中南大学复变函数考试试卷(A)及答案

中南大学考试试卷(A)

2008--2009学年第二学期 时间110分钟

复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 %

注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。

()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1

A i z i z zz

B i z i z

C z i z i

D z z z -++=-++=-++==-

2． 函数2

2

2

()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面

处处不可导

3． 下列命题中，不正确的是（ ）。

()()()()()()()()()0Res ,0

Im 1.

z z A f z f z B f z D z f z D C e i

D z e i

ωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆

4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。

()()()()

()2

2111

1112n n

n

n n n n i i i A B C i D n

n

n ∞∞

∞

∞

====⎛⎫

++

⎪⎝

⎭∑

∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0

lim 1z zf z →=，那么()()

Res ,0f z =（ ）。

()()()()2211A i B i C D ππ--

二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3．

()1

sin z

z z e

z dz =-=⎰ 。

4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数

()

1

1n

n z n

∞

=-∑

的收敛半径为 。

三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知2

2

,()1u x y xy f i i =-+=-+。

四．(20分)求下列积分的值 1．

()

2

2

4

1z z e dz z

z =-⎰

2．

()2

sin 0x x

dx a x a

+∞

>+⎰

五．(15分)若函数()z ϕ在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点；

求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤

'⎢⎥⎣

⎦。 六．（15分）试求()2

1

1f z z =

+以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0

01

t u t t >⎧=⎨

<⎩，试证明其傅氏变换为

()1

j πδωω

+。 中南大学考试试卷(A)答案

2008--2009学年第二学期 时间110分钟

复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 %

注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 三、单项选择题（15分，每小题3分） 6． A 7． B 8． A 9． C 10． C

四、填空题（15分，每空3分） 1

．4

i π

。

2． 。

3． 233z <-<。 4． 半平面()1Re 2

w >

R 。 5．0。

三．(10分)解:容易验证u 是全平面的调和函数。利用C-R 条件，先求出v 的两个偏导数。

()()()

()

()(),0,00

222,2(,)22211

222

x y x

y v u v u y x x y x y y x v x y y x dx x y dy C

x dx x y dy C x xy y C

∂∂∂∂=-=-==+∂∂∂∂=-+++=-+++=-+++⎰

⎰⎰则

四．(20分)求下列积分的值 1．()23e i π-

2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的

22

e d 2πRes[()e ,]ix iz

x x i R z ai x a

+∞

-∞

=+⎰

e

2lim

2ππ2

iz a

a

z ia ze i i ie z ia π--→==⋅=+

22220

sin 11d Im().22

ix

a x x x x e dx e x a x a π+∞

+∞--∞==++⎰

⎰因此

五．(15分)

()()()()()()()

()

()()()()

()()()()()()()

()()

()()()()()()()()()00000000000010010!

(1)0,!,Res ,n n

m

n n z z z z z z z z z z z n z f z m z f z z z z z z z z f z m z z z z f z z z z m z m z z m z z z z z n z f z z f z ϕϕϕϕϕψψψϕψϕϕψϕϕψϕψϕ∞-='=+-++

-+

=-≠''=+-⎧⎫'⎪⎪=+-+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭'∑解:函数在点解析等价于在的一个邻域内

为的阶零点等价于在的一个邻域内

其中在点解析,于是在的去心领域由此可知()

()()()()()00002Res ,z m z f z z z m z f z ϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦⎡⎤

'=-⎢⎥⎣⎦

与上面类似

六．（15分）

()

()()()

2

2

2

42242,cos 2

,.

22

11

12!

!

111

cos 12!4!

2!

z z n n

n e z R z e z z z z n z z z z z

n π

π

π±<

=+++

++<∞-=-++

++<∞函数

距原点最近的奇点其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,即=收敛范围为由