极限思想方法

七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A 、85 cm 2

B 、610 cm 2

C 、355 cm 2

D 、20 cm 2

【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为610cm 2，选B 。）

【练习1】、在正n 棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ）

A 、2(,)n n ππ-

B 、1(,)n n ππ-

C 、(0,)2π

D 、21(,)n n n n

ππ-- （提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角απ→，且απ；当锥体h →+∞且底面正

多边形相对固定不变时，正n 棱锥形状趋近于正n 棱柱，

2,n n απ-→且2,n n απ-选A ）

【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S ，记

41i

i S S λ==∑，则λ一定满足（ ）

A 、24λ≤

B 、34λ

C 、2.5 4.5λ

D 、3.5 5.5λ

（提示：进行极限分析，当某一顶点A 无限趋近于对面时，S=S 对面，不妨设S=S 1，则S 2+S 3+S 41S →那么2λ=，选项中只有A 符合，选A 。

当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，4λ=，凭直觉知道选A ）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为α，侧面与底面 所成角为β，则2cos cos 2αβ+的值是（ ）

A 、1

B 、12

C 、0

D 、-1

（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，

90,90,αβ→→那么

2cos cos22cos90cos1801αβ+→+=-，选D ）

【练习4】、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若c-a 等于AC 边上的高，那么sin

cos 22C A C A -++的值是（ ） A 、1 B 、1

2 C 、1

3 D 、-1

(提示：进行极限分析，0A →时，点C →A ，此时高0,h c a →→，那么180,0C A →→，所以sin

cos 22C A C A -++sin 90cos01→+=，选A 。） 【练习5】、若0,sin cos ,sin cos ,4a b π

αβααββ+=+=则（ ） A 、a b B 、a b C 、1ab D 、2ab

（提示：进行极限分析，当0α→时，1a →；当4πβ→时，2b →，

从而b a ，选A ）

【练习6】、双曲线221x y -=的左焦点为F ，

点P 为左支下半支异于顶点的任意一点，则直

线PF 的斜率的变化范围是（ ）

A 、 (,0)-∞

B 、(,1)(1,)-∞-+∞

C 、(,0)(1,)-∞+∞

D 、(1,)+∞ （提示：进行极限分析，当P →A 时，PF 的斜率0k →；当PF x ⊥时，斜率不存在，即k →+∞或k →-∞；当P 在无穷远处时，PF 的斜率1k →。选C 。）

【练习7】、（06辽宁文11）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线方程为（ ）

A 、ln(1)y x =+

B 、ln(1)y x =-

C 、ln(1)y x =-+

D 、ln(1)y x =--

（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为2(1)(0)x y e x =-≥，是个增函数。

再令,x →+∞那么,y →+∞那么根据反函数的定义，在正确选项中当y →+∞时应该有,x →+∞只有A 符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。）

【练习8】、若sin cos 1θθ+=，则对任意实数n ，sin cos n n θθ+=（ ）

A 、1

B 、区间（0，1）

C 、112

n - D 、不能确定 （提示：用估值法，由条件sin cos 1θθ+=完全可以估计到sin ,cos θθ

中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A 。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知1c ，且1x c c =+-，1y c c =--，则,x y 之间的大小关系是（ ）

A 、x y

B 、x y

C 、x y =

D 、与c 的值有关

（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当1c →时，21x →-；当x →+∞时，0x →，可见函数1t t +-递减，∴选

B ）

九、极限化法

极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.

【例1】正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使λ==FD

CF EB AE )0(>λ， 设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则βα+的值是 （ ）

A ． 6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π 【巧解】当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。因为BD AC ⊥，排除选择支C B A ,,故选D （或+∞→λ时的情况，同样可排除C B A ,,），所以选D

【例2】若32232(),,log 3x a b x c x ===，当x ＞1时，,,a b c 的大小关系是 （ ）

A ．a b c <<

B ．c a b <<

C ．c b a <<

D ．a c b <<

【巧解】当0→x 时，3

2→a ，1→b ，0→c ，故c a b <<，所以选B