2017年上海浦东新区高考数学二模

浦东新区2016学年度第二学期教学质量检测

高三数学试卷

2017.4

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合201x A x

x ⎧-⎫

=≥⎨⎬+⎩⎭

，集合{|04}B y y =≤<，则A B =____________.

2. 若直线l 的参数方程为44,23x t

t y t

=-⎧∈⎨

=-+⎩R ，则直线l 在y 轴上的截距是____________.

3. 已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____________.

4. 抛物线2

14

y x =

的焦点到准线的距离为____________. 5. 已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫

⎪-⎝⎭

，则3x y -=____________.

6. 若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________.

7. 已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________. 8. 函数3sin ,0,62y x x ππ⎛⎫⎡⎤

=-∈

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

的单调递减区间是____________. 9. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1

lim

n

n n n S a a →∞+=____________.

10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③在

[1,1]-

上的表达式为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1

2

2,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为____________.

11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足：*11(2)(1)0()n n n n a a a a n ++--=∈N ，且110a a =，则首项

1a 所有可能取值中的最大值为____________.

12. 已知平面上三个不同的单位向量 ， ， 满足 · = · =12

，若 为平面内的任意单位向量，则

的最大值为____________.

二、选择题(本大题共有 4 小题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.

13、若复数z 满足2=-++i z i z ，则复数z 在平面上对应的图形是（ ）

A.椭圆

B.双曲线

C.直线

D.线段

14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，给出下列4个平面图：

则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）

A.（1）（3）（4）

B.（2）（4）（3）

C.（1）（3）（2）

D.（2）（4）（1）

15、已知x x cos 1sin 2+=，则=2

cot

x

（ ） A.2

B.2或

21

C.2或0

D.

2

1

或0 16、已知等比数列1a ,2a ,3a ,4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）

A.)83(，

B.)162(，

C.)84(，

D.)622(，

三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）

17. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴

的正半轴交于,,A B C 三点.

已知球面上一点10,2D ⎛

⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；

（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小.

18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23

AOB π

∠=

，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积. （2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧 所在圆的圆心且23

DCE π

∠=），其面积为2S ；

试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.

19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知双曲线22

:143

x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；

（2）设直线l 过点P ，其法向量为 =(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离

均为d ，求d 的值.

20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有k

n n A A =+1()0≠k ，且0≠n A ，则称数列{}n A 为“k 级创新

数列”.

（1）已知数列{}n a 满足n n n a a a 222

1+=+且2

1

1=

a ，试判断数列{}12+n a 是否为“2级创新数列”，并说明理由；

（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若101=b ，求数列{}n b 的前n 项积n T ;

（3）设βα,是方程012

=--x x 的两个实根)(βα>，令α

β

=

k ，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项n b

n n T c n

log 1⋅=-β，求证：n n n c c c +=++12，*

N n ∈.

21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数. 已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，0)0(=f .

（1）已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0u -为方程

[]1)(sin -=x g 的解”；

（2）若2

)(π

=

a f ，2

)(π

-

=b f ，求b a +的值；

（3）证明：)(x f 是奇函数.