模糊集的基本运算
毕业设计107模糊逻辑控制系统的数学基础1
2. 模糊控制系统数学基础2.1 模糊集合的定义及表示方法 2.1.1 模糊集合的定义扎德(Zadeh)曾对模糊集合作如下的定义:设给定论域U,U 到[0,1]闭区间上的映射μA 都确定U 的一个模糊子集μA ： U →[0，1]U →μ(u)μA 称之为 A 的隶属函数，μA （u ）称之为U 对A 的隶属度。
隶属函数μA （x ）表示元素x 属于A 的程度，若μA （X ）=1，则表示X 完全属于A ，若μA （X ）=0，则表示X 完全不属于A ，若μA （x)=0.5,则表示x 属于A 的程度只有了0.5。
2.1.2 模糊子集的表示方法 模糊子集有如下的表示方法：1)、当论域U 为离散有限集{X1,X2,...,Xn},此时,A 有两种表示方法:(1) 扎德表示法A=a1/x1+a2/x2+...+an/Xn;若有ai=0时,则可以省略。
式中“ai/Xi ”不是分数，仅表示“元素Xi属于A 的隶属度为ai ”；符号“+”也不是普通加法，仅仅是一个记号。
（2） 向量表示法A=（a1,a2,....,an);式中向量的次序是不能颠倒的，并且隶属度为零也不能省略。
2). 论域是离散无限域（1） 可数情况：扎德表示法A~∑⎰∞∞∞===111)(~)(~)(~~uiui A ui ui A ui ui A A其中U={u1,u2,…,un},μA(ui)=A(ui)。
这里“∑”，“U ”，“∫”仅仅是符号；A （ui ）/ui 也不是分数。
（2）、 不可数情况：扎德表示法其中“∫”不是积分号；A(u)/u 也不是分数； μA （u ）=A(u)。
3)、论域是连续域扎德表示法特别当U 是一个实数区间时，其上的模糊集可用普通的实函数表示。
[9]2.2 模糊集合的运算以及性质 2.2.1 模糊子集的运算由于模糊子集的特征函数是它的隶属函数，所以，进行两个模糊子集运算时通常都是逐点对其隶属度进行相应的运算。
模糊数学2运算分解定理
38
λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则 Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x) ⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
39
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集，
,当u A
0,当u A
46
1-5. 分解定理
47
三大定理
分解定理 表现定理 扩张原理
48
1-5 分解定理
分解定理是把模糊集合论的问题化 为经典集合论的问题来求解
模糊集合 水平截集
经典集合
49
分解定理Ⅰ
分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子 集， Aλ是A的λ截集，λ ∈[0，1]，则 如下分解式成立：
[0,1]
A U H () [0,1]
54
分解定理Ⅲ的证明（2）
2)1 2 H (1) H (2 ) 证明：H (1) A1 A2 H (2 )
A1 A2是截集的性质
55
分解定理Ⅲ的证明（3）
3) A I H ( ) ( 0), A U H ( ) ( 1)
24
课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g 求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A
故上式 [ ] [ 0] A(x)
经典集合与模糊集合汇总
xi
x1
x2
xn
如果论域U 是无限不可数集，F 集合A可表示为：
A A(xi ) xi 注意上述试中的数学符号所表示的意义。
3)向量法 若论域中的元素有限且有序时，可以把各元素的隶属度类似于 向量的分量排列起来表示F集合，这样F集合相当于一个向量， 其分量就是各元素的隶属度取值，故也称F集合A为F向量A,表 示为:
F集合A的支集和核，都是经典集合。
2)数与集合A的数积 设A (U), [0，1]，x U。可以定义一个新的集合“A”,
它满足以下条件：
( A)(x) A(x) 称 A为数与集合A的数集。
把一个F集合A的隶属函数A（x）、支集SuppA、核KerA及
它和数的数积A，一并画在图上，可以看出它们的意义以及
C(x) A(x) B(x) max[A(x), B(x)] 则称C为A和B的并集，记作C A B。符号“”表示对 两边的值做取大运算。
6.模糊集合间的交集 若A, B,C （U）,x U ,均有：
C(x) A(x) B(x) min[A(x), B(x)] 则称C为A和B的并集，记作C A B。符号“”表示对 两边的值做取小运算。
A ( A(x1), A(x2 ), , A(xn ))
注：用向量表示法时，同一论域上各集合中元素隶属度的排列 顺序必须相同，而且隶属度等于零的项不得省略。
3)函数法
当论域U 是无限不可数集时，根据F 集合A的定义，完全可以用 它的隶属函数A（x）来表征它.
例子2-1
设论域U {1，2，3，4，5}, A表示“靠近4的数集”，则A就是F集合。 已知论域U中各元素隶属于A的程度A（xi）,试用F集合的各种 表示方法表示出F集合A。
《模糊数学教案》课件
《模糊数学教案》课件一、教学目标1. 让学生了解模糊数学的基本概念和原理，理解模糊集合及其表示方法。
2. 培养学生运用模糊数学解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对模糊数学的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识。
二、教学内容1. 模糊集合的概念及其表示方法2. 隶属度函数的概念及性质3. 模糊集合的基本运算4. 模糊集合在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：模糊集合的概念、隶属度函数的性质、模糊集合的基本运算。
2. 难点：隶属度函数的绘制方法、模糊集合在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动参与课堂。
2. 利用多媒体课件、板书等教学手段，生动形象地展示模糊数学的概念和应用。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，如“天气预报”等，引出模糊数学的概念。
2. 讲解模糊集合的概念及其表示方法，引导学生理解并掌握相关概念。
3. 讲解隶属度函数的概念及性质，并通过实例让学生绘制隶属度函数。
4. 讲解模糊集合的基本运算，让学生了解并掌握运算方法。
5. 分析模糊集合在实际问题中的应用，让学生体会模糊数学的价值。
6. 课堂练习：布置相关题目，让学生巩固所学知识。
8. 课后作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 课堂练习：分析学生课堂练习的正确率，了解学生对模糊数学概念和运算的掌握情况。
4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，考查学生的合作能力和创新思维。
七、教学拓展1. 模糊数学在领域的应用，如模糊控制、模糊识别等。
2. 模糊数学在其他学科领域的应用，如生物学、化学、物理学等。
3. 国内外模糊数学的研究动态和最新成果。
八、教学反思2. 分析学生的学习反馈，调整教学内容和教学方法。
模糊集合及其运算
40
31 0.78 110 85 0.75
50
39 0.78 120 95 0.79
60
47 0.78 129 101 0.78
70
53 0.76
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别： 模糊统计：变动的圆盖住不动的点 概率统计：变动的点落在不动的圆内
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u 0 对A的隶属度：
* u A 的次数 0 A ( u )lim 0 n n
例 取年龄作论域 X，通过模糊试验确定 x0= 27(岁)
对模糊集“青年人” A 的隶属度。
张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求
每个被调查者按自己的理解确定“年青人” (即 A)
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
（3）模糊矩阵的转置
T ( a ) , 定义：设 A 称 A (aji )nm为A的 ij m n
转置矩阵。 （4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A 对任意的 称 [ 0 , 1 ], ( a ) , ij m n
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .8
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
模糊控制的数学基础-1(2-16至2-30)模糊运算、分解定理
从中可见，随着实验次数n 的增加，27岁对“青年人”的频率基本稳定在0.78附近，近似可取()78.027~=A μ。
②例证法此法是扎德教授于1972年提出的。
基本思想—从模糊子集~A的有()x A ~μ的值，估计出论域U 上~A 的隶属函数。
例如：取论域U 是实数域R 中的一部分[0,100], ~A 是U 上―较大的数‖，虽然~A 是U 上的模糊子集。
为确定()x A ~μ的分布，选定几个语言真值（即一句话为真的程度）中的一个，来回答[0，100]中的某数是否算―较大‖。
如果语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的”。
把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。
对[0，100]用的αϕ个不同的数都作为样本进行询问，就可得~A 的模糊分布()x A ~μ的离散表示法。
③专家评分法（德尔菲法）该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好”是运动员集上的一个模糊 ，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好”的隶属度。
这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。
§2—2 模糊子集的特性及运算法则前面已讨论过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。
一、 模糊子集的运算法则 ① Fuzzy 子集的包含与相等设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，对于U 中的每一个元素x ，都有()x A ~μ≥()x B ~μ，则称~A 包含~B ，记作~A ⊇~B 。
如果，~A ⊇~B 且~B ⊇~A ，则说~A 与~B 相等，记作~A =~B 。
或者，若对所有x ∈U ，都有()x A ~μ=()x B ~μ，则~A =~B 。
②模糊子集的并、交、补运算设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，规定~A ~B 、~A ~B 、~A 的隶属函数分别为~~BAμ、~BAμ、~A μ,并且对于U 的每一个元素x 都有~~BAμ()∆x ()x A ~μ∨()x B ~μ=max[()x A ~μ,()x B ~μ] —~A ,~B 的并~~BAμ()∆x ()x A ~μ∧()x B ~μ=min[()x A ~μ,()x B ~μ]— ~A ,~B 的交~Aμ()∆x 1–()x A ~μ —~A 的补eg,设论域U={}4321,,,x x x x ，~A 、~B 是论域U 上的两个模糊集。
二、模糊计算
§2.3 模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算 一、模糊集合并、交、补运算定义2.3.1 模糊集合的包含、相等设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有)()(~~x x BAμμ≥，则称A ~包含B ~，记作B A ~~⊇。
如果B A ~~⊇，且A B ~~⊇，则说A ~与B ~相等，记作B A ~~=。
由于模糊集合是通过隶属函数来表征的，模糊集合相等也可用隶属函数来定义。
若对于X 上的所有元素x ，都有)()(~~x x BAμμ=，模糊集合A ~与B ~相等。
定义2.3.2 模糊空集设A ~为论域X 上的模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有0)(~=x Aμ，则称A ~为模糊空集，记作φ=A ~。
定义2.3.3 模糊集合并、交、补基本运算设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，令B A ~~ 、B A ~~ 、C A ~分别表示模糊集合A ~与B ~的并集、交集、补集，对应的隶属函数分别为B A~~ μ、B A ~~ μ、C A~μ，对于X 的任一元素x ，定义： )(V )()(B ~A ~B ~A~x x x μμμ∆ (2.3.1) )()()(B ~A~B ~A~x x x μμμΛ∆ (2.3.2)补算子 (2.3.3) 式中“V ”表示取大运算，“Λ”表示取小运算，称其为Zadeh 算子。
在此定义下，两个模糊集合的并、交实质是在做下面的运算①)](,)(max[B ~A ~B ~A~x x μμμ= 并算子 (2.3.4) )](,)(min[B ~A~B ~A~x x μμμ= 交算子 (2.3.5) 为了加深对模糊集合并、交、补基本运算的理解，现在给出模糊集合A ~和B ~，见图2.3.1(a)。
其中A ~为高斯分布，B ~为三角分布，二者的并、交运算结果如图2.3.1(b)的图2.3.1(c)所示，当然模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
第3章 模糊控制理论的基础讲解
（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控 制的核心是控制规则，模糊规则是用语言 来表示的，如“今天气温高，则今天天气 暖和”，易于被一般人所接受。 （4）构造容易。模糊控制规则易于软件 实现。 （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验 设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有 效的控制。
第二节 模糊集合
一、模糊集合 模糊集合是模糊控制的数学基础。
c (x) Min A (x), B (x)
② 代数积算子
c (x) A (x) B (x)
③ 有界积算子
c (x) Max0, A (x) B (x) 1
（2）并运算算子 设C=A∪B，有三种模糊算子： ① 模糊并算子
c (x) Max A (x), B (x)
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
γ取值为[0，1]。
当γ=0时， c (x) A (x) ，B相(x当) 于A∩B
时的算子。
当γ=1时，c (x) A(x) B (x) A(，x)相.B (x)
（3）等集
两个模糊集A和B，若对所有元素u，
它们的隶属函数相等，则A和B也相等。
即
A B A (u) B (u)
（4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例如，设A为“成绩好”的模糊集， 某学生 u0 属于“成绩好”的隶属度为：
A (u0 ) 0.8 则u0 属于“成绩差”的隶属度
第三章 模糊控制的理论基础
第一节 概 述 一、 模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在 被控对象精确数学模型基础上的，然而， 随着系统复杂程度的提高，将难以建立 系统的精确数学模型。
模糊控制02-模糊集合及其基本运算
中心 如果一个模糊集的隶属度函数达到最大值的 有点的均值是一个有限值，则该均值就是模 有点的均值是一个有限值 集的中心； µ(x) 1 如果均值是正（负） 穷大，则将中心定义 所有最大隶属度值的 中最小（最大）点。
模糊集合的一些基本概念
交叉点 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5的点。 0.5的点。 模糊集的高度 µ(x) 指模糊集内任意点所达到的 1 大隶属度值。 a 模糊集高度为1 模糊集高度为1时，该模糊 该模糊 称为标准模糊集。
1
supp( A) = {x ∈ U | µ A ( x) > 0}
0
模糊集合的一些基本概念
空模糊集 如果一个模糊集的支撑集为空集，则该模糊 如果一个模糊集的支撑集为空集 为空模糊集。 模糊单值 µ(x) 1 如果模糊集的支撑集仅包 则该模糊集 U中的一个点，则该模糊集 模糊单值。
模糊集合的一些基本概念
x
z
模糊集合的运算
模糊集合A 模糊集合A 和B等价 对于任意 x∈U，当且仅当µA(x)=µB(x)， 当且仅当µ 当且仅当 (x)， 称A和B是等价的。 模糊集合A 模糊集合A被B包含 对于任意 x∈U，当且仅当 µA(x)≤µB(x) ， 当且仅当 称B包含A。 包含A
模糊集合的运算
糊集合A 糊集合A 的补集 模糊集合A 模糊集合A的补集记作 ，A ，隶属度函数为 µ A (x) = 1 − µ A (x) 糊集合A 糊集合A和B的并集 AU B 模糊集合A 模糊集合A和B的并集记作 ，隶属度函数为 µ A∪ B (x) = max[µ A ( x), µ B ( x)] 糊集合A 糊集合A和B的交集 AI B 模糊集合A 模糊集合A和B的交集记作 ，隶属度函数为
模糊控制技术-第二章
上述定义表明：
①论域U中的元素是分明的，即U本身是普通 集合，只是U的子集是模糊集合，故称A为 U的模糊子集，简称模糊集。 ②隶属函数μA(u)是用来说明u隶属于A的程度 的，μA(u)的值越接近于1，表示u隶属于A 的程度越高；当μA(u)的值域变为{0,1}时， 隶属函数μA(u)蜕化为普通集合的特征函数， 模糊集合也就蜕化为普通集合。
' ~ ~ ~ ~ ~
~
0.1 0.1 0.6 0.5 0.7 0.9 0.9 1 C u1 u2 u3 u4
'
0.1 0.5 0.7 0.9 u1 u2 u3 u4
~
0.9 0.4 0.3 0.1 A u1 u2 u3 u4
18
台(support)集合
39
• 例：设X＝{１，２，３，４}，Y＝{a，b， c}，Z＝{α，β}，Χ×Y以及Y×Z上的模糊关 系R与S如图所示。
2.2.2 模糊关系 (1)普通关系：客观世界存在的普遍现象，描 述了事物之间存在的某种联系。 1)集合的直积 • 由两个集合U和V的各自元素u与v组成的序 偶(u，v)的全体集合，称为U与V的直积,记 为U×V，即
U×V={(u，v)|u∈U，v∈V }
• 一般情况下，U×V≠V×U。 2)普通二元关系
A 和 A 分别称为模糊集合 A 的强 截集和弱
正则(normal)模糊集合
[0，) 1 (0， 1]
截集
如果：max A (u )
uU
1 ，则称A为正则模糊集合
凸(convex)模糊集合
A (u1 (1 )u2 ) min( A (u1 )， A (u2 )) u1，u2 U， [0， 1]
第七章 模糊控制技术第三节模糊集合中的基本定义和运算
2.模糊集合的基本运算
• 设A和B是U中的模糊子集，隶属函数分别为μA和μB，则模 糊集合中的并、交、补等运算可以定义如下： 并运算：并（A∪B）的隶属函数μA∪B，对所有μ∈U被逐 点定义为取极大值运算即：（式中“∨”为取极大值运算 ）
交运算：交பைடு நூலகம்A∩B)的隶属函数μA∩B，对所有μ∈U被逐点 定义为取极小值运算即：（式中“∧”为取极小值运算）
第七章 模糊控制技术
主要内容
一、模糊集合 二、隶属函数及其确定 三、模糊集合中的基本定义和运算 四、模糊关系 五、模糊推理 六、模糊控制器的设计 七、模糊控制器设计实例
三、模糊集合中的基本定义和运算
1.基本定义
• 与经典集合论一样，模糊集合也定义了基本运算如并、交、 补等。以下定义模糊集合的幂集、空集、全集、集合的包含 和相等。 论域U中模糊集合的全体称为U中的模糊幂集，记做F(U)：
补运算：模糊集合A的补隶属函数μA ，对所有被逐点定义 为
三、模糊集合中的基本定义和运算
3.模糊集合运算的基本定律
模糊集合的运算满足以下的基本定律：
设U为论域。A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：
幂等律：
结合律： 交换律：
分配律：
同一律：
零一律：
吸收律：
双重否认律：
德·摩根律：
➢ 可以看出，模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，但是 模糊集运算不满足互补律，即：
对于任一u∈U，若μG(x)=0，称A为空集φ；若μG(x)=1，则 称为全集，A=U。
设A和B是U的模糊集，即A、B∈F(U)，若对任一u∈U都有 B(U)≤B(U)，则称B包含于A，或称B是A的子集，记做 。若对于任一u∈U都有B(U)=A(U)，则称B等于A，记做B=A 。
第二章：二、模糊集合的运算
µ
模糊集的代数运算仍然满足结合律、交换律、德•摩根律、同一律和零一律。 但不满足幂等律、分配律和吸收律。当然也不满足互补律。 ⊕ 定义2－9 称 aΘ、 为有界算子，对 ∀a , b ∈ [ 0 , 1 ] ，有
A+ B
∧
( u ) = µ A ( u ) + µ B ( u ) − µ A ( u ) µ B (u )
g v 2 (v1 ) (2 − 27) max( g v 2 (v1 ) , g v1 (v 2 ) ) 这里, v1 、v 2 ∈ U 。 若以 g (vi / v j )(i , j = 1, 2) 为元素，且定义 时，则可构造出矩阵G，并称G为相及矩阵。 g (v i / v j ) = 1 , 当 i = j
重叠鲁棒性＝10 / 20 = 0.5
µ
A1
A2
重叠率＝5 / 35 = 0.143
0.25
0 20
重叠鲁棒性＝2.5 / 10 = 0.25
35
5
35
40
55
速度 /( km ⋅ h −1 )
图2－6 隶属度函数重叠的范例 隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能 否用好模糊控制的关键之一。 1）模糊统计法
计算相及矩阵G。因为 g (vi / v j ) = g v j (vi ) / max( g v j (vi ) , g v i (v j ) ) ，所以，相及矩 阵为
模糊数的运算法则
模糊数的运算法则
模糊数是一种用于表示不确定性和模糊性的数学概念。
它通常用于模糊集合理论和模糊控制等领域。
模糊数的运算法则主要包括：
1.并集运算：对于两个模糊数A和B,它们的并集为A∪B,它的值为A和B的最大值。
2.交集运算：对于两个模糊数A和B,它们的交集为A∩B,它的值为A和B的最小值。
3.反运算：对于模糊数A,它的反运算为A'，它的值为1减去A的值。
4.加法运算：对于模糊数A和B,它们的和为A+B,它的值为A和B的和。
5.乘法运算：对于模糊数A和B,它们的积为A*B,它的值为A和B的积。
6.除法运算：对于模糊数A和B,它们的商为A/B,它
的值为A除以B。
这些运算法则是根据模糊集合理论来定义的，它们可以用来处理模糊数据并得出结论。
模糊逻辑中的模糊程度与模糊集合运算
模糊逻辑中的模糊程度与模糊集合运算在模糊逻辑中，模糊程度是一个核心概念，它与模糊集合运算密切相关。
本文将探讨模糊逻辑中的模糊程度与模糊集合运算的关系，以及它们在实际应用中的重要性。
一、模糊逻辑与模糊集合概述在传统的布尔逻辑中，一个命题或者说一个陈述要么为真，要么为假，不存在其他可能性。
然而，在现实生活中，很多陈述并不具备确定的真假值，而是具有模糊性质。
模糊逻辑的提出正是为了处理这种模糊性。
模糊逻辑是一种多值逻辑，它引入了“模糊度”的概念，将命题的真假程度表示为0到1之间的连续值。
在模糊逻辑中，模糊程度是用来度量一个模糊命题的不确定性或者隶属度的重要概念。
模糊集合是模糊逻辑的重要工具，它是对现实世界中模糊性质的数学抽象。
模糊集合中的元素具有不完全的隶属度，可以同时隶属于多个集合。
模糊集合运算是对模糊集合进行操作和计算的方法，它包括并、交、补等运算。
二、模糊程度的度量方法在模糊逻辑中，有多种方法来度量一个命题的模糊程度。
下面介绍几种常用的方法：1. 二元关系法二元关系法是一种最为常用的度量模糊程度的方法。
通过建立元素和隶属函数之间的二元关系，来描述隶属度的程度。
通常使用模糊矩阵或者模糊图来表示这种关系。
2. 基于模糊集合的度量法基于模糊集合的度量法是根据模糊集合的属性和特性来度量模糊程度的方法。
例如，可以使用模糊熵、模糊方差等指标来度量模糊程度。
3. 基于模糊推理的度量法基于模糊推理的度量法通过推理过程来度量模糊命题的程度。
它将已知的事实和规则进行推理，得出一个模糊度的结果。
三、模糊程度与模糊集合运算的关系模糊程度与模糊集合运算密切相关，它们之间存在着协同作用。
在模糊逻辑中，模糊程度可以通过模糊集合运算进行增强或者减弱。
1. 模糊并运算模糊并运算是指将两个或多个模糊集合进行合并的操作。
在模糊并运算中，模糊程度通常是通过最大隶属度来确定的。
即对于模糊集合A和B，它们的并运算的模糊程度为max(A(x),B(x))。
模糊理论及控制
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7), (3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
-2
-1
0
1
2
3
x
图 三角形隶属函数曲线
例： 设计评价一个学生成绩的隶属函数，在[0，100]之 内按A、B、C、D、E分为五个等级，即{不及格，及格， 中，良，优}。分别采用五个高斯型隶属函数来表示， 建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。
Degree of membership
E
D
C
B
A
1
0.8
“学习好”的隶属度为(张三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。 用“学习好”这一模糊子集A可表示为：
A {0.95,0.90,0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度 分别是0.95，0.90，0.85。
例3.3 以年龄为论域，取 X 0,100
“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为：
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6 u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
第三节 隶属函数
一、几种典型的隶属函数
在Matlab中已经开发出了11种隶属函数:
0
Y
(x)
1
x
25 5
模糊集的基本运算
A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为:
帅哥
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.
超男
定义 论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
第二章 模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为:
A(x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 01A( x)源自11 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
模糊集合及其运算
模糊集合的基本运算
1、模糊集合相等 若两个模糊集合A和B，对于所有的 ，均有 则称模糊集合A与B相等，记作 。 2、模糊集合的包含关系 若两个模糊集合A和B，对于所有的 ，均有 则称模糊集合A包含于B，记作 。
模糊集合的基本运算
3、模糊空集
若对所有 ，均有 ，则称A为模糊空集，记
作。
4、模糊集合的并集
B 1 0.9 1 0.4 1 0 1 0.7 0.1 0.6 1 0.3
x1
x2
x3
x4
x1 x2 x3 x4
模糊集合运算的基本性质B C) (A B) (A C)
2、结合律 (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)
8、双重否定律
A A
模糊集合运算的基本性质
提问： 为什么在模糊集合里排中律不成立？
9、其它运算类型 见板书
模糊关系
定义：n元模糊关系R是定义在直积X1×X2×... ×Xn上的模糊集合，它可以表示为
R X1X2 Xn
R (x1, x2 , , xn ) /(x1, x2 , , xn )
X1X 2 X n
6,1)
,(7,0.7),(8,0.3),(9,0),(10,0)}
或者A＝
＝
模糊集合的其它表示方式
例2.2 若以年龄为论域，并设X＝[0,200]。设O表 示模糊集合“年老”，Y表示模糊集合“年轻”。 已知“年老”和“年轻”的隶属度函数分别表示 为
模糊集合的其它表示方式
O
(x,0)
0
x
50
x,
模糊集合的定义及表示方法
概念：如果将篮子里的所有“大苹果”看作是一个集合，那么 “大苹果”就是一个模糊集合，因为我们没有确切的定义什 么样的苹果叫做大苹果。另一方面，如果我们认为3两以上 的苹果算是绝对的大苹果，也就是说3两以上的苹果属于 “大苹果”的程度为1，那么2.9两的苹果属于“大苹果”的 程度大概就可以是0.9左右，2.8两的苹果大概就是0.8。这种 属于程度就称为隶属度函数，其值在0～1之间连续变化。
第二章模糊集合(1)
3）向量表示法
F { (u1 ), (u2 ),..., (un )}
此时，元素u应该按次序排列，隶属度值为零的项不能省略。 上例可写为 F={1，0.9，0.75，0.5，0.2，0.1} 上页
具有数学运算、符号运算的逻辑推理 边缘交叉学科 上页
小结
下页
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第二章 模糊控制的理论基础
第一节 引言
第二节 模糊集合论基础
一、普通集合 二、模糊集合的概念 三、模糊集合的运算 四、隶属函数（MF）的确定 五、模糊关系 上页
小结
下页
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1 A 0
如果 X A 如果 X A
模糊集合：论域U中的模糊集F用一个在区间[0，1]上
取值的隶属函数
F (u) 来表示，即
F {(u, F (u)) | u U}
上页
小结
下页
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普通集合
X 6
1
X 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 0
3）交换律 A∩B=B∩A， A∪B= B∪A
上页
小结
下页
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4）分配律 5）同一律 6）零一律 7）吸收律 8）德.摩根律
A∩（B∪C） =（A ∩ B）∪（A ∩ C） ； A∪（B∩C）=（A∪B）∩ （A∪C）； A∩U=A， A∪Φ=A； A∩Φ=Φ， A∪U=U； A∩（A∪B）=A， A∪（A ∩ B）=A；
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A与B的并(记作A∪B)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
4. 模糊集的交 定义 非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作A∩B)是 X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (A∩B)(x)=min{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
A 0 /1 0 / 2 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 0 / 9 0 /10
或 或
A 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 A (0, 0, 0.3, 0.7,1,1, 0.7, 0.3, 0, 0)
且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}. 易证 CAB(x)=max{CA(x), CB(x)}=CA(x)CB(x).
1
X
定义
设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。
模糊集“年轻”A可表示为
1 A x[0,25] x x 25 2 1 [1 ( ) ] 5 x(25,100) x 0 x[100,200] x
注意：当论域明确的情况下 , 在序偶和 Zadeh 表示法 中 , 隶属度为 0 的项可以不写出。而在向量表示法中 , 应 该写出全部分量。 例如 , 论域 X 为 1 到 10 的所有正整数 , 模糊集“近似于 5”A可表示为：
特别地, 空集的隶属函数恒为0, 全集X的隶属函数恒为1,
即、X都是X上的模糊集。
2. 模糊集的包含关系
设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB 当且仅当属于A的元素都属于B. 易证AB当且仅当对任意xX有CA(x) CB(x).
1
1
X
定义 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。
Ai : X [0,1];
iI
Ai ( x) iI
iI
A ( x), x X .
iI i
Ai : X [0,1]; Ai ( x) iI
A ( x), x X .
iI i
例 设论域X={x1, x2, x3, x4}为一个4人集合, X上的模糊集合 A表示“高个子”: A={ (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) }. 模糊集合B表示“胖子”: B= { (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) }. 则模糊集合“高或胖”为: A∪B={(x1,0.6∨0.5),(x2,0.5∨0.6),(x3,1∨0.3),(x4,0.4∨0.4)} ={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4)}. 模糊集合“又高又胖”为: A∩B={(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4)}. 模糊集合“个子不高”为: A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质
经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则 (1) 幂等律: A∪A=A, A∩A=A; (2) 交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (3) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4) 吸收律: A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A; (5) 分配律: A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
xa x a (b, c 0)
0 xa A( x) b a 1
xa a xb xb
xa 0 1 1 ab A( x) sin [x ] a xb ba 2 2 2 xb 1
“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布, 其中取
二. 典型的隶属函数
构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一 种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”, 即参 考一些典型的隶属函数, 通过选择适当的参数, 或通过拟 合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。 下面介绍典型隶属函数。 1. 偏小型 降半矩形分布, 降半Γ形分布, 降半正态分布, 降半柯 西分布, 降半梯形分布, 降岭形分布。
1 A( x) 0
xa xa
xa 1 A( x) k ( x a ) x a, k 0 e
1 A( x) k ( x a )2 e
xa x a, k 0
1 A( x) 1 1 b( x a)c
2. 模糊集合的运算性质 定理 设X为论域, A, B, C为X上的模糊集合, 则 (1) 幂等律: A∪A=A, A∩A=A; (2) 交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (3) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4) 吸收律: A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A; (5) 分配律: A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); (6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): A∩X=A, A∪X=X, A∩=, A∪=A; (8) De Morgan对偶律: (A∪B)=A∩B, (A∩B)=A∪B.
三. 模糊集上的运算 1. 几点说明
经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成 模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。 设 X 为 非 空 论 域 , X 上 的 全 体 模 糊 集 记 作 F(X). 于 是 ,
P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).
2) 向量表示法 当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)). 模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). 向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。 3） Zadeh表示法 当论域为有限集{x1, x2, …, xn}时, 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ …+A(xn)/xn. 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表示分数 和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属 度值。 对于任意论域X中的模糊集合A可记为: A( x) A A( x) / x A xX xX x
k ( x a )2
k ( xa ) e A( x) k ( x a ) e
xa xa
A( x) e
,k 0
1 A( x) 1 b( x a ) c
0 c x a c b A( x) 1 c x a c b 0
(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): A∩X=A, A∪X=X, A∩=, A∪=A; (8) De Morgan对偶律: (A∪B)=A∩B, (A∩B)=A∪B; (9) 排中律(互补律): A∪A=X, A∩A=. 注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序 ABA∩B=AA∪B=B)。 满足以上9条性质的代数系统 称为布尔代数(Boolean algebra, 即“有补的有界分配格”.
b 0 (c为正偶数)
x ac a c x a b a b x a b ab x ac x ac
x b 0 1 1 sin [ x a b ] b x a 2 2 2 b a A( x) 1 a x a 1 1 ab sin [x ] a xb 2 2 2 b a xb 0
(A∩B)(x)
5. 模糊集的补 定义 非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)X 上的一个模糊集, 其隶属函数为 A(x)=1A(x), xX.
注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形 , 即 对任意指标集I, 若Ai是X上的模糊集, iI. 则模糊集的 (任意)并、(任意)交定义为:
0 A( x) 1
xa xa
xa
0 A( x) k ( x a )2 1 e
xa x a, k 0
0 A( x) k ( x a ) 1 x) 1 1 b( x a) c
第二章
模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外 , 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法 A={(x, A(x)|xX}.
例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学 , “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度” ) 做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为: A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
1 B(x) A(x)
X
例
论域X={x1, x2, x3, x4}时, X上的模糊集A为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).
X上的模糊集B为:
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37).
帅哥
则根据定义有BA.