二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法
二阶常系数齐次特征方程
二阶常系数齐次特征方程二阶常系数齐次特征方程是指一个二阶线性常微分方程的特征方程，其中常系数是指方程中的系数是常数。
在本文中，将介绍二阶常系数齐次特征方程的定义、求解方法以及其应用。
让我们来看看什么是二阶常系数齐次特征方程。
二阶常系数齐次特征方程可以写成如下形式：a*d^2y/dt^2 + b*dy/dt + c*y = 0其中，a、b、c为常数，y是未知函数，t是自变量，d^2y/dt^2表示y对t的二阶导数，dy/dt表示y对t的一阶导数。
接下来，我们将讨论如何求解二阶常系数齐次特征方程。
为了解这个方程，我们需要找到它的特征根。
特征根可以通过求解方程的特征方程得到，特征方程可以通过将方程中的y替换为e^(rt)来得到，其中r是特征根。
特征方程可以写成如下形式：a*r^2 + b*r + c = 0通过求解这个二次方程，我们可以得到两个特征根r1和r2。
特征根的值将决定方程的解的形式。
如果特征根是实数，那么方程的解将包含指数函数和常数项。
如果特征根是复数，那么方程的解将包含正弦函数、余弦函数和常数项。
接下来，我们来看一个例子来说明如何求解二阶常系数齐次特征方程。
假设我们有一个二阶常系数齐次特征方程为：2*d^2y/dt^2 - 5*dy/dt + 2*y = 0我们可以通过求解特征方程来得到特征根。
将方程中的y替换为e^(rt)，我们可以得到特征方程为：2*r^2 - 5*r + 2 = 0通过求解这个二次方程，我们可以得到两个特征根r1 = 1/2和r2 = 2。
因此，方程的解可以写成如下形式：y = C1*e^(1/2*t) + C2*e^(2*t)其中C1和C2为常数。
让我们来看一下二阶常系数齐次特征方程的应用。
二阶常系数齐次特征方程广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
例如，在振动系统中，二阶常系数齐次特征方程可以描述系统的自由振动。
在电路中，二阶常系数齐次特征方程可以描述电路元件的响应。
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
二阶微分方程解
二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。
在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。
特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。
可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。
非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。
此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
10.5二阶常系数线性微分方程
因此原方程的通解为
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结束
y 12 y 36 y 0,
解: 特征方程 r 2 12r 36 0, 特征根: r1 r2 6 因此原方程的通解为
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结束
y py qy 0
有一对共轭复根
e cos x i sin x
e B[( λ pλ q) x 2( p 2 λ) x 2] A e
λx 2 2
λx
A B 2 A 2 λx * y x e 2
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A x e 2 p q , 不是特征方程的根 A * x y xe 是特征方程的单根 , 2 p A 2 x xe 是特征方程的重根 2
ln y C1e x C 2 e x .
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结束
3. 求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使 1 , e x , 2e x , e x 3 都是它的解 .
(提示:
1, e x 为两个 线性无关的解)
y y 0
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二、二阶常系数非齐次线性方程解法
ix
( 0)
特征根为
r1 i , r2 i , ( i ) x ( i ) x y1 e , y2 e ,
y1 e
( α iβ ) x ( α iβ ) x
e e
αx αx
iβx
e (cos βx i sin βx)
αx
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。
进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。
需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。
二阶线性常系数齐次微分方程的解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
二阶常系数齐次线性方程
其中c1 , c2由初始条件定出。
而当t → +∞时，x → 0，这说明物体的运动按 负指数函数规律迅速衰 减， 不发生振动，且随时间 的增大而趋于平衡位置 。 解： )当 δ = ω 时， r1 = r2 = δ 为两个相等实根，故方 程有解： (2
x = ( c1 + c2t ) e δt , 由初始条件 c1 = x0 , c2 = δ x0 故所求特解为： x = x0 (1 + δ t ) e
由于n次代数方程有n个根，而每个根对应着通解中的一项，且每一项 各含一个任意常数。将上表中各对应项相加，就得到微分方程(1)的通解。
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n阶常系数齐次线性方程举例
求y
( 4)
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例7-24
4 y′′′ + 10 y′′ 12 y′ + 5 y = 0的通解。
4 3 2
解：①因为特征方程：r 4r + 10r 12r + 5 = 0 有根：r1 = r2 = 1, r3, 4 = 1 ± 2i ②且r1 = r2 (c1 + c2 x)e x ③相加得通解： y = (c1 + c2 x)e x + (c3 cos 2 x + c4 sin 2 x)e x = e (c1 + c2 x + c3 cos 2 x + c4 sin 2 x)
x
(两项 — —二重根)
r3, 4 e x (c3 cos 2 x + c4 sin 2 x) (两项)
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2. 解法 特征方程(2)的根
单实根r k重实根r 一对单共轭复根 r1, 2 = α ± iβ 一对k重共轭复根 r1, 2 = α ± iβ
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程在微积分中，二阶常系数线性齐次微分方程是一个非常重要的概念。
它在数学和物理学领域中广泛应用，并且具有丰富的解法和性质。
本文将介绍二阶常系数线性齐次微分方程的基本定义、解法和一些应用。
一、定义二阶常系数线性齐次微分方程是指形如以下形式的微分方程：\[ay''+by'+cy=0\]其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，\(y\)是自变量\(x\)的函数。
二、特征方程和特解为了求解上述微分方程，首先需要求解其对应的特征方程。
将\(y=e^{rx}\)代入微分方程可以得到特征方程：\[ar^2+br+c=0\]解特征方程可以得到两个互不相同（或相同）的根\(r_1\)和\(r_2\)。
根据这些根的不同情况，可以得到微分方程的通解。
情况一：\(r_1\)和\(r_2\)为实数且不相等。
此时通解为：\[y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\]其中\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
情况二：\(r_1\)和\(r_2\)为实数且相等。
此时通解为：\[y=(c_1+c_2x)e^{r_1x}\]其中\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
情况三：\(r_1\)和\(r_2\)为共轭复数。
此时通解为：\[y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)\]其中\(a\)和\(b\)为实数，\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
三、应用举例二阶常系数线性齐次微分方程在物理学和工程学中有广泛应用。
以下是几个简单的应用举例。
1. 振动方程振动系统通常可以用二阶常系数线性齐次微分方程来描述。
例如自由振动的弹簧质量系统的运动方程可以表示为：\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}+kx=0\]其中\(m\)为质量，\(k\)为弹性常数，\(x\)为位移。
2. 电路方程电路中的某些电路元件，如电感、电容和电阻，遵循二阶常系数线性齐次微分方程。
二阶常微分方程解存在的问题
二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
二阶常系数齐次线性微分方程解读
t
于是所求初值问题的解为
例3 求微分方程 y 2 y 5 y 0的通解.
2 解： 所给方程的特征方程为 r 2r 5 0
其根为 r1,2 1 2i , 故所求通解为
y e (C1 cos2 x C2 sin2 x )
x
习题6-5 (p358) 全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业.
2
设r1, r2是特征方程的两个根. 2 (1) 当 p 4 q 0 时, 方程有两个相异实根 则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 y C1 e
2பைடு நூலகம்
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 p 4 q 0 时, 特征方程有两相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解为
例2 求解初值问题
d s ds 2 s0 2 dt dt
2
s t 0 4 ,
ds 2 dt t 0
解: 特征方程 r 2 r 1 0 , 特征根为 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为
2
s (C1 C2 t ) e 由初始条件得 C1 4, C 2 2
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方 程的通解. 特征根 通 解 实根
y C1e
r1 x
C 2e
r2 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e x y e (C1 cos x C2 sin x )
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解: 微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 特征方程有两个不等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x
二阶常系数 齐次微分方程的解
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x y ex(C1 cosx C2 sin x)
故所求通解为 y (C C x)e2x .
1
2
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0,
解得 r1，2 1 2 j ,
故所求通解为
y e x (C cos 2 x C sin 2x).
1
2
三、n阶常系数齐次线性方程解
法
y(n) P y(n1) P y P y 0
1
n1
n
特征方程为 rn P rn1 P r P 0
1
n1
n
特征方程的根 若是k重根r
通解中的对应项
(C C x C xk1)erx
0
1
k1
若是k重共轭 复根 j
[(C C x C xk1)cosx
01
k1
(D D x D xk1)sinx]ex
0
1
k1
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
1
1
1
知 u 0,
取 u( x) x,
则
y2
xe , r1x
得齐次方程的通解为 y (C 1 C 2x )e r1x ;
有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 j, r2 j,
y e (j)x 1
,
y e (j)x 2
,
重新组合
y1
1( 2
y1
y2 )
ex
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
特征方程的解
二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：
1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；
2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；
3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β),通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。
最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。
扩展资料：
偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。
有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。
若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
二阶常系数齐次线性方程的解法
二阶常系数齐次线性方程的解法前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。
但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。
但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。
二阶线性齐次方程的解法二阶线性齐次方程的一般形式为：，其中a1，a2为实常数。
我们知道指数函数e ax求导后仍为指数函数。
利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使e ax满足方程上面的方程。
我们可令：，代入上面的方程得：因为e ax≠0，所以：这样，对于上面二次方程的每个根ρ，e ax就是方程的一个解。
方程就被称为方程的特征方程。
根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：1.特征方程有两个不等的实根的情形设此两实根为。
于是是齐次方程的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的通解为：其中c1，c2为实常数。
2.特征方程有重根的情形此时特征方程的重根应为：，于是只能得到的一个特解：，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：.于是方程的通解为:3.特征方程有共轭复根的情形设共轭复根为，那末是方程的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式：，为此可以得到方程的通解：由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：1.对照方程写出其特征方程：；2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ23.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。
例题：求方程的通解.解答：此方程的特征方程为：它有两个不相同的实根，因此所求的通解为：[返回页首][关闭窗口]爱华女子网校版权所有，如若转载请联系我们。
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8
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
9
定义: 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 是定义在区间 I 上的
5
例 2 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程) 故所求通解为
6
§5.3.2 二阶线性微分方程
如果一个二阶微分方程中出现的未知函数及未 知函数的一阶、二阶导数都是一次的，这个方程称 为二阶线性微分方程. 它的一般形式为
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
11
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
y p(x) y q(x) y f (x), f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
现在我们讨论二阶线性微分方程具有的一些性 质. 事实上，这些性质对 n 阶微分方程也成立.
7
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
12
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
13
故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
第三节 二阶微分方程
§5.3.1 特殊二阶微分方程 §5.3.2 二阶线性微分方程 §5.3.3 二阶常系数线性微分方程
1
§5.3.1 特殊二阶微分方程
1. y '' f (x) 型
积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数， 可由初始条件确定这两个任意常数.
2. y '' f (x, y ')型
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
10
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为 y x3 3x 1
4
3. y f ( y, y)型
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
Q(x)[C1y1 C2 y2 ] C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1]
这种类型方程右端不显含未知函数 y，可先把 y '
看作未知函数.
2
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
例 1. 求方程 y '' y ' ex的通解.
满足初值条件
y x0 3, y ' x0 2的特解.
16
§ 5.3.3 二阶常系数线性微分方程
在生产实践可科学实验中，有时需要研究力学 系统或电路系统的问题. 在一定条件下，这类问题的 解决归结于二阶微分方程的研究. 在这类微分方程中 ，经常遇到的是线性微分方程. 如力学系统的机械振 动和电路系统中的电磁振荡等问题，都是最常见的问 题.
3
补例. 求解 (1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
解
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 ,
利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 ) 两端再积分得 y x3 3 x C2
15
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解 有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
14
定理 4. 的解, 则
如果
是方程
y P(x) y Q(x) y f1(x) if2(x)
与 y2 (x) 分别是方程
的解.
y P(x) y Q(x) y f1(x) y P(x) y Q(x)y f2(x)