圆的基础习题(附答案)

.圆的基本概念一．选择题（共1小题）1．（2013•）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．2二．解答题（共23小题）2．（2007•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．3．（2007•）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．4．（1998•）如图，AB、CD是⊙O的弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM．求证：AB=CD．5．如图，过圆O一点M的最长的弦长为10，最短的弦长为8，求OM的长．6．（1997•）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10，PA=4，OP=5，求⊙O的半径．7．（2010•黔东南州）如图，水平放置的圈柱形水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留π）8．安定广场南侧地上有两个石球，喜爱数学的小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，请你算出这个石球的半径．9．（1999•）已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．10．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=2cm，DB=6cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F 两点，又OM⊥AP于M．求OM及EF的长．11．（2013•）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．12．（2013•长宁区二模）如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC部，且⊙O经过B、C两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．13．（2011•集区模拟）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D 是BC的中点．试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明．14．（2008•）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，AB=8，求⊙O直径的长．15．（2006•）已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，求证：（1）四边形EFDC是平行四边形；（2）．16．（1999•）如图，⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线CD交⊙O1于C，交⊙O2于D，经过点B的直线EF交⊙O1于E，交⊙O2于F．求证：CE∥DF．17．如图①，点A、B、C在⊙O上，连接OC、OB．（1）求证：∠A=∠B+∠C．（2）若点A在如图②所示的位置，以上结论仍成立吗？说明理由．18．（2013•闸北区二模）已知：如图，在⊙O中，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O半径为4cm，MN=cm，OH⊥MN，垂足是点H．（1）求OH的长度；（2）求∠ACM的度数．19．（2013•）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC 绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．20．（2013•）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．21．（2013•）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．22．（2013•）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．23．（2013•）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）24．（2011•德宏州）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）画出将△A1B1C1向右平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A3B3C3．2013年10月dous的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2013•）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．2考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：压轴题；探究型．分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE 的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．解答：解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．解答题（共23小题）2．（2007•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．考点：垂径定理；勾股定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）AB是⊙O的直径，则AB所对的圆周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，则满足垂径定理的结论；（2）OD⊥BC，则BE=CE=BC=4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到关于半径的方程，可以求出半径．解答：解：（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE；②弧BD=弧DC；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2+BE2=OB2；⑧S△ABC=BC•OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC…说明：1、每写对一条给1分，但最多给5分；2、结论与辅助线有关且正确的，也相应给分．（2）∵OD⊥BC，∴BE=CE=BC=4，设⊙O的半径为R，则OE=OD﹣DE=R﹣2，（7分）在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2+BE2=OB2，即（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，∴⊙O的半径为5．（10分）点评：本题主要考查了垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的长问题可以转化为解直角三角形的问题．3．（2007•）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．解答：解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，∵AB=AC=13，∴=，∴∠AOB=∠AOC，∵OB=OC，∴AO⊥BC，CD=BC=12在Rt△ACD中，AC=13，CD=12所以AD=设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r所以（r﹣5）2+122=r2解得r=16.9．点评：本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用．4．（1998•）如图，AB、CD是⊙O的弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM．求证：AB=CD．考点：垂径定理．专题：证明题；压轴题．分析：连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AM=AB，CN=CD，再由∠AMN=∠CNM得出∠NMO=∠MNO，即OM=ON，再由OA=OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM=CN，由此即可得出结论．解答：证明：连接OM，ON，OA，OC，∵M、N分别为AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=AB，CN=CD，∵∠AMN=∠CNM，∴∠NMO=∠MNO，即OM=ON，在Rt△AOM与Rt△CON中，∵，∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），∴AM=CN，∴AB=CD．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．如图，过圆O一点M的最长的弦长为10，最短的弦长为8，求OM的长．考点：垂径定理；勾股定理．分析：过M的最长弦应该是⊙O的直径，最短弦应该是和OM垂直的弦（设此弦为CD）；可连接OM、OC，根据垂径定理可得出CM的长，再根据勾股定理即可求出OM的值．解答：解：连接OM交圆O于点B，延长MO交圆于点A，过点M作弦CD⊥AB，连接OC∵过圆O一点M的最长的弦长为10，最短的弦长为8，（2分）∴直径AB=10，CD=8∵CD⊥AB∴CM=MD=（4分）在Rt△OMC中，OC=；∴OM=．（6分）点评：此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，解答此题的关键是理解过M点的最长弦和最短弦．6．（1997•）已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10，PA=4，OP=5，求⊙O的半径．考点：垂径定理；勾股定理．分析：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，先求出PE的长，利用勾股定理求出OE，在Rt△AOE中，利用勾股定理即可求出OA的长．解答：解：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，∵AB=10，PA=4，∴AE=AB=5，PE=AE﹣PA=5﹣4=1，在Rt△POE中，OE===2，在Rt△AOE中，OA===7．点评：本题主要考查垂径定理和勾股定理的应用．作辅助线构造直角三角形是解题的突破口．7．（2010•黔东南州）如图，水平放置的圈柱形水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留π）考点：垂径定理的应用．专题：探究型．分析：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于水面的高为3m可求出OE的长，在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE的度数，由垂径定理可知，∠AOE=∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．解答：解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，∵OD=0.6m，DE=0.3m，∴OE=OD﹣DE=0.6﹣0.3=0.3m，∴cos∠AOE===，∴∠AOE=60°∴AE=OA•sin∠AOE=0.6×=，AB=2AE=∴∠AOB=2∠AOE=2×60°=120°，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB=﹣××0.3=m2．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．安定广场南侧地上有两个石球，喜爱数学的小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，请你算出这个石球的半径．考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：计算题．分析：经过圆心O作地面的垂线，垂足为C点，连接AB，交OC于点D，可得出OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD的长，设圆的半径为xcm，即OA=OC=xcm，在直角三角形AOD 中，OD=OC﹣CD=（x﹣10）cm，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为这个石球的半径．解答：解：过圆心O作地面的垂线OC，交地面于点C，连接AB，与OC交于点D，如图所示，由AB与地面平行，可得出OC⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD=AB=30cm，又CD=10cm，设圆的半径为xcm，则OA=OC=xcm，∴OD=OC﹣CD=（x﹣10）cm，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：OA2=AD2+OD2，即x2=302+（x﹣10）2，整理得：x2=900+x2﹣20x+100，即20x=1000，解得：x=50，则石球的半径为50cm．点评：此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，利用了方程的思想，结合图形构造直角三角形是解本题的关键．9．（1999•）已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．考点：圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据圆的性质可证OM=ON，又已知∠AOC=∠BOC，OC=OC，根据SAS可证△MOC≌△ONC，即证MC=NC．解答：证明：∵OA、OB为⊙O的半径，∴OA=OB，（2分）∵M是OA中点，N是OB中点，∴OM=ON，（4分）∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△MOC≌△NOC，（6分）∴MC=NC．（7分）点评：本题考查了圆的性质和全等三角形的判定．10．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=2cm，DB=6cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F 两点，又OM⊥AP于M．求OM及EF的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：连接OF，由DB=6cm，求得OD的长，则可求得OA的长，由OM⊥AP，∠PAC=30°，即可求得OM的长，然后在Rt△OMF中，利用勾股定理即可求得FM的长，又由垂径定理，即可求得EF的长．解答：解：连接OF，∵DB=6cm，∴OD=3cm，∴AO=AD+OD=2+3=5cm，∵∠PAC=30°，OM⊥AP，∴在Rt△AOM中，OM=AO=×5=cm∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵MF==cm∴EF=cm．点评：此题考查了直角三角形中30°角的性质、勾股定理、垂径定理等几个知识点．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．11．（2013•）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；（2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．12．（2013•长宁区二模）如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC部，且⊙O经过B、C两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连结BO、CO，延长AO交BC于点D，由于△ABC是等腰直角三角形，故∠BAC=90°，AB=AC，再根据OB=OC，可知直线OA是线段BC的垂直平分线，故AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中根据AD=BD=BC，可得出BD=AD，再根据AO=1可求出OD的长，再根据勾股定理可得出OB的长．解答：解：连结BO、CO，延长AO交BC于D．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC∵O是圆心，∴OB=OC，∴直线OA是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中，AD=BD=BC，∵BC=8，∴BD=AD=4，∵AO=1，∴OD=BD﹣AO=3，∵AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB===5．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．13．（2011•集区模拟）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D 是BC的中点．试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接AD；由圆周角定理可得AD⊥BC，又D是BC的中点，因此AD是BC的垂直平分线，由此可得出AB=AC 的结论．解答：解：AB=AC．证法一：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵AD为公共边，BD=DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS）．∴AB=AC．证法二：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．又BD=DC，∴AD是线段BD的中垂线．∴AB=AC．点评：本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质．解题时，通过作辅助线AD构造△ABC的中垂线来证明AB=AC的．14．（2008•）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，AB=8，求⊙O直径的长．考点：圆周角定理；垂径定理．专题：综合题．分析：（1）利用垂径定理可以得到弧AD和弧BD相等，然后利用圆周角定理求得∠DEB的度数即可；（2）利用垂径定理在直角三角形OAC中求得AO的长即可求得圆的半径．解答：解：（1）∵OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，∴弧AD=弧BD，∵∠AOD=52°，∴∠DEB=∠AOD=26°；（2）∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，∴在直角三角形AOC中，AO===5．∴⊙O直径的长是10．点评：本题考查了圆周角定理及垂径定理的知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．15．（2006•）已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，求证：（1）四边形EFDC是平行四边形；（2）．考点：圆接四边形的性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：（1）已知了CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB；由圆接四边形的性质，知：∠BAD=∠E，∠BAD+∠F=180°，可证得∠E+∠F=180°，即CE∥DF，由此得证；（2）由四边形CEFD是平行四边形，得CE=DF．由于⊙O1和⊙O2是两个等圆，因此．解答：证明：（1）连接AB，∵ABEC是⊙O1的接四边形，∴∠BAD=∠E．又∵ADFB是⊙O2的接四边形，∴∠BAD+∠F=180°．∴∠E+∠F=180°．∴CE∥DF．∵CD∥EF，∴四边形CEFD是平行四边形．（2）由（1）得：四边形CEFD是平行四边形，∴CE=DF．∴．点评：此题考查了圆接四边形的性质、平行四边形的判定以及等圆或同圆中等弦对等弧的应用．16．（1999•）如图，⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线CD交⊙O1于C，交⊙O2于D，经过点B的直线EF交⊙O1于E，交⊙O2于F．求证：CE∥DF．考点：圆接四边形的性质．专题：证明题．分析：连接AB．根据圆接四边形的对角互补，外角等于它的对角，即可证明一组同旁角互补，从而证明结论．解答：证明：连接AB．∵四边形ABEC是⊙O1的接四边形，∴∠BAD=∠E．又∵四边形ABFD是⊙O2的接四边形，∴∠BAD+∠F=180°．∴∠E+∠F=180°．∴CE∥DF．点评：此题考查了圆接四边形的性质以及平行线的判定．17．如图①，点A、B、C在⊙O上，连接OC、OB．（1）求证：∠A=∠B+∠C．（2）若点A在如图②所示的位置，以上结论仍成立吗？说明理由．考点：圆周角定理；圆接四边形的性质．分析：（1）连接OA，由OA=OB，OA=OC，利用等边对等角即可．（2）同（1），连接OA，由OA=OB，OA=OC，利用等边对等角即可证得结论成立．解答：（1）证明：连接OA，∵OA=OB，OA=OC，∴∠BAO=∠B，∠CAO=∠C，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=∠B+∠C；（2）成立．理由：连接OA，∵OA=OB，OA=OC，∴∠BAO=∠B，∠CAO=∠C，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=∠B+∠C．点评：此题考查了圆周角的性质、等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．18．（2013•闸北区二模）已知：如图，在⊙O中，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O半径为4cm，MN=cm，OH⊥MN，垂足是点H．（1）求OH的长度；（2）求∠ACM的度数．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连接MO交弦AB于点E，由OH⊥MN，O是圆心，根据垂径定理得到MH等于MN的一半，然后在直角三角形MOH中利用勾股定理即可求出OH；（2）由M是弧AB的中点，MO是半径，根据垂径定理得到OM垂直AB，在直角三角形OHM中，根据一条直角边等于斜边的一半，那么这条这条直角边所对的角为30度，即角OMH等于30度，最后利用三角形的角和定理即可求出角ACM的度数．解答：解：连接MO交弦AB于点E，（1）∵OH⊥MN，O是圆心，∴MH=MN，又∵MN=4cm，∴MH=2cm，在Rt△MOH中，OM=4cm，∴OH===2（cm）；（2）∵M是弧AB的中点，MO是半径，∴MO⊥AB∵在Rt△MOH中，OM=4cm，OH=2cm，∴OH=MO，∴∠OMH=30°，∴在Rt△MEC中，∠ACM=90°﹣30°=60°．点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°角的直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．19．（2013•）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC 绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．分析：△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得出△A2B2C2即可．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了图形的旋转变换以及轴对称图形，根据已知得出对应点位置是解题关键．20．（2013•）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．考点：作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题．分析：（1）延长AC到A1，使得AC=A1C，延长BC到B1，使得BC=B1C，利用点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），得出图象平移单位，即可得出△A2B2C2；（2）根据△△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2进而得出，旋转中心即可；（3）根据B点关于x轴对称点为A2，连接AA2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．解答：解：（1）如图所示：（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（，﹣1）；（3）∵PO∥AC，∴=，∴=，∴OP=2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．点评：此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．21．（2013•）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．解答：解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．点评：本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．22．（2013•）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题．分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示，∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．23．（2013•）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．分析：（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．解答：解：（1）如图所示：A1的坐标为：（﹣3，6）；（2）如图所示：∵BO==，∴==π．点评：此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．24．（2011•德宏州）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1个单位长度．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）画出将△A1B1C1向右平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A3B3C3．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．分析：（1）根据原点坐标对称点的坐标性质得出A1，B1，C1，各点坐标即可得出答案；（2）将A1，B1，C1，各点向右平移5个单位即可得出A2，B2，C2，各点坐标即可得出答案；（3）根据关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标改变符号，即可得出对应点坐标，得出答案即可．解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）如图所示：△A3B3C3，即为所求．点评：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点以及关于x轴对称点的性质，根据已知得出对应点位置是解题关键．成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。