正弦函数、余弦函数的单调性与最值
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二课时
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？
(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量 x 的值 是多少？
[新知初探]
正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数
图象
[_ － 1,1 ]_ [ － 1,1 ]_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ π π [_ 2 k π － π ， 2 k π ]_ 在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (k ∈ 2kπ－ ，2kπ＋ 2 2 (k∈Z)上 在 Z)上递增， π 3 π 单调性 [_ 2 k π ， 2 k π ＋ π ]_ 2kπ＋ ，2kπ＋ 在 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (k ∈ 2 2 (k 递增，在 Z)上递减 ∈Z)上递减 x＝2kπ (k∈Z)时， ymax π ＋2kπ x＝ 2 (k∈Z)时，ymax＝1； ＝1； 最值 π x＝ 2kπ＋π (k∈Z)时， － ＋2kπ x＝ 2 (k∈Z)时，ymin＝－1 ymin＝－1
值域
[点睛]
(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是
定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域 内不单调． (2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲 线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或 最小值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数． (2)存在x∈R满足sin x＝ 2. ( × ) ( × )
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
(2)sin 194°与cos 160°. π π 解：(1)cos －8 ＝cos ， 8
π π 13π π 2 π － － cos ＝cos 7 ＝cos 7 ＝cos7. 7
π π ∵0Байду номын сангаас ＜ ＜π，且y＝cos x在(0，π)上单调递减， 8 7
2π 7π ＋kπ， ＋kπ，k∈Z. 6 3
三角函数值的大小比较
比较下列各组数的大小： 15π 14π (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 与cos . 8 9 π 3π [解] (1)∵函数 y＝sin x 在2， 2 上单调递减，且 90°< 250°<260°<270°， ∴sin 250°>sin 260°. π 15π π 2 π － (2)cos ＝cos 8 ＝cos8 ， 8 4π 14π 4π 2 π － cos ＝cos 9 ＝cos 9 . 9 ∵函数 y＝cos x 在[0，π]上单调递减， π 4π 且 0< < <π， 8 9 π 4π 15π 14π ∴cos >cos ，∴cos >cos . 8 9 8 9 [典例]
(k∈Z)．
与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法： 采用“换元”法整体代换，将 ωx＋φ 看作一个整体，可令“z ＝ωx＋φ”，即通过求 y＝Asin z 的单调区间而求出函数的单调 区间．若 ω<0，则可利用诱导公式将 x 的系数转变为正数．
[活学活用] 求
π y＝cos3－2x的单调增区间．
π π y＝cos3－2x＝cos2x－3 ，
解：因为
π 所以令 π＋2kπ≤2x－ ≤2π＋2kπ，k∈Z， 3 2π 7π 得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. 3 6 所以函数
π y＝cos3－2x的单调增区间为
答案：C
(
)
4．函数y＝3＋2cos x的最大值为________．
答案：5
正、余弦函数的单调性
[典例]
[解]
π 求函数y＝3sin3－2x的单调递减区间．
π π ∵y＝3sin3－2x＝－3sin2x－3 ，
π ∴y＝3sin2x－3是增函数时， π y＝3sin3－2x是减函数．
∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？
(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量 x 的值 是多少？
[新知初探]
正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数
图象
[_ － 1,1 ]_ [ － 1,1 ]_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ π π [_ 2 k π － π ， 2 k π ]_ 在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (k ∈ 2kπ－ ，2kπ＋ 2 2 (k∈Z)上 在 Z)上递增， π 3 π 单调性 [_ 2 k π ， 2 k π ＋ π ]_ 2kπ＋ ，2kπ＋ 在 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (k ∈ 2 2 (k 递增，在 Z)上递减 ∈Z)上递减 x＝2kπ (k∈Z)时， ymax π ＋2kπ x＝ 2 (k∈Z)时，ymax＝1； ＝1； 最值 π x＝ 2kπ＋π (k∈Z)时， － ＋2kπ x＝ 2 (k∈Z)时，ymin＝－1 ymin＝－1
值域
[点睛]
(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是
定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域 内不单调． (2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲 线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或 最小值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数． (2)存在x∈R满足sin x＝ 2. ( × ) ( × )
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
(2)sin 194°与cos 160°. π π 解：(1)cos －8 ＝cos ， 8
π π 13π π 2 π － － cos ＝cos 7 ＝cos 7 ＝cos7. 7
π π ∵0Байду номын сангаас ＜ ＜π，且y＝cos x在(0，π)上单调递减， 8 7
2π 7π ＋kπ， ＋kπ，k∈Z. 6 3
三角函数值的大小比较
比较下列各组数的大小： 15π 14π (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 与cos . 8 9 π 3π [解] (1)∵函数 y＝sin x 在2， 2 上单调递减，且 90°< 250°<260°<270°， ∴sin 250°>sin 260°. π 15π π 2 π － (2)cos ＝cos 8 ＝cos8 ， 8 4π 14π 4π 2 π － cos ＝cos 9 ＝cos 9 . 9 ∵函数 y＝cos x 在[0，π]上单调递减， π 4π 且 0< < <π， 8 9 π 4π 15π 14π ∴cos >cos ，∴cos >cos . 8 9 8 9 [典例]
(k∈Z)．
与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法： 采用“换元”法整体代换，将 ωx＋φ 看作一个整体，可令“z ＝ωx＋φ”，即通过求 y＝Asin z 的单调区间而求出函数的单调 区间．若 ω<0，则可利用诱导公式将 x 的系数转变为正数．
[活学活用] 求
π y＝cos3－2x的单调增区间．
π π y＝cos3－2x＝cos2x－3 ，
解：因为
π 所以令 π＋2kπ≤2x－ ≤2π＋2kπ，k∈Z， 3 2π 7π 得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. 3 6 所以函数
π y＝cos3－2x的单调增区间为
答案：C
(
)
4．函数y＝3＋2cos x的最大值为________．
答案：5
正、余弦函数的单调性
[典例]
[解]
π 求函数y＝3sin3－2x的单调递减区间．
π π ∵y＝3sin3－2x＝－3sin2x－3 ，
π ∴y＝3sin2x－3是增函数时， π y＝3sin3－2x是减函数．
∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7