离散数学 第二章练习题答案

一、 选择题

1．下列四个公式正确的是

①)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀⇒∧∀ ②)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀⇒∨∀

③)()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇒∨∃ ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∃⇒∃∧∃

A.①③

B.①④

C.③④

D.②④

2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )

(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C ) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q

3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是（ ）

(A ) 永真式 (B) 矛盾式

(C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式

4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )

(A ) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y

(C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x

5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ∀∧∃在中消去量词后应为 ( )

(A) ()()P x S x ∧ (B ) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨

(C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨

6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( )

(A) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∀⇔∀∃ (B ) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∃⇔∃∃

(C) (,)(,)x yA x y x yA x y ∃∀⇔∀∃ (D) (,)(,)x yA x y y xA x y ∀∀⇔∀∀

7.下列各式不正确的是( )

(A ) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇔∀∨∀

(B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∧⇔∀∧∀

(C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∃∨⇔∃∨∃

(D) (())()x P x Q xP x Q ∀∧⇔∀∧

8. 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b}, 0

1 0 1b) P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P 则在解释I 下取真值为1的公式是( ).

(A) ∃x ∀yP(x,y) (B)∀x ∀yP(x,y) (C)∀xP(x,x) (D )∀x ∃yP(x,y).

9. 设个体变元z y x ,,的论域都为自然数集合，(,,):,P x y z x y z +=

(,,),(,):Q x y z x y z R x y x y ⋅=<：，则以下命题中（ ）是假命题.

A ．),0,(x x xP ∀

B ．),,(y y x yP x ∀∃

C ．),,(x x y yQ x ∃∀

D ．)0,(x xR ∀

10. 下面不是命题的是（ ）

A ．()xP x ∀

B ．()()x P x ∃

C ．()()()x P x P y ∀∨

D ．()()(()())x y P x R y ∃∃→

11公式()()()()x P x x Q x ∀→∀的前束范式为（ ）

A ．()()(()())x y P x Q y ∀∀→

B ．()()(()())x y P x Q y ∀∃→

C ．()()(()())x y P x Q y ∃∀→

D ．()()(()())x y P x Q y ∃∃→

12. 公式()(())x P x Q ∀↔⇔（ ）

A ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∀

B ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∃

C (()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∀

D ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∃

13. ()()(,)x y P x y ∀∃的否定是（ ）

A ．()()(,)x y P x y ∀∀⌝

B ．()()(,)x y P x y ∃∀⌝

C ．()()(,)x y P x y ∀∃⌝

D ．()()(,)x y P x y ∃∃⌝

14.下列谓词公式与()(()())x A x B x ∀↓等价的是（ ）

A ．()()()()x A x x

B x ∀↓∀ B ．()()()()x A x x B x ∀↑∀

C ．()()()()x A x x B x ∃↓∃

D ．()()()()x A x x B x ∃↑∃

15.在谓词演算中，()P a 是()xP x ∀的有效结论，其理论依据是（ ）

A ．US

B ．UG

C ．ES

D ．EG

16. 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x

(A) P 是真命题 (B ) P 是假命题

(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式

二、填空题

1. 设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：

(1) ()x y xy y ∀∃= ( 0 ) (2) ()+x y x y y ∃∀= ( 0 )

(3) ()+x y x y x ∃∀= ( 0 ) (4) (2)x y y x ∀∃= ( 1 )

2. 谓词公式()((,)())()((,)()())x P x y Q z y R x y z Q z ∀∨∧∃→∀中量词∀x 的辖域是

3. 公式()(()(,)()(,))()x P x Q x y z R y z S x ∀→∨∃→中量的自由变量为 x,y 约束

变量为 x,z

4. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 .

A (1)∨A (2)∨(

B (1)∧B (2)) .

5. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为

. (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))

6. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自

然数”符号化为 (()())(()())x N x Z x x Z x N x ∀→∧∃∧⌝

7. 谓词公式∀x (F (x )→G (x ))∧⌝∀y (F (y )→G (y ))的类型是 永假式 ．

8. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则∀x (P (x )∨Q (x ))的真值是 1

9.只用联结词,,⌝∀→表示以下公式

()(()())x P x Q x ∃∧= ()(()())x P x Q x ⌝∀→⌝

()(()()())x P x y Q y ∃↔∀= ()((()()())(()()()))x P x y Q y y Q y P x ⌝∀→∀→⌝∀→ ()(()()())y x P x Q y ∀∀∨⌝= ()(()()())y Q y x P x ∀→∀