高考双曲线经典题

1、设双曲线22

22b

y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，

从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→

--OP |2

= |→-OQ ·→

--OR | ( O 为坐标原点)； (2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =

a

b

(x – a ), 解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,b

ak kab

+),

∴|→

-OQ ·→

--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab

+| =|

b k a |)k 1(b a 2

22222-+. 设→

--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:

m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 2

222

22k a b b a k -, ∴ |→

--OP

|2 = :m 2 + n 2 =

22222k a b b a -+ 2222

22k a b b a k -=2

22222k

a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 .

∴无论P 点在什么位置，总有|→

--OP |2

= |→-OQ ·→

--OR | .

（2）由条件得：2

22222k

a b )

k 1(b a -+= 4ab, 即k 2 =

2

2a 4ab ab

b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e >

4

17

2、已知以向量v =(1,

21)为方向向量的直线l 过点(0, 4

5)，抛物线C ：px y 22

=(p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若02=+⋅p (O 为原点，A 、B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程． 解：（Ⅰ）由题意可得直线l ：4

5

21+=

x y ① 过原点垂直于l 的直线方程为 x y 2-= ② 解①②得2

1

-

=x ． ∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上． ∴22

1

2⨯-=-

p ，2=p ∴抛物线C 的方程为x y 42

=．

（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x N ，

由02

=+⋅p ，得042121=++y y x x ．

又1214x y =，22

24x y =． 解得 821-=y y ③ 直线ON ：x x y y 22=

，即x y y 2

4= ④ 由③、④及1y y =得，

点N 的轨迹方程为2-=x )0(≠y ．

3、已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离

为l .

（1）求双曲线的方程；

（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一

点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.

（1）解：依题意有：.

3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧=+==b a c b a c a

a b

解得

可得双曲线方程为.13

2

2

=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性

,

33,33,

13.),,(222

0202

20

2

22

020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PN

PM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设

所以.333332

22

02=-+--=⋅x x x x k k P P PN

PM 4、已知点,A B 分别是射线()1:0l y x x =≥，()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ∆的面积为定值2．

（I ）求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；

（II ）过点()0,2N 作直线l ，与曲线C 交于不同的两点,P Q ，与射线12,l l 分别交于点,R S ，若点,P Q 恰为线段RS 的两个三等分点，求此时直线l 的方程． 解：（I ）由题可设()11,A x x ，()22,B x x -，(),M x y ，其中120,0x x >>.

则1212,(1)

2,(2)

2

x x x x x y +⎧

=⎪⎪⎨

-⎪=⎪⎩ 1分

∵OAB ∆的面积为定值2，

∴

)

1

21211

222

OAB S OA OB x x ∆=

⋅===. 2分

22(1)(2)-，消去12,x x ，得：222x y -=． 4分