高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学 不等式证明的基本方法 竞赛讲义
不等式证明的基本方法及例题讲解【学习目标】1. 熟练掌握不等式的几个基本性质2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题等【重点、难点】1. 不等式的几个基本性质2. 应用不等式的基本性质解题、证明问题【教学过程】一、知识内容梳理 1. 不等式的基本性质 （1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒>注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈2、a b a b a b -≤+≤+（1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥（2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3.）a b b c a c-+-≥-，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥二、不等式证明的基本方法：1.差值比较.欲证，b a >只需证明.0>-b a2.商值比较.欲证()0>>b b a ，,只需证明.1>ba三、例题讲解：1.()改编题设,1->a 求证：6322≥+aa 思路：没有拆项而言，只有分析 证明：欲证6322≥+aa ， 只需证明032623≥+-a a 即证()().0242≥+-a a因为,1->a所以()().0242≥+-a a2.设,1->a 求证：3040002≥+aa 思路：没有拆项而言，只有分析证明：欲证3040002≥+a a ， 只需证明040003023≥+-a a 即证()().010202≥+-a a因为,1->a所以()().010202≥+-a a3.()增加一个方法常规题-设,,a b c R +∈，求证：()3a b c a b ca b c abc ++≥思路1：函数法，所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。
高中数学竞赛教案讲义(9)不等式
第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;（7）a>b>0, n ∈N +⇒a n>b n; （8）a>b>0, n ∈N +⇒nn b a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nn b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|,-|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc=(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
数学竞赛常见解题方法总结
数学竞赛常见解题方法总结数学竞赛常见解题方法可以分为几个大类，包括代数、几何、概率与统计以及数论。
每个类别下又有不同的方法和技巧，适用于解答不同类型的题目。
下面将对这些常见解题方法进行总结和分析。
一、代数类解题方法1. 数列求和：对于给定的数列，可以用等差数列或等比数列的求和公式来快速求解。
此外，还可以利用差分法、二次差分法等方法求和。
2. 方程求解：对于一元二次方程、一次方程及其他更复杂的方程，可以运用配方法、因式分解、绝对值法、韦达定理等方法求解。
3. 不等式求解：针对不等式问题，可以运用代换法、区间判断法、平方运算法等方法，求解不等式的解集。
4. 函数图像分析：可以通过求导、极值问题等方法，对函数的图像进行分析和求解。
5. 组合函数求解：针对给定的复合函数，可以通过逆函数定义、复合函数的性质等方法进行求解。
二、几何类解题方法1. 平面几何定理：常用平面几何定理包括平行线定理、相似三角形定理、勾股定理等。
在解题过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法，将问题转化为已知几何定理的形式进行求解。
2. 三角形性质利用：针对三角形问题，可以应用三角形中位线、垂心定理、欧拉定理等几何性质进行解题。
3. 向量方法：向量方法在几何问题中有广泛应用，常用于求解线段的中点、平行四边形的性质、共线问题等。
4. 坐标系与方程运用：对于平面几何问题，可以通过建立坐标系，利用坐标运算进行解题。
此外，还可以通过方程的运用，表示几何图形，进而求解问题。
三、概率与统计类解题方法1. 随机事件计算：针对概率问题，可以利用集合论的知识进行解题，包括用频率定义概率、利用互斥事件和对立事件计算概率等方法。
2. 组合计数：在概率和统计问题中，常常需要进行组合和计数的运算。
可以利用阶乘、排列组合等方法进行计算。
3. 数据处理与分析：对于给定的数据集合，可以通过构造频率分布表、绘制直方图、计算中位数、算术平均数等方法进行数据的处理和分析。
高中数学竞赛 不等式
高 中 数 学 竞 赛 不等式 有答案1．不等式的概念与性质 【一】知识要点1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。
2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。
【二】解题指导 例1： 若610≤≤a ，122a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。
例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()【三】巩固练习 一、选择题1、下列四个命题：（1）若ax b >，则x b a>；（2）若a x a y 22>，则x y >；（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >； （4）若xa y a 22>，则x y >。
其中正确的命题的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、若a b ,是任意实数，且a b >，则（A ）a b 22> （B ）b a>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )21()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是 （A ）a b 22> （B ）ab>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有 （A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1（C ）x y z ++<-3 （D ）()xyz 21> 6、当a b c >>时，下列不等式成立的是（A ）ab ac > （B ）a c b c ||||> （C ）||||ab bc > （D ）()||a b c b -->0 二、填空题1、已知a b c R ,,∈，且a c b <<，则c ab 2+ ()a b c +（用不等号连结）。
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
高中数学竞赛不等式的证明方法 (比较法)
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。
不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。
对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。
不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。
在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。
一．比较法一般而言，比较法有两种形式：（1）差值比较法：欲证B A ≥，只需证0≥-B A 即可； （2）商值比较法：若0>B ，欲证B A ≥，只需证1≥BA即可。
注意在利用比较法证明不等式时，常需要对所要证明的不等式进行恰当的变形，如因式分解、拆项、合并项等。
一．差值比较法要证明b a >，最基本的方法就是证明0>-b a ，即把不等式的两边相减，转化为比较差与0的大小问题。
这种方法称为差值比较法，有时也叫做比差法。
差值比较法证明不等式的步骤：“作差――变形――判断符号”，为了便于判断符号，往往把差式变形为积的形式或完全平方形式。
例1．已知b a ,都是正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+。
分析：可以把不等式两边相减，通过适当的变形，转化为一个能明确确定正负的代数式。
证明：)()()()()()(b a b b a a b ab b a a ab b a b a ---=---=+-+2232232233＝222))(())((b a b a b a b a -+=-- 因为b a ,都是正数，所以0>+b a ， 又因为b a ≠，所以0)(2>-b a 从而0))((2>-+b a b a ， 即0)()(2233>+-+ab b a b a 所以2233ab b a b a +>+。
评注：此题是不等式证明的典型题目，其拆项是有一定的技巧的，需要有较强的观察能力。
全国高中数学竞赛专题不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不等式的性质,不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义,也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： 1a b b a <⇔>对称性2c b c a b a +>+⇔>加法保序性3.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>4*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.1c a c b b a >⇒>>,传递性.这是放缩法的依据. 2.,d b c a d c b a +>+⇒>> 3.,d b c a d c b a ->-⇒<> 4.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：1.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ 2.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 3||||||||||||b a b a b a +≤±≤-三角不等式.4.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.因此,要熟练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始;1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法; 1差值比较法原理：A － B ＞0A ＞B ．例1 设a, b, c ∈R +, 试证：对任意实数x, y, z, 有x 2+y 2+z 2.))()((2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++≥xz b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc 证明：左边-右边= x 2+y 2+z 2222()()()()()()ab bc caxy yz xz b c c a a b c a a b b c ---++++++所以左边≥右边,不等式成立;2商值比较法原理：若>1,且B>0,则A>B;例2 若a<x<1,比较大小：|log a 1-x|与|log a 1+x|.解：因为1-x ≠1,所以log a 1-x ≠0,|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log 1-x 1+x|=-log 1-x 1+x=log 1-x x +11>log 1-x 1-x=1因为0<1-x 2<1,所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1.所以|log a 1+x|>|log a 1-x|.2．分析法即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,叙述方式为：要证……,只需证……;例3 已知a, b, c ∈R +,求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab -证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+, 因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+,所以原不等式成立;例4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21,求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤- 证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21,由二次函数性质可证a1-a ≤b1-b ≤c1-c, 所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-,所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-,所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-,也就是证)1)(1()1)(1(b a b ba b a a b a ---≤---,只需证ba-b ≤aa-b,即a-b 2≥0,显然成立;所以命题成立;3．综合法例5 若a,b,c>0,求证：abc≥a+b -cb+c-ac+a-b; 证明:∵a+b -c+b+c-a=2b ＞0, b+c-a+c+a-b=2c ＞0,c+a-b+a+b-c=2a ＞0,∴a+b -c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.1当a+b-c,b+c-a,c+a-b 中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立. 2a+b-c,b+c-a,c+a-b 均为正时,则()()()()2a b c b c a a b c b c a b +-++-+-+-≤=同理()()()(),,a b c a c b a b c a a c b c +-+-≤+-+-≤三式相乘得abc ≥a+b -cb+c-ac+a-b例6 已知△ABC 的外接圆半径R=1,S △ABC =,a,b,c 是△ABC 的三边长,令S=,t=;求证：t>S;解：由三角形面积公式:1sin 2bc A .正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.所以bc ac ab aabc b abc c abc a b c 所以t>s;4．反证法例7 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0,且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0,求证a k ≤0k=1, 2,…, n-1.证明：假设a k k=1, 2,…,n-1 中至少有一个正数,不妨设a r 是a 1, a 2,…, a n-1中第一个出现的正数,则a 1≤0, a 2≤0,…, a r-1≤0, a r >0. 于是a r -a r-1>0,依题设a k+1-a k ≥a k -a k-1k=1, 2, …, n-1;所以从k=r 起有a n -a k-1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r-1>0.因为a n ≥a k-1≥…≥a r+1≥a r >0与a n =0矛盾;故命题获证;5．数学归纳法例8 对任意正整数n ≥3,求证：n n+1>n+1n.证明：1当n=3时,因为34=81>64=43,所以命题成立;2设n=k 时有k k+1>k+1k,当n=k+1时,只需证k+1k+2>k+2k+1,即12)2()1(++++k k k k >1.因为1)1(1>++k k k k ,所以只需证12)2()1(++++k k k k kk k k )1(1+>+, 即证k+12k+2>kk+2k+1,只需证k+12>kk+2,即证k 2+2k+1>k 2+2k. 显然成立; 所以由数学归纳法,命题成立;6.分类讨论法例9 已知x, y, z ∈R +,求证：.0222222≥+-++-++-yx x z x z z y z y y x 证明：不妨设x ≥y, x ≥z.ⅰx ≥y ≥z,则zy z x y x +≤+≤+111,x 2≥y 2≥z 2,由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222,原不等式成立; ⅱx ≥z ≥y,则zy y x z x +≤+≤+111,x 2≥z 2≥y 2,由排序原理可得 yx x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++222222,原不等式成立; 7.放缩法即要证A>B,可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >Bn ∈N +.例10 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证：.mc cm b b m a a +>+++ 证明：m b a m m b a b a m b a b m b a a m b b m a a ++-=+++=+++++>+++1mc cm c m +=+->1 因为a+b>c,得证; 8.引入参变量法例11 已知x, y ∈R +, l, a, b 为待定正数,求fx, y=2323yb x a +的最小值;解： 设k x y =,则k kly k l x +=+=1,1,fx,y==⎪⎪⎭⎫⎝⎛++23322)1(k b a l k 22333233333211111l k a k b k b k b k a k a b a l ≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+⋅++++ a 3+b 3+3a 2b+3ab 2=23)(l b a +,等号当且仅当y bx a =时成立;所以fx, y min =.)(23lb a + 例12 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1,求证：x 1+x 2+x 3+x 42≤4x 1x 2x 3x 4. 证明：设x 1=kx 2+x 3+x 4,依题设有31≤k ≤1, x 3x 4≥4, 原不等式等价于1+k 2x 2+x 3+x 42≤4kx 2x 3x 4x 2+x 3+x 4,即kk 4)1(2+x 2+x 3+x 4 ≤x 2x 3x 4,因为fk=k+k 1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31上递减, 所以k k 4)1(2+x 2+x 3+x 4=)21(41++kk x 2+x 3+x 4≤42313++·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. 所以原不等式成立;9.局部不等式例13 已知x, y, z ∈R +,且x 2+y 2+z 2=1,求证：222111zz y y x x -+-+-.233≥ 证明：先证.233122x xx ≥- 因为x1-x 2=3323221)1(2213222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤-⋅x x , 所以.233332)1(122222x x x x x x x =≥-=- 同理222331y yy ≥-,222331z z z ≥-, 所以.233)(233111222222=++≥-+-+-z y x z z y y x x 例14 已知0≤a, b, c ≤1,求证：111+++++ab cca b bc a ≤2; 证明：先证.21cb a abc a ++≤+ ①即a+b+c ≤2bc+2. 即证b-1c-1+1+bc ≥a.因为0≤a, b, c ≤1,所以①式成立; 同理.21,21cb a cab c c b a b ca b ++≤+++≤+ 三个不等式相加即得原不等式成立;10.利用函数的思想例15 已知非负实数a, b, c 满足ab+bc+ca=1,求fa, b, c=a c cb b a +++++111的最小值; 解：当a, b, c 中有一个为0,另两个为1时,fa, b, c=25,以下证明fa, b, c ≥25.不妨设a ≥b ≥c,则0≤c ≤33, fa, b, c=.111222ba cb ac c ++++++ 因为1=a+bc+ab ≤4)(2b a ++a+bc,解关于a+b 的不等式得a+b ≥212+c -c. 考虑函数gt=tc t 112++, gt 在+∞+,12c 上单调递增;又因为0≤c ≤33,所以3c 2≤1. 所以c 2+a ≥4c 2. 所以2)1(2c c -+≥.12+c 所以fa, b, c=b a c b a c c ++++++111222≥)1(211)1(2122222c c c c c c c -+++-+++ =1112222+++++c cc c c =21321112222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c c c c ≥231422c c ++-下证≥++-c c )11(320 ① ⇔+≥+⇔1332c c c 2+6c+9≥9c 2+9⎪⎭⎫⎝⎛-⇔c c 43≥0 .43≤⇔c因为4333<≤c ,所以①式成立;所以fa, b, c ≥25,所以fa, b, c min =.25 11.构造法例16 证明：≤;提示：构造出x,0到两定点的距离之差,并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值,从而结论得证;12.运用着名不等式1平均值不等式：设a 1, a 2,…,a n ∈R +,记H n =na a a n11121+++ , G n =n n a a a 21, A n =12,na a a n+++22212nn a a a Q n+++=则H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均;其中等号成立的条件均为a 1=a 2=…=a n .当n=2时,平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得A n ≤Q n ,再由G n ≤A n 可得H n ≤G n ,以下仅证G n ≤A n .1当n=2时,显然成立；2设n=k 时有G k ≤A k ,当n=k+1时,记k k k a a a a ++1121 =G k+1.因为a 1+a 2+…+a k +a k+1+k-1G k+1≥k k k k k k G a k a a a k 11121-++⋅+≥==+-++k kk k k k k G k G a a a k 22121112122 2kG k+1,所以a 1+a 2+…+a k+1≥k+1G k+1,即A k+1≥G k+1. 所以由数学归纳法,结论成立;例17 利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++ 思路分析左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换．．的方法. 略解ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 评述1利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221,可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时,可连续使用基本不等式.2基本不等式有各种变式 如2)2(222b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1.例18 已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥+b a 思路分析不等式左边是a 、b 的4次式,右边为常数81,如何也转化为a 、b 的4次式呢.略解要证,8144≥+b a 即证.)(81444b a b a +≥+ 2柯西Cavchy 不等式：设1a 、2a 、3a ,…,n a 是任意实数,则等号当且仅当k ka b i i (=为常数,),,2,1n i =时成立.证明：不妨设),,2,1(n i a i =不全为0,i b 也不全为0因为i a 或i b 全为0时,不等式显然成立.记A=22221n a a a +++ ,B=22221n b b b +++ .且令),,,2,1(,n i Bby A a x i i i i ===则.1,12222122221=+++=+++n n y y y x x x 原不等式化为.12211≤+++n n y x y x y x即≤+++)(22211n n y x y x y x 2222122221n n y y y x x x +++++++ .它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i == 从而原不等式成立,且等号成立的充要条件是).(BA k ka b i i == 变式1：若a i ∈R , b i ∈R , i=1, 2, …, n,则.)()()(212112∑∑∑===≥ni i ni i ni iib a b a 等号成立条件为a i =λb i ,i=1, 2, …, n;变式2：设a i , b i 同号且不为0i=1, 2, …, n,则.)(1211∑∑∑===≥ni ii ni i ni iiba ab a 等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .例19 设+∈R x x x n ,,,21 ,求证：.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-思路分析 注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 评述注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之.详解 ∵0,,,21>n x x x ,故由柯西不等式,得2111323212)(x x x x x x x x x x x x n nn n ⋅+⋅++⋅+⋅≥- 2121)(n n x x x x ++++=- ,∴.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-评述这是高中数学联赛题,还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.3排序不等式：又称排序原理设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211同序和jn n j j b a b a b a +++≥ 2211乱序和1121b a b a b a n n n +++≥- 逆序和其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号对任一排列n j j j ,,,21 成立.证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时若n j n =,则考虑1-n j ,且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ① 事实上,左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知,当n j n ≠时,调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11n j n ≠中n b 与n j 位置其余不动,所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后,接着再仿上调整1-n a 与1-n b ,又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211 ②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之,若它们不全相等,则必存在n j 及k ,使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.例20 .222,,,333222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证 思路分析中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.略解不妨设ab c c b a c b a 111,,222≥≥≥≥≥≥则, 则b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅乱序和c c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥逆序和, 同理b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅乱序和cc b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥逆序和 两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组abac bc c b a 111333≥≥≥≥及, 仿上可证第二个不等式.例21 设*21,,,N a a a n ∈ ,且各不相同,求证：.32131211223221na a a a n n ++++≤++++思路分析不等式右边各项221ia i a i i ⋅=；可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 略解设n n a a ab b b ,,,,,,2121 是的重新排列,满足n b b b <<< 21,又.131211222n>>>>所以223221232213232n b b b b n a a a a n n ++++≥++++.由于n b b b ,,21是互不相同的正整数,故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n nb b b b n 121132223221+++≥++++,原式得证. 评述排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式,,22a b b a b a ⋅+⋅≥+ 例22 在△ABC 中,试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA思路分析 可构造△ABC 的边和角的序列,应用排序不等式来证明之.详解 不妨设c b a ≤≤,于是.C B A ≤≤由排序不等式,得相加,得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π,得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ得.2π<++++c b a cC bB aA ②由①、②得原不等式成立.例23 设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列,求证.2211n b a b a b a nn ≥+++ 思路分析 应注意到),,2,1(11n i a a ii ==⋅略证 不妨设n a a a ≥≥≥ 21,因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤ ,又nn a a a b b b 1,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列,于是得到 例24 设正数c b a ,,的乘积1=abc ,试证：.1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a 略解 设xzc z y b y x a ===,,,这里z y x ,,都是正数, 则原需证明的不等式化为y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然 中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数,则此时结论显然成立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数,则z y x ,,是某三角形的三边长.容易验证)].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+ 评述 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a 证明：设1,1,1,1====xyz zc y b x a 则,且所需证明的不等式可化为23222≥+++++y x z x z y z y x , 现不妨设z y x ≥≥,则yx z x z y z y x +≥+≥+, 据排序不等式 得y x z x z y z y x +++++222yx z y x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y x z x z y z y x +++++222yx z x x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥ 两式相加并化简可得)(2222y x z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x 4切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21,n b b b ≤≤≤ 21 ,则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++证明：由题设和排序不等式,有n n b a b a b a +++ 2211=n n b a b a b a +++ 2211,132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ ,…… 将上述n 个不等式叠加后,两边同除以n 2,即得欲证的不等式.。
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式（2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。
）例2 若a<x<1，比较大小：|log a (1-x)|与|log a (1+x)|. 解：因为1-x ≠1，所以log a (1-x)≠0,|)1(log ||)1(log |x x aa -+=|log (1-x)(1+x)|=-log (1-x)(1+x)=log (1-x)x +11>log (1-x)(1-x)=1（因为0<1-x 2<1，所以x+11>1-x>0, 0<1-x<1）. 所以|log a (1+x)|>|log a (1-x)|.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。
）例3 已知a, b, c ∈R +，求证：a+b+c-33abc ≥a+b .2ab - 证明：要证a+b+c 33b a c ⋅⋅-≥a+b .2ab -只需证332abc ab c ≥+，因为33332abc b a c ab ab c ab c =⋅⋅≥++=+， 所以原不等式成立。
例 4 已知实数a, b, c 满足0<a ≤b ≤c ≤21，求证：.)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-证明：因为0<a ≤b ≤c ≤21，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，所以)1(1)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-， 所以)1(2)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-， 所以只需证明)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-， 也就是证)1)(1()1)(1(b a b b a b a a b a ---≤---，只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。
它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。
2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。
霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。
霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。
3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。
4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。
当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。
5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。
根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。
高中不等式的解题方法与技巧
高中不等式的解题方法与技巧高中不等式是数学中的一个重要部分，它在数学竞赛和日常生活中都有广泛应用。
解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍一些常用的解题方法。
1. 移项法移项法是解决不等式问题最基本的方法之一。
当我们遇到一个不等式时，可以将其看做一个方程，然后通过移项使不等式符号变为相反的符号。
例如：2x + 5 > 7移项后得到：2x > 2x > 12. 合并同类项法合并同类项法是指将含有相同未知数的项合并在一起。
例如：3x + 5 > 4x - 1合并同类项后得到：x > -63. 因式分解法因式分解法是指将不等式中的多项式因式分解，并根据因子的正负性来确定未知数的取值范围。
例如：2x^2 - x - 3 > 0将其因式分解得到：(2x + 3)(x - 1) > 0由于两个因子都为二次函数，所以可以画出函数图像来确定未知数的取值范围。
4. 借助图像法借助图像法是指通过画出函数图像来确定未知数的取值范围。
例如：x^2 - 4x + 3 > 0将其转化为函数图像的形式，得到：从图像中可以看出，不等式的解为x < 1或x > 3。
5. 取绝对值法取绝对值法是指将不等式中的绝对值转化为两个不等式，并根据两个不等式的解来确定原不等式的解。
例如：|2x - 3| > 5将其转化为两个不等式，得到：2x - 3 > 5 或者 2x - 3 < -5解得：x > 4 或者 x < -1综合起来，原不等式的解为x < -1或者 x > 4。
以上是一些常用的高中不等式解题方法和技巧。
需要注意的是，在解决问题时要注意符号的变化和特殊情况。
同时，还需要多做题、多思考、多总结，才能够掌握这些方法和技巧，并在实际应用中灵活运用。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全（实用版）目录1.竞赛不等式的基本概念2.高中竞赛不等式的分类3.高中竞赛不等式的解题技巧4.高中竞赛不等式的应用实例正文【高中竞赛不等式公式大全】一、竞赛不等式的基本概念竞赛不等式是高中数学竞赛中经常出现的一类题型，它涉及到较深的数学知识，需要运用较高的数学技巧来解决。
竞赛不等式主要考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式主要分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是一次的。
2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是二次的。
3.多元不等式：涉及多个未知数。
4.绝对值不等式：包含绝对值符号的不等式。
5.复合不等式：包含多个不等式的不等式。
三、高中竞赛不等式的解题技巧1.符号法则：根据不等式的符号，确定未知数的取值范围。
2.同向相乘，反向相加：将不等式中的乘法项同向相乘，加法项反向相加，使不等式变形，便于求解。
3.移项：将不等式中的项移到同一侧，使未知数的系数为 1。
4.分类讨论：根据不等式的特点，对未知数的取值范围进行分类讨论，求解不等式。
5.利用基本不等式：运用基本不等式求解复杂的不等式。
四、高中竞赛不等式的应用实例1.求解一元一次不等式：根据符号法则，同向相乘，反向相加，移项等技巧，求解一元一次不等式。
2.求解一元二次不等式：运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解一元二次不等式。
3.求解多元不等式：根据不等式的特点，运用分类讨论，符号法则等技巧，求解多元不等式。
4.求解绝对值不等式：利用绝对值不等式的性质，运用符号法则，同向相乘，反向相加等技巧，求解绝对值不等式。
5.求解复合不等式：根据不等式的特点，运用符号法则，同向相乘，反向相加，移项，分类讨论等技巧，求解复合不等式。
高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式
a
x y z , b , c ( x, y, z 0) ，使非奇次不等式变为奇次不等式；对于三角形的 3 条边，常 y z x
作代换
a m n, b n l , c l m(m, n, l 0) .
例 2 a 是一个循环小数， f k (m) 表示 a 的小数点后第 k 位开始，连续 m 位上的数字之积，
nk 2 (n 2) tan .分别在 A1 A2 , A2 A3 ,..., An A1 上取点 B1 , B2 ,..., Bn ，使得 4 2n
| A1 B1 | b1 ,| B1 A2 | a1 ,| A2 B2 | b2 ,| B2 A3 | a2 ,..., | Ai Bi | bi ,| Bi Ai 1 | ai ,...,| An Bn | bn ,| Bn A1 | an .于是 1 | Bi Ai 1 | | Ai 1 Bi 1 | sin Bi Ai 1 Bi 1 2 1 (n 2) 。 ai bi 1 sin 2 n S Bi Ai1Bi1
从而 s aq 1a p 2 ...a p s G 。
s t 同理可证，一定存在正整数 q ，对任意的 t ，有 t aq 1aq 2 ...aq 1 G 即 f p (s) f q (t ) . 1 1
评注 这里采用的证题方法叫做磨光变换，它实质上就是逐步调整法，通常适合对 n 个正 数的不等式，其中当 n 个变量相等时，取到等号.本题在设置变换时，保持 n 个正数的几何平均 不变. 2．2 不等式证明的特殊技巧 例 3 ai 0, bi 0(i 1, 2,..., n), n 3 ， 且 a1 b1 a2 b2 ... an bn k ，则
高中数学中的不等式求解方法
高中数学中的不等式求解方法在高中数学学科中，不等式是一个重要的概念。
不等式的求解是解决不等式问题的关键步骤。
本文将介绍高中数学中常见的不等式求解方法，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
1. 一元一次不等式的求解方法一元一次不等式是高中数学中最简单的不等式形式，形如ax + b > 0的形式。
对于这类不等式，我们可以使用如下方法求解：（1）根据不等式中的不等号确定等于零的条件，即ax + b = 0。
解这个方程可以得到不等式的临界点。
（2）根据临界点将数轴分成若干个区间。
（3）选取区间内的一组值代入原不等式，判断符号。
（4）根据符号判断确定不等式的解集。
2. 一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是比一元一次不等式更复杂的一种形式。
解决一元二次不等式的关键是找到二次函数的图像与x轴夹角所对应的区间。
（1）将不等式化为标准形式，即ax² + bx + c > 0。
（2）使用一元二次方程求根公式，求出二次函数的根。
（3）根据二次函数开口方向，绘制二次函数的图像。
（4）根据图像与x轴夹角所对应的区间，确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式的求解方法绝对值不等式是一个常见的不等式形式。
它的解决方法主要有以下两种情况：（1）当绝对值不等式中的绝对值表达式大于等于零时，拆分绝对值不等式，将问题转化为一元一次不等式求解。
（2）当绝对值不等式中的绝对值表达式小于零时，证明无解。
4. 有理不等式的求解方法有理不等式是指包含有理函数的不等式。
解决有理不等式的关键是确定有理函数的零点和极值点，然后根据区间判断符号。
（1）将有理不等式转化为相应的分式。
（2）求出分式的分母为零的根和分式的分子为零的根作为不等式的临界点。
（3）根据临界点将数轴分成若干个区间。
（4）选取区间内的一组值带入原不等式，判断符号。
（5）根据符号判断确定不等式的解集。
5. 复合不等式的求解方法复合不等式是指将多个不等式联立起来，通过求解这个系统不等式来得到满足条件的解集。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念和意义2.高中竞赛不等式的分类和特点3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧4.高中竞赛不等式的应用实例5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念和意义】竞赛不等式是指在解决各类数学竞赛题目中，涉及到的不等式问题。
这类问题不仅在高中数学竞赛中占有重要地位，也是选拔和培养优秀数学人才的重要手段。
高中竞赛不等式作为数学竞赛的一个组成部分，对于提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
【2.高中竞赛不等式的分类和特点】高中竞赛不等式可以分为以下几类：（1）代数不等式：涉及变量的代数式大小关系问题。
（2）几何不等式：涉及线段、角、三角形等几何元素的大小关系问题。
（3）三角不等式：涉及正弦、余弦、正切等三角函数的大小关系问题。
（4）对数不等式：涉及对数函数的大小关系问题。
（5）指数不等式：涉及指数函数的大小关系问题。
高中竞赛不等式的特点主要表现在：题目难度较大，需要运用一定的数学知识和技巧进行解答。
同时，这类题目具有较高的灵活性和广泛性，能够充分检验学生的数学能力。
【3.高中竞赛不等式的解题方法与技巧】解决高中竞赛不等式问题，需要掌握一定的解题方法和技巧：（1）分析法：通过对题目中的条件进行分析，找到不等式成立的充分条件。
（2）综合法：将题目中的条件综合起来，利用数学公式和定理进行推导。
（3）代换法：将题目中的变量进行代换，化简原不等式，便于求解。
（4）构造法：通过构造新的数学对象，将原不等式转化为更容易解决的问题。
（5）特殊值法：通过取特殊值，检验原不等式是否成立。
【4.高中竞赛不等式的应用实例】例题：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1，求证：f(x)≥0。
解：首先，我们可以求出函数的导数f"(x)=6x^2-6x+1，然后令f"(x)=0，解得x=1/2 或x=1。
接着，我们可以通过分析法，得出当x∈(-∞,1/2]∪[1,+∞) 时，函数f(x) 单调递增；当x∈[1/2,1] 时，函数f(x) 单调递减。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念与重要性2.高中竞赛不等式的分类3.常见高中竞赛不等式公式4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念与重要性】竞赛不等式是数学竞赛中常见的一种题型，它涉及到解决实际问题的能力，是高中数学竞赛的重要组成部分。
掌握竞赛不等式，对于提高数学竞赛成绩具有重要意义。
【2.高中竞赛不等式的分类】高中竞赛不等式主要分为以下几类：（1）代数不等式：涉及代数运算，如加减乘除、乘方、开方等。
（2）几何不等式：涉及几何概念，如线段、角度、面积、体积等。
（3）三角不等式：涉及三角函数，如正弦、余弦、正切等。
（4）对数不等式：涉及对数函数，如自然对数、常用对数等。
（5）指数不等式：涉及指数函数，如自然指数、幂指数等。
【3.常见高中竞赛不等式公式】（1）均值不等式：对于任意正实数a1, a2,..., an，有(a1^2 + a2^2 +...+ an^2) / n >= (a1 + a2 +...+ an) / n。
（2）柯西不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 +...+ an^2)(b1^2 + b2^2 +...+ bn^2)。
（3）排序不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有a1b1 + a2b2 +...+ anbn <= (a1 + a2 +...+ an)(b1 + b2 +...+ bn)。
（4）赫尔德不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和正整数p，有(a1^p + a2^p +...+ an^p) / p >= (a1 + a2 +...+ an) / n。
【4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧】（1）熟练掌握各种不等式的基本形式和特点，以便在解题过程中迅速识别和运用。
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高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...nr r n r S a b a b a b =+++。
不等式 1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.nnk n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上，()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和nr b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...nr r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++ 有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故 3()a b c a b c a b c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥ 根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333a b c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r snnn ni j r s r s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1snj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式 1nsr s b d r s=≤+∑又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11r nnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0） 故 11111r s sr n nn nni j j ir i r r s r s r a b b a a d r sr s=======++∑∑∑∑∑11111n n nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式. 其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n ，12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明： 先证 ()()G n A n ≤. 记c = ii a b c=， 则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥ 下证 ()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号. 下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有 x y a a +≥=从而 log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+ 下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
又因为 2111()244x y x x x +=-=--+≤，等号在x=12(这时y=14)时取得 所以 1log ()log 28x y a a a a +≤+ .例5（IMO ）设a,b,c 是正实数，且满足abc=1. 证明：111(1)(1)(1)1a b c b c a-+-+-+≤证明：令 ,,y y z a b c xzx===，其中x,y,z 是正实数，将原不等式变形为()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤ （2-1）记 ,,u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么0uvw xyz≤<，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式1()2x y z y z x x≤-++-+=y≤z于是xyz≤即uvw xyz≤，（2-1）式得证.例6已知12,,...,0na a a>，且12 (1)na a a+++=.求证：1223131211...1...1 (21)nn n naa a na a a a a a a a a n-++≥++++++++++++-.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22n nii ii iaa a===---∑∑.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia-可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为112(1)22n nii ii iaa a===---∑∑，对12222,, (222)a a a ---，利用()()A n H n ≥有111222n ini i ii a n a n a ==≥--∑∑即 22211221122122nini i i a n n n n n n a ==-≥==---∑∑ 所以 2111222(1)22221nn ni i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =- .3．柯西不等式定理3 设i a ，i b R ∈（i=1,2,…n ）,恒有不等式222111.()nnniii i i i i a b a b ===≥∑∑∑，当且仅以上给出了柯西不等式的几种证法。