，2)时，g'(t)<0，g(t)单调递减；220)时，g'(t)>0，g(t)单调递增.所以当2时，函数g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min=300，此时f(t)min=153答：当2时，公路l 的长度最短，最短长度为3 km.%2. (2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形.现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于14m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6 m，求窗口ABCD面积的最大值.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x>2所以4215答：木条总长的取值范围为2，15(2)方法一：设AB所在木条的长为a m，则BC所在木条的长为(3-a)m.因为a∈(0，2)，3-a∈(0，2)，所以a∈(1，2)，S矩形21-4a2(3-)1-4a 24-a24-(3-)a432-624-20a a a a++设f(a)=a4-6a3+a2+24a-20，f'(a)=4a3-18a2+2a+24=2(a+1)(2a-3)(a-4)，令f'(a)=0，得a=32或a=-1(舍去)或a=4(舍去).当a变化时，f'(a)，f(a)的变化情况如下表：a 3 2所以当a=32时，f(a)max=f 32⎛⎫⎪⎝⎭=4916，即Smax=74. 答：窗口ABCD面积的最大值为74m2. 方法二：设AB 所在木条的长为a m ，BC 所在木条的长为b m. 由题意知2a+2b=6，即a+b=3.因为a，b∈(0，2)，所以b=3-a∈(0，2)，从而a ，b∈(1，2).由于S 矩形228-()2a b +≤2()8-22a b +=74，当且仅当a=b=32∈(1，2)时，S 矩形ABCD=74.答：窗口ABCD 面积的最大值为74m2.3. (2016·扬州期末)某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m ，要求通行车辆限高4.5 m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy. (1)若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小.23S lh ⎛⎫= ⎪⎝⎭隧道口截面面积公式为【分析】求面积的关键在于求出l ，h 之间的关系，注意到点910--22l h h ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及点，在抛物线上，就可得到l ，h 之间的关系，由此来消去一个变量，消元时，要注意等价性，即注意变量的取值范围的求解.令y=-h ，则-9-2100h x2=-h ，解得x2=1009-2h h ，则22l ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1009-2hh ，h=2292-400l l .因为h≥6，所以2292-400ll ≥6，即20<l≤40.所以S=23lh=23l·2292-400l l =323-400l l (20<l≤40).所以S'=223229(-400)-3?2(-400)l l l l l =22223(-1200)(-400)l l l 23(203)(-203)l l l +，当20<l<203S'<0；当3S'>0，即S 在(20，203上单调递减，在(20340]上单调递增，所以S 在3时取得最小值，此时l=203h=274. 答：当拱高为274m ，拱宽为203时，使得隧道口截面面积最小.4. 如图(1)，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直，保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan∠BCO=43. (1)求新桥BC 的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大?【解答】方法一：(1)如图(2)所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.(练习(2))设点B的坐标为(a，b)，则kBC=-0-170ba=-43，kAB=-60-0ba=34，解得a=80，b=120，所以22(170-80)(0-120)+因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，OM=dm(0≤d≤60).由条件知，直线BC的方程为y=-43(x-170)，即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即2243+=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以-80-(60-)80r dr d≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.方法二：(1)如图(3)所示，延长OA，CB交于点F.(练习(3))因为tan∠FCO=43，所以sin∠FCO=45，cos∠FCO=35.因为OA=60，OC=170，所以OF=OCtan∠FCO=6803，CF=cosOCFCO∠=8503，从而AF=OF-OA=5003.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=45.又因为AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB=4003，从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=MDMF=-M DOF OM=680-3rd=35，所以r=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以-80-(60-)80r dr d≥⎧⎨≥⎩，，即680-3-805680-3-(60-)805dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，解得10≤d≤35.故当d=10时，r=680-35d最大，即圆的面积最大，所以当OM=10m 时，圆形保护区的面积最大. 学￥5. 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，高为l ，左、右两端均为半球形，半径为r ，按照设计要求容器的体积为80π3m3，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y 千元. (1)求y 关于r 的函数解析式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时半径r 的值.【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y 关于r 的函数表达式，再利用导数研究其最值.所以y=160πr-8πr2+4πcr2，定义域为(0，2]. (2)y'=-2160πr -16πr+8πcr=328π[(-2)-20]c r r，因为c>3，所以c-2>0，当r3=20-2c 时，即y'=0， 320c-2，则m>0，所以y'=28(c-2)r (r-m)(r2+mr+m2). ①当0<m<2，即c>92时，当r=m 时，y'=0；当r∈(0，m)时，y'<0；当r∈(m ，2)时，y'>0，所以当r=m 时，函数y 取得极小值点，也是最小值点.②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0，2)时，y'<0，函数单调递减，所以r=2时函数y 取得最小值点. 综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r=2；当c>92时，建造费用最小时r=320-2c .6. (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1的四倍.(1)若AB=6 m ，PO1=2 m ，则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO1为多少时，仓库的容积最大?【解答】(1)容积为下部正四棱柱的容积与上部正四棱锥的容积的和，则V=62×4×2+13×62×2=62×2×143⎛⎫+ ⎪⎝⎭=312(m3). (2)设PO1=x m. 则A1O1=226-x (0<x<6)，A1B1=222(6-)x ⨯.当3<x<6时，V'<0，V 是单调减函数，所以当3 m 时，仓库的容积V 取得最大值.7. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS 的面积为S2.(1)用a ，θ表示S1和S2；(2)当a 固定，θ变化时，求12S S 的最小值.【分析】用a ，θ表示S1和S2，a 固定时12S S 是关于θ的函数，然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1)S1=12asinθ·acosθ=14a2sin2θ，设正方形边长为x ，则BQ=tan xθ，RC=xtanθ，所以tan x θ+xtanθ+x=a，所以x=1tan 1tan aθθ++=sin22sin2a θθ+，所以S2=2sin22sin2a θθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=222sin 2sin 24sin24a θθθ++. (2)当a 固定，θ变化时，12S S =14sin244sin2θθ⎛⎫++⎪⎝⎭，令sin2θ=t，则12S S =1444t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(0<t≤1)，利用单调性求得t=1时，12min S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭=94.8. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1 min 后，再从B 处匀速步行到C 处.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A=1213，cos C=35. (1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内?(2)由(1)知BC=sinsinAB·AC=500(m)，设乙出发t(t≤8)min后，甲到了D处，乙到了E处，则有AD=50t+100，AE=130t，根据余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AE·AD·cos A，即DE2=7 400t2-14 000t+10 000，所以当t=1400027400⨯=3537时，DE2有最小值，此时乙在缆车上与甲的距离最短，(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为v乙，由题意知甲到C处用时t甲=126050=1265(min)，乙到C处用时t乙=2+1040130+1+500v乙=11+500v乙(min)，所以-3≤1265-50011v⎛⎫+⎪⎝⎭乙≤3，解不等式得125043≤v乙≤62514.所以乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(m/min)范围内.9.(2016·南通一调)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点.(1)按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ=α(单位：rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ=t(单位：km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数.(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值.所以Rt△OPQ 的面积为S=12OP·OQ=1211sin α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin cos αα+=2(1sin )2sin cos ααα+=2(1sin )π0sin22ααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭. ②由题设知，OQ=QT=t ，O1T=1，且Rt△POQ∽△PTO1，所以OP OQ =1TP TO ，即OPt 22-t OP t +OP=222-1t t (t>1). 所以Rt△OPQ的面积为S=12OQ·OP=12t·222-1t t =32-1t t (t>1).(2)方法一：选用(1)中①的函数关系S=2(1sin )sin2αα+π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭. S'=222(1sin )cos sin2-(1sin )2cos2sin 2αααααα++=22(1sin )[cos sin2-(1sin )cos2]sin 2αααααα++=222(1sin )[sin(2-)-(1-2sin )]sin 2ααααα+=222(1sin )(2sin -1)π0sin 22αααα+⎛⎫<< ⎪⎝⎭.由S'=222(1sin )(2sin -1)sin 2ααα+=0π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得α=π6.当α变化时，S ，S'的变化情况如下表：α06π⎛⎫⎪⎝⎭， 6π 62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， S' - 0 + S↘极小值↗所以当α=π6时，△OPQ的面积S取得最小值为2π1sin6πsin26⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫⨯⎪⎝⎭=33(km2).方法二：选用(1)中②的函数关系S=32-1tt(t>1).S'=223223(-1)-2(-1)t t t tt⨯=2(3)(-3)t t t+(t>1).由S'=222(3)(-3)(-1)t t tt+=0(t>1)，得t=3.当t变化时，S，S'的变化情况如下表：t (1，3) 3(3，+∞)S' - 0 +S ↘极小值↗所以当t=3时，△OPQ的面积S的最小值为3(3)=33(km2).10.(2016·南京三模)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5 km，BC=8 km，CD=3 km.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6 km/h，乙的路线是ABCD，速度为v km/h.(1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15 min，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5 km.若乙先到达D地，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.①当0<vt≤5，即0<t≤5v时， f(t)=(6t)2+(vt)2-2×6t×vt×cos∠DAB=248-365v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭t2. 因为v2-485v+36>0，所以当t=5v时，f(t)取得最大值，所以248-365v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×25v ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤25，解得v≥154. ②当5≤vt≤13，即5v ≤t≤13v时， f(t)=(vt-1-6t)2+9=(v-6)221--6t v ⎛⎫ ⎪⎝⎭+9. 因为v>8，所以1-6v <5v ，(v-6)2>0，所以当t=13v时，f(t)取得最大值，所以(v-6)22131--6v v ⎛⎫ ⎪⎝⎭+9≤25，解得398≤v≤394. ③当13≤vt≤16，即13v ≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2，因为12-6t>0，16-vt>0，所以f(t)在1316v v ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，即当t=13v 时，f(t)取得最大值，21312-6v ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+21316-v v ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭≤25，解得398≤v≤394. 因为v>8，所以8<v≤394. 方法二：设经过t h ，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D 地，故16v<2，即v>8. 以点A 为原点，AD 为x 轴建立平面直角坐标系，①当0<vt≤5时，f(t)=24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭.由于24-65vt t⎛⎫⎪⎝⎭+235vt⎛⎫⎪⎝⎭≤25，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤225t对任意0<t≤5v都成立，所以24-65v⎛⎫⎪⎝⎭+235v⎛⎫⎪⎝⎭≤v2，解得v≥154.②当5≤vt≤13时，f(t)=(vt-1-6t)2+32. 由于(vt-1-6t)2+32≤25，所以-4≤vt-1-6t≤4对任意5v≤t≤13v都成立，即5-63--6vtvt⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，对任意5v≤t≤13v都成立，所以5-6133--613vvvv⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得398≤v≤394.③当13≤vt≤16，即13v≤t≤16v时，f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2.由①及②知8<v≤394，于是0<12-6t≤12-78v≤12-78×439=4，又因为0≤16-vt≤3，所以f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2≤42+32=25恒成立.综上所述，8<v≤394.。

(江苏专用)2017版高考数学专题7 不等式 49 不等式的解法理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题7 不等式 49 不等式的解法理1．(2015·深圳期末)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )<x 2的解集是________________________．2．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1e －x≤0}，则A ∩B ＝________. 3．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是____________________．4．(2015·山西四校联考)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x 2－bx－a <0的解集是________．5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 6．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．7．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈[－2，－12]时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值为________．8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x－2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是________． 9．(2015·广东“十校”联考)若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同，则pq＝________. 10．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是____________．11．已知集合A ＝{x ||2x －3|≤1，x ∈R }，集合B ＝{x |ax 2－2x ≤0，x ∈R }，A ∩(∁U B )＝∅，则实数a 的取值范围是________．12．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则∁R (M ∪N )＝________. 13．设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件： ①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0； ②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f x 2－f x 1x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1.若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是________． 14．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．答案解析1．(2，＋∞)∪(－∞，0]解析 f (x )<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋2>0，x ≤0，即x >2或x ≤0. 2．(－1，－12]解析由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >e 或x ≤－12}，故A ∩B ＝(－1，－12]．3．[－3，－2)∪(4,5]解析原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数2,3,4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]． 4．(2,3)解析依题意知，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16.不等式x 2－bx －a <0可化为1ax 2－b ax －1>0，∴－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.5．(－2,2]解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ∈R ，满足题意；当m <2时，由Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ∈R ，满足题意．综上所述，－2<m ≤2. 6.32解析原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意实数x 恒成立，又x 2－x －1＝(x －12)2－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.7．1解析 ∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )＝f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，x ∈[－2，－12]，f (x )max ＝1，f (x )min ＝0，∴0≤f (x )≤1，∴m ≥1，n ≤0，∴(m －n )min ＝1. 8．(－∞，log a 3)解析 f (x )<0⇔log a (a 2x－2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2ax－2>1，即(a x )2－2a x＋1>4⇔(a x－1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x<－1(舍去)，因此x <log a 3. 9.127解析由－4<2x －3<4得－12<x <72，由题意得72－12＝－p ，(－12)×72＝q ，∴p q ＝127. 10.⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32解析将原不等式化为m (x 2－1)－(2x －1)<0，令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则－2≤m ≤2时，f (m )<0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f －，f，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－－x －，x 2－－x －，解得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32.11．(－∞，1]解析 A ＝[1,2]，由于A ∩(∁U B )＝∅，则A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，满足A ⊆B ；当a <0时，B ＝{x |x (x －2a )≥0，x ∈R }＝(－∞，2a]∪[0，＋∞)，满足A ⊆B ；当a >0时，B ＝{x (x －2a )≤0，x ∈R }＝[0，2a]，若A ⊆B ，则2a≥2，即0<a ≤1.结合以上讨论，得实数a 的取值范围是(－∞，1]． 12．{x |x ≥1} 解析x ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．13．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)解析由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立．设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧g，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.14．[－1,2] 解析设y ＝2x －1，则y ′＝－2x －2<0，故y ＝2x －1在[2,6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．。

7.4 热点题型三基本不等式-2017年高考数学(理)热点+题型全突破含解析

热点题型三基本不等式【基础知识整合】1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=(1）调和平均数：12111nnnH a a a =+++（2）几何平均数:2nnGa =(3）代数平均数：12nna a a An+++=（4)平方平均数：2nn a Q n++=2、均值不等式：nn n n HG A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2ab+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1)),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭:多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222ab ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量，例如:当0,x >求23y x x=+的最小值。

此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥右侧依然含有，则无法找到最值。

① 求和的式子→乘积为定值。

例如：上式中24y x x=+为了乘积消掉,则要将3x拆为两个2x，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。

则考虑变积为和后保证能够消掉,所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭(3）等:若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点:① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。