北邮数理方程课件-第八章-Green函数法

第八章 Green函数法

8.2 基础训练

8.2.1 例题分析

例1求三维泊松方程的基本解．

解：Green函数满足的方程为

(8。1) 采用球坐标，并将坐标原点放在源点上．

由于区域是无界的，点源所产生的场应与方向无关，而只是r的函数，于是式(8.1)简化为当时，方程化为齐次的，即

易于求得其一般解为

(8。2) 取，不失一般性，得

(8。3) 考虑的情形．为此，对方程(8.1)在以原点为球心、为半径的小球体内作体积分

从而

而由散度定理

为的边界面）

有

故

将式(8.3)的结果代入上式，得

代入式(8.3)，于是

例2求二维泊松方程的基本解．

解：格林函数满足的方程为

(8。5) 采用极坐标，并将坐标原点放在源点上，则

与三维问题一样，G应只是r的函数，于是式(8。5)简化为

(8。6) 当时，解式(8。6)，得

当时，在以原点为中心、为半径的小圆内对方程(8。.5)两边作面积分，注意到二维情况下的散度定理为

为的边界）

类似于对三维情况的讨论，得

于是

(8.7)

例3求泊松方程在矩形区域内的狄氏问题的格林函数．

解：其格林函数的定解问题为

它是定解问题

当时的特例，而与定解问题(8-10) ~ (8.11)相应的本征值问题为

它的本征值和归一化的本征函数分别是

其中

在式(8.8)中，故根据式(8.7)，有

例4求解球的狄氏问题

(8.12)

解：此时方程的非齐次项，故由解的积分公式得定解问题(8.12)的解为

(8.13)

其中为球面，G为球的狄氏格林函数，它满足定解问题

(8.14)

故求u的问题就转化为求边界为球面的三维泊松方程的狄氏格林函数G的问题．而由上面所述的G的物理意义知，求G即要求在点置有正电荷的接地导体球内任意一点M处的电位，亦即要求感应电荷所产生的电位g，它满足

(8.15)

由物理学知识知，倘若在点关于球面的对称点（又称像点）放置一负点电荷，则由于在球外，它对球内电位的贡献必然满足拉氏方程．因此，只要适当选择q的大小，使之对边界面上电位的贡献与点的正电荷对边界面上电位的贡献等值，则对球内任一点电位的贡献即与g等效．为此，如图8-1所示，我们延长到，并记；

，使

即

则为关于球面的像点．显然，当M点在球面上时（如图8-2所示），,故有

(8.16)

从而有

即(8.17)

图8-1 图8-2

由式(8.17)可以看出，只要在点放置一负电荷，则它在球内直到球上任意一点

处（除外）所产生的电位，对于球内的任意一点M，均满足拉氏方程

且在边界面上亦满足式(8.15)的边界条件．所以

我们称这个设想的负点电荷为球内点所放置的正点电荷的电像；而称这种在像点放置一虚构的点电荷来等效地代替导体面或介面上的感应电荷的方法为电像法．将求得的g代入式(8.21)，便得到球的狄氏格林函数为

(8.18)

为了计算积分式(8.13)，引入球坐标变量．设

则(8.19)

(8.20)

其中为矢量和的夹角（见图8-1），所以

将式(8.19)和式(8.20)代入式(8.18)并对求导，则得

代入式(8.13)，于是得球的狄氏问题(8.12)的解为

（8.21)

称作球的泊松积分公式．

例5求上半空间的狄氏格林函数．

解：其定解问题为

(8.22)

其解可以写成

(8.23)

其中

(8.24)

为了求g，由电像法知，可在关于边界面的像点处放置一负电荷，使得它在上半空间中任意一点处所产生的电位与点的正点电荷在边界面上的感应电荷所产生的电位g等效．为此，只需

(8.25)

对比式(8.24)和式(8.25)知

注意到在边界面上，故由定解问题(8.24)中的第一个式子，有

于是

代入式(8.23)，得上半空间的狄氏格林函数为

(8.26)

类似地，可以得到定解问题

(8.27)

的解，即上半平面的狄氏格林函数为

(8.28)

8.2.2 习题

1求解上半平面的狄氏问题

2 求解上半空间的狄氏问题

3（1）用电像法求出圆的泊松方程的格林函数，是圆内的一点，满足

试证：

（2）在圆求拉普拉斯方程第一边值问题：

试证明：

以上分别是和的矢径，且是关于圆O的电像，故，在圆内，在圆外。

（3）在圆形域上求解，使满足边界条件。

4 求区间的格林函数，并由此求解狄利克雷问题：

其中为已知的连续函数，且。

5 求解下列边值问题

8.2.3 解答与提示

1 解：平面第一边值问题的格林函数满足定解问题

其解为

式中和是点和的矢径，且是关于平面的“电像”。由图知道：

X

所以

代入解的积分公式，得到

2 解：这是一三维空间的问题。可知三维问题

的解由三维积分公式

本题中，，为；为。于是原定解问题的解为

其中

为函数。由此可见欲求原定解问题的解，应先求出满足式的，再求出

之值，最后代入积分公式中计算积分。

①求

由电像法知，如下图所示，设在有一正电荷，则只要在对于的像点放一负电荷，则

②求

注意到是区域边界的外法向，于是

所以

将式中的与互换后代入式，于是原定解问题的解为

3（1）证明：作为静电学问题考虑，该定解问题表明，在圆内点处有一电量为的电荷（如图所示）。它所生成的电势，其中是任意常数。虽已满足此