【名师解析】福建省三明市A片区高中联盟校2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合{A =-,{B =-,则A B =ð( )
A .
{}0 B .{- C .{}1- D .{-
3.若()1
cos 3
πα+=-
,则cos α的值为( )
A .
13 B .13- C .3
D .3-【答案】A 【解析】
试题分析:由()cos cos παα+=-,所以1
cos 3
α=,故选A. 考点:诱导公式.
4.已知幂函数
()f x x α=的图像过点(4,2),若()3f m =,则实数m 的值为( )
A
. C .9± D .9
6.已知函数()y f x =的对应关系如下表,函数()y g x =的图像是如下图的曲线ABC ,其中(1,3),(2,1),(3,2)A B C 则的()2f g ⎡⎤⎣⎦值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
7.若集合{
A x y ==
,{}22B y y x ==+,则A B =( )
A .[)1,+∞0
B .()1,+∞
C .[)2,+∞
D .()2,+∞ 【答案】C 【解析】
试题分析:由{
{}{}|10|1A x y x x x x ==
=-≥=≥,
{}{}22|2B y y x y y ==+=≥,所以[1,),[2,)A B =+∞=+∞,故[2,)A B ⋂=+∞,选
C.
考点:1.集合的交集运算;2.函数的定义域与值.
8.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍,则函数的图像大致为( )
【答案】D 【解析】
试题分析:设初始年份的荒漠化土地面积为(0)a a ≠,则1年后荒漠化土地面积为
(10.104)a +,2年后荒漠化土地面积为2[(10.104)](10.104)(10.104)a a +⨯+=+,3年
后荒漠化土地面积为2
3
[(10.104)](10.104)(10.104)a a +⨯+=+,所以x 年后荒漠化土地
面积为(10.104)x a +,依题意有(10.104)x y a a ⨯=+即 1.104x y =, 1.1041>,由指数函数的图像可知,选D.
考点:1.指数函数的图像与性质;2.函数模型及其应用.
9.已知sin15cos15a =︒︒,2
2
cos sin 6
6
b π
π
=-,2tan 301tan 30c ︒
=
-︒
,则,,a b c 的大小关系
是( )
A .a b c <<
B .a b c >>
C .c a b >>
D .a c b <<
11.已知函数()2
()cos 1f x x m =-+在cos 1x =-时取得最大值,在cos x m =时取得最小值,则实数m 的取值范围是( )
A .1m ≤-
B .1m ≥
C .0m 1≤≤
D .10m -≤≤
12.函数()sin y x x R π=∈的部分图像如图所示,设O 为坐标原点,P 是图像的最高点,B 是图像与x 轴的交点,则tan OPB ∠的值为( )
A .10
B .8
C .87
D .4
7
【答案】B 【解析】
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)
13.函数y
=
的定义域为 .
15.若1a =,2b =
,()
0a b a -=,则a 与b 的夹角为 .
16.函数()0a
y x x x
=+
>有如下性质:若常数0a >,则函数在(
上是减函数,在)
+∞ 上是增函数。

已知函数()m f x x x
=+(m R ∈为常数),当()0,x ∈+∞时,若对任意x N ∈,都有()()4f x f ≥,则实数m 的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分,共2小题,每小题6分)
(1)计算:0
1
3
ln 8lg 2lg5
e ⎛
+++ ⎝

(2)已知tan 2α=,求下列各式的值: ①tan 4πα⎛⎫
+
⎪⎝


sin cos sin cos αα
αα
+-.
【答案】(1)0;(2)①3-;②3. 【解析】
试题分析:(1)根据根式与分数指数幂的运算法则及对数的运算法则,即可算出答案;(2)①根据两角和的正切公式展开,代入tan 2=的值,可得结果;②在分子与分母同时除以
cos α可得
tan 1
tan 1
αα+-,然后代入tan 2=的值,可得结果.
(2)由A B ⊆知:122113m m m m ->⎧⎪
≤⎨⎪-≥⎩
…………6分
得2m ≤-,即实数m 的取值范围为(],2-∞-…………8分(做成为开区间者扣一分) (3)由A
B =∅得:
19.(本小题满分12分)已知向量()sin ,2a α=-与()1,cos b α=,其中0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. (1)问向量,a b 能平行吗?请说明理由; (2)若a b ⊥,求sin α和cos α的值;
(3)在(2)的条件下,若
cos 0,102πββ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
,求αβ+的值.
【答案】(1)不能平行;(2)sin α=cos α=;(3)34παβ+=.
【解析】
试题解析:解:(1)向量,a b 不能平行
若平行,需sin cos 20αα+=,即sin 24α=-,而[]41,1-∉- 则向量,a b 不能平行…………4分
20.(本小题满分12分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数y 与听课时间x (单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图像,当(]0,12x ∈时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点(10,80)A ,过点(12,78)B ;当[]12,40x ∈时,图像是线段BC ,其中(40,50)C ,根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求()y f x =的函数关系式;
(2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
试题解析:(1)当(]0,12x ∈时,设()()21080f x a x =-+ …………1分
因为这时图像过点(12,78),代入得12a =-
所以()()2110802
f x x =--+…………3分 当[]12,40x ∈时,设y kx b =+,过点(12,78)(40,50)B C 、
得190
k b =-⎧⎨=⎩,即90y x =-+…………6分
故所求函数的关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩
…………7分
21.(本小题满分12
分)已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>.的周期为π.
(1)若[)0,x ∈+∞,求它的振幅、初相;
(2)在给定的平面直角坐标系中作出该函数在[]0,x π∈的图像;
(3)当[]0,x π∈时,根据实数m 的不同取值,讨论函数()()g x f x m =-的零点个数.
【答案】(1)2A =,3π
ϕ=;(2)详见解析;(3)当2m <-或2m >时,函数()g x 无
零点;当2m =±时,函数(
)g x 仅有一个零点;当2
m -<<2m <<时,函数
()g x 有两个零点;当m =()g x 有三个零点.
【解析】
试题分析:(1)先由辅助角公式化简,然后由周期为2π
πω=确定ω,可确定
()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭,从而可写出振幅、初相;(2)根据正弦函数的五点作图法进行作图即可;(3)将()()g x f x m =-的零点问题,转化为直线y m =与函数()y f x =的图像交点的个数问题,结合(2)中作出的函数()y f x =的图像,对直线的位置进行讨论,可得答案.
(3)函数()()g x f x m =-在[]0,x π∈的零点个数,即函数
()[]2sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭与函数y m =的交点个数,由(2)图像知: ①当2m <-或2m >时,函数()g x 无零点;
②当2m =±时,函数()g x 仅有一个零点;
③当2m -<<2m <<时,函数()g x 有两个零点;
④当m =时,函数()g x 有三个零点…………12分.
考点:1.辅助角公式;2.三角函数的图像与性质;3.方程的解与函数的零点.
22.(本小题满分14分)设函数()f x 的定义域是R ,对于任意的,x y ,有
()(
)()f x y f x f y +=+,且当0x >时,()0f x >. (1)求()0f 的值;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)用函数单调性的定义证明函数()f x 为增函数;
(4)若()
()2cos 2sin 220f f m θθ++--≥恒成立,求实数m 的取值范围.
(3)证明:设12,x x R ∈且12x x <,则()()()()()212121f x f x f x f x f x x -=+-=-
由210x x ->知,()210f x x ->,则()()21f x f x > 则函数()f x 为R 上的增函数…………9分。

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