分式方程的特殊解法

分式方程的特殊解法

分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。

一、 分组通分法：

例1、 解方程 3

2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。

略解：方程两边分别通分，相减得

)

3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2

51=

x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2

51=

x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法：

例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解

略解：原方程可变形为

4

11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得

)4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2

7-

=x 当072≠+x 时，方程无解 经检验2

7-

=x 是原方程的解 练习：② 6

5327621+++++=+++++x x x x x x x x 解：29-=x 三、 巧添常数

例3、解方程 33224411+-++-=+-++-x x x x x x x x 解析：同样若整体通分，次数增高，运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天．

)133()122()144()111(++-+++-=++-+++-x x x x x x x x ，即：3

2224212+++=+++x x x x x x x x

∴02=x 或

31214111+++=+++x x x x ， 解得：2

5,021-==x x 经检验，2

5,021-==x x 都是原方程的根． 四、 运用方程c

b c x b x +=+的解求解 方程c b c x b x +=+的解不难通过去分母法求得为c x =1，c b x =2运用这一结论可以使具备此方程特征的这类方程的解法简捷。

例5、解方程 2

5991=+++x x x 略解：原方程可变形为

21299+=+++x x x

x ∴ 29=+x

x 或 219=+x x 解 29=+x

x 得 31=x 解

219=+x x 得 122-=x 经检验，31=x ，122-=x 都是原方程的解。

五、巧换元

例5、解方程 2

53113=-+-x x x x 解析：解决此类问题要有敏锐的观察力和丰富的想象力，由于方程的两个分式互为倒数，可用换元法，设1

3-x x 为y ，则原方程变形为251=+y y 再联想到方程 c c x x 11+=+ 的解是 c

x c x 1,21==， 可得 213=-x x 或 2113=-x x 解得5

1,221-=-=x x 令人茅塞顿开，拍案叫绝． 经检验，5

1,221-=-=x x 都是原方程的根． 练习⑤ 41712232312=-+++-x x x x 解：5

6,10921=-=x x

六、化积为差、裂项相消

例6.解方程 +++++)2)(1(1)1(1x x x x (8)

12)12(1=⋅-+x x 解析：这道题如果想整个分式方程通分去分母，化为整式方程求解，令人望而生畏， 即使大费周折，也难以如愿，若根据分式方程的结构特点，依据公式“111)1(1+-=+n n n n ”化积为差，裂项相消，则会化难为易，迅捷获解，真可谓构思巧妙，方法独特．． 原方程裂项为：++-+++-)2111()111(

x x x x (8)

1)21121(=--+x x 去括号整理得 81211=-x x 即 8121=x 解得4=x ，经检验：4=x 是原方程的解 从以上几例可以看出，有些分式方程通分去分母，难以求解，以致“山穷水尽疑无路”，而根据方程的结构特点，灵活选用适当的方法和技巧，就能使问题化难为易，化繁为简，迎刃而解，收到事半功倍的奇效，真可谓“柳暗花明又一村”．