北邮数理方程课件-第八章-Green函数法
Green公式及应用
D
单连通区域 D
复连通区域
单连通区域——不含有“洞”或“点洞”; 复连通区域——含有“洞”或“点洞”;
2. D的边界曲线L的正向规定
当观察者沿 L 的正向行走时, 区域 D 内离他近处的那 一部分总在他的左边.
D
D
3. Green公式 定理 设闭区域 D由分段光滑的曲线L围成,
P ( x, y), Q( x, y)在D上有一阶连续偏导数则 , Q P Pdx Qdy ( x y )dxdy, L D Q P 或 ( P cos Q cos )ds ( )dxdy. y L D x
作u( x , y) ( x
( x, y)
0 , y0 )
Pdx Qdy,
u u( x, y y) u( x, y) 则 lim y y0 y
lim
( x0 , y0 )
( x , y )
( x , y y )
( x y
( x, y)
0 , y0 )
L
Pdx Qdy
ASB
ASB
Pdx Qdy A
BRA
ARB
S
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
ARB
Pdx Qdy Pdx Qdy.
ASB
( 2) ( 3)
u u 要du( x, y) Pdx Qdy, 即 P ( x, y), Q( x, y) x y
c Q[ 2 ( y), y]dy c Q[ 1 ( y), y]dy
d
d
L Q( x, y)dy CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
格林函数法
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
10/20/2014
格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
10/20/2014
几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
场论与数理方程lesson8
在整个 域内 g 0，所以在 内
1 1 G g 4 rM 0 M 4 rM 0 M
即
1 0 G( M , M 0 ) 4 rM 0 M
性质4
格林函数 G( M , M 0 )在自变量 M 及参变量 M 0 之间
G(M1 , M 2 ) G(M 2 , M1 )
具有对称性，即设 M1, M 2为区域中的两点，则
三、调和函数的积分表达式：
1 u(M 0 ) 4 1 u(M ) n rM M 0 1 u( M ) dSM rM M n 0
其中点 M0 ( x0 , y0 , z0 )
四、格林函数
g (M , M 0 ) ，它在区域 内关于变量 M 是到处调和的， 1 并且在区域 的边界 上与函数 在边界 上的 4 rM 0 M
格林第二公式
u v (uv vu )d u v dS n n
g (M , M 0 ) |
1 | 4 rM 0 M
由格林第二公式得
g u g 式相减，就得到
1 ，故以 M 0为中心，适当小的 为半径作球 ， 4 rM 0 M
总可以使 G在 上为正。又G 在 及 围成的域内是调和
的，且
G | 0, G | 0
由极值原理知，在该域内 G 0 ，令 0 ，则知在整
个域 内 G 0 。
1 又 g 在 内处处调和且 g | 4 r 0 ，由极值原理知， M0M
值相同，即
若 u , v 均调和，则它们满足格林第一公式
u v u v u v v uvd u n dS x x y y z z d
green 公式 外法向量形式
green 公式外法向量形式Green公式是微积分中的重要定理，它以外法向量形式表达了曲线线积分和曲面面积分之间的关系。
在本文中将详细介绍Green公式的概念、推导过程以及应用。
Green公式是由英国数学家George Green在19世纪提出的，它是微积分中的一个重要定理。
它建立了曲线线积分和曲面面积分之间的联系，通过它我们可以将曲线上的线积分转化为曲面上的面积分，从而简化问题的求解过程。
我们来看一下Green公式的具体表达形式。
设D是一个有界闭区域，其边界为C，C是一个分段光滑的曲线，方向为逆时针方向，f(x,y)和g(x,y)是D上的连续可微函数，则Green公式可以表达为以下形式：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y)dA其中，∮C表示沿曲线C的闭合积分，∬D表示在区域D上的面积分，dA表示面积元素，(dx, dy)表示位移元素。
接下来，我们来推导一下Green公式的证明过程。
首先，我们可以将曲线C分成若干小段，记第i段的长度为Δs_i，方向为ΔC_i。
在每一小段上，我们将f(x,y)dx和g(x,y)dy分别展开为：f(x,y)dx = f(x_i,y_i)Δx_i = f(x_i,y_i)cosθ_iΔs_ig(x,y)dy = g(x_i,y_i)dy_i = g(x_i,y_i)sinθ_iΔs_i其中，(x_i,y_i)是第i段的起点坐标，(Δx_i,Δy_i)是位移矢量，θ_i是位移矢量与x轴的夹角。
然后，我们将上述展开式代入到Green公式中，得到：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∑[f(x_i,y_i)cosθ_i + g(x_i,y_i)sinθ_i]Δs_i使用极限的思想，当Δs_i趋近于0时，上述求和式可以看作是对曲线C的积分。
根据极限的性质，我们可以将曲线C的积分转化为曲面D的积分，即：∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y)dA至此，我们完成了Green公式的推导过程。
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
高等数学Green公式的应用
∂Q ∂P )dxdy − ∂x ∂y
的边界正向曲线． 其中 L 为 D 的边界正向曲线．
前一页 后一页
返回
为简单区域， 证明 设 D 为简单区域，即垂直 x 轴（或 y 轴）的 的边界至多只有两个交点， 直线与 D 的边界至多只有两个交点，则 D 可用不 等式表示为： 等式表示为：ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ) (a ≤ x ≤ b) 或
ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) ( c ≤ y ≤ d ) 如图 7- 38 ，由二重积分 38，
的计算有
图 7-38
b ϕ 2 ( x ) ∂P b ∂P dxdy = ∫ dx ∫ dy = = ∫ { P[ x , ϕ 2 ( x )] − P[ x , ϕ1 ( x )]} dx ∫∫ ∂y a ϕ1 ( x ) ∂y a D
第 六节
一、Gree n 公式 1、预备知识
Green 公式及其应用
（1 ） 单连通区域和复连通区域 若区域 D 内任 意一条封闭曲线所围部分仍属于 D ，则称该 区域为单连通区域；否则称其为复连通区域 区域为单连通区域； 为单连通区域， 如 {( x , y ) x 2 + y 2 < 2} 为单连通区域，而 图 7－36
2 、Green 公式 定理（ 公式） 为光滑（或分段光滑） 定理（Green 公式） 设 D 为光滑（或分段光滑）闭曲线 L 所围平面的闭 ： 区域， 上具有连续的一阶偏导， 区域，函数 P ( x , y ) ， Q( x , y ) 在 D 上具有连续的一阶偏导，则
∫
L
Pdx + Qdy = ∫∫ (
注 （1 ）
∂Q ∂P 上必须连续， ， 在 D 上必须连续，这 ∂x ∂y
green函数
(x, y) Ba
g
xBa
1
2
ln
1
x
xBa
G(x; ) 1 ln x 1 x * 2 x x 1*
19
第四节 特殊区域上边值问题的解
圆内Dirichlet问题
u f (x, y), (x, y) Ba
u (x, y)Ba (x, y)
u(,)
Ba
G(x,
y; , )
dS
x
u(
)
(
x;
)
f
(
x)dx
(
x;
)
(
x)
u(
x)
(x;
n
)
dS
x
相减，得
u( ) (x; ) g(x; ) f (x)dx (x;) g(x;) (x)dSx
10
引入函数
Green函数
G(x; ) (x; ) g(x; )
其中
g 0, x
g n
n
(x, )
Neumann问题 的解的积分表
4
1
x
xBa
G(x; ) 1 1 a 1 4 x 4 x *
15
上半平面上的Green函数
g 0,
(x, y) R2
g
y0
1
2
ln
1
x
y0
G(x; ) 1 ln x * 2 x
16
四分之一平面上的Green函数
g 0, x 0, y 0
g
y0
1
2
ln
1
x
, g 1 ln
x0 2
y0
1
x
x0
特殊区域的green函数
特殊区域的green函数
Green函数是当今互联网领域研究的热点课题之一。
它是一种算法，能够对复杂的系统提供可观察指标，帮助企业进行失控风险分析、工程优化、性能评估等工作。
Green函数利用理论物理、数学技术和计算机科学，在探索和试验阶段最大化系统的抗耗散能力，最大限度的强化了系统的一致性，减少了耗散现象的发生。
Green函数法可以用来实现对系统的动态可观察性，它将影响了系统应用的多变性和复杂性。
它可以更加准确的构建仿真的数据，更大的容差，可以将系统进行无限细致的分解，由此可以获得越来越准确而深入的见解，深入到系统结构及其它未知潜在因素。
Green函数法有助于企业在控制、优化和管理服务水平等领域取得突破性的成就。
借助Green函数，企业可以有效的利用它管理系统的资源，提高系统性能，并最大化系统的可持久性。
Green函数技术运用到系统中将增强系统的灵活性，能实现高效、轻松、稳定的系统控制，从而满足企业需求。
Green函数相当于企业把高精度技术融入系统中，系统就可以实现自动化，并在系统运行时进行越来越精准的运算和操控。
总之，Green函数是当今互联网领域的一项重要技术，它将大大提高企业的服务水平和服务质量，实现系统的智能化管理，更有效的实现对系统的管理与优化。
Green公式及其应用
成的图形的面积. 解： L ONA AMO.
ONA : y 0, x : 0 a.
M
AMO : y ax x, x : a 0. 1 S D ydx xdy 2 L 1 1 2 ONA 2 AMO
O
N
A( a ,0)
1 2 1 0 a 0 [( x ax ) x ( 1)]dx a . 2 a 2 ax 6
C
Pdx
a
L1
Pdx Pdx
L2
b x
P d . { P[ x , 2 ( x )] P[ x ,1 ( x )]}dx y a D
b
b
对一般的区域D, 可用辅助线把区域D分成几个小区域, 使每个小区域满足情形一, 则在每个小区域上, Green 公式 成立, 然后相加, 辅助线上的两个积分方向相反, 恰好抵消. y L1 Q P ( )d D1 x y D D1 D2 A B Pdx Qdy Pdx Qdy D2 L2 L1 AB BA L2
由Green 定理可知，
L l
xdy ydx 0, 2 2 4x y
（曲线积分点在曲线上）
xdy ydx xdy ydx I L 4 x2 y2 l 4 x 2 y2
1 2 a
l
xdy ydx
2 2 ( l所围的椭圆区域的面积 ) a
Green 公式是英国数学家、物理学家格林 George Green (1793-1841) 在1825年发现的, 是微积分基本公式在二重积分情形下的推广 .
证 情形一 : :区域D既是X 型的又是Y 型的.
green公式法
green公式法Green公式是数学分析中常用的一个重要定理，是微积分中的一种基本方法。
它的原理是通过将一个区域内的曲线或曲面的积分转化为该区域内的区域积分，从而简化计算过程。
在本文中，我们将介绍Green公式的定义、推导过程以及一些应用案例。
1. Green公式的定义给定一个平面区域D，边界为C。
设函数P(x, y)和Q(x, y)在D上具有连续的偏导数，那么Green公式可以表示为：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)其中，∂Q/∂x 和∂P/∂y 分别表示Q(x, y)和P(x, y)对x和y的偏导数，∬D 表示对D上的区域积分，∮C 表示对C上的曲线积分。
2. Green公式的推导为了推导Green公式，我们先假设区域D是简单闭合区域，即边界C是一个简单闭合曲线。
然后，将区域D划分为无穷多个小的区域，每个小区域都可看作是矩形区域。
通过对小矩形区域应用散度定理，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV其中，∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA 可以看作是在D上的曲面积分，∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV 则是在D的内部体积上的体积积分。
由于无穷小小矩形区域趋近于零，所以体积积分项在推导过程中可以忽略。
因此，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)通过以上推导，我们成功地得到了Green公式。
3. Green公式的应用案例Green公式在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用案例。
3.1 流场的流量计算假设在平面区域D上存在一个流场，流速由函数V(x, y)表示，那么流过闭合曲线C的总流量可以通过Green公式计算得出。
根据Green公式，我们有：∮C (V · n) ds = ∬D ( ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y) dA其中，V · n 表示V向量与曲线的法向量的点积，∂Vx/∂x 和∂Vy/∂y 分别表示Vx(x, y)和Vy(x, y)对x和y的偏导数。
§3Green公式曲线积分与路径无关性
§ 3 Green 公式 曲线积分与路径无关性一、 格林Green 公式Green 公式揭示了平面上某区域内的二重积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系. Green 公式是N--L 公式在 R 2中的推广.1 闭区域的正面与边界正向的规定平面上的单连通区域、多连通区域 P227—228在区域D 2R ⊂内，如果任意两条有同一起点和同一终点的曲线，其中一条总可以在D 内连续的变动为另一条，则称区域D 是单连通的；否则就是多连通闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P224图21--10. 若以L 记正向边界, 则用-L 或L -表示反向（或称为负向）边界.2 格林Green 公式及其证明定理21.11 设闭区域D 边界D ∂由光滑曲线或逐段光滑曲线组成. 若函数P 和Q 在闭区域D ⊂R 2上连续,且有连续的一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx dxdy y P x Q , （1）其中L 为区域D 的正向边界.证明 P224—226注 将格林Green 公式的证明过程分为几个习题，由同学们解答.然后老师小结.Green 公式又可记为⎰⎰⎰+=∂∂∂∂DL Qdy Pdx dxdy QP y x . 3 格林Green 公式的一个应用由逐段光滑封闭曲线所围区域D 的面积公式|D |⎰-=L ydx xdy 21, L 为D 的正向边界. （2）补例1 计算由星形线 ) 20 ( sin , cos 33π≤≤==t t b y t a x 所界的面积. 补例2 用Green 公式求曲线 a x y y x 333=+ 所围图形的面积.4 应用格林Green 公式简化某些二类曲线积分的计算举例有时用Green 公式，将二类曲线积分转化为二重积分来计算. 对环路积分, 可直接应用Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1 计算积分⎰ABxdy , 其中A , ) , 0 (r B ) 0 , (r . 曲线AB 为圆周222r y x =+在第一象限中的部分. （P226）解法1 ( 直接计算积分 ) 曲线AB 的方程为 20 , sin , cos π≤≤==t t r y t r x .方向为自然方向的反向. 因此⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=AB r t t r tdt r xdy 222022242sin 2121cos πππ. 解法2 ( 用Green 公式 ) 补上线段BO 和OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为D , 注意到∂D 为反向, 以及0=⎰BOA, 有⎰ABxdy ⎰⎰⎰⎰∂-=-=-=DBOADr dxdy xdy xdy 24π.例2 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界. （P226）解 2222),( , ),(yx xy x Q y x y y x P +=+-=. (P 和Q 在D 上有连续的偏导数). ()2222222yx x y y x y x y P +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, 22222)(y x x y x Q +-=∂∂. 于是, I =⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=D Ldxdy y P x Q 0.注 将此例推广为（参见P203） 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不通过原点的正向闭曲线.补例3 计算积分⎰++Ldy x y x dx xy )(22, 其中L 是由曲线 222 , x y x y ==,4 , 3==xy xy 所围区域D 的边界, 取正向.解 ,),(2xy y x P = x y x y x Q +=2),(. 1 , 12 , 2=∂∂-∂∂⇒+=∂∂=∂∂yP x Q xy x Q xy y P . ⎰⎰⎰=DLdxdy .作代换xy v x yu ==, 2, 在此代换之下 , 区域D 变为UV 平面上的区域 } 43 , 21|),( {≤≤≤≤='v u v u D .=-=∂∂xy x x yy x v u 2312),(),(u x y 332-=-, u v u y x 31),(),( =∂∂⇒. 于是,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'====DD Lu dv du dudv u dxdy 2143331 ⎰==21212ln 31ln 3131u u du . 补例4 计算积分⎰⎰-Dy dxdy e 2, D : 10 , 1≤≤≤≤x y x . 解 令2),( , 0),(y xe y x Q y x P -==, 有⎰⎰⎰∂+=DDdy y x Q dx y x P ),(),( .域D 为三角形, 三个顶点为O , ) 0 , 0 (A ) 1 , 1 (, B ) 1 , 0 (.⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==+=∂∂BOO ADDDdy y x Q dy y x Q dx y x P ),(),(),()1(21211101022----=-==⎰e e dx xe x x . 注 此例将二重积分化为二类曲线积分转来计算.二、曲线积分与路线无关性第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关. 对同一个起点和同一个终点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的. 在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和终点有关呢？下面我们先在平面中情形来讨论这个问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 Green函数法
8.2 基础训练
8.2.1 例题分析
例1求三维泊松方程的基本解．
解：Green函数满足的方程为
(8。
1) 采用球坐标，并将坐标原点放在源点上．
由于区域是无界的，点源所产生的场应与方向无关，而只是r的函数，于是式(8.1)简化为当时，方程化为齐次的，即
易于求得其一般解为
(8。
2) 取，不失一般性，得
(8。
3) 考虑的情形．为此，对方程(8.1)在以原点为球心、为半径的小球体内作体积分
从而
而由散度定理
为的边界面）
有
故
将式(8.3)的结果代入上式，得
代入式(8.3)，于是
例2求二维泊松方程的基本解．
解：格林函数满足的方程为
(8。
5) 采用极坐标，并将坐标原点放在源点上，则
与三维问题一样，G应只是r的函数，于是式(8。
5)简化为
(8。
6) 当时，解式(8。
6)，得
当时，在以原点为中心、为半径的小圆内对方程(8。
.5)两边作面积分，注意到二维情况下的散度定理为
为的边界）
类似于对三维情况的讨论，得
于是
(8.7)
例3求泊松方程在矩形区域内的狄氏问题的格林函数．
解：其格林函数的定解问题为
它是定解问题
当时的特例，而与定解问题(8-10) ~ (8.11)相应的本征值问题为
它的本征值和归一化的本征函数分别是
其中
在式(8.8)中，故根据式(8.7)，有
例4求解球的狄氏问题
(8.12)
解：此时方程的非齐次项，故由解的积分公式得定解问题(8.12)的解为
(8.13)
其中为球面，G为球的狄氏格林函数，它满足定解问题
(8.14)
故求u的问题就转化为求边界为球面的三维泊松方程的狄氏格林函数G的问题．而由上面所述的G的物理意义知，求G即要求在点置有正电荷的接地导体球内任意一点M处的电位，亦即要求感应电荷所产生的电位g，它满足
(8.15)
由物理学知识知，倘若在点关于球面的对称点（又称像点）放置一负点电荷，则由于在球外，它对球内电位的贡献必然满足拉氏方程．因此，只要适当选择q的大小，使之对边界面上电位的贡献与点的正电荷对边界面上电位的贡献等值，则对球内任一点电位的贡献即与g等效．为此，如图8-1所示，我们延长到，并记；
，使
即
则为关于球面的像点．显然，当M点在球面上时（如图8-2所示），,故有
(8.16)
从而有
即(8.17)
图8-1 图8-2
由式(8.17)可以看出，只要在点放置一负电荷，则它在球内直到球上任意一点
处（除外）所产生的电位，对于球内的任意一点M，均满足拉氏方程
且在边界面上亦满足式(8.15)的边界条件．所以
我们称这个设想的负点电荷为球内点所放置的正点电荷的电像；而称这种在像点放置一虚构的点电荷来等效地代替导体面或介面上的感应电荷的方法为电像法．将求得的g代入式(8.21)，便得到球的狄氏格林函数为
(8.18)
为了计算积分式(8.13)，引入球坐标变量．设
则(8.19)
(8.20)
其中为矢量和的夹角（见图8-1），所以
将式(8.19)和式(8.20)代入式(8.18)并对求导，则得
代入式(8.13)，于是得球的狄氏问题(8.12)的解为
（8.21)
称作球的泊松积分公式．
例5求上半空间的狄氏格林函数．
解：其定解问题为
(8.22)
其解可以写成
(8.23)
其中
(8.24)
为了求g，由电像法知，可在关于边界面的像点处放置一负电荷，使得它在上半空间中任意一点处所产生的电位与点的正点电荷在边界面上的感应电荷所产生的电位g等效．为此，只需
(8.25)
对比式(8.24)和式(8.25)知
注意到在边界面上，故由定解问题(8.24)中的第一个式子，有
于是
代入式(8.23)，得上半空间的狄氏格林函数为
(8.26)
类似地，可以得到定解问题
(8.27)
的解，即上半平面的狄氏格林函数为
(8.28)
8.2.2 习题
1求解上半平面的狄氏问题
2 求解上半空间的狄氏问题
3（1）用电像法求出圆的泊松方程的格林函数，是圆内的一点，满足
试证：
（2）在圆求拉普拉斯方程第一边值问题：
试证明：
以上分别是和的矢径，且是关于圆O的电像，故，在圆内，在圆外。
（3）在圆形域上求解，使满足边界条件。
4 求区间的格林函数，并由此求解狄利克雷问题：
其中为已知的连续函数，且。
5 求解下列边值问题
8.2.3 解答与提示
1 解：平面第一边值问题的格林函数满足定解问题
其解为
式中和是点和的矢径，且是关于平面的“电像”。
由图知道：
X
所以
代入解的积分公式，得到
2 解：这是一三维空间的问题。
可知三维问题
的解由三维积分公式
本题中，，为；为。
于是原定解问题的解为
其中
为函数。
由此可见欲求原定解问题的解，应先求出满足式的，再求出
之值，最后代入积分公式中计算积分。
①求
由电像法知，如下图所示，设在有一正电荷，则只要在对于的像点放一负电荷，则
②求
注意到是区域边界的外法向，于是
所以
将式中的与互换后代入式，于是原定解问题的解为
3（1）证明：作为静电学问题考虑，该定解问题表明，在圆内点处有一电量为的电荷（如图所示）。
它所生成的电势，其中是任意常数。
虽已满足此
方程，但并不满足齐次边界条件。
为了满足此齐次边界条件，在点关于圆的对称点处再放置一个电量为的点电荷，它所生成的电势是，其中是任意常数）。
由于点在圆之外，所以有
，（1）
因此，
（2）
其中是待定常数，它与，有关。
仍满足原定解问题中的方程。
现在适当选取，使（2）式满足，有，即
所以
于是
（2）证明：这种在平面上在点关于圆的对称点处再放置一等量异号电荷（现在电量为，是真空介电常数）使得由这两个点电荷所构成的系统在圆内与原问题等效的方法，称为电象法。
由题意可得该二维问题的解为
uρϕ=-
(,)
（3）解：令
， ，
， ，
，
，代入（2）的结果将积分化为
利用留数定理可得
从而
4 解：先求直角区域
的Green 函数，并由此求得
为此写出
令 ，其中 分别满足
解得
因而
（1） 令 ，由Green 第二公式得
其中 由题设 故积分式左端为
200()()(0)
(0,)0,
(,0)0xx yy G G x x y y y G y G x δδδ+=-=---≤<∞⎧⎨
==⎩
于是
5 解由二维Dirichlet积分公式，有
其中
而g满足
由电像法，如图8-6 所示，设在有一正电荷，若在关于y=0的对称点放一负电荷，便有
所以
将以上得到的和表达式中的与，互换位置后再代入到解的积分公式，得到
图8-6。