静力学空间力系

∑ M x (F ) = 0, ∑ M y (F ) = 0, ∑ M z (F ) = 0
（3）平面任意力系的平衡方程（若力系在 Oxy 平面内） 基本式：
∑ X = 0, ∑Y = 0, ∑ M z (F ) = 0
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7．重心
在重力场中，物体重力的合力作用点，称为物体的重心。物体的重心在物体
内只有确定的位置，与该物体在空间的位置无关。均质物体的重心与几何中心重
M O (F ) = Fh = 2ΔOAB
或用力对点的矢积式表示，即 i jk
MO (F) = r × F = x y z XYZ
= ( yZ − zY )i + (zX − xZ) j + (xY − yX )k
图 4-2
式中，x、y、z 为力 F 作用点的坐标，X、Y、Z 为力 F 在坐标轴上的投影。 z 力对轴的矩 力对轴的矩是一个代数量，可按下列三种方法计算。 （1） 定义法 先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面力
∑ M z (FR ) = M z (F )
6．空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于 零。即
FR′ = 0 MO = 0 用解析式表示，即为空间任意力系的平衡方程：
∑ X = 0, ∑Y = 0, ∑ Z = 0 ∑ M x (F ) = 0, ∑ M y (F ) = 0, ∑ M z (F ) = 0
第一部分 静力学
第四章 空间力系
一、基本要求
1．掌握力对点的矩、力对轴的矩和空间力偶的基本概念及其性质。 2．熟练掌握力在空间坐标轴上的投影和力对轴的矩的计算。 3．熟悉空间力系的简化结果，能熟练地计算主矢和主矩。 4．能熟练应用空间任意力系的平衡方程求解物体的平衡问题。 5．掌握计算物体重心的各种方法。
合。
物体重心的坐标公式，可根据合力矩定理导出，即
∑∑ xC =
Pi xi Pi
∑∑ yC =
Pi yi Pi
∑∑ zC =
Pi zi Pi
确定物体重心的方法：
（1）对称法 （2）积分法 （3）组合法
有分割法和负面积法（负体积法）两种。
[MO (F )]z = M z (F )
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3．空间力偶及其性质
z 力偶矩矢 空间力偶对刚体的作用效果取决于三个要素：力偶矩的大小、力偶的转向和 力偶作用面的方位，所以用矢量表示，称为力偶矩矢。其大小等于力与力偶臂的 乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则。 z 空间力偶的性质 空间力偶除具有平面力偶的性质外，还可从其所在平面等效地移至与之平行 的任意平面内。因此，力偶矩矢是自由矢量。 z 空间力偶的等效条件（等效定理） 作用在同一刚体上的两个力偶，只要其力偶矩矢相等，则两力偶等效。
4．空间力系的合成结果
z 空间汇交力系 空间汇交力系合成为一个通过其汇交点的合力，其合力矢等于各分力的矢量 和，即
FR = ∑ F
或
FR = ∑ Xi + ∑Y j + ∑ Zk
z 空间力偶系 空间力偶系合成为一个合力偶，其合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和， 即
M = ∑Mi
或
∑ ∑ ∑ M = M ixi + M iy j + M iz k
二、理论要点
1．力在空间直角坐标轴上的投影
z 直接投影法（一次投影法）
已知力 F 与三个坐标轴间的夹角分别为α 、 β 和γ ，则力 F 在三个坐标轴上
的投影分别为
X = F cosα Y = F cos β Z = F cosγ
z 间接投影法（二次投影法）
已知力 F 与 z 轴间的夹角为 γ 以及力 F 在坐标
对点的矩计算，如图 4-3 所示，力 F 对 z 轴的矩为
M z (F ) = M O (Fxy )
= ±Fxy h = ±2ΔOab 正负号按右手螺旋规则确定。
图 4-3
当力的作用线与轴平行或相交时，即当力与轴共面时，力对轴的矩等于零。
（2） 解析式
先求出力在坐标轴上的投影 X、Y、Z 以及力作用点的坐标 x、y、z，则有
z 空间任意力系 空间任意力系向任一点 O 简化，一般可得一个力和一个力偶。这个力的大小 和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心 O；这个力偶的力偶矩矢等于该 力系对简化中心 O 的主矩。即
FR′ = ∑ F ∑ M O = M O (F )
空间任意力系简化的最终结果有以下四种情况： （1）合力偶 当主矢为零、主矩不为零。此时主矩与简化中心的选取无关。 （2）合力 当主矢不为零、主矩为零；或当主矢、主矩均不为零，且主矢 垂直于主矩。
上式为空间任意力系平衡方程的基本式，相应地还有四矩式、五矩式和六矩 式。空间任意力系有 6 个独立的平衡方程，可求解 6 个未知量。空间任意力系的 平衡方程是平衡方程中最一般的形式，其它特殊力系的平衡方程都可由此导出。
（1）空间汇交力系的平衡方程
∑ X = 0, ∑Y = 0, ∑ Z = 0
（2）空间力偶系的平衡方程
M x (F ) = yZ − zY M z (F ) = zX − xZ M z (F ) = xY − yX
（3）根据力对点的矩与力对轴的矩的关系计算
z 力对点的矩与力对轴的矩的关系
力对点的矩在通过该点的轴上的投影，等于力对该轴的矩，即
[MO (F )]x = M x (F ) [MO (F )]y = M y (F )
平面 Oxy 上的投影 Fxy 与 x 轴间的夹角为ϕ ，如图 4-1
所示，则力 F 在三个坐标轴上的投影分别为
X = F sin γ cosϕ
Y = F sin γ sinϕ
Z = F cosγ
图 4-1
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2．力对点的矩和力对轴的矩
z 力对点的矩 在空间中，力对点的矩是一个矢量（定位矢量），它垂直于力矢和矩心所在的 平面，方向按右手螺旋规则确定，如图 4-2 所示，大小为
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（3）力螺旋 当主矢、主矩均不为零，且主矢与主矩不垂直（即平行或夹角 为任意角）。
（4）平衡 当主矢、主矩均为零。
5．合力矩定理
z 对点的合力矩定理 力系的合力对任一点之矩等于力系中各分力对同一点之矩的矢量和，即
∑ M O (FR ) = M O (F )
z 对轴的合力矩定理 力系的合力对任一轴（如 z 轴）之矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和， 即