定积分及其应用测试题10页
定积分练习题
定积分练习题定积分练习题在微积分学习中，定积分是一个重要的概念和工具。
它不仅可以用来计算曲线下的面积，还可以解决各种实际问题。
为了更好地理解和应用定积分，下面将给出一些练习题，通过解题的过程来加深对定积分的理解。
1. 计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。
解析：根据定积分的定义，我们可以将曲线y = x^2与x轴所围成的面积表示为∫[0, 2] x^2 dx。
为了计算这个积分，我们可以使用定积分的基本性质，即将曲线下的面积分成若干个小矩形，然后将这些矩形的面积相加。
将区间[0, 2]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。
在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = (xi)^2。
然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。
当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[0, 2] x^2 dx。
通过计算这个和式，我们可以得到∫[0, 2] x^2 dx = 8/3。
2. 计算定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。
解析：这个定积分的计算与上一个例子类似。
我们可以将曲线y = 2x+1与x轴所围成的面积表示为∫[1, 3] (2x+1) dx。
同样地，我们可以将区间[1, 3]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (3-1)/n = 2/n。
在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = 2xi+1。
然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。
当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。
通过计算这个和式，我们可以得到∫[1, 3] (2x+1) dx = 12。
3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
解析：这个定积分的计算稍微复杂一些，因为它涉及到三角函数。
我们可以将曲线y = sin(x)与x轴所围成的面积表示为∫[0, π/2] sin(x) dx。
定积分的应用练习题
题型1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积内容一．微元法及其应用二．平面图形的面积1.直角坐标系下图形的面积2.边界曲线为参数方程的图形面积3. 极坐标系下平面图形的面积三．立体的体积1.已知平行截面的立体体积2.旋转体的体积四．平面曲线的弦长五．旋转体的侧面积六．定积分的应用1.定积分在经济上的应用2.定积分在物理上的应用题型题型I微元法的应用题型II求平面图形的面积题型III 求立体的体积题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用自测题六解答题4月25日定积分的应用练习题一．填空题1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线331x x y -=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于22πθπ≤≤-上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为二．选择题1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 23 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）A ．223a π B ． 243a π C ． 283a π D ． 23a π 3. 曲线2xx e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）A ． 2a a e e -+B ． 2a a e e -- C ．12++-a a e e D ．12-+-aa e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
定积分及其应用练习 带详细答案
定积分及其应用题一 题面：求由曲线2(2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323．变式训练一题面：函数f （x )＝错误!的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.错误! B ．2 C ．3D ．4答案：D. 详解：画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为错误!×2×2＋∫错误!02cos x d x ＝2＋2sin x 错误!＝4.变式训练二 题面:由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2错误! B ．9－2错误! C.错误!D 。
错误!答案： 详解：注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ,B 的坐标分别是(－3，－6)，(1，2)，因此结合图形可知,由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为错误!（3－x 2－2x ）d x ＝错误!错误!＝3×1－错误!×13－12－错误!错误!＝错误!，选D.题二 题面：如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）．A ．14B ．错误!C ．错误!D ．错误!变式训练一题面：函数f (x ）＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点．若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．答案：错误!. 详解：设A（x0，0），则ωx0＋φ＝错误!，∴x0＝错误!－错误!.又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为错误!，∴|AC｜＝错误!,C错误!。
依题意曲线段错误!与x轴围成的面积为S＝－∫错误!－错误!＋错误!错误!－错误!ωcos(ωx＋φ）d x＝2。
∵｜AC|＝πω，｜y B|＝ω，∴S△ABC＝错误!.∴满足条件的概率为错误!.变式训练二题面：（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．答案:C.详解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1,而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）｜01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．金题精讲题一题面：(识图求积分，二星)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为()．A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案:变式训练一题面：如图求由两条曲线y ＝－x 2,y ＝－错误!x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．答案:错误!。
定积分试题及答案大学
定积分试题及答案大学一、选择题1. 定积分的几何意义是表示曲线与x轴之间的有向面积。
（）A. 正确B. 错误答案：A2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]f(x)dx的值是唯一的。
（）A. 正确B. 错误答案：A3. 定积分∫[a,b]kf(x)dx=k∫[a,b]f(x)dx，其中k为常数。
（）A. 正确B. 错误答案：A二、填空题1. 设f(x)=x^2，计算定积分∫[0,1]x^2dx的值为____。
答案：1/32. 若∫[0,1]f(x)dx=2，则∫[0,2]f(x)dx=____。
答案：43. 设f(x)=2x，求定积分∫[1,2]2xdx的值为____。
答案：4三、解答题1. 计算定积分∫[0,π]sin(x)dx。
解：根据定积分的计算公式，我们有∫[0,π]sin(x)dx = [-cos(x)] | [0,π] = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
2. 设f(x)=x^3+3x^2+2x-1，求定积分∫[-1,1]f(x)dx。
解：首先计算不定积分F(x)=∫f(x)dx，得到F(x)=x^4/4+x^3+x^2-x+C。
然后计算定积分∫[-1,1]f(x)dx = F(1)-F(-1) = [(1)^4/4+(1)^3+(1)^2-1] - [(-1)^4/4+(-1)^3+(-1)^2-(-1)]= (1/4+1+1-1) - (1/4-1+1+1) = 0。
3. 求曲线y=x^2与x轴及直线x=1，x=2所围成的面积。
解：根据定积分的几何意义，所求面积为S = ∫[1,2]x^2dx = [x^3/3] | [1,2] = (2^3/3) - (1^3/3) = 7/3。
定积分练习题+答案
x
arctan(cos x) 2
04
27
8.
1 x5e x2 dx =
1
答案: 0 .
由于被积函数是奇函数.
9.设 f ( x) 是连续奇函数,且
1 f ( x)dx 1,则
0
f ( x)dx =
0
1
答案: 1
1
0
因为 f ( x) 是连续奇函数, 则 f ( x)dx f ( x)dx 0
ln(1 t)dt
9. lim 0
=(
x0 1 cos x
(A) 1
(B) 2
).
(C ) 4
(D) 8
答案: C.
sin2 x
因为 lim 0 ln(1 t)dt lim ln(1 sin2x) 2cos 2x
x 0 1 cos x
x 0
sin x
lim 2cos 2x lim ln(1 sin2x) sin2x
x 0
x 0 sin2x
sin x
2 lim sin2x 2sin x cos x 4
x 0 sin2x
sin x
18
10.设 F( x)
x 0
1 1 t2
dt
1 x 0
1 1 t2
dt
,则Biblioteka ().( A ) F(x) 0
( B ) F(x)
2
( C ) F( x) arctan x ( D ) F( x) 2arctan x
0
0
(C ) 0
( D ) 以上都不正确
二、填空题
1. lim 1 xndx = n 0
b
a
2. f ( x)dx f ( x)dx =
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
(完整版)定积分的简单应用测试题
一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3533．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D.526．比较积分值dx x e ⎰102和dx ex⎰1的大小( )A ．dx x e ⎰102大于dx ex⎰1B ．dx x e⎰102小于dx ex⎰1C ．dx x e⎰102等于dx ex⎰1D ．dx x e ⎰102和dx ex⎰1不能比较7．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7128．求⎰-11xdx 的解( ) A ．0 B ．1 C ．-1D ．2 9．求dx x ⎰212的解() A.12 B ．31 C ．32D ．3710．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________．12．求函数y=f(x)=x 2+1在区间［0,1］上的平均值y -________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．14．求经过点(0，1)，并且在每一点P （x,y ）处的切线的斜率为2x 的曲线方程＿＿三、计算题 15.dxdy +x 32y=x 626x 2的通解16.dx e x x⎰+104)(5 17.⎰+102)1(x x dx18.dt te t⎰-20 三、解答题 19.求方程xxy x ysin 1/=+的通解 20．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． 21．验证：函数x x y 21+=是方程x y dx dy -=1和y(2)=23的解 22.计算曲线f(x)=4-x 2与直线g(x)=-x+2所围成图形的面积 一、 选择题（每题3分，共30分） 1、()dx x ⎰+201的定积分是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 2、已知圆r y x 222=+，则圆的面积是（ ）A 、πrB 、πr 2C 、2πrD 、2πr 2 3、底面积为S,高为h 的棱锥的体积是（ ）A 、shB 、sh 21 C 、sh 31 D 、sh 41 4、曲线()x x 24-=⎰与直线g ()2+-=x x 所围图形的面积是（ ）A 、29 B 、 27 C 、 23D 、 255、微分方程xy dxdy2=的通解是（ ）A 、 exc B 、 e x c 2C 、e xD 、x e 26、dx x⎰+∞131的极限值是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、反常积分⎰-axa dx22的值是（ ）A 、-1B 、πC 、21π D 、π23 8、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，)(x F 是)(x f 在区间[b a ,]上的任意一个原函数，那么（ ）A 、⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B 、⎰=ba a F dx x f )()( C 、⎰=ba b F dx x f )()( D 、⎰+=ba a Fb F dx x f )()()( 9、求微分方程x x y dxdy 2263=+的通解是（ ）A 、e x c 2B 、x e 2C 、e x c 31-+D 、e x c 32-+10、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，则)(x f 在区间[b a ,]上的积分是（ ）A 、⎰b a dx x f )(B 、⎰b a dy x f )(C 、⎰b a dy y f )(D 、⎰ba dx y f )( 二、填空题。
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
定积分应用题附答案(可编辑修改word版)
⎩ y ⎨ ⎩ 2 《定积分的应用》复习题一．填空：1. 曲线 y = ln x , y = ln a , y = ln b (0 < a < b )及y 轴所围成的平面图形的面积为 A =ln be y dy =b-aln a2. 曲线y = x 2和y = x 所围成的平面图形的面积是 1 3二．计算题：1. 求由抛物线 y 2= 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为 y ，解方程组⎧ y 2 = 2x ⎧x 1 = 1/ 2 ⎧ x 2 = 2 ⎨y = -2x + 2 得 ⎩ y 1 = 11 , ⎨ = -2 即抛物线与直线的交点为（ ，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线 y = 1 和 y 2= - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近 1 1似于高为［(１－ y ）- y 2 ］,底为 dy 的矩形面积，从而得到面积元素22 11dA = [(１－ y)-y 2 ]dy22(3)所求图形面积 A =1[（1- 11 y ）- y2 ]dy = [y - 1 y 2 – 1 y3 ]1 =9⎰ - 22246-242. 求抛物线 y = - x 2+ 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由 y = - x 2 + 4x – 3 得y ' = -2x + 4 , y '(0) = 4, y '(3) = -2 。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 3 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ）。
2故 面积 A =⎰⎰2=⎰2⎪ ⎰ ⎰ ⎰ =3 (1+ 2 c os + )d + 2 (1+ cos 2)d = 3392 [(4x - 3) - (x + 4x - 3)] dx +3 [(-2x + 6) - (x + 4x - 3)] dx = 023. 求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（ 0 ≤ t ≤ 2）与横轴所围成的图形的面积。
(完整版)定积分练习题
一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。
定积分计算例题
定积分计算例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：21 / 7第5章 定积分及其应用（一）、单项选择题1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。
A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。
A ．()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C. ()()x f dxx f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D. ()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 3．⎰⎰→x xx tdttdtsin lim的值等于( ).A.-1B.0C.1D.2 4．设x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 的值等于（ ）。
A ．0 B.8 C. ⎰2)(dx x f D. ⎰2)(2dx x f5．设广义积分⎰+∞1dx x α收敛，则必定有（ ）。
A.1-<αB. 1->αC. 1<αD. 1>α6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。
A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
A.dy y ⎰21ln B.dy e e x⎰2C.dy y ⎰2ln 1ln D.()d x e x⎰-2128．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。
A.()[]dy y y ⎰--11 B.()[]dx x x ⎰-+-211C.()[]dy y y ⎰--2101 D.()[]dx x x ⎰+--119．由e x x y x y e===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为（ ）。
(完整版)定积分测试题及答案
定积分测试题及答案班级： 姓名： 分数：一、选择题：（每小题5分）1.0=⎰（ ）A.0B.1C.π D 4π2(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b3.(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14 C.13 D.7124．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( )A ．4 B.43 C.185D ．65.(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1376．(2010·湖南省考试院调研)1-1⎰ (sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( )A ．2πB ．3π C.3π2D ．π8．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1t d t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11)10．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π411．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32 B ．1C ．4D.1212．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题：（每小题5分） 13. 0π⎰sin x d x =______________14.物体在力F(x)=3x+4的作用下，沿着与F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处，力F 所做的功为______________15.211()x x dx +=⎰______________16.10()x x e e dx -+=⎰______________17.(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若1-1⎰f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.18．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．19．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．20．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小为________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10 A 11C 12 C13.2 14.40 1532+ln 2 16.e-1e 17.-1或13 18.16x-8y+1=019.-1 20.14。
定积分及其应用自测题答案
定积分自测题A 答案与提示一、选择题 1. 答案：A 2. 答案：C提示：4422(1sin )6cos 6x dx x ππππππ---=+=⎰.3. 答案：C提示：232()23x x F x e x e x '=⋅-⋅. 4. 答案：A提示：令u =则11()2f dx f u udu =⎰⎰.5. 答案：B提示：()f x '是偶函数，sin ()f x '是偶函数，(sin )f t 是奇函数，0(sin )xf t dt ⎰是奇函数. sin ()t f t +是奇函数，0[sin ()]xt f t dt +⎰是偶函数.sin ()t f t dt ⋅是偶函数，sin ()xt f t dt ⋅⎰是奇函数.6. 答案：B提示：1100ln(1)1dx x x =--=+∞-⎰. 7. 答案：D提示：111121111(1)()()()()0aa a a a a a af t dt f t d t f u du t t t t ++-+=++==⎰⎰⎰.8. 答案：A提示：2021101()3x f x dx e dx xdx e --=+=-⎰⎰⎰.二、填空题1．答案：12π提示：令sin ,[,]22x t t ππ=∈-，则12222211cos 2cos 22t tdt dt πππππ---+===⎰⎰⎰.2. 答案：1π提示：21arctan 1A dx A x A x π+∞+∞-∞-∞===+⎰. 3. 答案：1x -提示：对等式1()2()f x x f t dt =+⎰积分，得111()2()f x dx xdx f t dt =+⎰⎰⎰，则11()2f t dt =-⎰.即得()1f x x =-.4.112π-提示：622006111sin sin sin 122212xdx x dx x dx πππππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰.5. 答案：2a提示：02()()lim lim22xx x f at dtf ax ax x →→==⎰. 6. 答案：4提示：1211(2)()(2)(2)(2)4(2)n xf x dx xf x dx t f t d t tf t dt ''''===⎰⎰⎰⎰.7.答案：623x x x e --提示：32623x t x x de dt e x e dx---=⋅-.8. 答案：12e e+-提示：1110001()2x x x x e e dx e e e e ---=+=+-⎰.三、计算题166200011.sin sin(cos sin)212xdx x t t tdt t t tππ==-+=-⎰解：22lnln222.2(arctan)arctan122udx du u u c cuπ=-+=++∴==-⎰⎰解：32121210013.(1)1()()(1)x t t tf x e dx t x f t e dt e e dt te dt e e e+-=-=+=+-⎰⎰⎰⎰解：221111ln(1)1ln(1)1114.ln(1)ln2(1)11(1)22x xdx x d dxx x x x+∞+∞+∞+∞++=-+=-+=+++++⎰⎰⎰解：11110005.arctan ln(1x==-=⎰解：22110001max min6.()2(1)00,1,1(0)0(1)(1)(1)()()(1)0xt t tf x x x e x x x ff f t e dt e f f t e dt t ef e f-+∞+∞-----'=-===-===-=-=+∞=-∞=-====⎰⎰解：令得又因此7.解：10≤≤x时⎰=x dt t fxF)()(=⎰-x t dtexe--=110≤≤x时⎰=x dt t fxF)()(=⎰-10dte t⎰+x tdt1212--=ex所以⎩⎨⎧≤≤-≤≤-=--2111)(12xexxexFx四、证明题1．证明：由积分中值定理有11()()(1)axf x dx a fξξ=⎰设()()F x xf x=，则()()()()()(1)(1)F x xf x F x f x xf x F f''==+=，又()(1)(2)axf x dx af=⎰而11112()(1)()(1)a f af F Fξξξ∴==由（），（）得即所以由罗尔定理存在1,(1)(0,1)()0.F ξξξ'∈⊂=使得2. 证明：2221()1(1)()()(()1)0,()12()0()()f x F x f x f x f x f x f x f x +'=+=-≥+≥>()211(2)()0()()0()()ab bbaaF x F a dt dt F b f t dt f t f t '∴≥==-<=>⎰⎰⎰()0[,]F x a b ∴=在内至少有一个根，()20,()[,]F x F x a b '≥>因所以在上是单调增函数，()[,]F x a b 故在内只有一根。
定积分及其应用（测试题）
定积分及其应⽤（测试题）第6章定积分及其应⽤1.87220sin ;cos .xdx xdx ππ==2. 设21()ln ,x f t dt x +=?其中()f t 为连续函数，则(5).f =3. 设()f x 是连续函数，且0()sin (),f x x f x dx π=+?则().f x =4.5.1lim ln(1.x x dt =6. 设θ是常数，0,x ?>若ln ln(),2xxtdt x θ=?sin 20ln(1)lim.1cos xx t dtx→+=-?8. 若4()2xx f t dt =?，则4.dx =?9. 设21,0(),0x x x f x e x ?+<=?≥?，，则31(2).f x dx -=10. （1）252(cos ).x x x dx -?（2）230221.(32)dx x x +-?(arcsin )(arccos ).x x dx ? （4）22.?11. 已知()f x 在[0,2]上⼆阶可导，且(2)1,(2)0f f '==及2()4,f x dx =?求：120(2).x f x dx ''?12.求极限n →∞+ 13. 设正整数,a 且满⾜关系2410lim ,xx x aa x xe dx a x +∞-→-??=+试求a 的值. 14. 设函数(),()f x g x 在闭区间[0,2]上连续,且22232()3(),()3(),f x x g x dx g x x xf x dx =+=-+??求函数(),()f x g x 的表达式.15. 已知()[()1],f x x f x ''-=-试求函数().f x 21()ln(1)arctan .2f x x x x c =++-+设xOy 平⾯中有⼀曲线222 1.x y -=(1)写出由这曲线绕O x轴旋转的曲⾯⽅程; (2)求由这旋转曲⾯及⼆平⾯2x =与3x =所围⽴体的体积.16. 求抛物线21y x =-+在(0,1)内的⼀条切线,使它与两坐标轴和抛物线21y x =-+所围成图形的⾯积为最⼩. 17. 设()f x '在(,)-∞+∞连续,证明:()()()().xa d x t f t dt f x f a dx'-=-? 18. 设函数()f x 在[,](0)L L L ->上连续,在0x =可导,且(0)0.f '≠(1)求证:(0,),(0,1),x L θ?∈?∈使()()[()()];xxf t dt f t dt x f x f x θθ-+=--?(2)求极限0lim .x θ+→参考答案:1、10548,.384105 2、1.8 3、2sin .1x π+- 4、4.e 5、–2 6、 2.e 7、4 8、16 9、1.3e +10、（1）2π（2）6（3） 2.2π-+ （4）3.2π11、1.212、2.313、4.15a =14、23()34,().f x x g x x =-=-15、（1） 2222()1;x y z -+= （2）8.3x V π=16、4.33y x =-+ 17、利⽤积分中值定理 18、（1）略（2）0.5。
高等数学定积分测试题
∑
f
(T )
此和式称为 f ( x) 在 [ a, b] 上属于分割 T 的积分和（或黎曼和，设 J 是一个确定的数，若对 任意 ε > 0 总存在某个 δ > 0 ，使得 [ a , b] 上的任何分割 T，只要它的细度 || T || < δ ，属 于分割 T 的所有积分和
∑
f
(T ) 都有 | ∑ f (T ) − J |< ε
1 π2 1 ；3． 2 ；4． ；5． ； 2 4 6
五、证明题 1.证明：
∫
b
a
xf ′′( x)dx = ∫ xdf ′( x) = xf ′( x) a − ∫ f ′( x)dx
a a
b
b
b
= bf ′(b) − af ′(a ) − f ( x) a = [bf ′(b) − f (b)] − [af ′(a ) − f (a)] 。
f ( x)dx = f (c)(b − a) 4.若 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 连续，则 ∃c ∈ [ a, b] ，有 ∫a 。 f ( x)dx = F (b) − F (a) 5.若 f ( x ) 在 [ a, b] 连续， F ( x ) 且为 f ( x ) 的一个原函数，则 ∫a
试证明:
∫f
a
> 0.
第八章
一、选择题
定积分测试题答案
1、D；2、C；3、C；4、B；5、C；6、B；7、A；8、A；9、A；10、B；11、B；12、C； 13、C；14、D；15、C。 二、填空答案： 1．
x4 1 π ； 2． 1 − ；3． 0 ；4． [ 2π , 4π ] ；5． 0 ；6． 2 xe 3 4
定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A = ln ln by a e dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A = ⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰ 3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
第六章 定积分的应用 单元测试
第六章、定积分的应用 单元测试题（一）选择题（每小题4分，共40分）1. 曲线r ae θ=及直线θπ=-，θπ=所围图形的面积为（ ） A.22012a e d πθθ⎰ B. 22202a e d πθθ⎰ C.22a ed πθπθ-⎰ D. 222a e d πθπθ-⎰2. 心形线4(1cos )r θ=+，直线0θ=，2πθ=所围图形绕极轴旋转而成旋转体的体积为（ ）A. 22016(1cos )d ππθθ+⎰B. 222016(1cos )sin d ππθθθ+⎰C. 222016(1cos )sin [4(1cos )cos ]d ππθθθθ++⎰D.022216(1cos )sin [4(1cos )cos ]d ππθθθθ++⎰3. 横断面积为s 、深为h 的水池中装满了水，把池中的水全部抽到距地面高为H 的水塔中所作的功W =（ ） A.()hs H h y dy ++⎰B. 0()Hs H h y dy +-⎰C.()hs H y dy +⎰D. 0()h Hs H h y dy ++-⎰4. 曲线(0)r ae λθλ=>，从0θ=到θα=一段的弧长s =（ ）A.aaeλθθ⎰B. 0θ⎰C.θ⎰D. 0θ⎰5. 矩形闸门的一边恰与水面相齐，且此闸门垂直于水面，过闸门的中心作水平线将矩形分为面积相等的上、下两部分，设上部所受的压力为1P （吨），下部所受压力为2P （吨），则12P P =（ ） A.12 B.1 C.13 D.236. 曲线1y x=，y x =，2x =所围成的图形面积为A ，则A =（ ）A.211()x dx x -⎰B. 211()x dx x-⎰C.21101(2)(2)dy y dy y-+-⎰⎰ D. 22111(2)(2)dx x dx x -+-⎰⎰7. 曲线22x y =在[0,1]之间的一段绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为（ ）A. 12⎰ B. 1202x dx π⎰C.12x π⎰D. 10x π⎰8. 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()()g x f x m <<（m 为常数），则曲线()y g x =，()y f x =，x a =及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体积为（ ）A.[2()()][()()]bam f x g x f x g x dx π-+-⎰B. [2()()][()()]bam f x g x f x g x dx π---⎰C. [()()][()()]bam f x g x f x g x dx π-+-⎰D.[()()][()()]bam f x g x f x g x dx π---⎰9. 设在区间[,]a b 上，()0f x >，()0f x '<，()0f x ''>，令1()baS f x dx =⎰，2()()S f b b a =-，31[()()]()2S f b f a b a =+-，则A. 123S S S <<B. 213S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S << 10. 两个半径为a 的直交圆柱体公共部分的体积V =（ ） A. 224()aa x dx -⎰B. 2208()aa x dx -⎰C. 2216()aa x dx -⎰D. 2202()aa x dx -⎰（二）填空题（每小题4分，共60分）1. 抛物线()(0)y x x a a =->与直线y x =所围图形的面积为＿＿。
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第五章 定积分及其应用一、填空题1．由[],a b 上连续曲线()y f x =,直线(),x a x b a b ==<和x 轴围成的图形的面积为4．利用定积分的几何意义求10d x x =⎰ 5．积分1213ln d x x x ⎰值的符号是6．定积分()452sinsin d x x x π-⎰值的符号是8．积分413I ln d x x =⎰与4223I ln d x x =⎰的大小关系为9．区间[][],,c d a b ⊂,且()0f x >,则()1I d b af x x =⎰与()2I d dcf x x =⎰的大小关系为10．()f x 在[],a b 上连续,则()d baf x x =⎰ ()d abf x x ⎰11．若在区间[],a b 上,()0f x ≥,则()d baf x x ⎰ 012．定积分中值定理中设()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()f ξ=13．设()20,0x F x t x =>⎰,则()F x '=15．设()()()33sin d ,x F x t t x ϕϕ=⎰可导,则()F x '=16．0limx t x→=⎰18．设()()01d xf x t t t =-⎰,则()f x 的单调减少的区间是19．函数()23d 1x tf x t t t =-+⎰在区间[]0,1上的最大值是 ,最小值是 20．设()3131sin d x f x t t +=⎰,则()f x '=21．设()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的任意一个原函数,则()d baf x x =⎰22．123d x x x ⋅=⎰23．sin 22cos d x xe x ππ-=⎰24．设()f x '在[]1,3上连续,则()()321d1f x x f x '=+⎰ 25．2x ππ=⎰26．20cos d x x π=⎰27．2101d 1x x e x e -=-⎰28．20sin d x x π=⎰ 29．21e =⎰30．23545sin d 1x xx x -=+⎰ 31．设()f x 在[],a a -上连续,则()()sin d aa x f x f x x -+-=⎡⎤⎣⎦⎰ 32．设()21,0,0x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩,则()11d f x x -=⎰33．设()[]cos ,,02,0,1x x x f x e x π⎧⎡⎫∈-⎪⎪⎢=⎣⎭⎨⎪∈⎩,计算()12d f x x π-=⎰ 34．若广义积分11d q x x +∞⎰发散,则必有q 35．若广义积分101d p x x⎰收敛,则必有p36．反常积分20d x xe x +∞-=⎰ 37．1x =⎰38．曲线22,y x y x ==所围成的图形的面积为 39．曲线1sin 2,1,0,22y x y x x π====所围成的图形的面积为二、单项选择题1．函数()[]0,,f x x a b ≥∈且连续,则()y f x =,x 轴,x a =与x b =围成图形的面积s =( )A ．()d ba f x x ⎰ B ．()d baf x x ⎰C ．()d baf x x ⎰D ．()()()2f b f a b a +-⎡⎤⎣⎦2．413I ln d x x =⎰,4223I ln d x x =⎰,则1I 与2I 大小关系为( )A ．≥B ．≤C ．>D ．<3．()f x 连续,()0I d s t t f tx x =⎰,则下列结论正确的是( )A ．I 是s 和t 的函数B ．I 是s 的函数C ．I 是t 的函数D ．I 是常数4．()f x 连续且满足()()2,0f x f a x a =-≠,c 为任意正数,则()d ccf a x x --=⎰( )A ．()022d c f a x x -⎰B ．()22d c c f a x x --⎰C ．()02d cf a x x -⎰ D ．05．()f x 连续,()()d x e xF x f t t -=⎰,则()F x '=( )A ．()()x x e f e f x ----B ．()()x x e f e f x ---+C ．()()x x e f e f x ---D ．()()x x e f e f x --+6．设()2I sin d x x x t t =⎰,则()I x '=( )A ．2cos cos x x -B ．22cos cos x x x -C ．22sin sin x x x -D ．22sin sin x x x +7．当0x →时,()sin 20sin d xf x t t =⎰与()34g x x x =+比较是( )A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶但非等价无穷小D ．等价无穷小8.()(),f x x φ在点0x =的某邻域内连续,且当0x →时,()f x 是()x φ的高阶无穷小,则0x →时,()0sin d x f t t t ⎰是()0d xt t t φ⎰( )A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．同阶但不等价无穷小D ．等价无穷小9．()f x 为连续的奇函数,又()()0d xF x f t t =⎰,则()F x -=( )A ．()F xB ．()F x -C ．0D ．非零常数 10．设()()2d 2xx F x f t t x =-⎰,f 连续,则()2lim x F x →=( ) A ．0 B ．2 C ．()22f D ．()2f 11．设()f x 连续,0x >,且()()221d 1x f t t x x =+⎰,则()2f =( )A ．4B ．12C ．1+D．12-12．设()f x ''在[],a b 上连续,且()(),f a b f b a ''==,则()()d ba f x f x x '''=⎰( )A ．a b -B ．()12a b - C ．22a b - D ．()2212a b - 13．若()()2021d ,0,0x t e t x f x x a x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰,且已知()f x 在0x =点连续,则必有( ) A ．1a = B ．2a = C ．0a = D ．1a =-A ．t ⎰ B．0et ⎰C ．1e t ⎰ D ．1t ⎰15．()f x 在给定区间连续,则()320d ax f x x =⎰( )A ．()01d 2a xf x x ⎰B ．()21d 2a xf x x ⎰ C ．()202d a xf x x ⎰D ．()0d axf x x ⎰ 16．积分1ln d e xx x⎰的值是( ) A ．2122e - B ．21122e - C ．12D ．1- 17．若()40d 2xx f t t =⎰,则40d f x =⎰( )A ．16B ．8C ．4D ．218．积分1x -⎰的值是( )A ． 0B ．1C ．12D.2 19．曲线1,,2y y x x x===所围平面图形的面积为( )A ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ B ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰ C ．()221112d 2d y y y y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ D ．()221112d 2d x x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰20．曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围平面图形的面积为( )A ．()10d x e ex x -⎰ B ．()1ln ln d ey y y y -⎰ C ．()1d ex x e xe x -⎰D ．()10ln ln d y y y y -⎰21．在区间[],a b 上()()()0,0,0f x f x f x '''><>,令()()()()()()1231d ,,2ba s f x x s fb b a s f b f a b a ==-=+-⎡⎤⎣⎦⎰,则有( ) A ．123s s s << B ．213s s s << C ．312s s s << D ．231s s s << 22．曲线cos ,22y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于( )A ．2π B ．π C ．212π D ．2π 23．曲边梯形()0,f x y a x b ≤≤≤≤,绕x 轴旋转而成的旋转体体积为( )A ．()2d b a xf x x π-⎰B ．()2d ba f x x π⎰ C ．()d ba xf x x -⎰D ．()2d ba f x x ⎰24．曲线()2ln 1y x =-上满足102x ≤≤的一段弧的弧长为( )A ．122201d 1x x x +-⎰B ．xC ．xD ．x25. 一无限长直线放在正实轴上,其线密度x e ρ-=,则其质量M =( )A ．eB ．∞C ．1 D.226．一变力212F x =把一物体从0.9x =推到 1.1x =,它所做的功W =( ) A ． 1.120.912d x x ⎰ B ．0.22012d x x ⎰ C ． 1.220.912d x x x ⋅⎰D ．0.22012d x x x⋅⎰三、证明题1．设()f x 是连续函数,证明：()()()10d d ba f x xb a f a b a x x =-+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ . 2．设()f x 是连续函数,证明：()()2321d d ,02a a x f x x xf x x a =>⎰⎰.3．设()f x 是连续函数,证明：()()200sin d sin d f x x f x x ππππ=⎰⎰.4．证明不等式()52441sin d 2x x ππππ≤+≤⎰.四、计算题1．()1001lim 1sin 2d xu x u u x →+⎰2．2001limarctan d xx u u x →⎰3．2001lim cos d xx u u x →⎰4．求21sin d xt t ⎰的导数.5．()()ln 1d xx f x t t φ=⎰,()t φ为连续函数,求()f x '.6．求函数()()()2012d xu f x u u e u -=--⎰的极值点. 7．计算()20d x e x x -⎰8．计算(2411x ⎰9．计算()12032d x x x +-⎰11．计算94x ⎰14．计算ln 0x ⎰15．计算21211sin d x x xππ⎰ 16．计算160x ⎰17．计算31e x ⎰18．计算()2501d x x -⎰ 19．计算10d x xe x -⎰ 20．计算()1013d x x x -⎰21．计算40sin d x x x π⎰22．计算()10ln 1d x x +⎰ 23．计算)221ln d e x x ⎰ 24．计算2222d x xe x --⎰25．计算221d 1x x +∞-⎰26．计算1x ⎰27．计算1x ⎰28．求曲线22235,1y x x y x =+-=-围成的平面图形的面积. 29．求曲线231,53y x y x =-=-围成的平面图形的面积. 30．求曲线6,7xy x y =+=围成的平面图形的面积. 31．求曲线ln ,0,y x y x e ===围成的平面图形的面积. 32．求曲线,,0x y e y e x ===围成的平面图形的面积. 33．求曲线22235,1x y y x y =+-=-围成的平面图形的面积. 34．求曲线()22,0,0,0y px y x a p a ===>>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.35．求曲线2xy a =,0y =,x a =,()20x a a =>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.36．求曲线2y x =,2x y =围成的平面图形绕y 轴旋转而形成的旋转体的体积.37．分别求曲线3y x =,0y =,2x =围成的平面图形绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积.38．求曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.39．求()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩的一拱()02θπ≤≤的长度. 40．求阿基米德螺线(0)r a a θ=>相应于θ从0到2π的一段弧的弧长. 41．圆柱形的水桶高为5m ,底圆半径为3m ,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。