几种特殊的幂级数的收敛半径
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
幂级数收敛半径的公式
幂级数收敛半径的公式幂级数这玩意儿，在数学里可有点意思。
咱们今天就来好好聊聊幂级数收敛半径的公式。
先给您说个事儿，我之前给一群学生讲这个知识点的时候，有个叫小李的同学，那表情，简直就是一个大写的懵。
我就问他：“咋啦，小李同学？”他苦着脸说：“老师，这啥是幂级数收敛半径啊，感觉像外星人的语言。
”我一听，乐了，心想，得好好给他掰扯清楚。
那咱们就先来说说啥是幂级数。
幂级数就是形如∑an(x - x0)^n 的式子，这里的 an 是系数，x0 是一个给定的点。
而幂级数收敛半径呢，就是决定这个幂级数收敛还是发散的一个关键因素。
那怎么求这个收敛半径呢？常用的公式是 R = 1 / lim sup |an+1 / an| ，这里的 lim sup 表示上极限。
这公式看起来是不是有点让人头疼？别慌，咱们慢慢来。
比如说，有个幂级数∑n!x^n ，咱们来求它的收敛半径。
先看系数an = n! ，那 an+1 = (n + 1)! ，an+1 / an = (n + 1) 。
当 n 趋向无穷大时，这个比值也趋向无穷大，所以 1 / lim sup |an+1 / an| = 0 ，这就意味着这个幂级数的收敛半径是 0 ，也就是说，它只在 x = 0 这一点收敛。
再比如幂级数∑(1 / n)x^n ，an = 1 / n ，an+1 = 1 / (n + 1) ，an+1 / an = (n / (n + 1)) ，当 n 趋向无穷大时，这个比值趋向 1 ，所以 1 / lim sup |an+1 / an| = 1 ，这个幂级数的收敛半径就是 1 。
您看，通过这公式，是不是能比较清楚地算出收敛半径啦？回到开头说的小李同学，我给他举了这几个例子，一点点地解释，他终于有点开窍了，眼睛里不再是迷茫，而是有了一丝光亮。
后来他自己做练习题的时候，虽然一开始还是会出错，但多练了几次，也能熟练地运用这个公式了。
总之，幂级数收敛半径的公式虽然看起来有点复杂，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，其实也没那么难。
幂级数收敛域的方法
幂级数收敛域的方法
幂级数是一种重要的数学工具，其收敛性是研究幂级数的关键问题。
本文将介绍几种判定幂级数收敛域的方法。
首先是比值判别法。
通过计算幂级数相邻两项的比值的极限值，可以判断幂级数的收敛半径和收敛区间。
如果该极限值小于1，则收敛半径为正无穷，即该幂级数在整个实数域内收敛；如果该极限值大于1，则收敛半径为0，即该幂级数在原点处收敛；如果该极限值等于1，则需要进一步研究幂级数的边界收敛性。
其次是根值判别法。
通过计算幂级数的每一项的根值的极限值，可以判断幂级数的收敛半径和收敛区间。
同样，如果该极限值小于1，则收敛半径为正无穷；如果该极限值大于1，则收敛半径为0；如果该极限值等于1，则需要进一步研究幂级数的边界收敛性。
还有一种常用的方法是幂级数的积分判别法。
通过对幂级数逐项积分，可以得到一个新的幂级数，如果该新幂级数收敛，则原幂级数在积分区间内收敛；反之，如果该新幂级数发散，则原幂级数在积分区间内发散。
最后，还可以利用幂级数的特殊函数形式，如正弦函数、余弦函数、指数函数等，来判断幂级数的收敛域。
这需要结合幂级数的特殊性质和基本公式来进行推导。
综上所述，比值判别法、根值判别法、积分判别法和特殊函数形式法是判断幂级数收敛域的主要方法。
在实际应用中，需要根据具体问题选择适当的方法。
幂级数与收敛半径的计算与应用
幂级数与收敛半径的计算与应用幂级数是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义、收敛半径的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an * x^n)的无穷级数，其中an是常数系数，x是变量。
幂级数可以看作是一种特殊的函数表示方式，它可以展开为无限项的多项式。
二、收敛半径的计算方法收敛半径是幂级数收敛的一个重要指标，它决定了幂级数在哪些点上收敛。
收敛半径的计算方法有多种，其中比较常用的是根值法和比值法。
根值法是通过计算幂级数中各项的绝对值的n次方根的极限来确定收敛半径。
具体计算步骤是先计算an * x^n的绝对值的n次方根的极限，然后根据极限的值来判断幂级数的收敛性。
如果极限存在且大于0，则收敛半径为1/极限；如果极限不存在或者等于无穷大，则收敛半径为0；如果极限等于0，则需要进一步判断。
比值法是通过计算幂级数中相邻两项的比值的极限来确定收敛半径。
具体计算步骤是先计算an * x^n与an+1 * x^(n+1)的比值的极限，然后根据极限的值来判断幂级数的收敛性。
如果极限存在且小于1，则收敛半径为1/极限；如果极限大于1或者等于无穷大，则收敛半径为0；如果极限等于1，则需要进一步判断。
三、幂级数的应用幂级数在数学和物理等领域有广泛的应用。
以下是幂级数在实际问题中的一些应用示例：1. 泰勒级数：泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以将任意函数展开为无限项的多项式。
泰勒级数的应用十分广泛，可以用于函数逼近、数值计算和物理模型的建立等方面。
2. 物理模型：幂级数可以用于建立物理模型，例如在电路分析中，可以将电流或电压表示为幂级数的形式，从而简化计算过程。
3. 统计学：幂级数在统计学中也有应用，例如在概率分布的推导和分析中，可以使用幂级数展开来描述随机变量的概率分布。
4. 工程问题：幂级数可以用于解决工程问题，例如在信号处理中，可以使用幂级数展开来分析信号的频谱特性。
关于幂级数的收敛半径及其应用111.docx
关于幂级数的收敛半径及其应用1刖言在数学分析中曾学过一些关于幕级数的知识。
在这里我们将讨论由幕级数列◎n X-X Q I 所产生的函数项级数式函数的延伸。
幕级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面, 使我们对它的作用有许多新的认识。
下面我们将着重讨论X Q =0，即od、a n x n =a n +a 1x+a 2x + +a n x n + （2）n=0的情形，因为只要把（2）中的x 换成x-x 0，就得到（1）。
定理1 （阿贝耳定理） 若幕级数（2）在x=x 0丸 收敛，则对满足不等式|x<x 的 任何x ，幕级数（2）收敛而且绝对收敛；若幕级数（2）在x=x 时发散，则对满足不 等式x> X 的任何x ，幕级数（2）发散由此定理知道：幕级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以 2R 表示区间 的长度，则称R 为幕级数的收敛半径。
实际上，它就是使得幕级数（2）收敛的那些 点的绝对值的上确界。
所以当R=0时，幕级数（2）仅在x=0处收敛； 当R=+：：时，幕级数（2）在-：：,+：：上收敛;当0vRv+：：时，幕级数（2）在-R ，R 内收敛；对一切满足不等式x >R 的x ，幕 级数（2）都发散；至于x 二一 R ，（2）可能收敛也可能发散。
我们称-R, R 为幕级数（2）的收敛区间。
2幂级数的收敛半径怎么求得幕级数（2）的收敛半径，有如下几种方法。
2.1比值法' a n X -X Q n=0它称为幕级数, n2=a 0+a i x-x 0 +a ? x-x 0 +是一类最简单的函数项级数 +a n x-x0 +，（1）从某种意义上说，它也可以看作是多项=P ，则有lim Ja n 二P 。
因此，我们也常用比式判别法来 n _ic ¥ 退出幕级数(2)的收敛半径。
2.2根值法定理2对于幕级数(2)，若!^润=卩，(3)则当(i ) 0＜：、＜+：：时，幕级数(2)的收敛半径R 二丄；(ii )心0时，幕级数(2)的收敛半径R=+：：; (iii ) 「=+：：时，幕级数(2)的收敛半径R=0。
幂级数收敛半径的计算
幂级数收敛半径的计算幂级数是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算幂级数的收敛半径，以确定级数的收敛性和收敛范围。
本文将介绍如何计算幂级数的收敛半径。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an * x^n)的级数，其中an是常数系数，x是变量，n为自然数。
幂级数可以表示为：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ...其中，a0、a1、a2等为常数系数，x为变量，n为自然数。
二、幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指幂级数在哪些范围内收敛。
收敛半径的计算方法有多种，常用的有比值判别法和根值判别法。
1. 比值判别法比值判别法是通过计算幂级数相邻两项的比值的极限来确定收敛半径。
具体步骤如下：（1）计算幂级数相邻两项的比值：Rn = |an+1 / an|（2）计算该比值的极限：lim(n→∞) Rn = L（3）根据极限L的值判断收敛半径的情况：- 当L < 1时，幂级数绝对收敛，收敛半径为R = 1 / L；- 当L > 1时，幂级数发散；- 当L = 1时，比值判别法无法确定收敛半径，需要使用其他方法。
2. 根值判别法根值判别法是通过计算幂级数项的绝对值的n次方根的极限来确定收敛半径。
具体步骤如下：（1）计算幂级数项的绝对值的n次方根：Rn = (|an|)^(1/n)（2）计算该根值的极限：lim(n→∞) Rn = L（3）根据极限L的值判断收敛半径的情况：- 当L < 1时，幂级数绝对收敛，收敛半径为R = 1 / L；- 当L > 1时，幂级数发散；- 当L = 1时，根值判别法无法确定收敛半径，需要使用其他方法。
三、示例下面通过一个具体的例子来演示如何计算幂级数的收敛半径。
例：计算幂级数∑(n * x^n)的收敛半径。
（1）使用比值判别法计算：Rn = |(n+1) * x^(n+1) / (n * x^n)| = |(n+1) * x| / |n * x| = |(n+1) / n|lim(n→∞) Rn = lim(n→∞) |(n+1) / n| = 1根据比值判别法，当L = 1时，无法确定收敛半径。
幂级数的收敛半径
幂级数的收敛半径幂级数（power series）在数学中有着广泛的应用。
它是指形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$ 的级数，其中$a_n$ 是系数，$a$ 是常数，$x$ 是变量。
在讨论幂级数时，一个重要的问题就是确定该级数的收敛半径。
一、定义和性质给定一个幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$，我们可以定义其收敛半径（convergence radius）$r$，如下所示：若幂级数在$x=a$ 处收敛于一个有限值，则$r=0$；若幂级数对于任意的$x$ 都收敛于有限值，则$r=\infty$；若存在一个正数$r>0$，使得当$|x-a|<r$时，幂级数绝对收敛，而当$|x-a|>r$时，幂级数发散，则称$r$ 为幂级数的收敛半径。
在确定收敛半径时，我们可以使用一些常见的方法。
其中一个是使用Cauchy-Hadamard 定理，该定理给出了幂级数的收敛半径与系数$a_n$ 的增长特征之间的联系。
具体来说，对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$，我们可以计算出一个常数$R$，其中$R$ 满足以下条件：若$|x-a|<R$，则幂级数绝对收敛；若$|x-a|>R$，则幂级数发散；当$|x-a|=R$时，级数可能收敛，可能发散。
这个常数$R$ 就是幂级数的收敛半径。
为了计算收敛半径，我们可以使用以下公式：$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sup \sqrt[n]{|a_n|}}$其中的$\lim_{n \to \infty} \sup$ 表示当$n$ 趋向于无穷大时的上确界。
二、应用举例下面以两个具体的幂级数来说明收敛半径的计算方法。
例一：计算幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的收敛半径。
考虑该级数的系数$a_n = \frac{1}{n!}$。
幂级数收敛半径怎么求
幂级数收敛半径怎么求
求幂级数的收敛半径有几种方法：
1.利用根值测试：对于幂级数sumlimitsn=0inftyanxn，计算
limlimitsnrightarrowinfty sqrt[n]∣an∣，如果这个值存在并且为
R，则幂级数的收敛半径为R。
2.利用比值测试：对于幂级数sumlimitsn=0inftyanxn，计算
limlimitsnrightarrowinfty left∣dfracan+1an right∣，如果这个值存在并且为R，则幂级数的收敛半径为R。
除了根值测试和比值测试，还有一种方法可以用来计算幂级数的收敛半径，即利用柯西-阿达马公式。
这个公式可以用来求解幂级数的收敛半径，其计算方法如下：
首先，我们需要找到幂级数中的各项系数，记为an。
然后，我们可以根据柯西-阿达马公式得到一个与幂级数系数有关的方程，这个方程通常是一个等比数列的求和公式。
接下来，我们可以利用等比数列的求和公式解出该方程，得到收敛半径R的值。
通常情况下，收敛半径是一个与系数有关的表达式，可以进一步简化或求解。
需要注意的是，不同的幂级数可能有不同的收敛性，因此在实际计算中需要根据具体的幂级数选择适合的计算方法。
同时，这些方法也都有一定的局限性，例如根值测试和比值测试只能用于判断收敛性而不能得到具体的收敛半径，而柯西-阿达马公式则可能不适用于某些特殊形式的幂级数。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法进行计算。
关于幂级数的收敛半径及其应用111
关于幂级数的收敛半径及其应用1 前言在数学分析中曾学过一些关于幂级数的知识。
在这里我们将讨论由幂级数列(){}0a -nn x x 所产生的函数项级数 ()()()()20010200=0-=+-+-++a -+n n n n n a x x a a x x a x x x x ∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑，（1） 它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸。
幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识。
下面我们将着重讨论0=0x ，即212=0=+++++n n nn n n a x a a x a x a x ∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（2） 的情形，因为只要把（2）中的x 换成0-x x ，就得到（1）。
定理1（阿贝耳定理） 若幂级数（2）在0x =0x ≠收敛，则对满足不等式<x x 的任何x ，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在=x x 时发散，则对满足不等式>x x 的任何x ，幂级数（2）发散。
由此定理知道：幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R 表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径。
实际上，它就是使得幂级数（2）收敛的那些点的绝对值的上确界。
所以当=0R 时，幂级数（2）仅在=0x 处收敛；当=+R ∞时，幂级数（2）在()-,+∞∞上收敛；当0<<+R ∞时，幂级数（2）在()-R R ，内收敛；对一切满足不等式>x R 的x ，幂级数（2）都发散；至于=x R ±，（2）可能收敛也可能发散。
我们称()-R R ，为幂级数（2）的收敛区间。
2 幂级数的收敛半径怎么求得幂级数（2）的收敛半径，有如下几种方法。
2.1 比值法我们知道，若1lim n n n a a ρ+→∞=，则有n ρ。
因此，我们也常用比式判别法来退出幂级数（2）的收敛半径。
2.2 根值法定理2 对于幂级数（2），若n ρ，（3） 则当（i ）0<<+ρ∞时，幂级数（2）的收敛半径1=R ρ；（ii ）=0ρ时，幂级数（2）的收敛半径=+R ∞；（iii ）=+ρ∞时，幂级数（2）的收敛半径=0R 。
收敛半径的求法
R .
例2 求幂级数 [2 (1)n]( x 1)n 的收敛半径.
n1
分析：
lim an1 n an
lim
n
2 1 n1 2 1n
不存在。
解
幂级数 2( x 1)n 的收敛半径：
n1
lim an1 1 n an
R1 1
幂级数 (1)n( x 1)n 的收敛半径：
n1
x 2n1
lim n
2n1
x 2 n1
2n
1 x2, 2
当 1 x2 1时， 即 x 2 时
2
原级数收敛; 当 1 x2 1时，即 x 2 时，级数发散;
2
原级数的收敛区间为 ( 2, 2)。
小结：若 lim n
an1 an
存在，则
Rk 1 .
其中k>0是x相邻两项幂次差。
四、小结：幂级数收敛半径的求法
lim an1 n an
1 n1
lim n
1n
1
R2 1
所求幂级数的收敛半径 R max(R1, R2 ) 1
原幂级数收敛半径为1。
化整为零，逐个击破。
例3
求幂级数
n1
x 2 n1 2n
的收敛区间。
分析： 缺少偶次幂的项，不能直接用求
收敛半径的公式。 解 应用达朗贝尔判别法
lim un1( x) n un ( x)
收敛半径R=1.
问题： 如何求 anxn 的收敛半径？
n0
分析：
幂级数 an xn , n0
如果 lim an1存 在 ，
n an
lim
n
an1 x n1 an xn
lim an1 x n an
什么是幂级数的收敛半径和收敛域
什么是幂级数的收敛半径和收敛域
幂级数是一种形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数，其中$a_n$为常数，$x$为变量。
对于幂级数，我们需要研究它的收敛性以及收敛的范围。
其中，收敛半径和收敛域是重要的概念。
收敛半径是指幂级数收敛的最大范围，收敛域是指幂级数收敛的所有取值范围。
对于一个幂级数$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$，我们可以利用以下公式求出它的收敛半径$R$：
$$R =lim_{n rightarrow
infty}left|frac{a_n}{a_{n+1}}right|$$
其中，$a_n$表示幂级数中$x^n$的系数。
需要注意的是，当$R$为无穷大时，幂级数收敛于整个实数轴；当$R$为0时，幂级数只在$x=0$处收敛；当$R$为有限值时，则有一个收敛域$(-R, R)$。
对于收敛半径为$R$的幂级数，我们可以通过以下方式求出它的收敛域：
1. 当$x=-R$时，幂级数可能收敛，也可能发散；
2. 当$x=R$时，幂级数可能收敛，也可能发散；
3. 当$-R<x<R$时，幂级数必定收敛。
需要注意的是，当$x=-R$或$x=R$时，我们需要进一步进行比较测试来确定幂级数的收敛性。
总之，幂级数的收敛半径和收敛域对于理解和分析幂级数的性质和应用至关重要。
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收敛半径收敛区间收敛域
收敛半径收敛区间收敛域【收敛半径、收敛区间、收敛域】 - 探究复数级数的收敛性1. 引言复数级数是数学中一个重要的研究对象，它由一系列复数按照一定的规律相加而成。
在研究复数级数的收敛性时，我们经常会遇到收敛半径、收敛区间和收敛域等概念。
本文将深入探究这些概念，并讨论它们在复数级数中的应用。
2. 收敛半径收敛半径是指复数级数在特定区域内绝对收敛的半径范围。
设复数级数为∑(aₙzⁿ)，其中aₙ是级数的项，z为复变量。
收敛半径的计算方法可以通过柯西－阿达玛公式得到：R = 1/lim sup (∛|aₙ|)其中lim sup (∛|aₙ|)表示最大解趋于无穷时的上极限。
在计算收敛半径时，我们需要根据级数的形式选择不同的收敛判别法，并结合柯西－阿达玛公式来求解。
3. 收敛区间收敛区间是指使复数级数在某个区间内绝对收敛的一组复数的集合。
若收敛半径为R，那么收敛区间可以通过以下方式来确定：将复变量z 与原点的距离表示为r，则当r<R时，级数绝对收敛；而当r>R时，级数发散。
可以得知，收敛区间为以原点为中心、收敛半径为半径的圆盘。
4. 收敛域收敛域是指使复数级数在该域内收敛的一组复数的集合。
收敛域是收敛区间与复平面上的剩余区域的结合，即复变量z存在于该域中的某一范围内，级数才会收敛。
5. 应用举例在实际问题中，我们可以运用收敛半径、收敛区间和收敛域的概念来研究复数级数的性质。
当我们需要求解某个函数的幂级数展开式时，计算收敛半径和收敛区间可以帮助我们确定该函数在哪些区间内是充分收敛的。
这对于在某个特定区域内进行精确计算是非常有益的。
6. 理解与观点收敛半径、收敛区间和收敛域是研究复数级数收敛性的重要工具，它们帮助我们确定级数在哪些区域内是绝对收敛的，这对于数学分析和工程应用都有着重要意义。
个人认为，在使用复数级数进行问题求解时，我们应该注意确定收敛的范围，以免结果不准确或发散。
了解和理解收敛半径、收敛区间和收敛域的意义有助于我们在数学分析中更好地理解和应用。
幂级数收敛半径的若干性质
证
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"$$" 6 $( 6 $( ! ［收稿日期］ 张 鸣 （’?># 6 ） ， 男， 辽宁辽阳人， 郧阳师范高等专科学校数学系副教授， 主要从事实分析和复分析教学研究 % " ［作者简介］
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由正项级数敛散性的根值检验法知级数 （ !） ! 时为绝对收敛 （当然收敛） ， 在 ! # ! ! ! 时级数发散， 因此 $ % " ! ! 如果! % # ， 则对一切实数 ! ， 均有 在 ! "
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例 7
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幂级数奇数项和偶数项收敛半径
幂级数奇数项和偶数项收敛半径
对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，其收敛半径由Cauchy-Hadamard公式给出：
$$
R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}
$$
其中，$\limsup_{n \to \infty}$表示上极限。
现在我们要分别讨论幂级数的奇数项和偶数项的收敛半径。
1. 奇数项收敛半径
对于奇数项的幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n+1}x^{2n+1}$，我们令$b_n = a_{2n+1}$，则幂级数可重写为
$\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$。
根据Cauchy-Hadamard公式，奇数项幂级数的收敛半径为：
$$
R_{\text{奇}} = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|b_n|}} $$
2. 偶数项收敛半径
对于偶数项的幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}x^{2n}$，我
们令$c_n = a_{2n}$，则幂级数可重写为$\sum_{n=0}^{\infty}
c_nx^n$。
根据Cauchy-Hadamard公式，偶数项幂级数的收敛半径为：
$$
R_{\text{偶}} = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}} $$
需要注意的是，虽然这两个收敛半径在理论上可以不同，但在实际应用中，对于同一个幂级数，奇数项和偶数项的收敛半径通常是相等的。
幂级数的收敛区间
幂级数的收敛区间
幂级数是一类特殊的函数表达式，其中包含有无穷个幂函数的和。
在数学上，对幂级数的研究可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些数值范围内收敛，即幂级数的和是有限的。
幂级数的收敛区间受到幂级数的系数和底数的影响，因此需要通过一系列数学方法来确定幂级数的收敛区间。
一般来说，幂级数的收敛区间可以通过求解幂级数的收敛半径来得到。
幂级数的收敛半径是一个正实数，表示幂级数在该点附近收敛的程度。
如果幂级数的收敛半径为R，则幂级数在（a-R,a+R）范围
内收敛，而在（a-R，a-R）和（a+R，+∞）范围内发散。
确定幂级数的收敛区间通常需要使用根值测试、比值测试、积分测试等方法。
在使用这些方法时需要注意判断幂级数的系数是否满足一定的条件，以避免误判幂级数的收敛区间。
总之，幂级数的收敛区间是幂级数研究的重要内容之一，对于理解函数的性质和应用数学方法解决实际问题具有重要意义。
- 1 -。
收敛半径的公式
收敛半径的公式
收敛半径是一种用于测量数值级数收敛性的重要概念。
数学中，级数是由一系列数相加而成的表达式，而级数的收敛性指的是当这些数相加时，结果是否趋于一个确定的值。
收敛半径是指级数收敛的最大范围，超出该范围时级数就不再收敛。
在数学中，有一个名为柯西-阿达玛公式的公式可以用来计算级数的收敛半径。
该公式如下：
$$
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
$$
其中，$a_n$ 是级数的第$n$ 项系数。
该公式的基本思想是，通过计算级数中各项系数的极限，来确定级数的收敛半径。
需要注意的是，柯西-阿达玛公式只适用于一些特定的级数，如幂级数和一些特殊级数。
对于其他类型的级数，可能需要采用其他的方法来计算收敛半径。
总之，收敛半径是一个十分重要的概念，能够用来判断级数的收敛性，柯西-阿达玛公式是一种常用的计算收敛半径的公式。
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总18卷 第4期
宝鸡文理学院学报(自然科学版)
V o l
.18 N o .41998年12月
Journal of Bao ji Co llege A rts and Science (N atural Science )
D ec .1998
几种特殊的幂级数的收敛半径
Ξ
黄德隆
(宝鸡文理学院数学系 陕西宝鸡 721007)
阿贝尔(A bel )定理为幂级数收敛半径的存在确立了理论依据,“比值法”等为确定幂级
数收敛半径提供了具体的方法,本文依据这个理论证明了几种特殊幂级数收敛半径的确定结果。
命题1 设级数6∞
n=0
c n 收敛,
6
∞n=0 c n 发散,则幂级数6∞
n=0
c n z n 的收敛半径为1证明:设级数6∞
n=0c n 收敛,即幂级数6∞
n=0c n z n 在z =1收敛,由阿贝尔定理知,幂级数6∞
n=0
c n z n
在 z <1内收敛。
任取z 1使 z 1 >1,若6∞
n=0
c n z n 1收敛,则对于满足 z < z 1 的z ,6
∞
n=0
c n z n 收敛,
特别地,当z =1时6∞
n=0 c n 收敛,矛盾,所以,幂级数6∞
n=0
c n z n 的收敛半径R =1。
命题2 如果幂级数6∞
n=0c n z n 的收敛半径为R ,则6∞
n=0
(R ec n )z n 的收敛半径≥R 。
证明:因为6∞
n=0c n z n 的收敛半径为R ,所以,对于任意的z 。
( z 0 <R )级数6∞
n=0
c n z n 0 收敛。
由于 (R ec n )z n 0 ≤ c n z n 0 ,故6∞
n=0
(R ec n )z n
0 收敛,6
∞
n=0
(R ec n )z n 0收敛,所以,
6
∞
n=0
(R ec n )z n 0的收敛半径≥R
同理可证,
6
∞
n=0
(I m c n )z n 的收敛半径≥R .
命题3 如果幂级数6∞
n=0
c n z n 的系数c n 是整数,且c n 中有无穷多个不为零,则此幂级数的
收敛半径R ≤1.
证明:任取z 1,使 z 1 =1,则
c n z n 1 =
c n ≠0
c n =0
c n ≠0所以li m n →∞ c n z n 1 ≠0,故6∞
n=0c n z n 1发散,所以级数6∞
n=0
c n z n
的收敛半径R ≤1
.Ξ收稿日期:1997-11-21
命题4 若级数6∞
n=0c n z n 的系数c n 满足条件li m n →∞c n =0,则其收敛半径R ≥1.
证明:由li m n →∞
c n =0,所以当n 充分大时 c n <1
于是, c n z n < z n
因为6∞
n=0z n
在 z <1收敛,所以6∞
n=0c n z n
在 z <1收敛,故6∞
n=0
c n z n 的收敛半径R ≥1.
命题5 若函数f (z )在圆 z <1内解析,f (0)=0,则级数6∞
n=1
f (z n )的收敛半径≥1.
证明:任取正实数r ,使r <1,则当 z ≤r ,有M >0,使 f (z ) <M ,在 z ≤r 内应
用S chw a rz 引理得 f (z n ) ≤M r
z n ≤M r
n-1
因为6∞
n=1M r n-1收敛,所以6∞
n=1
f (z n )在 z ≤r <1收敛,故其收敛半径≥1.
下面的命题给出了幂级数在收敛圆周上一点收敛与幂级数收敛域之间的关系。
命题6 如果级数6∞
n=0
c n z n 在收敛圆周上一点z 0处绝对收敛,则它在收敛圆周所围的闭区
域上绝对收敛。
证明:设级数6∞
n=0
c n z n 的收敛半径为R ,由阿贝尔定理知,级数在 z <R 内绝对收敛。
由6∞
n=0
c n z n 0 收敛, z 0 =R ,任取z 1,使 z 1 =R ,z 1≠z 0,因为 c n z n 1 = c n z n
z 1
z 0
= c n z n 0 所以6∞n=0 c n z n 1 收敛,由z 1的任意性知6∞
n=0
c n z n
在 z =R 上绝对收敛,从而在 z ≤R 上绝对收敛。
以上讨论的是,已知幂级数求其收敛半径。
如果已知函数f (z )以及需要将f (z )在z =z 0处展成幂级数,确定此幂级数的收敛半径时,可以不必具体求出这个幂级数,而去求f (z )
的奇点z i (i =1,2,…,n ),便可得到这个幂级数6∞
n=0c n (z -z o )n 的收敛半径R =m in 1≤i ≤n z i -z 0
如f (z )=11-z-z
2,以z =-1±
5
2为奇点,所以f (z )在z 0=0处的级数展开式6∞
n=0
c n z n 的
收敛半径R =5-1
2
,而f (z )在z 0=52
的级数展开式6∞
n=0
c n (z -52
)n 的收敛半径R =
12。
参考文献
1.西安交大编.工程数学,复变函数.北京:高等教育出版社,1996
2.庄圻泰,张南岳编.复变函数.北京:北京大学出版社,1984
(校对 李峰伟)
3
7 第4期 黄德隆 几种特殊的幂级数的收敛半径。