RLC串联电路暂态过程的研究

选十 RLC 串联电路暂态过程的研究

一、目的要求：

通过对RLC 电路暂态过程的研究，了解该电路的特性，具体要求达到：

1.加深对阻尼振荡的理解；

2.能用示波器定量描绘三种不同阻尼振荡的波形；并记录下临界阻尼电路R 且与理论值相比较。

3.测量弱阻尼振荡周期T ’。并与理论值相比较；

二、实验仪器：

示波器、低频讯号发生器，波形发生器。

三、参考书目

1.林抒、龚镇雄《普通物理实验》P.319-324

2.邱关源《电路》

3.A.M.波蒂斯、H.D.扬《大学物理实验》P.149-158。

四、基本原理

本实验要研究的是RLC 串联电路在阶跃电压（或称方波讯号）作用下的工作过程及电容上电压0V 变化的规律。

实验线路如图1所示。输入讯号如图2所示。

R

L C A

B 方波讯号a b c

t u (t)

0T /2T 图1 图2

方波（或称矩形波）讯号的周期为T ，其电压变化的特点是：1.a~b 电压为E ，b~c 电压为零，以后周而复始。形成阶跃式电压；2.该讯号电压变化的周期较短。约310-s~510-s 。在电路中相当于供能断续开关，使电路的变化过程是短暂的瞬态过程。

由上述可知，当电路处于方波的正讯号输入时，即相当于在A 、B 端加上电压E ，使电容充电。由于R 、L 、C 的存在，可得电路中电流I 随时间变化的方程如下： E IR dt dI L

=+ 又因I=dt

dQ ，上式可写为： E C

Q dt dQ R dt Q d L =++22 （1） 由初始条件t=0时，Q=0、dt Q d =0且当阻尼较小时（即2R

L 4）,可解得： )]cos(1[/ϕωτ+-=-t e EC Q t

即 )]cos(1[/ϕωτ+-==-t e E C

Q U t c （2）（式中R L 2=τ. L C R LC

4112-=ω） 从式（2）中可知。电容上的电压c U 是余弦变化的。且其幅值随着时间按指数函数衰减并趋于稳定值E ，如图3中I 所示。

当电路处于方波讯号零电位时。即相当于撤去讯号电压E 使A 、B 端短接。此时，电容将通过R 和L 反向放电，其电路方程变为： 022=++C

Q dt dQ R dt Q d L 由初始条件t=0，Q Q =0、0=dt

dQ ，且阻尼较小，得解： )cos(/ϕωτ+=-t Ee U t c （3）

由式（3）可知，电容上电压c U 也是按余弦变化，其振幅也是随时间按指数函数衰减，但它最后趋于零，其变化规律如图4中I 所示。

U c

0E

t t

U c

E

图3 图4

如果将电容两端接至示波器的Y 输入端，就可观察到如图5的波形，即电容器上的电压波形随方波讯号的变化情况（从一个稳定态到另一个稳定态的变化情况）。

又因时间常数τ是决定衰减快慢的，所以改变电阻R 将对图线产生较大影响。以下分三种情况讨论。

1.如果C

L R 42>，即为过阻尼状态。此时 U c

0t

E

图5

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2-=L

C R LC ω 此处ω已不能理解为圆频率了。c U 曲线将以缓慢方式趋于平衡状态（E 或0），不再发生余弦式衰减振荡，如图3和图4中∏所示。可以证明，τ随R 的增大而增大，因此c U 衰减到零的过程将随R 的增大而变得缓慢。

2.如果C

L R 42<<，即为弱阻尼状态。则有 01ωω==

LC （0ω是R=0时回路的固有园频率）此时，电路将一回路的固有频率0ω自由振荡，其振荡周期为

T ’=LC πωπ

220= （4）

c U 的变化曲线如图5或图3和图4中的I 所示。

3.如果C

L R 42=，即为临界阻尼状态。c U 变化的曲线如图3和图4的∏I 所示，又因 τ临=R

L 2，所以此时的时间常数τ临与电感L 及电容C 的关系为： τ临=LC （5） 与式（4）比较可知，τ临是弱阻尼振荡周期T ’的π

21倍。所以τ临总小于弱阻尼振荡时的时间常数及过阻尼振荡时的τ。因而可以判断：c U 趋于平衡态（E 或0）的速度以临界阻尼情况为最快，即历时最短。此状态也是过阻尼到弱阻尼振荡之间的过度态。

以上三种阻尼状态c U 的变化曲线分别如图6所示。

在实验中要明显地观察到三种阻尼状态，必须要合适地选取阶跃电压（即方波）的周期T 。从图3中知，在三种状态中。若能明显地观察到弱阻尼振荡，则其它两种阻尼状态也就不难观察到。所以可以根据在一个方波宽度K T （K T =T/2）或一个方波周期T 内准备观察几个弱阻尼振荡数来选取讯号源中方波的频率f(f=K

T T 211=)。 从上可知，若要明显地观察到三种阻尼状态，必须要根据实验样品的电容量C 和电感量L 计算出相应的弱阻尼振荡周期T ’及准备在K T （或T ）内所观察到的振荡次数n （或N ）

来选取方波频率f ，即 F=K T 21='

21nT

t t t t E

E

E

E

图6

五、观察与思考

1.当电路处于弱阻尼振荡时，若改变频率，其振荡周期会不会改变？为什么？若调节示波器的扫描频率，其振荡周期会不会变？为什么？

2.如何测定弱阻尼振荡周期T ’。

3.如何测定临界阻尼电阻R 临。

4.如何测定弱阻尼振荡时间常数τ。

六、实验提示

在测量RLC 串联回路弱阻尼振荡周期T ’时，我们可以计算在方波宽度K T 内振荡的次数n(n 为整数)。则T ’=nf

n T K 21=；或计算在方波周期T 内振荡的次数N （N 亦为整数），则T ’=Nf

N T 1=。从式子上看似乎r T E E ='。其实不然，因为我们对于同相点的判断不可能很准确。因此必须多次测量，使我们因同相点判断不准确而引入的误差随机化，另外，考虑到对于一定的L 、C ，固有振荡周期0T =LC π2是一个确定的数，因此当我们增加在K T （或T ）内振荡的次数n(或N)将会减少测量误差。

在测定临界阻尼电阻R 临时，要注意此电阻值不只是电阻箱的阻值，还应包括电感的