板壳力学

假设2、中面的法线保持为直线， 而且中面法线及其垂直线段之间的直角保持不变， 也就是两方向的切应变为零。 假设3、与中面平行的截面的正应力（挤压应力）， 远小于其垂直面上的正应力。
假设4、体力及面力均可化为作用于中面的荷载。
7
基本假设 /分类
1、 2、
3、 4、
板
壳
z 0 xz yz 0
由于 u 2 ,
由于 u 3 ,
H1 pp1 的线应变为： H1 H 2 R12 u2 d12 R12d12 u2 '' e1 R12d12 R12 pp1 的线应变为： R u d R13d13 u3 e1''' 13 3 13 R13d13 R13
d12 1 H1 k12 H1d H1 H 2 R12 1 k12
23
(19 5)
24
弹性体任意点P的位移分量和应变分量
位移 应变
线应变 切应变
e1、e2、e3分别为pp1、pp2、pp3方向的线应变 e12、e23、e13三个直角的切应变
25
以
pp1 的线应变 e1为例；
由以上得出的
e1 与 e12 ，将角码1、2、3及 、、
轮换：
e1
1 u1 1 H1 1 H1 u2 u3 H1 H1 H 2 H1 H 3
1 u2 1 H 2 1 H 2 e2 u3 u1 H 2 H 2 H 3 H 2 H1
17
其中拉梅系数：
x y z H1
2 2 2
1 2
x y z H 2
向拉梅系数
19
1 H 2 H 3 H 12
1 H 3 1 H 2 H H 0 2 3 1 H 3 H 0 1 1 H 1 H 0 2
14
当 坐标改变 d 而 及 保持不变时，新坐标 ( d , , ) 所对应的一点 p1 ， 将与( , , )所对应的点p位于同 一根 线上。 用 ds1代表弧长 pp1 。

15
则有关系式：
（ H 1为 向拉梅系数）
16
由上式同理可得：

(19 1)

(19 3)
(19 4)
20
思考题： 1、如何证明上式 2、如何用张量 或者指标形式表示上式
21
一 二
弹性体内任意点P的三棱边的曲率 正交曲线坐标中弹性几何方程
22
d13 1 H1 H 1d H1 H 2 如左图，可得关系式： k13 1 因此有： k13 R13
H 3 u3 H 2 u 2 e23 H 2 H 3 H 3 H 2
30
2 2 2
1 2
x 2 y 2 z 2 H 3
1 2

(19 2)
18
拉梅系数几何意义：曲线坐标单独改变时 坐标线弧长增量与坐标增量之比值 向拉梅系数 向拉梅系数
下壳面
两个曲面所限定的物体，如果曲面之间的距离比物体的其他尺寸较小， 就称为壳体。 这两个曲面称为壳面。 距两壳面等远的点所形成的曲面，称为中曲面，简称中面。
5
分项
荷载 几何 变形 内力
板
横向 薄 小变形 弯曲内力
壳
三向以法向为主 薄 小变形 弯曲内力 + 膜力
6
假设1、垂直中面方向的线应变可以不计。
e3
1 u3 1 H 3 1 H 3 u1 u2 H 3 H 3 H1 H 3 H 2
H 2 u2 H1 u1 e12 H H H H1 2 2 1
H1 u1 H 3 u3 e31 H H H H 3 1 1 3
板壳力学
Mechanics of Plate and Shell
壳体的一般理论
2
主讲内容
§19-1 关于壳体的一些概念 §19-2 曲线坐标与正交曲线坐标 §19-3 正交曲线坐标中的弹性力学几 何方程
3
1
壳体的定义
2
3 4
壳体的特征
壳体基本假设
壳体的分类
4
板
上板面 中面
壳
上壳面
中曲面
下板面
H1 u3 H1 H 3
26
现在考虑切应变，以直角 由于
p1 pp2 的切应变 e12 为例：
u 2 ，pp1
(u2
在 面内向
源自文库
pp2
的转角为：
由于
u2 ds1 ) u2 u2 1 u2 s1 ds1 s1 H1 u1 u pp1 向pp2 转动 1 ，也 就是 u1 ， pp1 离 pp2 的转角为 R12 R12
e12
1 u 2 1 H1 1 u1 1 H 2 u1 u2 H1 H1 H 2 H 2 H 2 H1
H 2 u 2 H1 u1 H H H H1 2 2 1
28
1 H 3 H 1 1 H 1 H 3 H 22 1 H 1 H 2 H 32 1 H 2 H 1
2 H1 1 H1 H 2 1 H1 H 3 0 H 2 H 3 2 H 2 1 H 2 H 3 1 H 2 H1 0 H 3 H1 2H3 1 H 3 H1 1 H 3 H 2 0 H1 H 2
忽略 z=0
e3 0 e12 e23 0
忽略
z 的影响
u=v=0
z 的影响
面力体力归于横 载
8
+ 依厚度 薄壳 中厚壳 厚壳
+ + + +
依材料
钢筋混凝土壳 钢壳 复合材料壳
依几何
依用途
柱壳 回转壳 锥壳 扁壳
航空航天 海洋 交通运输 化工 机械
依结构
闭合 开敞 组合
9
10
z
线
. p( , , )
x
线
线
y
P点位置坐标（x，y，z）与
单值对应
P点
12
若令
得
P点 曲线族
即是关于 的一条曲线，继而可得 同理可得
曲线族，总计可得三族曲线
每族曲线有且仅有一条通过空间任意点P
13
若令 若令 族 同理可得
得到一张曲面P点 得到一族曲面，称为 曲面
曲面族，总计可得三族曲面
所以 pp1 向 pp2 的转角总共是：
1 u2 u1 H1 R12
27
同样 pp2 向 pp1 的转角总共是：
1 u1 u 2 H 2 R21
两式相加 得：
e12
将（19 – 5）式代入：
1 u2 u1 1 u1 u2 H1 R12 H 2 R21
由于 u1 ,
pp1 的线应变为：
1
所以
e1
u1 ds 1 u1 u1 1 1 su ' 1 1 H1 1 u1 1 e1 '' ' '' ' e1 e1 e1 ds 1 s1 u2 1 H
pp1 的线应变总共为： u