初中数学竞赛——一次函数
初中数学竞赛专题复习一次函数的图象与性质(无答案)
一次函数的图象与性质考点·方法·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠０时，y 叫做x 的正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k b，0）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 的图象如左图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是（）03．下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）的图象是（）【例２】（绍兴）如图，一次函数y ＝x ＋5的图象经过点P(a ，b)和Q （c ，d ）则a （c －d ）－b （c －d ）的值为_______．【解法指导】因为点P(a ，b),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B （5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一条直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a 的值为_______．【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1∴1＝2×3＋b ， b ＝－5当直线经过D 点时，b 最大，所以当x ＝1时，y ＝3∴3＝2×1＋b ， b ＝1∴－5≤b ≤１【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k1x ＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y ＝k2x ＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤６时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点∴9652b kb k∴31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点∴5692b k b k∴111bk ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11【变式题组】01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤１时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb的值为（）A ．4B ．－6C ．－4或21D ．－6或1402．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y1＝x ＋1，y2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y1,、y2中的最小值，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．24D ．－9【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB,求直线BC 的解析式．【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B∴B(0，－5)∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点A(5,0),O 是坐标原点，△PAO 的面积S ．⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；⑵探究：当P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为10.02．如图，直线l ：y ＝－21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．⑴求A 、B 两点的坐标；⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．03．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （0,2）、B(4,2)两点．⑴求直线AB 的解析式；⑵点C 的坐标为（0,1），过点C 作CD ⊥AO 交AB 于D. x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．【例６】如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B.另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴Ｃ为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）∴b b kx 20∴k ＝2 b ＝2⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,∴MN ∥ｘ轴，∴N(34,32)∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴03234b kb k∴22b k 【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－21x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－133x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC,90BAC°，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．⑴求三角形ABC 的面积S △ABC;⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．演练巩固·反馈提高01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k2＋1的图象可能正确的是（）02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ．5B ．1C ．－1D ．－204．直线y1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y2＝bx －k 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＞21 B.m ≤2 C ．21＜m ＜2 D.21＜m ≤２06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3(m －1)D ．23（m －2）07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（）A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →Ｄ作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（22，－22）C ．（－21，－21）D ．（－22，－22）10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O为坐标原点）的面积为2，则b 的值为________.13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝______.15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn 的坐标是________.16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.17．已知直线y1＝x ，y2＝31x ＋1，y3＝－54x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y1、y2、y3中最小的值，则y 的最大值为_______.18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P(0,－3),且与函数y ＝21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）.⑴求a 的值；⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B,函数y ＝21x ＋1的图象与y 轴的交点是C,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).19．定义q p,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；⑵若特征数是2,2k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．20．已知：三点A(a ，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上．⑴求a 的值；⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；21.已知直线ln ：y ＝－n n 1x ＋n 1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l1:y ＝－2x＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n ＝2时，直线l2：y ＝－2123x 与x 轴和y 轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln 与x 轴和y 轴分别交于点An 和Bn ，设△AnOBn 的面积为Sn.求△A1OB1的面积s1；⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2019的值.22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A（－1，1），B （－1，－1），C （1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．⑴ｓ与t 之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；⑶写出当3≤s ≤８时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．培优升级·奥赛检测01．已知abc ≠0，且b a c a c b c ba ＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限02．一个一次函数的图象与直线y ＝x45＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作PA ⊥ｘ轴，PB ⊥ｙ轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋MQ 取最小值，则点M 的坐标为________. 05．已知点A （0，2）、B(4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥ｘ轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最小值，点C 的坐标为_____________.06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D（m ，0）.当四边形ABCD 的周长最短时，n m的值为_________.07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤５时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围．08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．09．若直线y ＝mx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形面积为12，求m.10．设f （x ）＝kx ＋1是x 的函数，若m （k ）表示函数f （x ）＝kx ＋1在1≤x ≤３条件下的最大值，求函数m （k ）的解析式，并作出图象．。
初二数学竞赛辅导试题一次函数
九年级数学辅导之一次函数与反比例函数1.( 04镇江中考)已知abc ≠0,并且,a b b c c ap c a b+++===则直线y px p =+一定经过( ) A ．第一、三象限 B 、第二、三象限 C ．第三、四象限 D 、第一、四象限2．（12届江苏）无论k 为何值，一次函数（2k -1）x -（k +3）y -（k -11）=0的图像必经过定点（ ） A ．（0，0） B .（0，11） C .（2，3） D .无法确定 3．设点P 关于x 轴的对称点P ＇在y =x 上，如果P 点的横坐标为2.5，那么P ＇的纵坐标为（ ）; A ．2.5 B . -2.5 C . -1 D . -0.54．（18届江苏）在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线y =x -2与y = kx +k 的交点为整点时，k 的值可取（ ）； A ． 4个 B . 5个 C . 6个 D . 7个 5．如图, 反比例函数xk y 1-=与一次函数)1(+=x k y 只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）6. 如图,在同一坐标系内,表示函数b kx y +=与()0,0≠≠=b k xkby 的图象只可能是下图中的（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）7.（05黑龙江）一次函数y =kx +2图像与x 轴交点到原点的距离为4，那么k 的值为_____；8.(江苏省竞赛题)已知一次函数y = kx + b , kb ＜0,则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有_____ 个,即第________象限；9.(04无锡) 点A 为直线y =-2x +2上一点,点A 到两坐标轴距离相等,则点A 的坐标为_________； 10.（05天津）若正比例函数y =kx 与y =2x 的图像关于x 轴轴对称，则k 的值等于_______； 11.函数y ＝1x-图象的大致形状是（ ）A B C D12.如图，A 、B 是函数ky x=图像上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是( ) A . 3 B . 6 C . 9 D . 1213（第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛）方程34x x-=的实根的个数为（ ）。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳数学竞赛是通过解决数学问题来提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
为此，初中数学竞赛中常出现一些定理和相关的知识点，掌握这些定理和知识点对于竞赛题目的解答起着至关重要的作用。
接下来，我将对初中数学竞赛中常出现的一些定理和知识点进行归纳总结。
一、方程和函数1.一元一次方程的性质和解法：整数的正负、绝对值、乘法分配律等。
2.一元二次方程的基本概念和解法：判别式、解的个数和求解方法。
3.二元一次方程组及其解法：代入法、消元法等。
4.实际问题的数学建模和解法：将实际问题转化为方程或方程组，并求解。
二、几何1.线段、角和相交线的性质：端点、中点、角、垂直、平行等性质。
2.平面图形的性质：正方形、长方形、菱形、平行四边形、圆等的性质和计算。
3.三角形的性质和面积计算：三条边的关系、重心、垂心、外心、内切圆、外接圆等。
4.相似三角形的性质和计算：比例关系、角度对应相等等性质。
5.圆的性质和计算：圆周率、弦长、弧长、面积等的计算。
三、函数1.一次函数和二次函数的性质和图像：函数的定义域、值域、递增递减性、奇偶性等。
2.函数的复合运算和反函数：函数的复合、反函数的定义与性质。
3.二次函数的最值和二次函数方程的求解：二次函数的最值、二次函数方程的图像与解的关系。
四、概率与统计1.概率的基本概念和计算：事件、样本空间、可能性等的计算。
2.排列和组合的计算：阶乘、排列、组合的计算和应用。
3.统计图表的分析与应用：条形图、折线图、饼图的分析和应用。
4.基本统计量的计算：平均数、中位数、众数、方差等的计算。
五、数列与通项公式1.等差数列和等比数列的基本概念和计算：前n项和、通项公式等的计算。
2.斐波那契数列和变形问题：斐波那契数列的计算和变形问题的解决方法。
六、函数方程1.定义域和值域：给定函数的定义域和值域的计算。
2.函数关系式的推导：已知函数关系式，推导出其他函数关系式。
3.函数方程的解法：给出函数方程，求解函数的表达式。
初中数学竞赛――一次函数
初一数学联赛班七年级第4讲一次函数知识总结归纳一. 正比例函数的一般形式是y kx =(0k ≠,一次函数的一般形式是y kx b =+(0k ≠.二. 一次函数y kx b =+的图象是经过(0bk -,和(0b ,两点的一条直线. 三. 一次函数y kx b =+的图象与性质四. 一次函数与一元一次方程的关系直线0y kx b k =+≠(与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程00kx b k +=≠(的解.求直线y kx b =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程0kx b +=,解方程得bx k =-,直线y kx b =+交x 轴于(0b k -,,bk -就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标.五. 一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<(a b 、为常数,0a ≠的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小于0时,求自变量相应的取值范围. 六. 一次函数与二元一次方程(组的关系一次函数的解析式0y kx b k =+≠(本身就是一个二元一次方程,直线0y kx b k =+≠(上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程0y kx b k =+≠(,因此二元一次方程的解也就有无数个.初一数学联赛班七年级典型例题一. 基础训练【例1】已知函数(1012y m x m =-+-,(1m 为何值时,这个函数是一次函数; (2m 为何值时,这个函数是正比例函数.【例2】已知正比例函数y kx =(0k ≠,点(23-,在函数上,则y 随着x 的增长而_______(增长或减少.【例3】求直线23y x =--与x 轴和y 轴的交点,并画出这条直线.【例4】若一次函数3y x b =+的图像经过点(14P ,,求该函数图象的解析式.【例5】已知一次函数的图像经过点(35,与(49--,.求这个一次函数的解析式.初一数学联赛班七年级【例6】一次函数(15 y m x=++,y值随x增大而减小,则m的取值范围是( A.1m>-B.1m<-C.1m=-D.1m<【例7】一次函数23y x=-的图象不经过(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例8】正比例函数1(2my m x-=-的图象一定通过(A.原点和(2,1-B.第一、三象限C.第二、四象限D.第一、三或第二、四象限二.巩固提高【例9】(1已知直线45y ax a=-+不经过第二象限,求a的取值范围.(2已知一次函数(21(1y m x m=+++的图象不经过第一象限,求m的取值范围. 【例10】若直线y kx b=+与直线32y x=+平行,且在y轴上的交点坐标为(05,,求k和b的值.初一数学联赛班七年级【例11】 (1将直线24y x =-向上平移5个单位后,所得直线的表达式是多少?(2将直线24y x =-向右平移3个单位后,所得直线的表达式是多少?【例12】已知函数y kx b =+的图象如图,则2y kx b =+的图象可能是(【例13】已知一次函数(32(4y a x b =+--,求字母a 、b 为何值时:(1y 随x 的增大而增大; (2图象不经过第一象限; (3图象经过原点; (4图象平行于直线y =-4x +3; (5图象与y 轴交点在x 轴下方.【例14】已知整数x 满足55x -≤≤,11y x =+,224y x =+对任意一个x ,m 都取1y ,2y 中的较小值,则m 的最大值是(A . 1B . 2C . 24D .9-初一数学联赛班七年级【例15】根据下列要求分别写出相应的函数关系式:(1y与x正比例,其图象过点1P;(2函数(21y kx k=-+的图象过原点.【例16】对于一次函数(25(4y k x k=-+-.(1(2若函数为正比例函数,且与y mx=的图象关于x轴对称,求m的值.【例17】一次函数3y kx=+的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5,则k的值是多少?【例18】已知一次函数的图象经过点(22,,它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的解析式.【例19】已知四条直线3y kx =-,1y =-,3y =和1x =所围成的四边形的面积是12,求k 的值.【例20】一个一次函数的图像与直线59544y x =+平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(125--,,则在线段AB 上(包括端点A 、B ,横、纵坐标都是整数的点有多少个?三. 一次函数与一元一次方程综合【例21】已知直线(322y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点,m 的值为(A .2-B .2C .1-D .0【例22】已知一次函数y kx b =+的图象经过点(20,,(13,,则不求k b ,的值,可直接得到方程3kx b +=的解是x =______.四. 一次函数与二元一次方程(组综合【例23】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为(5-,8-,则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________.【例24】已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩(a b c k ,,,为常数,0ak ≠的解为2 3x y =-⎧⎨=⎩,则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________.五. 一次函数与一次不等式综合【例25】已知一次函数25y x =-+.画出它的图象,求出当x 为何值时,0y >,0y =,0y <.【例26】已知15y x =-,221y x =+.当12y y >时,x 的取值范围是(A .5x >B .12x <C .6x <-D .6x >-【例27】已知一次函数23y x =-+(1当x 取何值时,函数y 的值在1-与2之间变化?(2当x 从2-到3变化时,函数y 的最小值和最大值各是多少?【例28】若解方程232x x +=-得2x =,则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方.【例29】如图,直线y kx b =+经过(21A ,,(12B --,两点,则不等式122x kx b >+>-的解集为______.【例30】一次函数y kx b =+的图象如图所示,当0y <时,x 的取值范围是(A .0x >B .0x <C .2x >D .2x <【例31】已知一次函数y kx b =+的图象如图所示,当1x <时,y 的取值范围是(A .20y -<<B .40y -<<C .2y <-D .4y <-【例32】一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图,则下列结论①0k <;②0a >;③当3x <时,12y y <中,正确的个数是(A .0B .1C .2D .3作业1. 一次函数y ax b =+经过点(11A ,及(21B -,点,求a ,b .2. 一次函数2y x =-的图象不经过(A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知m 是整数,且一次函数(42y m x m =+++的图像不经过第二象限,则m =_______.4. 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象,所得的两条直线平行,则此方程组(A .无解B .有唯一解C .有无数个解D .以上都有可能5. 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______.6. 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象,求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________.7. 一次函数y kx b =+(k b ,是常数,0k ≠的图象如图所示,则不等式0kx b +>的解集是( A .2x >- B .0x > C .2x <- D .0x <初一数学联赛班 8. 已知 k 七年级 a b c a b c a b c ，且 m 5 n2 9 6n ，则关于自变量 x 的一次函数 c b a y kx m n的图象一定经过第几象限？ 9. 已知一次函数 y kx b 6 与一次函数 y kx b 2 的图象的交点坐标为 A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与 y 轴围成的三角形的面积． 10. b 取什么整数值时，直线 y 3x b 2 与直线y x 2b 的交点在第二象限？思维的发掘能力的飞跃 11。
初中数学竞赛函数专题(详解)
16．函数y＝ 图象的大致形状是（ ）
A B C D
17．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5，若点P在梯形内且 ，那么点P的坐标是。
18．已知抛物线 的顶点为A，抛物线 的顶点B在y轴上，且抛物线 关于P（1,3）成中心对称。
（1）当 时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
25.已知 ， ， ，且 ，求 的最小值.
26.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数 的函数值中整数的个数是( )
7．在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线 上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求 的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）
（1）证明：若 取任意整数时，二次函数 总取整数值，那么 都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
9．已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（）
(A)M>0(B)M＝0(C)M <0(D)不能确定M为正、为负或为0
10．若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿。A1B2Ck Dk2
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，y
数学一次函数奥数及重点中考难题详解
例2 （2000年全国初中数学竞赛试题）一个一次函数图象与直线y=54x+954平行，•与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（-1，-25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个分析：根据所求一次函数图象与直线y=54x+954平行且过点（-1，-25），即可确定该函数的解析式，然后采用列举法进行分析．解：设与直线y=54x+954平行的直线的方程为y=54x+k ，又（-1，-25）在直线y=54x+k 上，得k=-954．因为A 、B 为y=54x-与x 轴、y 轴的交点，所以A （19，0），B （0，-954）．又y=54x-954=54（x-19），0≤x ≤19，x-19必须是4的整数倍，只有当x=3，7，11，15，19时，y 为整数，因此在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有5个，选B ． 评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，•即求该函数解析式（二元一次方程）在某范围内的整数解．例3 （2005年富阳市初二数学竞赛）不论k 为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-•（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是_______．分析：该题是“直线束”问题，可在k•的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，再证明其他直线必过此点．解：因为已知函数是一次函数，故k+3≠0，分别令k=1与k=2，得41003590x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得23x y =⎧⎨=⎩,即两特殊直线相交于点A （2，3），而当x=2时，函数式为2（2k-1）-（k+3）y-（k-11）=0．整理得（k+3）y=3（k+3），所以k取不等于-3的任何值时，y=3．当x=2时，必得y=3．不论k为何值该一次函数的图象恒过定点（2，3）．评注：利用“不论”性，取k的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x、•y的值，再验证所求得的x、y值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，这是解决这类问题常用的方法．此外本题还可利用一次方程ax=b有无数解的条件来解，同学们不妨一试．例4 （2005年富阳市初二数学竞赛）在一次函数y=-x+3的图象上取一点P，•作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为94，则这样的点P共有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个分析：设点P的坐标为（x，-x+3），则矩形OAPB的面积表示为│x│×│-（-x+3）│=│x2-3x│=94，然后分两种情况进行讨论．解：选（B）．评注：本题通过数形互动，结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数，这是解决这类问题常用方法．此外，由点的坐标表示距离时，不能忘记加绝对值．例5 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）设0<k<1，关于x的一次函数y=kx+1k（1-x），当1≤x≤2时的最大值是（）（A）k （B）2k-1k（C）1k（D）k+1k分析：y=（k-1k）x+1k，∵0<k<1，∴k-1k=(1)(1)k kk+-<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k-1k+1k=k．解：选（A）．评注：对于自变量有限范围的一次函数极值问题，应结合一次函数的增减性来确定．例6 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）设直线y=kx+k-1•和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k 的交点，再求出这两条直线与x•轴围成的三角形面积S k 的表达式．解：因为方程组1(1)y kx k y k x k =+-⎧⎨=++⎩ 的解为11.x y =-⎧⎨=-⎩所以这两直线的交点（-1，-1），直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k （k 是正整数）与x 轴的交点分别是（1,0),(1k k k k --+，0），S k=12|-1|×|11k k k k ---+|=12|1k -11k +|．所以S 1+S 2+S 3+…S 2006=12（1-12+12-13+13-14+…+11111003)(1)20062007220072007-=⨯-=．评注：本题在求解过程中的关键是：将1(1)k k +拆成1k -11k +，这是常用技巧．评注：仔细审题，观察图象，应弄清进水时，每分钟4L ；既进又放时，每分钟净增水1L ，故每分钟放水为3L ，这是解本题的关键．例8 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））在平面直角坐标系中，已知A （2，•-2），点P 是y 轴上一点，则使AOP 为等腰三角形的点P 有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个分析：分三种情况来讨论，即：如图所示，①以O 为顶点的等腰三角形有：△OP 1A ，△OP 2A ；②以A 为顶点的等腰三角形是△OP 3A ；③以P 为顶点的等腰三角形是△OP 4A ．因此，•满足条件的点P 有4个．解：选（D ）．评注：分类讨论是重要的数学思想方法，竞赛题中经常出现需要分类的考题，•这类问题的求解，既要有扎实的基础知识，也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化这方面的训练．例10 （2006年四川省数学竞赛初二初赛试题）平面直角坐标系内有A （2，-1），B （3，3）两点，点P 是y 轴上一动点，求P 到A 、B 距离之和最小时的坐标．分析：根据几何模型，得出点A 关于y 轴对称点A ′的坐标，再由待定系数法求出直线A ′B 解析式，就可得解．解：如图，点A 关于y 轴对称的点为A ′（-2，-1），设过A ′、B•两点的直线的一次函数为y=kx+b ，有1233k bk b -=-+⎧⎨=+⎩解得4535k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=45x+35．当x=0时，y=35，即直线A′B与y轴交于点（0，35），•可得所求点P的坐标为（0，3 5）．13．已知abc≠0，而且a b b c c ac a b+++===p，那么直线y=px+p一定通过（）（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（D）第一、四象限13．B 提示：∵a b b c c ac a b+++===p，∴①若a+b+c≠0，则p=()()()a b b c c aa b c+++++++=2；②若a+b+c=0，则p=a b cc c+-==-1，∴当p=2时，y=px+q过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p一定过第二、三象限．7．由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？7．当x≥1，y≥1时，y=-x+3；当x≥1，y<1时，y=x-1；当x<1，y≥1时，y=x+1；当x<•1，y<1时，y=-x+1．，面积为2．（2007南充市）平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y＝－x＋m上，且AP＝OP＝4．求m的值．解：由已知AP＝OP，点P在线段OA的垂直平分线PM上．………………（2分）如图，当点P在第一象限时，OM＝2，OP＝4．在Rt△OPM中，PM==……………………（4分）∴P（2，∵点P在y＝－x＋m上，∴m＝2＋………………………………（6分）当点P在第四象限时，根据对称性，P'（（2，－∵点P'在y＝－x＋m上，∴m＝2－………………………………（8分）则m的值为2＋2－11、（2007湖北荆门）某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修筑一条公路，甲乙两个工程队分别从A，B两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务四甲队单独完成，直到道路修通，下图是甲乙两个工程队修道路的长度Y （米）与修筑时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，求该的公路的总长度。
初中数学《一次函数》
初中数学《一次函数》全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数是初中数学中的一个重要知识点，也是进入代数学习的基础。
学习一次函数不仅可以帮助我们更好地理解数学运算的规律，更有利于我们在实际生活中进行问题的解决和分析。
本文将详细介绍一次函数的定义、性质、图像及应用等内容，希望对初中生了解和掌握一次函数有所帮助。
一次函数是指函数表达式为y=ax+b的函数，其中a和b为常数且a≠0。
a被称为函数的斜率，表示函数图像在横坐标上的变化速率；b被称为函数的截距，表示函数图像与纵坐标轴的交点坐标。
在数学中，一次函数也叫做线性函数，因为它的图像是一条直线。
一次函数的图像是一条具有一定斜率和截距的直线。
当a>0时，函数图像是递增的；当a<0时，函数图像是递减的。
斜率的绝对值越大，函数图像的倾斜程度就越大；截距的绝对值越大，函数图像与纵坐标轴的距离就越远。
一次函数在实际生活中有着广泛的应用。
某商品的售价与销量之间的关系就可以用一次函数来描述；某公司的收入与支出之间的关系也可以用一次函数来描述。
通过分析这些函数，我们可以更好地预测未来的趋势，帮助做出更明智的决策。
在学习一次函数时，我们需要掌握一些基本的性质和运算规律。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等，截距不相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率互为相反数。
我们还需要了解一次函数的表示方法、图像的绘制方法、函数值域和定义域等相关知识，才能更好地理解和运用一次函数。
初中数学《一次函数》是一个重要的知识点，对于学生的数学学习和实际应用都有着重要的意义。
通过认真学习和掌握一次函数的相关内容，我们可以更好地理解数学的规律，提高数学分析和解决问题的能力。
希望同学们能够认真对待一次函数的学习，掌握好基础知识，为将来更深入的数学学习打下坚实的基础。
【作者：初中数学家教老师】第二篇示例：初中数学《一次函数》一次函数是初中数学中的重要概念之一，也是数学学科中的基础知识之一。
与一次函数相关的竞赛题
． ．
图１ 。 ｔ
Ｍｏ Ｍｏ ＭＱ ＭＲ． Ｑ＝ Ｒ， ＝
由三角形 三边关 系可 知ＭＰ ４ＭＲ≥Ｐ ． － Ｒ 而 Ｐ Ｐ ＋ Ｒ＝ Ｐ Ｍｏ 即 Ｐ ＪＱ≥Ｍｏ ＋ Ｑ Ｒ＝ Ｍ０Ｍｏ Ｍｏ ＋ Ｑ。 ＋， ｌ Ｐ Ｍｏ ．
四 、 球 游 戏 台
例４ 在 玩 台球 游戏 中 ，我们 约 定 ：① 每个 球 袋 视 为一 个点 ，如果
少 于５ 时 ， 乙公 司 ； 于５ 人 选 多 人时 ， 甲公 司． 选
三 、 最 值 求
例 ３ 在 直 角 坐 标 系 ０， ， 轴 上 的 点肼 （ ０ 到 定 点 Ｐ ５ ５ ， ） 中 ， ） （ ，）
ｐ（ １ 的距 离分别 为 和邶 ， ２， ） 当点肼的横 坐标是 多少 时 ， ＭＰ＋岬 的值
（０ ４ 黄 冈 市 语 数 外 三 科 联 赛 数 学 试 题 ） ２０ 年
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解 ：１作Ａ （ ） 点关 于 的对 称Ａ ， 轴 连接鲋 轴于 一点 ， 交 这一 点就是 Ｃ
一 一
１（ 丽１ ）２ ０ ］ １ ＝ １ ０
一
．
二 、 函 数 的解 析 式 求
例２ 某单 位计 划派若 干名员 工参加 电脑 培训 ， 从两 家 电脑 公司 了 现
解到， 同样的培训条件 ， 每位学员的培训费都报价为。 甲公司的优惠条 元．
的而 积为 Ｓ（＝ ， ， ， ， ０ ） 则Ｓ＋ ２ Ｓ＋ ＋ 枷）Ｓ ｋ ｌ ２ ３ … ２０ １， １Ｓ＋ ３ … Ｓ ＋ ｋ
年绍 兴部 分 市、 初 中数 学联 赛试题 ） 县
Ｌ １
．
— —
（０ １ ２ ０
奥数基础_一次函数(含解答)-
第一节一次函数例题剖析例1 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区））已知直线L•经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为_______．分析：先求出直线解析式y=kx+b，再抓住平移k不变，进行求解．解：因为过（2，0）和（0，4）的直线L解析式是y=-2x+4，设向左平移2•个单位得到的直线L′解析式是y=-2x+m，将它与x轴的交点坐标（0，0）代入得m=0，所以直线L′的解析式为y=-2x．评注：直线y=kx+b平移时k值不变，上下平移时再抓住与y轴的交点变化，•左右平移时再抓住与x轴的交点变化就能得解．例2 （2000年全国初中数学竞赛试题）一个一次函数图象与直线y=54x+954平行，•与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（-1，-25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）．（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个分析：根据所求一次函数图象与直线y=54x+954平行且过点（-1，-25），即可确定该函数的解析式，然后采用列举法进行分析．解：设与直线y=54x+954平行的直线的方程为y=54x+k，又（-1，-25）在直线y=54x+k上，得k=-954．因为A、B为y=54x-与x轴、y轴的交点，所以A（19，0），B（0，-954）．又y=54x-954=54（x-19），0≤x≤19，x-19必须是4的整数倍，只有当x=3，7，11，15，19时，y为整数，因此在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有5个，选B．评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，•即求该函数解析式（二元一次方程）在某范围内的整数解．例3 （2005年富阳市初二数学竞赛）不论k为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-•（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是_______．分析：该题是“直线束”问题，可在k•的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，再证明其他直线必过此点．解：因为已知函数是一次函数，故k+3≠0，分别令k=1与k=2，得41003590x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩ ,即两特殊直线相交于点A （2，3）， 而当x=2时，函数式为2（2k-1）-（k+3）y-（k-11）=0．整理得（k+3）y=3（k+3），所以k 取不等于-3的任何值时，y=3．当x=2时，必得y=3．不论k 为何值该一次函数的图象恒过定点（2，3）．评注：利用“不论”性，取k 的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x 、•y 的值，再验证所求得的x 、y 值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，这是解决这类问题常用的方法．此外本题还可利用一次方程ax=b 有无数解的条件来解，同学们不妨一试．例4 （2005年富阳市初二数学竞赛）在一次函数y=-x+3的图象上取一点P ，•作PA ⊥x 轴，垂足为A ，作PB ⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为94，则这样的点P 共有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 分析：设点P 的坐标为（x ，-x+3），则矩形OAPB 的面积表示为│x │×│-（-x+3）│=│x 2-3x │=94，然后分两种情况进行讨论．解：选（B ）．评注：本题通过数形互动，结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数，这是解决这类问题常用方法．此外，由点的坐标表示距离时，不能忘记加绝对值．例5 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）设0<k<1，关于x 的一次函数y=kx+1k （1-x ），当1≤x ≤2时的最大值是（ ）（A ）k （B ）2k-1k （C ）1k （D ）k+1k分析：y=（k-1k）x+1k，∵0<k<1，∴k-1k=(1)(1)k kk+-<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k-1k+1k=k．解：选（A）．评注：对于自变量有限范围的一次函数极值问题，应结合一次函数的增减性来确定．例6 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）设直线y=kx+k-1•和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k的交点，再求出这两条直线与x•轴围成的三角形面积S k 的表达式．解：因为方程组1(1)y kx ky k x k=+-⎧⎨=++⎩的解为11.xy=-⎧⎨=-⎩所以这两直线的交点（-1，-1），直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴的交点分别是（1,0),(1k kk k--+，0），S k=12|-1|×|11k kk k---+|=12|1k-11k+|．所以S1+S2+S3+…S2006=12（1-12+12-13+13-14+…+11111003)(1)20062007220072007-=⨯-=．评注：本题在求解过程中的关键是：将1(1)k k+拆成1k-11k+，这是常用技巧．例7 （1997年江苏省初中数学竞赛试题）有一个附有进、出水管的容器，•每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某时该开始5min内只进水不出水，•在随后的15min内既进水又出水，得到时间x（min）与水量y （L）之间的关系如图．若20min后只放水不进水，则这时（x≥20时）y与x的函数关系是________．分析：据图象可知：开始5min，只进水不出水，共进了20L水，每分钟进水4L．•随后的15min内既进水又出水，实际水量增加了35-20=15L，每分钟水量增加1L，•说明出水管每分钟出水3L．因为水量是固定的，每分钟3L，所以20min后，总水量为35L．解：y=35-3（x-20），即y=-3x+95（20≤x≤953）．评注：仔细审题，观察图象，应弄清进水时，每分钟4L；既进又放时，每分钟净增水1L，故每分钟放水为3L，这是解本题的关键．例8 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））在平面直角坐标系中，已知A（2，•-2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：分三种情况来讨论，即：如图所示，①以O为顶点的等腰三角形有：△OP1A，△OP2A；②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A；③以P为顶点的等腰三角形是△OP4A．因此，•满足条件的点P有4个．解：选（D）．评注：分类讨论是重要的数学思想方法，竞赛题中经常出现需要分类的考题，•这类问题的求解，既要有扎实的基础知识，也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化这方面的训练．例10 （2006年四川省数学竞赛初二初赛试题）平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P 是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．分析：根据几何模型，得出点A关于y轴对称点A′的坐标，再由待定系数法求出直线A′B解析式，就可得解．解：如图，点A关于y轴对称的点为A′（-2，-1），设过A′、B•两点的直线的一次函数为y=kx+b，有1233k bk b-=-+⎧⎨=+⎩解得4535kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=45x+35．当x=0时，y=35，即直线A′B与y轴交于点（0，35），•可得所求点P的坐标为（0，35）．评注：本题把几何中最短距离问题代数化，解题关键是应用轴对称和一次函数相关知识来求解．此类问题还可改为在x轴上或在坐标轴上求一点P，同学们不妨思考一下．巩固练习一、选择题：1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）164．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限．（A）一（B）二（C）三（D）四7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9．要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x（）．（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-14（B）m>5 （C）m=-14（D）m=511．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．（A）k<13（B）13<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<1312．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条13．已知abc≠0，而且a b b c c ac a b+++===p，那么直线y=px+p一定通过（）（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（D）第一、四象限14．当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（）（A）-4<a<0 （B）0<a<2（C）-4<a<2且a≠0 （D）-4<a<215．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个16．一次函数y=ax+b（a为整数）的图象过点（98，19），交x轴于（p，0），交y轴于（•0，q），若p为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数17．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数．当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个18．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个19．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a<b）；乙上山的速度是12a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），•那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t （分）与离开点A的路程S（米）•之间的函数关系的是（）20．若k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限答案:1．B 2．B 3．A 4．A5．B 提示：由方程组y bx ay ax b=+⎧⎨=+⎩的解知两直线的交点为（1，a+b），•而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D•中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于a+b，故图D不对；故选B．6．B 提示：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，∴0,kb<⎧⎨>⎩对于直线y=bx+k，∵0,kb<⎧⎨>⎩∴图像不经过第二象限，故应选B．7．B 提示：∵y=kx+2经过（1，1），∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y 随x 的增大而减小，故B 正确．∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C 错误．∵k<0，b=•2>0，∴其图像经过第二象限，故D 错误．8．C 9．D 提示：根据y=kx+b 的图像之间的关系可知，将y=-32x•的图像向下平移4个单位就可得到y=-32x-4的图像． 10．C 提示：∵函数y=（m-5）x+（4m+1）x 中的y 与x 成正比例， ∴5,50,1410,,4m m m m ≠⎧-≠⎧⎪⎨⎨+==-⎩⎪⎩即 ∴m=-14，故应选C ． 11．B 12．C 13．B 提示：∵a b b c c a c a b+++===p ， ∴①若a+b+c ≠0，则p=()()()a b b c c a a b c+++++++=2； ②若a+b+c=0，则p=a b c c c+-==-1， ∴当p=2时，y=px+q 过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p 过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p 一定过第二、三象限．14．D 15．D 16．A 17．C 18．C 19．C20．A 提示：依题意，△=p 2+4│q │>0， ||0k b p k b q k b +=-⎫⎪=-⇒⎬⎪≠⎭k ·b<0，一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小000k k b <⎫⇒<⇒⇒⎬>⎭一次函数的图像一定经过一、二、四象限，选A ．。
一次函数与反比例函数——数学竞赛系列讲座(4)
生 产 ？又若 每只 Ａ 型足 球 产值 ８ 元 ， 只 Ｂ型足 球 产值 ９ ０ 每 ０元 ， 厂 如 该
何 生产 可使 产值 最 高？ 这就 是 与函数 的最 值有 关 的 “ 策类 ” 题． 决 问
这个 问题 的求解 可 以 用一次 函数 ． 先 让我们 来熟 悉一 下 函数 的 基 首
本性 质．
［ 本知 识］ 基
函 数 ｙ—
＋ ６ ｋ≠ ０ 称 为 一 次 函 数 ， ｂ一 ０ 又 称 为 正 比 例 函 （ ） 若 ，
ｋ
Ｋ
数． 一般地 ， 一次函数（≠ｏ 的图象是过（ ， ） （ ６ ） ０ ６ 、一詈 ， ） ０ 两点的一条直
线 ． 比 例 函 数 ｙ — ｋ ｋ≠ Ｏ 正 ｘ（ ）的 图 象 则 是 过 原 点 （ ， ） （ ， ） 点 的 ００ 和 １愚 两
维普资讯
一
次 函 数 与反 比 例 函数
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数学竞赛 系列讲座（ ） ４
金 燕
江苏 省无 锡 市大桥 实验 中学
读 者 朋 友 们 ， 们 喜 欢 足 球 吗 ？ 今 年 又 逢 “ 球 世 界 杯 年 ”， 彩 的 你 足 精 比 赛 自然 赏 心 悦 目 ， 如 果 有 一 个 与 “ 球 ” 关 的 问 题 需 要 我 们 来 探 但 足 有
究 ， 另有一 番情趣 吧 ！体 育用 品 厂 要 为“ 年 足 球 俱 乐 部 ” 产 ５ 该 少 生 Ｏ只
足 球 ， Ａ 型 与 Ｂ 型 两 种 规 格 知 生 产 １只 Ａ 型 足 球 ， 用 甲种 材 料 有 已 需 ５张 ， 种 材 料 ８张 ； 产 １只 Ｂ 型 足 球 需 用 甲种 材 料 ７张 ， 种 材 料 ６ 乙 生 乙 张 ， 在 共 有 甲 种 材 料 ３ ０张 ， 种 材 料 ３ ０张 ， 么 工 厂 可 以 如 何 安 排 现 ０ 乙 ６ 那
八年级数学竞赛题：一次函数
八年级数学竞赛题：一次函数函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，它是变量数学的标志．“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系．函数b kx y +=（k ≠0）叫做一次函数，它的图象是一条直线，与一次函数相关的知识有：1．画直线b kx y +=时，一般选点（0，b ）和点)0,(kb -． 2．函数b kx y +=中的系数k 、b 的正负性，决定图象的大致位置及y 随x 的变化情况，如图所示：例1 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD 表示黑色物体甲，其中A （1，1）、B （2，1）、C （2，2）、D （1，2），用信号枪沿直线y =2x +b 发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白，则b 的取值范围为______________时，甲能由黑变白．例2已知函数b kx y +=的图象如图，则b kx y +=2的图象可能是（ ）．例3 早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，右图是他们离家的路程y （米）与时间x （分钟）的函数图象．妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，即以原速骑车前往小欣学校，并与小欣同时到达学校．已知小欣步行速度为每分50米，求小欣家与学校距离及小欣早晨上学需要的时间．例4 我市某乡A 、B 两村盛产柑橘，A 村有柑橘200吨，B 村有柑橘300吨．现将这些柑橘运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑橘质量为x 吨，A 、B 两村运往两仓库的柑橘运输费用的分别为y A 元和y B 元．（1）请填写上表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式； 。
（2）试讨论A 、B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑橘运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．例5 如图，已知直线P A 是一次函数)0(>+=n n x y 的图象，直线PB 是一次函数 )(2n m m x y >+-=的图象．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积是.2,65=AB 试求P 点的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式．1．如果一次函数b kx y +=的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么k ___________0．b ___________0．2．直线2+=x y 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是___________．3．直线n mx y +=如图所示，化简=---2||n m ___________．4．去伪存真 设有一次函数b kx y +=（k ，b 为常数），下表中给出5组自变量和相应的函数值，其中只有一组的函数值计算有误，则这个函数值是___________．5．某航空公司规定，旅客乘机所捞带行李的质量x （kg ）与其运费y （元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）．A ．20kgB ．25kgC ．28 kgD ．30 kg6．已知abc ≠0，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，则直线p px y +=一定通过（ ）． A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限7．如图，点A 、B 、C 在一次函数m x y +-=2的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）．A ．1B ．3C ．3（m -1）D ．()322m - 8．甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，已知直线l 1，经过点A （-1，0）与点B （2，3），另一条直线l 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．（1）求直线l 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．10．某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A 、B 两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本．（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A 种笔记本的数量要少于B 种笔记本数量的23，但又不少于B 种笔记本数量的13，如果设他们买A 种笔记本n 本，买这两种笔记本共花费w 元． ．①请写出w （元）关于n （本）的函数关系式，并求出自变量n 的取值范围；②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？11．设直线2)1(=++y n nx （n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n （n =1，2，…，2005），则200521S S S +++ 的值为_______________．12．成本核算 一本书的出版成本包括固定成本和变动成本两部分．“稿费+排版费”是固定的，而“印刷费+纸张费”与印刷的书的数量成正比．现有一种图书，每本定价8元，假定以定价卖出．当印2000册并全部卖出时，出版社不赚不赔；当印3000册并全部卖出时，可得利润5000元．则此书的固定成本是________元．如果印刷4000册并全部卖完，出版社可得利润_____________元．13．如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A （1，1），B （3，1），C （3，3），D （1，3），直线y =2x +b 交AB 于点E ，交CD 于点F ，则直线在y 轴上的截距b 的变化范围是_____________．14．已知点A （a 22-=kx y 与x y )12(-=图象的交点，则实数k 等于（ ）．A ．2-B ．12-C 21D ．115．有一个装有进、出水管的容器，单位时问内进、出的水量都是一定的．已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满：若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完．现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟，再打开出水管，两管同时开放直至把容器中的水放完．则能正确反映这一过程中容器的水量Q （升）随时间t （分钟）变化的图象是（ ）．16．已知一次函数13,≤≤-+=x b kx y 当时，对应的y 值为.91≤≤y 则kb 的值 为（ ）．A ．4B ．-6C ．-4或21D ．-6或1417．某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图1所示；每个售票窗口售票数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图2所示．某天售票厅排队等候购票的人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3所示，已知售票的前a 分钟开放了两个售票窗口． ‘（1）求a 的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？8．已知四条直线13,1,3==-=-=x y y mx y 和所围成的四边形的面积是12，求m 的值．19．如图，边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）．一次函数y =x +t 的图象l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）．（1）当t 取何值时，S =3？（2）在平面直角坐标系中，画出S 与t 的函数图象．20．如图，一次函数33+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠BAC =90°．（1）求三角形ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，32），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求出当△ABP 与△ABC 的面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．。
初中数学竞赛代数部分
分式方程与无理方程的应用题
应用题类型：解分式方程和无理方程
解题步骤：设未知数，列方程，解方程
解题技巧：利用方程的性质和技巧，如因式分解、配方法等 应用题实例：求解分式方程和无理方程的实际问题，如工程问题、经济 问题等
方程的近似解法
牛顿法：通过迭代 求解方程的近似解
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
函数的性质：函数的性质包括单调 性、奇偶性、周期性等
函数的应用：函数在初中数学竞赛 中经常出现，是代数部分的重要内 容
一次函数与反比例函数
一次函数： y=kx+b，其 中k为斜率，b
为截距
反比例函数： y=k/x，其中k
为常数
一次函数的图 像是一条直线， 反比例函数的 图像是一条双
曲线
一次函数与反 比例函数的区 别在于斜率与 截距的关系， 以及图像的形
状
函数的图像与性质
函数的定义：函 数是一种映射关 系，将自变量x映 射到因变量y
函数的图像：函 数图像是函数在 平面直角坐标系 中的图形表示
函数的性质：函 数的性质包括单 调性、奇偶性、 周期性等
函数的应用：函 数在初中数学竞 赛代数部分中的 应用广泛，如求 解方程、不等式、 最大值最小值等 问题
代数表达式的应用
解方程：利用代 数表达式求解方 程
求值：计算代数 表达式的值
化简：将复杂的 代数表达式化简 为简单的形式
证明：利用代数 表达式进行数学 证明
一元一次方程
一元一次方程的解法
代入法： 将方程中 的未知数 用已知数 代替，求 解出未知 数
加减法： 将方程中 的未知数 移到一边， 另一边的 常数移到 另一边， 求解出未 知数
初中数学《一次函数》
初中数学《一次函数》
一次函数是代数中的一个基本概念，也称为线性函数。
它表示为 y = mx + b，其中 m 和 b 是常数，x 是变量。
以下是一些关于一次函数的重要知识点：
斜率（m）：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度或方向。
斜率等于直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
在一次函数的标准形式 y = mx + b 中，m 就是斜率。
截距（b）：一次函数的截距表示直线与y 轴相交的点的纵坐标值，也就是当 x = 0 时，函数的值。
函数图像：一次函数的图像为一条直线。
斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，而截距决定了直线在 y 轴上的位置。
平行和垂直线：如果两条一次函数的斜率相等，它们是平行线；如果两条一次函数的乘积为 -1，它们是垂直线。
求解方程：一次函数常常用于求解方程。
例如，给定一次函数 y = 3x + 2，要求解 y = 0 时的 x 值，只需将 y 置为 0，并解方程 0 = 3x + 2，得到 x = -2/3。
函数关系：一次函数可以表示许多实际问题中的线性关系，例如速度和时间之间的关系、成本和产量之间的关系等。
通过确定斜率和截距，可以根据题目给定的条件建立一次函数模型，进而解决相关的问题。
这些是初中数学中关于一次函数的一些基本概念和应用。
通过理解和掌握这些知识点，可以帮助学生在数学学习中更好
地理解和应用一次函数的相关概念和方法。
数学奥林匹克小丛书. 初中卷. 一次函数与二次函数
数学奥林匹克小丛书. 初中卷. 一次函数与二次函数
作者李惟峰
出版社
出版时间2005-04-01
特色：
《一次函数与二次函数》对每一种题型，都进行了适当的归纳和总结，以便于学生的阅读和掌握，《一次函数与二次函数》主要适用于初中段学生，但也可以作为高中生的辅导用书。
这是一套分专题的奥数图书，全套分小学卷、初中卷、高中卷三个水平，共30种。
由国内*权威的奥数专家执笔撰写，多数作者或是中国数学奥林匹克委员会委员、国家队领队、教练或是学校的金牌教练。
书中的例题精选了各类数学竞赛题，不少解答出自作者或奥数优胜者之手，对学有余力的学生来说，是一套极好的数学课外读物。
特色·理念——数学奥林匹克给优等生提供进一步发展的空间·定位——立足基础，面向高端·品牌——继品牌图书《奥数教程》之后，又一奥数品牌·作者——中国数学奥委会委员、国家队教练、金牌教练联合写作·选题——选题经典，解法巧妙，不少解法出自解题高手之手。
一次函数竞赛题
一次函数竞赛题A. 0B.1C.2D.无数7．当－1≤x≤2时，函数6+y，则常<=axy满足10数a的取值范围是（）A、04<<-a且0≠a D、4<<a C、2<-a B、20<-a<4<28．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条(D) 1条9．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个10．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是a米/分，下b米/分，（a＜)b；乙上山的速度是12山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S （米）．那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）之间的函数关系的是（ ）一． 填空题：11．某市市内电话费y （元）与通话时间 t （分钟）之间的函数关系图象如图所示，则通话7分钟需付电话费元。
12．函数的自变量x 的取值范围是_____。
13．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则222004b a +的值是14．某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金，金额与他工作的年数的算术平方根成正比例，如果他多工作a 年，他的退休金比原有的多（t O （t O （t O （t Op 元，如果他多工作b 年(b ≠a)，他的退休金比原来的多q 元，那么他每年的退休金是(以a 、b 、p 、q 表示) 元．15.若一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为________________________.16．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两个城市间的距离d （单位：km ）有T=2d kmn 的关系（k 为常数）。
初中数学竞赛专题复习讲义 一次函数的应用
一次函数的应用考点·方法·破译1．在现实社会的生产生活中,营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中,往往需要运用一次函数的知识解决问题,这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型,结合方程与方程组,不等式与不等式组等知识使问题得到解决．经典·考题·赏析【例1】（温州）为调动销售人员的积极性,A、B两公司采取如下工资支付方式：A公司每月2000元基本工资,另加销含额的2%作为奖金；B公司每月1600元的基本工资,另加销售额的4%作为奖金．已知A、B公司两位销售员小李、小张l～6月份的销售额如下表：⑴小李与小张3 月份的工资各是多少？⑵小李l～6月份的销售额y1与月份x的函数关系式是y1＝1200x＋l0400,小张1～6月份的销售额y2也是月份x的一次函数,请求出y2与x的函数关系式；⑶如果7～12月份两人的销售额也分别满足⑵中两个一次函数的关系,问几月份起小张的工资高于小李的工资．解：⑴小李3月份工资＝2000＋2%×14000＝2280（元）小张3月份工资＝1600＋4%×11000＝2040（元）⑵设y2＝kx＋b,取表中的2对数（1,7400）,（2,9200）代入解析式,得740092002k bk b=+⎧⎨=+⎩,解得18005600kb=⎧⎨=⎩,即y2＝1800x＋5600,⑶小李的工资w1＝2000＋2%（1200x＋10400）＝24x＋2208 小张的工资w2＝1600＋4%（1800x＋5600）＝72x＋1824当小张的工资w1＞w2时,即72x＋1824＞24x＋2208,解得x＞8答：从9月份起,小张的工资高于小李的工资．【变式题组】01．（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买,每个纸箱的价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元,每加工一个纸箱还需要成本费2.4元．⑴若需要这种规格纸箱x（个别）,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）与x（个）的函数关系；⑵假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【例2】（山东）某工程机械厂根据市场需求,计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台,该厂所筹生产资金不少于22400万元,但不超过22500万元．且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机,所生产的此两型挖掘机可全部售出,此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：⑴该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？⑵该厂如何生产能获得最大利润？⑶根据市场调查,每台B型挖掘机的售价不会改变,每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0 ) ,该厂应该如何生产可获得最大利润？（注：利润＝售价一成本）【解法指导】解：⑴设生产A型挖掘机x台,则B型挖掘机可生产（100－x）台,由题意得22400≤200x＋240（100－x）≤22500,解得37.5≤x≤40,∵x取非负整数,∴x为38,39,40．∴有三种生产方案：A型38台,B型62台；A型39台,B型61台；A型40台,B型60台．⑵设获得利润W（万元）,由翅意知W＝50x＋60（100－x）＝6000－10x∴当x＝38时,W最大＝5620（万元）,即生产A型38台,B型62台时,获得利润最大．⑶由题意得知W＝（50＋m）x＋60(100－x)＝6000＋(m－10)x．∴当0＜m＜10,则x＝38时,W最大,即A型挖掘机生产38台,B型挖掘机生产62台；当m＝10时,m－10＝0,三种生产方案获得利润相等；当m＞10时,则x＝40时,W最大,即A型挖掘机生产40台,B型挖掘机生产60台．【变式题组】01．（天门）某地为促进特种水产养殖业的发展,决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个l亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝,因资金有限,投人不能超过14万元,并希望获得不低于10.8万元的收益,相关信息如下表所示：养殖种类成本（万元/亩）毛利润（万元/亩）政府补贴（万元/亩）甲鱼 1.5 2.5 0.2黄鳝 1 1.8 0.1⑴根据以上信息,该农户可以怎样安排养殖？⑵应怎样安排养殖,可获得最大收益？⑶根据市场调查,在养殖成本不变的情况下,黄鳝的毛利润相对稳定,而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元．问该农户又该如何安排养殖,才能获得最大的收益？02．（成宁）某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后,决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨,B蔬菜基地有蔬菜300吨,现在将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和每吨25元,从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和每吨18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．⑴请填写下表,并求两个蔬菜基地调运的运费相等时x的值；⑵设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元,写出w与x之间的函数关系式,并求总运费最小的调运方案；⑶经过抢修,从B地到C处的路况得到进一步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m元（m＞0),其余线路的运费不变,讨论总运费最小的调运方案．【例3】（荆州）某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心,捐出了五月份的全部销售利润,已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台,每种型号器材不少于8 台,五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（即人员工资和杂项开支）3.8万元．这三种器材的进价和售价如下右表,人员工资y1（万元）和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x成一次函数关系（如图）．⑴求y1与x的函数解析式；⑵求五月份该公司的总销售量；⑶设五月份售出甲种型号器材t台,五月份总销售利润为W（万元）,求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）⑷请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值．【解法指导】解：⑴设y1＝kx＋b（x＞0）,则0.220 1.2bk b=⎧⎨+=⎩,解得0.050.2kb=⎧⎨=⎩,∴y1与x的函数关系式为y1＝0.05x＋0.2⑵依题意得y1＋y2＝0.05x＋0.2＋0.005x＋0.3＝3.8∴x＝60∴五月份该公司的总销售量为60台．⑶设五月份售出乙型号器材p台,则售出丙型号器材（60－t－p）台．0.9t＋1.2p＋1.1（60－t－p）＝64,p＝2t－20∴W＝1.2t＋1.6（2t－20）＋1.3（60－t－2t＋20）－64－3.8W＝0.5t＋4.2⑷依题意有82208602208ttt t⎧⎪-⎨⎪--+⎩≥≥≥,∴14≤t≤24,∵t为正整数,∴t最大为24,∴W是关于t的一次函数,∴W随t的增大而增大．∴t＝24时,W最大＝0.5×24＋4.2＝16.2（万元）∴该公司这项向灾区捐款金额的最大值为16.2万元．【变式题组】01．（眉山）某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套,并且购进的三种玩具都不少于10套,设购进A种玩具x套,B种玩具y套,三种电动玩具的进价和售价如下表所示：⑴求含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出,且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．①求利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；②求利润的最大值,并写出此时三种玩具各多少套．02．（双柏县）今年我县水果又喜获丰收,某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售,规定每辆汽车只装运一种水果,且必须装满；装运每种水果的汽车不少于4辆；同时,装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．⑴假设用x辆汽车装运A种水果,用y辆汽车装运B种水果,根据下表提供的信息,求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．水果品种 A B C每辆汽车装运量（吨） 2.2 2.1 2每吨水果获利（百元） 6 8 5⑵设此次外销活动的利润为Q,求Q与x之间的函数关系式,请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．03．（河北）某公司装修需用A型板材240块、B型板材150块,A型板材规格是60cm×30cm,B 型板材规格是40cm×30cm．现只能购得l50cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法：（图中是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数 1 2 0B型板材块数 2 m n⑴上表中,m＝_________,n＝___________；⑵分别求出y与x和z与x的函数关系式；⑶若用Q表示所购标准板材的张数,求Q与x的函数关系式,并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张？【例4】（宜昌）2007年5月,第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛序幕,20日上午9时,参赛龙舟从黄陵庙同时出发,其中甲、乙两队在比赛时,路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系式如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄泊河港．⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ ⑵在比赛过程中,甲、乙何时相距最远？ 【解法指导】解：⑴乙队先到达终点,对于乙队,x ＝1时,y ＝16,所以y ＝16x ,对于甲队出发1小时后,设y 与x 关系为y ＝kx ＋b ,将x ＝1,y ＝20和x ＝2.5,y ＝35分别代入上式得：2035 2.5k b k b =+⎧⎨=+⎩,解得：y ＝10x ＋10,解方程组161010y xy x =⎧⎨=+⎩,得x ＝53,即出发1小时40分钟（或者上午10点40分）乙队追上甲队．⑵1小时之内,两队相距最远距离是4千米,乙队追上甲队后,两队的距离是16x －（10x ＋10）,当x 为最大,即x ＝3516时,6x －10最大,此时最大距离为6×3516－10＝3.125＜4,所以比赛过程中,甲、乙两队在出后1小时（或者上午10时）相距最远．【变式题组】01．（佳木斯）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地,乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息,解决如下问题：⑴求乙车所行路程y与时问x的函数关系式；⑵求两车在途中第二次相遇时,他们距出发地的路程；⑶乙车出发多长时间,两车在途中第一次相遇？02．（牡丹江）甲、乙两车同时从A地出发,以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B 地,停留l小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米,下图是两车之间的距离y与乙车行驶的时间x（小时）之间的函数图象．⑴请将图中的（）内填上正确的值,并直接写出甲车从A到B的行驶速度；⑵求从甲车返回到乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；⑶求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．【例5】（自贡）抗震救灾中,某县粮食局为了保证库存粮食的安全,决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震能力的A、B两个仓库．已知甲库有粮食100吨,乙库有粮食80吨,而A库的容量为70吨,B库的容量为110吨,从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）路程（千米）运费（元/吨·千米）甲库乙库甲库乙库A库20 15 12 12B库25 20 10 8⑴若甲库运往A库粮食x吨,请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；⑵当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时,总运费最省,最省的总运费是多少？【解法指导】解：⑴依题意有：y＝12×20x＋10×25（100－x）＋12×15（70－x）＋8×20×[80－（70－x）]＝－30x ＋39200∵700100080(70)0xxxx-⎧⎪⎪⎨-⎪⎪--⎩≥≥≥≥,∴0≤x≤70⑵上述一次函数中k＝－30＜0,∴y随x的增大而减小,∴当x＝70吨时,总运费最省,最省的总运费为－30×70＋39200＝37100（元）【变式题组】01．（河北）光华农机租凭公司共有50台联合收割机,其中甲型有20台,乙型有30台,现在将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区,两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：⑴设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元）,求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围；⑵若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得租金总金额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来；⑶如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议．02．（安庆）为支持四川抗震救灾,重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨,需要全部运往四川重灾地区的D、E两县,根据灾区的情况,这批贩灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．⑴求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？⑵若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨,A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数）,B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍,其余的赈灾物资全部运往E县,且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？⑶已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：为及时将这批赈灾物资运往D、E两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在⑵问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【例6】（荆州竞赛题）在底面积为100cm2、高为20m的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计）,如图所示,向烧杯中注入流量一定．．．．的水,注满烧杯后,继续注水,直到注满水槽为止（烧杯在水槽中的位置始终不变）．水槽中水面．．．．．上升的高度h与注水时间t之间的函数关系式如图所示．⑴求烧杯的底面积；⑵若烧杯的高为9cm,求注水的速度及注满水槽所用的时间．【解法指导】设烧杯底面积为Scm 2,高为h 1cm ,注水速度为Vcm 3/s ,注满水槽用时t 0s ． ⑴由图可知,当注水18s 时,烧杯刚好注满；当注水90s 时水槽内水面高恰好为h 1cm （烧杯高）．于是为Sh 1＝18V ,100h 1＝90V ,则100h 1＝118Sh 1×＝90,∴S ＝20（cm 2）,∴烧杯的底面积为20cm 2．⑵若h 1＝90cm ,则V ＝10cm 3/s ,从而100×2010＝200s ．∴注水速度为10cm 3/s ,注满水槽所用时间为200s ．【变式题组】01．某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油,在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨,加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨,加油时间为t 分钟,Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题：⑴加油飞机的加油油箱中装了多少吨油？将这些油全部加给运输机需要多少分钟？ ⑵求加油过程中,运输飞机的余油量Q 1（吨）与时间t （分钟）的函数关系式；⑶运输飞机加完油后以原速度继续飞行,需要10小时到达目的地,油料是否够用呢？请你算一算,并说明理由．02．（黑龙江）某企业有甲、乙两个长方形的蓄水池,将甲池中的水以每小时6立方米的速度注人乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度y （米）与注水时间x （小时）之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题：⑴分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式； ⑵求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；⑶求注多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．03．（绥化）因南方早情严重,乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情,北方甲水库即以管道运输的方式给予支援,下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内,甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：⑴甲水库每天的放水量是多少万立方米？⑵在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？⑶求直线AD的解析式．演练巩固反馈提高01．如图,把一次性纸杯整齐的叠放在一起,根据图中的信息,当一筒纸杯的高度为35cm时,则该筒纸杯有（）A．40个B．45个C．50个D．55个02．王老师组织学生举行了一次手抄报活动,最后把十名优秀者的手抄报粘合在一起,在教室里展出．如图,知每张报纸长为38cm,宽为28cm,粘合部分的纸为2cm宽,则这10张报纸粘合后的长度为（ ）A ．360cmB ．362cmC ．364cmD ．380cm 03．（朝阳）如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t （分）的函数图象．观察图象,从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快,其中正确的有_________（填序号）04．（嘉兴）沪杭高速铁路已开工建设,某校研究性学习以此为课题,在研究列车的行驶速度时,得到一个数学问题,如图,若v 是关于t 的函数,图象为折线O —A —B —C ,其中A（t 1,350）,B （t 2,350）,C （1780,0）,四边形OABC 的面积为70,则t 2－t 1＝（ ）A ．15B ．316C ．780D ．3116005．（黄冈）小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达A ,再走上坡路到达B ,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程关系如图所示,下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟 06．（宁波）如图,某电信公司提供了A 、B 两种方案的移动通信费用y （元）与通话时间x（分）之间的关系,则以下说法错误．．的是（ ） A ．若通话时间少于120分钟,则A 方案比B 方案便宜20元B ．若通话时间少于200分钟,则B 方案比A 方案便宜12元C ．若通讯费用为60元,则B 方案比A 方案的通话时间多D ．若两种方案通讯费用差10元,则通话时间是145分或185分07．（贵州黔东南州）如图,在中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程S （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ,下列说法正确的是（ ）A．乙比甲先到终点B．乙测试的速度随时间增大而增大C．比赛进行到29.4秒时,两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快08．（长春）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵,然后甲班才开始与乙班一起植树,设甲班植树的总量为y甲（裸）,乙班植树的总蚤为y乙（棵）,两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）．y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．⑴当0≤x≤6时,分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式；⑵如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率,通过计算说明,当x＝8时,甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵；⑶如果6个小时以后,甲班保持前6个小时的工作效率,乙班通过增加人数,提高了工作效率,这样继续植树2小时,活动结束,当x＝8时,两班之间植树的总量相差20裸,求乙班增加人数后平均每小时植树多少裸．09．某服装厂现有A种布料35m,B种布料26m,现计划用这两种布料生产男、女两款式的时装共40套．已知做一套男时装需要A种布料0.6m、B种布料0.9m,可获利90元；做一套女时装需要A种布料1.lm,B种布料0.4m,可获利100元,若设生产男时装套数为x套,用这批布料生产这两种时装所获得总利润为y元．⑴求y与x的函数关系式,并求出x的取值范围；⑵该服装厂生产这批服装中,当生产男时装多少套时,所获得利润最大？最大利润是多少元？10．（江苏无锡）某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料,生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品x吨和乙种产品y吨,共用去A原料200吨．⑴写出x与y满足的关系式；⑵为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元,那么至少要用B原料多少吨？11．（深圳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆,由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装,生产开始后,调研部门发现：l名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．⑴每名熟练工和新工人每月分别可安装多少辆电动汽车？⑵如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好．．能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种．．．新工人的招聘方案？⑶在⑵的条件下：工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资．给每名新工人每月发1200元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？12．（河北）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部,每款手机至少要购进8部,且恰好用完购机软61000元,设购进A型手机x部,B款手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：⑴用含x,y的式子表示购进C型手机的部数；⑵求出y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进手机全部售出,综合考虑各种因素,该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额一购机款一各种费用）②求预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各多少部．。
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第4讲 一次函数知识总结归纳一. 正比例函数的一般形式是y kx =(0)k ≠，一次函数的一般形式是y kx b =+(0)k ≠．二. 一次函数y kx b =+的图象是经过()0bk -，和(0)b ，两点的一条直线． 三. 一次函数y kx b =+的图象与性质四. 一次函数与一元一次方程的关系直线0y kx b k =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程00kx b k +=≠（）的解．求直线y kx b =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程0kx b +=，解方程得bx k =-，直线y kx b =+交x 轴于(0)b k -，，bk -就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标．五. 一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<(a b 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围． 六. 一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式0y kx b k =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线0y kx b k =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程0y kx b k =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个．k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图像的大致位置经过象限 第一二三象限 第一三四象限第一二四象限第二三四象限性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 y 随x 增大而减小典型例题一. 基础训练【例1】 已知函数(10)12y m x m =-+-，（1）m 为何值时，这个函数是一次函数； （2）m 为何值时，这个函数是正比例函数．【例2】 已知正比例函数y kx =（0k ≠），点(23)-，在函数上，则y 随着x 的增长而_______（增长或减少）．【例3】 求直线23y x =--与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线．【例4】 若一次函数3y x b =+的图像经过点(14)P ，，求该函数图象的解析式．【例5】 已知一次函数的图像经过点(35)，与(49)--，．求这个一次函数的解析式．【例6】 一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >-B ． 1m <-C ．1m =-D ．1m <【例7】 一次函数23y x =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例8】 正比例函数1(2)m y m x-=-的图象一定通过（ ）A ．原点和（2,1-）B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三或第二、四象限二. 巩固提高【例9】 （1）已知直线45y ax a =-+不经过第二象限，求a 的取值范围．（2）已知一次函数(21)(1)y m x m =+++的图象不经过第一象限，求m 的取值范围．【例10】 若直线y kx b =+与直线32y x =+平行，且在y 轴上的交点坐标为(05)，，求k 和b 的值．【例11】 （1）将直线24y x =-向上平移5个单位后，所得直线的表达式是多少？（2）将直线24y x =-向右平移3个单位后，所得直线的表达式是多少？【例12】 已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）【例13】 已知一次函数(32)(4)y a x b =+--，求字母a 、b 为何值时：（1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y =－4x +3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方．【例14】 已知整数x 满足55x -≤≤，11y x =+，224y x =+对任意一个x ，m 都取1y ，2y 中的较小值，则m 的最大值是（ ）A ． 1B ． 2C ． 24D ．9-【例15】 根据下列要求分别写出相应的函数关系式：（1）y 与x 正比例，其图象过点(31)P ; （2）函数(21)y kx k =-+的图象过原点．【例16】 对于一次函数(25)(4)y k x k =-+-．（12244816k k k k -+-+ （2）若函数为正比例函数，且与y mx =的图象关于x 轴对称，求m 的值．【例17】 一次函数3y kx =+的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值是多少？【例18】 已知一次函数的图象经过点()22，，它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式.【例19】 已知四条直线3y kx =-，1y =-，3y =和1x =所围成的四边形的面积是12，求k 的值．【例20】 一个一次函数的图像与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(125)--，，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？三. 一次函数与一元一次方程综合【例21】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例22】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．四. 一次函数与二元一次方程（组）综合【例23】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（5-，8-），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例24】 已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．五. 一次函数与一次不等式综合【例25】 已知一次函数25y x =-+．画出它的图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <．【例26】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例27】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例28】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例29】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．BAO yx【例30】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <23O y x【例31】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-2-4Oy x【例32】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3-3y 1=kx+by 2=x+ax yO作业1. 一次函数y ax b =+经过点(11)A ，及(21)B -，点，求a ，b ．2. 一次函数2y x =-的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3. 已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图像不经过第二象限，则m =_______．4. 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ）A ．无解B ．有唯一解C ．有无数个解D ．以上都有可能5. 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．l 2l 13-1O yx6. 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．7. 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ）初一数学联赛班 七年级 11 思维的发掘 能力的飞跃 A ．2x >- B ．0x > C ．2x <- D ．0x <y=kx+b2-2O yx8. 已知a b c a b c a b c k c b a+--+-++===，且2596m n n -+=，则关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图象一定经过第几象限？9. 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．10. b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？。