动力学响应的求取
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高等结构动力学
第二章 结构响应的求解
结构动力学的任务
第一类问题：响应分析（结构动力计算） 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别。 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
1 1 1 1 M C ut t Qt t M 2 ut ut 1 ut K 2 t t t 2 t C ut 1 ut 1 tut 2 t
上午2时59分13秒
求解方法
M C K F
Solving the equation of motion Direct Integration Mode Superposition
Implicit
Explicit
Full
Reduced
Full
Reduced
上午2时59分13秒
直接积分法
上午2时59分13秒
积分运动方程之前不进行任何变换，直 接采用数值方法进行逐步的数值积分 首先将时间域进行离散，可以是定步长 或变步长，近似认为在积分点处满足运
直接积分法
直观而言，动力学方程就是一个二阶的常微分方程 组 在数值计算中有花样繁多的数值积分方法可以用来 求解，但对于不同的动力系统，不同方法具有不同 的优势 数值积分的步长是影响积分精度的主要因素之一， 步长小精度高，但代价也相应提高，反之亦然。 如稳态响应问题中，常常低频分量的响应占主导成 分，所以只要能准确计算出低频响应即可 而冲击问题中，高频分量有时也很重要，所以积分 步长必须很小，但总时间通常也比较短
上午2时59分13秒
中心差分法
1 u 2ut ut t 2 t t t 1 ut ut t ut t 2t ut
起步时 ut t 2 u0 tu0 u0 2
Mut Cut Kut Qt
1 2 1 1 2 M C u Q K M u M C t 2 t t t 2 ut t 2t t 2 2t t t
上午2时59分13秒
随机响应
Spacecraft and aircraft components must withstand random loading of varying frequencies for a sustained time period. Solution - do a random vibration analysis to determine how a component responds to random vibrations.
例题
模态加速度法
结构动力学方程为 从中解出位移表达式
将其Βιβλιοθήκη Baidu的加速度项由模态位移法中的近似加速度代替
包括了伪静响应项和模态加速度项
模态加速度法
位移的解答表示为杜哈梅积分形式，但要求其加速度
用到中间式
模态加速度法
再求导一次
最终可得到
例子
例子
例子
例子
模态加速度法
模态加速度法为什么用了较少的模态能够得到更为精确的解？
上午2时59分13秒
计算步骤
对每个时间步长： １ 计算时间ｔ的 有效载荷 ˆ Q K c M a c M c C a Q t t 2 t 0 1 t t ２ 求解时间ｔ＋ｔ的位移 ˆ LDLT a Q
t t t
３ 计算ｔ时刻的加速度和速度 1 ut 2 ut t 2ut ut t t 1 ut ut t ut t 2t
上午2时59分13秒
谐响应
Rotating machines exert steady, alternating forces on bearings and support structures. These forces cause different deflections and stresses depending on the speed of rotation.
上午2时59分13秒
Newmark法
ut t ut 1 ut ut t t 2 ut t ut ut t 1/ 2 u u t t t t
Mut t Cut t Kut t Qt t
Solution - do a harmonic analysis to determine a structure’s response to steady, harmonic loads.
上午2时59分13秒
谱分析
Building frames and bridge structures in an earthquake prone region should be designed to withstand earthquakes. Solution - do a spectrum analysis to determine a structure’s response to seismic loading.
模态叠加法
可求得各阶模态的模态质量和模态刚度
将各个模态列向量写成模态矩阵的形式
根据展开定理 将物理空间里的耦合方程组转换成解耦方程
模态叠加法
初始条件也应转换到模态空间里去
位移初始条件
速度初始条件
模态截断
工程实践证明，结构响应中通常是中低频占据主导地 位，事实上，也很难测得结构的所有高频模态，此时 需要进行模态截断，即用部分阶次的模态来求（近似） 响应
在所取的模态集中，仍然是解耦的方程组
模态位移法
激励力既可能是稳态的也可能是瞬态的，对于瞬态激 励有
对于周期激励力
转换到模态空间里仍然是相同频率的周期激励力
单自由系统的稳态响应
模态位移法
回顾强迫响应的解
模态位移法
模态静变形
例题
例题
例题
按最大值归一化
例题
求模态力
例题
例题
模态位移法仍需要较多阶次的模态
上午2时59分13秒
表达式左边包含了刚度矩阵 满足当前时刻的动力学方程
Newmark法
上午2时59分13秒
Newmark法
上午2时59分13秒
隐式与显式
显式格式的积分，求解当前步时，根据前一步 的动态方程，而隐式格式中，根据当前步的动 力学方程 显式格式中，左边不包括刚度矩阵，而隐式格 式中，包括了刚度矩阵 采用集中质量阵时，在显式积分格式中可获得 很快的积分速度（每一步） 隐式积分中，刚度矩阵求逆消耗大量时间，在 高度非线性问题中，效率低下
瞬态响应
An automobile fender should be able to withstand low-speed impact, but deform under higher-speed impact. A tennis racket frame should be designed to resist the impact of a tennis ball and yet flex somewhat. Solution - do a transient dynamic analysis to calculate a structure’s response to time varying loads.
因为存在
模态加速度法
剩余柔度矩阵
这部分的物理含义可以理解为高阶i模态响应的近似值
模态加速度法
对于静态力
模态加速度法刚好等于静态位移
模态位移法刚好等于保留柔度矩阵的位移
模态加速度法
结论：模态加速度法对模态位移法进行了修正， 增加了剩余柔度上的近似响应，所以其收敛的 速度更高，当S=N时，二者精度相同
上午2时59分13秒
表达式不包含刚度矩阵，仅包含质量、阻 尼阵 满足前一时刻的动力学方程
计算步骤
1 形成刚度矩阵K , 质量矩阵M和阻尼矩阵C 2 给定初值u0 , u0 , u0 3 选择时间步长t， t tcr，并计算时间常数c0 t 2 4 计算起步值 ut u0 tu0 u0 2 ˆ c M cC 5 形成有效质量矩阵M 0 1 ˆ LDLT 6 作三角分解M 1 1 , c 等 1 2 t 2t
上午2时59分13秒
稳定性
t tcr
Tn
上午2时59分13秒
中心差分格式是条件稳定的，而隐式积 分格式是无条件稳定的 显式积分中，临界稳定的步长由系统中 最小单元的尺寸决定 而隐式积分格式的步长通常由精度要求 决定
模态叠加法
多自由度系统的动力学基本方程组
已知初始条件
又有
各模态具有正交特性
第二章 结构响应的求解
结构动力学的任务
第一类问题：响应分析（结构动力计算） 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别。 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
1 1 1 1 M C ut t Qt t M 2 ut ut 1 ut K 2 t t t 2 t C ut 1 ut 1 tut 2 t
上午2时59分13秒
求解方法
M C K F
Solving the equation of motion Direct Integration Mode Superposition
Implicit
Explicit
Full
Reduced
Full
Reduced
上午2时59分13秒
直接积分法
上午2时59分13秒
积分运动方程之前不进行任何变换，直 接采用数值方法进行逐步的数值积分 首先将时间域进行离散，可以是定步长 或变步长，近似认为在积分点处满足运
直接积分法
直观而言，动力学方程就是一个二阶的常微分方程 组 在数值计算中有花样繁多的数值积分方法可以用来 求解，但对于不同的动力系统，不同方法具有不同 的优势 数值积分的步长是影响积分精度的主要因素之一， 步长小精度高，但代价也相应提高，反之亦然。 如稳态响应问题中，常常低频分量的响应占主导成 分，所以只要能准确计算出低频响应即可 而冲击问题中，高频分量有时也很重要，所以积分 步长必须很小，但总时间通常也比较短
上午2时59分13秒
中心差分法
1 u 2ut ut t 2 t t t 1 ut ut t ut t 2t ut
起步时 ut t 2 u0 tu0 u0 2
Mut Cut Kut Qt
1 2 1 1 2 M C u Q K M u M C t 2 t t t 2 ut t 2t t 2 2t t t
上午2时59分13秒
随机响应
Spacecraft and aircraft components must withstand random loading of varying frequencies for a sustained time period. Solution - do a random vibration analysis to determine how a component responds to random vibrations.
例题
模态加速度法
结构动力学方程为 从中解出位移表达式
将其Βιβλιοθήκη Baidu的加速度项由模态位移法中的近似加速度代替
包括了伪静响应项和模态加速度项
模态加速度法
位移的解答表示为杜哈梅积分形式，但要求其加速度
用到中间式
模态加速度法
再求导一次
最终可得到
例子
例子
例子
例子
模态加速度法
模态加速度法为什么用了较少的模态能够得到更为精确的解？
上午2时59分13秒
计算步骤
对每个时间步长： １ 计算时间ｔ的 有效载荷 ˆ Q K c M a c M c C a Q t t 2 t 0 1 t t ２ 求解时间ｔ＋ｔ的位移 ˆ LDLT a Q
t t t
３ 计算ｔ时刻的加速度和速度 1 ut 2 ut t 2ut ut t t 1 ut ut t ut t 2t
上午2时59分13秒
谐响应
Rotating machines exert steady, alternating forces on bearings and support structures. These forces cause different deflections and stresses depending on the speed of rotation.
上午2时59分13秒
Newmark法
ut t ut 1 ut ut t t 2 ut t ut ut t 1/ 2 u u t t t t
Mut t Cut t Kut t Qt t
Solution - do a harmonic analysis to determine a structure’s response to steady, harmonic loads.
上午2时59分13秒
谱分析
Building frames and bridge structures in an earthquake prone region should be designed to withstand earthquakes. Solution - do a spectrum analysis to determine a structure’s response to seismic loading.
模态叠加法
可求得各阶模态的模态质量和模态刚度
将各个模态列向量写成模态矩阵的形式
根据展开定理 将物理空间里的耦合方程组转换成解耦方程
模态叠加法
初始条件也应转换到模态空间里去
位移初始条件
速度初始条件
模态截断
工程实践证明，结构响应中通常是中低频占据主导地 位，事实上，也很难测得结构的所有高频模态，此时 需要进行模态截断，即用部分阶次的模态来求（近似） 响应
在所取的模态集中，仍然是解耦的方程组
模态位移法
激励力既可能是稳态的也可能是瞬态的，对于瞬态激 励有
对于周期激励力
转换到模态空间里仍然是相同频率的周期激励力
单自由系统的稳态响应
模态位移法
回顾强迫响应的解
模态位移法
模态静变形
例题
例题
例题
按最大值归一化
例题
求模态力
例题
例题
模态位移法仍需要较多阶次的模态
上午2时59分13秒
表达式左边包含了刚度矩阵 满足当前时刻的动力学方程
Newmark法
上午2时59分13秒
Newmark法
上午2时59分13秒
隐式与显式
显式格式的积分，求解当前步时，根据前一步 的动态方程，而隐式格式中，根据当前步的动 力学方程 显式格式中，左边不包括刚度矩阵，而隐式格 式中，包括了刚度矩阵 采用集中质量阵时，在显式积分格式中可获得 很快的积分速度（每一步） 隐式积分中，刚度矩阵求逆消耗大量时间，在 高度非线性问题中，效率低下
瞬态响应
An automobile fender should be able to withstand low-speed impact, but deform under higher-speed impact. A tennis racket frame should be designed to resist the impact of a tennis ball and yet flex somewhat. Solution - do a transient dynamic analysis to calculate a structure’s response to time varying loads.
因为存在
模态加速度法
剩余柔度矩阵
这部分的物理含义可以理解为高阶i模态响应的近似值
模态加速度法
对于静态力
模态加速度法刚好等于静态位移
模态位移法刚好等于保留柔度矩阵的位移
模态加速度法
结论：模态加速度法对模态位移法进行了修正， 增加了剩余柔度上的近似响应，所以其收敛的 速度更高，当S=N时，二者精度相同
上午2时59分13秒
表达式不包含刚度矩阵，仅包含质量、阻 尼阵 满足前一时刻的动力学方程
计算步骤
1 形成刚度矩阵K , 质量矩阵M和阻尼矩阵C 2 给定初值u0 , u0 , u0 3 选择时间步长t， t tcr，并计算时间常数c0 t 2 4 计算起步值 ut u0 tu0 u0 2 ˆ c M cC 5 形成有效质量矩阵M 0 1 ˆ LDLT 6 作三角分解M 1 1 , c 等 1 2 t 2t
上午2时59分13秒
稳定性
t tcr
Tn
上午2时59分13秒
中心差分格式是条件稳定的，而隐式积 分格式是无条件稳定的 显式积分中，临界稳定的步长由系统中 最小单元的尺寸决定 而隐式积分格式的步长通常由精度要求 决定
模态叠加法
多自由度系统的动力学基本方程组
已知初始条件
又有
各模态具有正交特性