流体力学流体力学基本方程
流体力学中的三大基本方程
a 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
d y
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
dx
dt
dxdydz
p x
dxdydz
fxdxdydz
单位体积流体的运动微分方程：
2 ：单位重量流体所具有的动能；
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
3.1 伯努利方程积分形式
1.沿流线的积分方程：
gdz 1 dp d 0
2
2
gz
dP
C
设： const
2 gz p C
2
Or
z p 2 C
r 2g
——理想流体微元流束的伯努利方程。
①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定 流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； ②任选一根流线上的两点：
流体力学-第三讲,流体力学基本方程组
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
2021/7/22
13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
2021/7/22
12
于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
2021/7/22
1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式讲解
《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式1．流体的体积压缩系数计算式：β1dρp=-1dVVdp=ρdp 流体的体积弹性系数计算式：E=-VdpdpdV=ρdρ 流体的体积膨胀系数计算式：βdVT=1VdT=-1dρρdT2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0t=ρ1+βt，其中β=1273。
3T=±μAdudy 或τ=TduA=±μdy 恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0.0731E-0.0631E)⨯10-4f1∂p⎫x-ρ∂x=0⎪fr-1∂p=0⎫⎪ρ∂r⎪⎪4．欧拉平衡微分方程式： f⎪y-1∂pρ∂y=0⎪⎬和fθ-1∂pρ=0⎬ f1∂p⎪r∂θρ∂z=0⎪⎪⎪⎭f1∂p⎪z-z-ρ∂z=0⎪⎭欧拉平衡微分方程的全微分式：dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) dp=ρ(frdr+fθrdθ+fzdz) 5 fxdx+fydy+fzdz=0frdr+fθrdθ+fzdz=06pγ+z=C 或 p1γ+zp21=γ+z2 或p1+ρgz1=p2+ρgz2相对于大气时：pm+(ρ-ρa)gz=C 或pm1+(ρ-ρa)gz1=pm2+(ρ-ρa)gz27p=p0+γh，其中p0为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：p=p0-ρ(ax+gz)；等压面方程式：ax+gz=C；自由液面方程式：ax+gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
1 9．等角速度旋转液体静压力分布式：p=p0+γ(ω2r22g-z)；等压面方程式：ω2r22-gz=C；自由液面方程式：ω2r22-gz=0。
注意：p0为自由液面上的压力。
10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P=(p0+γhc)A=pcA，其中p0为自由液面上的相对压力。
压力中心计算式：yD=yc+γsinαIxc (p0+γycsinα)AIxcycA或yD-yc=IxcycA。
当自由液面上的压力为大气压时：yD=yc+矩形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=圆形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc11bh3；三角形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=bh3 1236π4=d 6411．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：Pz=p0Az+γVP，注意：式中p0应为自由液面上的相对压力。
【计算流体力学】第1讲-基本方程
1) 围绕(x,y,z)点取一控制体;
任意点 (x, y, z)
x
x
控制体示意图
2) 根据基本定律（质量、动量、能量守恒）, 给出控制体内总量（积分量）的变化规律； （总质量、总动量、总能量的变化规律： 积分型方程）
3) 令控制体尺度趋近于0， 得到(x,y,z)点物理量的微分型方程
特点： 控制体不动 （Euler描述）
波音777
波音787
5
CFD 面临的挑战及主要任务：
➢复杂流动的数学模型
湍流的计算模型； 转捩的预测模型； 燃烧及化学反应模型； 噪声模型……
➢ 高精度高效算法
高精度激波捕捉法； 间断有限元法; 大规模代数方程组高效解法 ……
➢ 复杂外形、复杂网格处理方法
自适应网格； 直角网格，浸入边界法； 无网格法； 粒子算法；
微观充分大， 宏观充分小
控制体太小， 有微观波动
103 106 109 1012
1021
1030
控制体内的平均密度随体积变化规律
V (m3)
(x, y, z)
体积为V的 控制体
流动描述方法
描述流体信息：密度、速度、压力、温度等
Euler描述
Lagrange描述
给出每个时刻每个 空间点上的物理量
f f (x, y, z,t) （场）
“切的方向不同，表面上的力也不同”
pn 切3次就够了：垂直x轴, 垂直y轴，垂直z轴各切一次
r px
( pxx ,
pxy ,
pxz )T
r py
( pyx ,
pyy ,
pyz )T
r pz
( pzx ,
pzy ,
pzz )T
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
流体力学-第二章 基本方程
h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体主要计算公式
流体主要计算公式流体是液体和气体的统称，具有流动性和变形性。
流体力学是研究流体静力学和动力学的学科，其中主要涉及到流体的力学性质、运动规律和力学方程等内容。
在流体力学的研究中，有一些重要的计算公式被广泛应用。
下面将介绍一些常见的流体力学计算公式。
1.流体静力学公式：(1)压力计算公式：P=F/A-P表示压力-F表示作用力-A表示受力面积(2)液体静力学公式：P=hρg-P表示液体压力-h表示液体高度-ρ表示液体密度-g表示重力加速度2.流体动力学公式：(1)流体流速公式：v=Q/A-v表示流速-Q表示流体流量-A表示流体截面积(2)流体流量公式：Q=Av-Q表示流体流量-A表示流体截面积-v表示流速(3)连续方程：A1v1=A2v2-A1和A2表示流体截面积-v1和v2表示流速(4) 流体动能公式：E = (1/2)mv^2-E表示流体动能-m表示流体质量-v表示流速(5)流体的浮力公式：Fb=ρVg-Fb表示浮力-ρ表示液体密度-V表示浸泡液体的体积-g表示重力加速度3.流体阻力公式：(1)层流阻力公式：F=μAv/L-F表示阻力-μ表示粘度系数-A表示流体截面积-v表示流速-L表示流动长度(2)湍流阻力公式：F=0.5ρACdV^2-F表示阻力-ρ表示流体密度-A表示物体的受力面积-Cd表示阻力系数-V表示物体相对于流体的速度4.比力计算公式：(1)应力计算公式：τ=F/A-τ表示应力-F表示力-A表示受力面积(2)压力梯度计算公式：ΔP/Δx=ρg-ΔP/Δx表示压力梯度-ρ表示流体密度-g表示重力加速度(3) 万斯压力计算公式：P = P0 + ρgh-P表示压力-P0表示参考压力-ρ表示流体密度-g表示重力加速度-h表示液体的高度以上是一些流体力学中常见的计算公式，涉及到压力、流速、阻力、浮力以及比力等方面的运算。
这些公式在解决流体力学问题时非常有用，可以帮助我们理解和分析流体的运动和力学性质。
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
流体力学基本方程
连续方程两边同时除以 0U0 L0 整理 得
L0 * *vi*
U0t0 t*
xi*
0
（3-2）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
运动方程两边同时除以
U
2 0
L0
整理得
L0 U0t0
vi* t*Βιβλιοθήκη v*jvi* x*j
L0 g0 U02
g*
p0
0U02
1
*
p* xi*
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
不可压缩平行流动是流动问题中最简 单的情况，它只有一个速度分量不为零， 所有流体质点均沿一个方向流动，即vy= vz=0，且vx沿x轴方向不变化。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
当质量力只考虑重力且y轴竖直向上 时，N-S方程（2-28）简化为
* *
2vi* x*jx*j
（3-3）
式中由特征量组成了几个重要的无量纲参 数，即
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
L0 U0t0
St，称为斯特劳哈尔（Strouhal）数
U0 Fr，称为弗劳德（Froude）数 g0 L0
p0 Eu，称为欧拉（Eular）数
0U
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
在基本方程中，若各种物理量均以相 应的具有某种特征的同类物理量度量，则 有量纲的物理量均变为无量纲的物理量， 有量纲的方程组就可以表示为无量纲的方 程组。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
各物理量的无量纲量为
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学基本方程
微分形式的能量方程
D Dt
1 e u u dv u pn ds u fdv n qds 2 V S V S Fra bibliotek
第二雷诺输运定理
高斯定理
D Dt
S
V
e u u dv
1 2
duy 1 p yy 1 xy zy fy x dt y z
duz 1 pzz 1 xz yz fz dt z x z
2.3
能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
1 系统总能量， e u u dv，
单位质量流体的动能 1 u u 2 Wp pnv dS W t t dS 表面力作功功率， S S
2.2
动量守恒定理
微分形式的动量方程
D udv pn ds fdv V S V Dt
D udv Dt V
Du dv Dt V
n σ ds σ dv
S
pn n σ
Du dv σ dv fdv Dt V V V
2.3
能量方程
微分形式的能量方程
v2 v2 1 1 e1 v e1 f v v khT t 2 2
或写为：
2 d v 1 1 e1 f v v khT dt 2
流体力学基本方程
∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)∂x∂y Nhomakorabea∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体 质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。 控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不 变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界 情况选定的。
7
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给 出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面 上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
20
江苏大学
Jiangsu University
对于定常流动：控制体内的质量增量 ，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平 行平板，上板以匀速v向下平 移，间隙中的油向左右挤出 ，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速 随位置变化的关系u(x)。
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x ， y ， z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
单位体积流体的运动微分方程：
d p x fx d t x
⑵几何意义：
z ：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度） P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相 当）
2 : 单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。 2g
物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的 最高高度为v2/2g
三者之和为单位重量流体的总水头。
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
3.2 伯努利方程的应用
①
可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
②
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
-流体力学基本方程
力为
px dxdydz x
同理，作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的
合力分别为
py dxdydz y
pz dxdydz z
3.3.1 流体的表面应力张量
综和上述结果，可得到作用于单位体积流体的表面力
的合力
px x
dxdydz
py y
dxdydz
pz z
dxdydz
dxdydz
px py pz x y z
3.3.2 牛顿流体的本构方程
牛顿提出了关于粘性流体作直线层状运动时，
两流体层间的切应力的假设。认为切应力与层间
速度梯度成正比，即
yx du
y
dy
μ为动力粘性系数，
u+du
其值取决于流体的 dy
u
物理性质。通常称
x
上式为牛顿内摩擦
o
定律。
z
3.3.2 牛顿流体的本构方程
根据变形率张量和应力张量，上式左边对应于 平面直线运动特殊情况下的应力张量的一个切向分 量，右边的导数项对应于变形率张量的一个分量。 因此，可以理解为τyx与εyx成正比例
少 量 应 等 于 从 ρux
o dx
x
dz
控制体净流出
的流体质量。
z
控制体内流体的流入与流出
3.2 连续性方程
(1) 控制体内流体质量的变化 dt时间中控制体内流体密度的变化为
dt
t
dt时间中控制体内流体质量的减少量为
dxdydzdt
t
3.2 连续性方程
(2) 通过控制面净流出控制体的流体质量
如右图所示的 y
正六面体流体微团，
在垂直于x轴的左
右两个侧表面上，
流体力学第二章 基本方程
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。
流体力学的三个基本方程
流体力学的三个基本方程
1. 质量守恒方程：
质量守恒方程是基于质量守恒定律的表达式，描述了流体中质量的变化。
它可以表示为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算符。
2. 动量守恒方程：
动量守恒方程是基于牛顿第二定律的表达式，描述了流体中动量的变化。
它可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg.
其中，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
∂v/∂t表示对时间的速度偏导数，v·∇v表示速度矢量的梯度运
算，∇·τ表示应力张量的散度。
3. 能量守恒方程：
能量守恒方程描述了流体中能量的变化。
它可以表示为：
∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -p∇·v + ∇·(k∇T) +
ρv·g + Q.
其中，e是单位质量的内能，T是流体的温度，k是热传导系数，Q是单位质量的热源或耗散。
∂(ρe)/∂t表示对时间的内能偏导数，∇·(ρev)表示内能流的散度，p∇·v表示压力功的散度，
∇·(k∇T)表示热传导的散度，ρv·g表示重力功的散度。
这三个基本方程是流体力学的核心方程，通过它们可以描述流
体在各种条件下的运动、变形和能量转换。
它们是流体力学研究和
工程应用的基础。
欧拉方程流体力学
欧拉方程流体力学
欧拉方程流体力学是一种用来研究流体运动的数学方法。
它是由拉普拉斯在1822年提出的，用来描述流体运动的基本方程。
欧拉方程流体力学的基本原理是，流体的运动受到外力的影响，而外力又受到流体的影响。
欧拉方程流体力学的基本方程是：
∇·(ρv)=0
其中ρ是流体的密度，v是流体的速度。
这个方程表明，流体的运动受到外
力的影响，而外力又受到流体的影响。
欧拉方程流体力学的应用非常广泛，它可以用来研究流体的运动，如水流、气流、热流等。
它也可以用来研究流体的压力、温度、流速等物理量的变化。
此外，欧拉方程流体力学还可以用来研究流体的结构变化，如涡旋、湍流等。
欧拉方程流体力学是一种重要的数学方法，它可以用来研究流体的运动，从而
更好地理解流体的物理性质。
它的应用非常广泛，可以用来研究流体的压力、温度、流速等物理量的变化，也可以用来研究流体的结构变化。
流体力学流体力学基本方程
§3-2 连续性方程
(u) () (w) 0
t x
y
z
对于定常流动（恒定流）：
(u) () (w) 0
x
y
z
当ρ=常数时（不可压缩流体）：
u w 0
x y z
作业：P106，第6题、第8题。
§3-3 流体运动的微分方程
一. 理想流体的运动微分方程：
理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。
x
dx 2
u
u x
dx 2
dy
(u)
x
dxdy
§3-2 连续性方程
同理,单位时间内y方向净流出的质量为： (v) dxdy
x
因此： dxdy (u) dxdy (v) dxdy 0来自txy
即： (u) (v) 0
t x y
三元流动： (u) () (w) 0
t x
y
z
加速度： a lim v1 v0 (to) t
而：
V1
V0
V t
t
V x
x
V y
y
V z
z
注意到： lim x u, t0 t
lim y ,
t0 t
z lim w t0 t
因此： a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
理想不可压缩流体在重力场中作恒定流动时沿元流各断面上总水头保持不由于元流的极限状态就是流线故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程
思考1
➢ 为什么河道较窄的地方流速较大？
思考2
➢ 高楼顶层的水压为什么较低？
思考3
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流管内的一束运动流体称为流束。
3. 元流：
如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管,微流管内的流 束称为元流。
4. 总流： 无数元流的总和称为总流。
§3-1 描述流体运动的方法
五.流量：
过流断面：与流线正交的横断面。
对曲面A,（体积）流量 Q： 单位时间内通过过流断面的流体体积。
Q VndA
1 p
as fs s
加速度： as
u t
u
u s
如果流动恒定，则：
as
u
du ds
d ds
u2 2
§3-5 伯努利方程
如果质量力仅为重力：
fs
g cos
g
dz ds
d ds
gz
如果ρ为常数：
as
fs
1
p s
1
dp ds
d ds
p
d ds
u2 2
d ds
gz
d ds
2. 欧拉法：
研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参 数的分布。
u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t)
§3-1 描述流体运动的方法
2. 欧拉法：
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-2 连续性方程
(u) () (w) 0
t x
y
z
对于定常流动（恒定流）：
(u) () (w) 0
x
y
z
当ρ=常数时（不可压缩流体）：
u w 0
x y z
作业：P106，第6题、第8题。
§3-3 流体运动的微分方程
一. 理想流体的运动微分方程：
理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。
A
平均流速：V = Q / A
§3-1 描述流体运动的方法
六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：
1. 均匀流与非均匀流：
在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流； 否之，则为非均匀流。
2. 渐变流与急变流：
在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变 流（或称缓变流）；否之，则为急变流。
第三章 流体力学基本方程
本章研究：
流体机械运动的基本力学规律及其在工程 中的初步应用。
思考1
➢ 为什么河道较窄的地方流速较大？
思考2
➢ 高楼顶层的水压为什么较低？
思考3
➢自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么
不能爬上几米的岸边山坡？
思考4
➢水流速度V2是多少？
§3-1 描述流体运动的方法
描述流体的运动的困难
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
七.一元流动、二元流动、三元流动：
若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流 动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数， 这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的 函数，这种流动称为一元流动。
dx dy dz x 2y 5z
dx1d(2y)d(5z) x 2 2y 5z
dx x
1 2
d(2 y) 2y
dx x
d(5 z) 5 z
由上述两式分别积分，并整理得：
§3-1 描述流体运动的方法
x
y c1
①
xc2z5c2 0
即流线为曲面 x y c1 和平面 xc2z5c20的交线。
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
加速度的投影值：
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
v v v v ay t u x v y w z
az
w t
u
w x
v
w y
w w z
作业：P52-53，第19题、第21题。
§3-1 描述流体运动的方法
二.恒定流与非恒定流：
ln x ln y C1 xyc
流线过点A（-1，-1） ∴ C =1
流线方程为： x y 1
§3-1 描述流体运动的方法
例2：已知某流场中流速分布为：u = -x， v = 2y, w = 5-z。 求通过点(x,y,z) = (2,4,1)的流线方程。
解：
流线微分方程为： dx dy dz u vw
p
0
积分得： gz p u2 const.
2
沿流线积分
§3-5 伯努利方程
或：z p u2 H const.
2g
这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利 方程。
Z
和p
：物理意义和几何意义见第二章
u2 ：物理意义→单位重量的流体所具有的动能 2g 几何意义→流速水头
V0 (x, y, z,t)
t+Δt 时刻位于(x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt),速度为：
V1(x x, y y, z z,t t)
V0和V1的关系为：
V1
V0
V t
t
V x
x
V y
y
V z
z
(泰勒展开式)
§3-1 描述流体运动的方法
用粗体字母表示矢量，则：
加速度： a lim v1 v0 (to) t
§3-1 描述流体运动的方法
描述流体的运动的困难
§3-1 描述流体运动的方法
一.拉格朗日法与欧拉法： 1.拉格朗日法：
§3-1 描述流体运动的方法
一.拉格朗日法与欧拉法： 1.拉格朗日法：
研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。
设某质点的轨迹为： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。 (a,b,c)为质点的初始位置坐标。
§3-1 描述流体运动的方法
动
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
例1：已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0
求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）的流线方程。 解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：
dx dy x y
因此：
d dt
d
dM dt
t
d
A
vndA
对于任一物理量φ（如动量）：
d dt
d
t
d
vndA
A
φ——单位体积的某物理量。
§3-2 连续性方程
d dt
d
t
d
vndA
A
即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的 时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。
由于质量守恒，因此：
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
流线：
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
流线和迹线的区别：
§3-1 描述流体运动的方法
流线微分方程：
设流线微段为：
2. 连续性方程的推导：
系统的流体质量为： M (t) (t)d (t)
质量守恒: 系统的质量在任何时刻都相等。
dM lim M (t t) M (t) 0
dt t0
t
我们选取 t 时刻系统的体积τ 和表面积 A 为控制体的 体积和表面积。
§3-2 连续性方程
dM lim M (t t) M (t) 0
从理想流体中取出边
长分别为dx、dy和dz的微 元平行六面体。设微元 体中心点的速度分量为u、 v和w，其压强为p、密度 为ρ。
x方向： max = F x
dxdydz
ax
f
x
dxdydz
p p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
§3-3 流体运动的微分方程
1 p
即： ax fx x
dt t0
t
M (t t) M (t) (t t)d (t)d
(tt)
(t)
(t t)d (t t)d (t)d
(t)
(t)
[(t t) (t)]d (t t)d
(t)
[(t t) (t)]d (t t)vndA t
(t)
A
§3-2 连续性方程
2u z 2
ay
fy
1
p y
2v
x2
2v y2
2v
z 2
az
fz
1
p z
2w x2
2w y2
2w
z 2
在N-S方程中，若 = 0（理想流体），则N-S方程变为
欧拉运动微分方程。
§3-5 伯努利方程
一.理想流体沿流线s的伯努利方程：
1. 方程的推导：
考查理想流体沿流线s的运动方程：
x
dx 2
u
u x
dx 2
dy
(u)
x
dxdy
§3-2 连续性方程
同理,单位时间内y方向净流出的质量为： (v) dxdy
x
因此： dxdy (u) dxdy (v) dxdy 0
t
x
y
即： (u) (v) 0
t x y
三元流动： (u) () (w) 0
t x
y