四川大学2015-2016春微积分1-2试题A

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(NEW)四川大学《690高等数学(微积分、级数)》历年考研真题汇编

6 （12分）一质量为m的物体，最初静止于x0处，在力F＝－k/x2 的作用下沿直线运动，试求物体在任意位置x处的速度．
7 （13分）质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm．试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
3 求下列不定积分（共50分）：（1）（2）
（3）
（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
4 用级数展开计算下列积分的近似值（计算前三项）（共20 分）：
（1）（2）
5 （5分）甲乙两船同时从一码头出发，甲船以30km/h的速度向北行驶，乙船以40km/h的速度向东行驶，求两船间距离增加的速度为多少？
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
2016年四川大学690高等数学（川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式（共20分）：（1）ax （2）sin（x/2）（3）（4）ln（1＋x）（5）1/（1＋x）
2 求下列平面图形的面积（共30分）：（1）曲线y＝x3与y轴和直线y＝1所围成的图形；（2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形．
目录
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2016年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2017年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题

四川大学微积分1-2(2016)B卷

( xy2 2 y)dx ( x2 y 3x)dy . L
4．设空间曲面： z 1 ( x 2 y2 ) (0 z 1部分) 所围成，方向指向外侧，计算曲面积分 2
( x y)dydz ( y z)dzdx ( x z)dxdy .
5．求微分方程 y 4 y x cos x 的通解.
(1)求常数 A，以及该微分方程的通解.
(2)计算曲线积分 (0,1) 2 xydx ( Ax 2 2 y)dy 的值. (1,0)
3．设二元函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
0,
( x, y) (0, 0)
.
( x, y) (0, 0)
(1)求证：二元函数 f ( x, y) 在点(0,0)处不可微.
0
2
0
确定的隐函数组，求
y(1),
z(1) .
第 1 页，共 2 页试卷编号：
2．设空间区域是由 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成，计算三重积分
(2x y 3z)dxdydz .
3．设平面闭曲线 L： y cos x 从点 A(1,1)到 B(1,1)，计算曲线积分
四川大学期末考试试题（闭卷）（2015-2016 学年第 2 学期） B 卷
课程号：201138040 适用专业年级：
课序号：学生人数：
课程名称：微积分（I）-2 任课教师：
成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修订）》，郑重承诺：
2．二元函数 z
f (u, v) 具有二阶连续偏导数,
u

15-16A概率统计(III)

矩估计量为
.
二、解答题（共 7 小题，共 79 分）
1.（10 分）某商场销售一批照相机共 10 台，其中有 3 台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，已
售出 2 台，该顾客从剩下的 8 台中任意选购 1 台，求
（1）顾客买到正品的概率；（2）若已知顾客买到的是正品，则已售出的 2 台都是次品的概率是多少？
.
6. 设 X1 , X2 ,, X6 是来自正态总体 X ~ N (0, 2 ) 的简单随机样本，统计量
T a X1 X 2 X 3 服从 t 分布，则常数 a
.
X
2 4
X
2 5
X
2 6
7. 设 X1, X2 ,, X n 是来自总体 X ~ U ( , 2) 的简单随机样本，X 为样本均值，则未知参数的
1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
考生签名：
注：考试时间 120 分钟。请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记 0 分。
一、填空题（每题 3 分，共 21 分）
1. 已知 P( A) p, P(B) q, P( A B) p q ，则 P( A B)
附：标准正态分布、 t 分布、 2 分布上侧分位点值： u 0.025 1 .9 6 , u 0.05 1 .6 4 5
t0.025 ( 9 ) 2 .2 6 2 , t0.025 ( 8 ) 2 .3 0 6 , t0.05 ( 9 ) 1 .8 3 3 , t0.05 ( 8 ) 1 .8 6 ,

（2）求Y y 的条件下， X 的条件概率密度，并计算概率 P{ X 2 Y 4} ；

参考答案2015-2016几何与多元微积分A(上)_A卷

（2）若 r > 1 ，则由 lim
n →∞
an +1 = r > 1 ，推知 n 充分大时 an +1 > an ，故 an
lim an ≠ 0 ⇒ lim an ≠ 0 ，此与条件矛盾。
n →∞ n →∞
（3）若 r = 1 ，则由 lim 件收敛矛盾。综上得
∞
∞ an +1 = 1 ，推知 n 充分大时， an 同为正值或同为负值，与 ∑ an 条 n →∞ a n =1 n
x − 2 y − 2z +1 12 + (Leabharlann 2) 2 + (−2) 2
去掉绝对值符号，得所求平面方程为
=
3x − 4 y + 5 32 + (−4) 2
7 x − 11 y − 5 z + 10 = 0
或
2 x − y + 5z + 5 = 0
4、求常数项级数
∞
3n −1 − 1 的和. ∑ n −1 n =1 6
π ⎧ ⎪1, 0 ≤ x < 2 ⎪ π ⎪ = < x≤π 和函数 s ( x) ⎨0, 2 ⎪ π ⎪1 ⎪2 , x = 2 ⎩
四、（6 分）求直线 L : 曲面？解：设 P ( x, y , z ) 为旋转曲面上任一点，它是由直线 L 上 Q( x1 , y1 , z1 ) 点绕 z 轴旋转所得，则
4、在空间直角坐标系中，方程 y = 2 x 表示的曲面是抛物柱面，方程 z = 1 −
2
示的曲面是圆锥面 . 5、设 u ( x, y , z ) = z
z z x −3 x dx − y 2 dy + ，则 du = 2 y 2 xy

2015-2016几何与多元微积分A(下)试卷

.
∫ 6、计算第一类曲线积分 3 z ds = Γ4
⎧x = 0
，其中曲线
Γ
:
⎪ ⎨
y
=
t
2
−
1
⎪ ⎩
z
=
2t
(0 ≤ t ≤ 1) .
( 2,3)
∫ 7、计算 (x + y)dx + (x − y)dy = (1,1)
.
∫∫∫ 8、区域 Ω 由 x = 0, y = 1, z = y 与 z = x 围成， f ( y) 连续，则 (x − y)6 f ( y)dV 可用定积
Ω
分表示为
.
二、计算下列各题（每小题 7 分，共 28 分）
∫∫ 1、计算二重积分 (x2 + y2 )dxdy ，其中 D 为由 x 轴和曲线 y = 2x − x2 所围成的半圆形 D
区域。
∫ ∫ 1
2、通过交换积分次序计算二次积分 dx
x sin ydy .
0 xy
∫∫∫ 3、计算三重积分 (x2 + y2 )dV ，其中 Ω 是由抛物面 z = x2 + y2 和 z = 2 − x2 − y2 所围成的 Ω
.
2、曲面方程为
.
G
3、 f (x, y) = x2 + xy 在点 (1, 2) 处沿方向 l = (1,1) 的方向导数为
.
4、函数 z = x3 + y3 − 9xy + 27 的驻点为
.
5、以 x 轴和 y = 1− x2 为边界的半圆区域的形心为
（单位：万元）. 除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元。问在限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大？最大总利润是多少？

【四川大学】2014-2015春(微积分II-2)半期试题

2x 2 八．（10 分）求函数 f ( x , y ) e ( x y 2 y ) 的极值，并判断是极大值还是极小值？
四川大学半期考试试卷
（2014—2015 年第二学期）科目：微积分（II）-2 考试时间：90 分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记 0 分。
一、计算下列多元函数的极限。若极限不存在，请给出理由（每题 5 分，共 15 分）
sin( x 4 y 4 ) 1、 lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x2 y2 ln(1 x ) dx 。 (2 x ) 2 x3 y5 2、 lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2 1 dx 。 x (1 x 2 ) 2
1 x 1
x
1
(1 x ) 3
t
f ( u)du )dt
。
四．（10 分）设函数 f ( x ) 连续，且 f ( 0) 0 ，求极限 lim
x 0
x
0
( x t ) f ( t )dt
x 0
x f ( x t )dt
。
五．（10 分）证明函数 f ( x , y ) | xy | 在点 ( 0,0) 连续、偏导数存在，但、 lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 6 y 2
二．计算题。（每小题 5 分，共 25 分） 1、
1 0
2、
3
1
3、设 f ( x ) x sin x

4 0
f ( 2 x )dx ，求 2 f ( x )dx 。
4、 u ( xy ) z ，求 du |(1, 2 ,1) 。
1 ,x 1 x x 1 x 5、 f ( x ) x ,0 x 1 ，求 f ( t )dt 。 0, x 0

概率统计(I)2015-2016-2(15级)期末试题及参考答案

P Y 1 1 P Y 1 1 P Y 0 P Y 1
0 1 1 C4 1 2 1 2 C 4 1 2 1 2 0 4 1 3
11 0.6875. 16
1 1, 2; 4, 25; 4. X , Y N 2 E X 1, E Y 2, D X 4, D Y 25, R X , Y
2 待检检验为：
H 0 : 0 0.27,
0 .
因总体方差已知，用 U 检验法，即检验统计量为
U X 0

n
. 因 0.05 ，查表得拒绝域为
W U : U U : U 0.95 U : U 1.645 .
2. FY y P Y y P 2 X 1 y
y 1 y 1 y 1 PX FX F . 2 2 2 1 1 3. X U 1,1 P X 0 Y B 4, 2 2
i
n
n
3
xi
i 1
n
e 3n ，
i 1
i 1
显然可见， L 关于单调递增；又 xi , i 1, 2,, n ，从而 min x1 , x2 ,, xn ；故的极大似然估计值为
ˆ min x ，极大似然估计量为 ˆ min X ； l i l i
1
fX x

f x, y dy
1 1 x , 1 x 1 x 1dy , 1 x 1 ； , 其它 0 其它 0,
fY y

四川大学《大学数学-微积分》期末考试试卷B(末尾含答案解析)

B．双叶双曲面 D．旋转抛物面
2. 设F (x y, y z, z x) 0，则 z ( ). x
A. F1 F3 F2 F3
B. F2 F1 F2 F3
C. F1 F3 F2 F3
D. F1 F3 F2 F3
3.函数z ln(x y)在抛物线y2 4x上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向X轴正向的切线方向的方向导数为（）
A. 2 3
B. 3 3
C.1
D. 3
4.
1
dx
x
e
y
2
01
dy
（
）.
A. 1 (e1 1) 2
B. 1 (e 1) 2
C. 1 (e 1) 2
D. 1 (e1 1) 2
5.若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程 y p(x)y q(x)y 0 的两个特解,则
第 1 页共 6页
年级：装
5.级数
n1
(2
x
n
1)
n
的收敛区间是
______
.
三．计算题（每小题8分，共24分）
1.设函数 Q(x，y) 在 xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L 2xydx Q(x, y)dy 与路径无关，并且对任意 t ，恒有
(1, t)
(t , 1)
(0,0) 2xydx Q(x, y)dy (0,0) 2xydx Q(x, y)dy
1.证明，变换
u v
x 2y x 3y
可把方程
6
2 x
z
2
2z xy
2z y 2
0 简化为 2 z 0 ． uv
第5页共6页
四川大学期末考试试卷

2014-15(2)四川大学微积分期末试卷解答

′ f= lim y (0, 0)
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
ϕ ′( x) = e x − ∫ ϕ (t )dt ，
0
x
ϕ ′′( x) = e x − ϕ ( x) ，即 ϕ ′′( x) + ϕ ( x) = e x ，
r2 +1 = 0，
Φ ( x) = C1 cos x + C 2 sin x ，
特征根为 r1, 2 = ±i ，故对应的齐次方程的通解为易知 Φ * ( x) =
内的部分的上侧. 解：设 S 0 为平面： x + y ≤ 2, z = 0 方向向下， Ω 为 S + S 0 围的立体，
2 2
Ω 在 xOy 上投影 D xy : x 2 + y 2 ≤ 2, z = 0 ，
用极坐标表示： 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 利用高斯公式得
S + S0
2
∫∫ ( y
故
∂2 z 3 = − ∂x∂y (0,0) 25
1
∂2 z = 2. 设 z f (2 x − y, y sin x) ，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 ∂x∂y= x
解：令 u =2 x − y, v =y sin x ，则
π
.
= ,y 2 4
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = 2 fu′ + y cos xf v′ ， ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

2017春微积分I-2期末B卷试题

第1页，共2页四川大学半期考试试题（闭卷）（2016-2017学年第2学期）课程号：201138040课序号：课程名称：微积分（I ）-2任课教师：成绩：适用专业年级：学生人数：印题份数：学号：姓名：考生承诺我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修订）》，郑重承诺：1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点；2、不带手机进入考场；3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。

考生签名：一、填空题（每小题4分，共20分）1.曲线220y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程为__________.2.设(01)y z x x x =>≠，,则__________.dz =3.改变二次积分130()y y dy f x y d x ⎰⎰，的积分顺序为__________.4.函数2()f x y x y =，在点(11)，处方向导数的最大值为__________.5.曲线3z xy x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩上点(111)，，处的切线方程为__________. 二、解答题（每小题10分，共60分）1.设()()z z x y y x ==，由方程组()1z f y z x x y z =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，确定，求. dz dy dx dx ，2.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积.3.求极限24301lim ln(4)rr xy dv r →Ω++⎰⎰⎰，其中2222. r x y z r Ω++≤：4.求过曲面2226x y z ++=上一点的切平面，且该切平面垂直于直线2. 2x y z x z --=⎧⎪⎨+=⎪⎩第2页，共2页。

四川大学期末考试试题(闭卷)2017-2018春微积分

四川大学期末考试试题（闭卷）（2017——2018 学年第 2 学期） A 卷课程号：201138040 课序号：课程名称：微积分（I）-2 任课教师：成绩：⎩ 2 2 a b 1 - α 2 - β x 2 y 22 1 - - a 2 b2x 2 y 2⎧ 3 x 2 y 4 ⎪ , ( x , y ) ≠ (0, 0) ∂f ∂f5. f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2, (1)求 ∂x (0, 0) 和 ∂y (0, 0) ;⎪0, ( x , y ) = (0, 0) (2)判断（f x , y ）在点 0, 0）处是否可微; (3)设向量l = ( , -2 2) , 求∂f (0, 0).∂l三、应用题 (每小题 9 分，共 18 分)1. 求圆 x 2 + y 2 = 1 上一点, 使得该点到 A (0, 0) 、 B (3, 0) 、C (0, 4) 的距离的平方之和最小.2. 设函数 y = f ( x ) 处处二阶可导, 其函数图像上任意一点x , y ）处的切线与 y 轴的交点为(0, u ( x )) , 若u - u ' = y + 2 x 2 , 并且 f (1) = f '(1) + 4 = e , 求函数 y = f ( x ) .四、证明题 (每小题 6 分，共 12 分)1. 设可微函数 f ( x , y , z ) 满足: f (t a x , t b y , t c z ) = t a + b + c f ( x , y , z ), ∀t > 0 , 其中 a , b , c 都是正整数. 求证: ax∂f ( x , y , z ) ∂x + by ∂f ( x , y , z ) ∂y + cz ∂f ( x , y , z )∂z= (a + b + c ) f ( x , y , z ).x 2 y 2 z 2c 2 c 22. 设∑ 为曲面 a 2 + b 2 + c2 = 1 (a , b , c > 0) ,I = ⎰⎰ d S , ∑α = 1 - , β = 1 - .a 2b 2(1) 求证: I = 2⎰⎰d x d y , D xy其中 D xy = {( x , y ) ∈ 2| x a2 + y 2b 21}.1 (2) 上述积分很难直接计算, 试用你的想法给出 πI的估算公式, 并给出该公式在a = 1,b = 2,c = 3 时的结果. (保留两位小数, 合理的估值均可得分)2f 1 02018 微积分（1）-2 参考解答一、计算题：（每题褵分，共褳褰分）褱、求曲线x = cos t, y = sin t, z = t cos t 上点(1, 0, 0)处的切线方程褮解褺对曲线方程关于t 求导可得切向量为(− sin t, cos t , cos t − t sin t ) ······························ 3分代入点(1, 0, 0)对应的参数t = 0可得点(1, 0, 0)处的切向量为(0, 1, 1). 于是褬切线方程为x − 1 = y = z ······································· 2分褲、求曲面z = xy 在点(−2, −3, 6)处的切平面方程褮解褺曲面z = xy 的法向量是(−z x , −z y , 1) = (−y, −x, 1), ········································ 3分于是在点(−2, −3, 6)处的法向量为(3, 2, 1). 因此，所求切平面方程为3(x + 2) + 2(y + 3) + z − 6 = 0，即3x + 2y + z + 6 = 0 ································ 2分褳、设D = {(x, y ) ∈ R 2| x + y :( 1, x ;;? 0, y ;;? 0}，求FFx d x d y.解褺ffx d x d y = d x f 11−x 0x d y ······································ 3分1 11 =2 −3 = 6 ·······························2分褱0 = D 011D(x − x 2)d x ff f f f1−( ) =x x2 x Ω褴、设Ω是曲面z = ✓x 2 + y 2与平面z = 1围成的区域褬求FFF(z +x 2y 3 sin z 4)d x d y d z 褮解褺由Ω的对称性褬fffx 2y 3 sin z 4d x d y d z = 0 ····························· 1分由截面法褬注意到 D z = {(x, y ) ∈ R 2| x 2 +y 2 :( z 2} ············· 1分1 ∴ 原式 =d z 0D zf 1z d x d y=πz 3d zπ=4 ······························3分褵、设Γ是起点为(1, 0, 1)、终点为(0, 1, 1)的有向线段褬求F(y 2 + z − x )d y.解褺 Γ的参数方程x = 1−t, y = t, z = 1，t : 0 → 1， ········· 2分原式 = 0 5 (t 2+ t )d t褶、求微分方程初值问题= 6 ······························3分xy Iy = x 2的解褮y (1) = 2018解褺由 y I xy I − y = 1，可得褺 y= x + C ······································· 2分代入初始条件褬可得C = 2017.于是方程的解为y = x 2 + 2017x ······································· 3分褲Γ Ω0 x 3F 0 0F fff ff F ffff1 − 9 x2 + y 2二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）褱、交换二次积分I = F 1 d x F 1 ✓3 y 2e y d y 的积分次序并计算I .解：画出积分区域：褲分y I = F 1d yF √3 y ✓3y 2e y d x=1 ye y d y 3分 = ye y 11 − F 1 e y d yx 2 + y 2 + z 2 = 1褲、设曲线Γ的方程为x + y + z = 0 解褺由Γ的轮换对称性褬可得褬求(x + 1)2d s 褮 Γx 2d s =ΓΓy 2d s =Γz 2d s= 1 (x 2+ y 2 + z 2)d s 3Γ1 2π = d s = .4分33Γ再由Γ关于原点的对称性褬可得x d s = 0.2分 Γ(x + 1)2d s =ΓΓ(x 2+ 2x + 1)d s =Γx 2d s +Γ8πd s = .2分3褳、设平面曲线L 为y I x 2褬起点为褬终点为褬求F x d y − y d x 褮解褺首先褬∂ −y−(x 2+ y 2) + 2y 2y 2 − x 2P y =( ∂y x 2+ y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 , ∂ x (x 2 + y 2) − 2x 2 y 2 − x 2Q x =( ∂x x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 . 既然 P y = Q x 褬于是曲线积分与路径无关褻褳分褳Lx 0 0 0 = e − (e − 1) = 1.3分= 2 (3, 0) (−3, 0)(9 s in 2 θ + 9 c os 2 θ)d θ = π.3分✓ ✓−−Ω f √r cos ϕ · r 2 sin ϕd r4分∂x d x∂y d y取新的路径 L I : y =√9 − x 2褬起点为(3, 0)褬终点为(−3, 0)褮 L I 的参数方程x = 3 c os θ, y = 3 s in θ褬其中θ从褰变化到π褮褲分代入曲线积分可得1f π褴、设曲面Σ是球面z = 2 x 2 y 2与锥面z = x 2 + y 2围成立体的表面褬 Σ的方向指向外侧褬求FF x 2d y d z + y 2d z d x + z 2d x d y 褮解褺由高斯公式褬原式 =fff(2x + 2y + 2z )d x d y d z.2分由Ω的对称性褬可得FFFx d x d y d z =FFFy d x d y d z = 0.∴ 原式 = 2ffff 2πΩz d x d y d z fπ/4Ωf 2= 4ππ/4cos ϕ sin ϕd ϕ = π.2分✓ 3x 2y 4褵、设f (x, y ) =✓x 2 + y2, (x, y ) (0, 0) 褬褨褱褩求∂f (0, 0)和∂f(0, 0)褻0, (x, y ) = (0, 0)∂x ∂y √2 √2 ∂f褨褲褩判断f (x, y )在点(0, 0)处是否可微褻褨褳褩设向量l = ( 2, − )褬求 (0, 0)褮 2 ∂l 解褺褨褱褩因为f (x, 0) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (x, 0)| = 0.同理褬因为f (0, y ) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (0, y )|= 0. 2分褴0 d θ 0= 2 Ω 0 9 Σ原式 =d ϕx =0 y =0t5 5 5 5褨褲褩令∆y = k ∆x 褬通过计算下列极限褬发现其与k 有关褬从而极限不存在褮f (0 + ∆x, 0 + ∆y ) − f (0, 0) − f x (0, 0)∆x − f y (0, 0)∆ylim∆x →0∆y →0✓(∆x )2 + (∆y )2✓ 3(∆x )2(∆y )4✓ 3(∆x )2(k ∆x )4 k 4/3= lim ∆x →0(∆x )2 ∆y →0+ (∆y ) = lim ∆x →0(∆x )2 + (k ∆x )2 = 1 + k 2 .因此褬由定义可知函数 f (x, y )在点(0, 0)处不可微褮褳分褨褳褩因为 l = ( √2 2, − √2 ) = (cos α, cos β)褬由方向导数的定义可得2∂f (0, 0) = limf (0 + t cos α, 0 + t cos β) − f (0, 0)∂l t →0+ 1✓ 3 t 6 cos 2 α cos 4 β1 分= lim t →0+t· ✓t 2cos 2 α +t 2 cos 2= .3β 2三、应用题：（每题褹分，共褱褸分）褱、求圆x 2 + y 2 = 1上一点褬使得该点到A (0, 0)、B (3, 0)、C (0, 4)的距离的平方之和最小褮解褺令f (x, y, λ) = x 2 + y 2 + (x − 3)2 + y 2 + x 2 + (y − 4)2 + λ(x 2 + y 2 − 1)褮褳分由方程组f x = 4x + 2(x − 3) + 2λx = 0f y = 4y + 2(y − 4) + 2λy = 0 3分f λ = x 2 + y 2 − 1 = 0可解得驻点为(x, y ) = (± 3 , ± 4 )褻由题意可知所求的点为( 3 , 4)褮褳分褲、设函数y = f (x )处处二阶可导，并且f (1) = f I (1) + 4 = e ，其函数图像上任意一点(x, y )处的切线与y 轴的交点为(0, u (x ))，若u − u I = y + 2x 2，求函数y = f (x )褮解褺 u (x ) − y = y I (0 − x )褬 u (x ) = y − xy I 褬 u I (x ) = y I − y I − xy II = −xy II 褮褵2∂u ∂v ∂wa 2 +b 2 +c 2= 1 (a, b, c > 0)I =d S α = 1 − a2 I 1 − αa 2 − β b 2因为u − u I = y − xy I + x y II = y + 2x 2，则当x0时褬 y II − y I = 2x.4分解方程y II − y I = 2x ，可得y = C 1e x + C 2 − x 2 − 2x.3分再由 f (1) = f I (1) + 4 = e ，可得y = e x − x 2 − 2x + 3.2分四、证明题：（每题褶分，共褱褲分）褱、设可微函数f (x, y, z )满足褺 f (t a x, t b y, t c z ) = t a +b +c f (x, y, z ), ∀t > 0褬其中 a, b, c 都是正整数褮求证褺∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f (x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).证明褺令u = t a x 褬 v = t b y 褬 w = t c z 褬 k = a + b + c 褮对f (u, v, w ) = t k f (x, y, z )关于t 求导可得褺∂f (u, v, w )·at a −1x + ∂f (u, v, w )·bt b −1y + ∂f(u, v, w )·ct c −1z = k t k −1f (u, v, w ).褴分上述表达式中令t = 1褬即有∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f(x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).褲、设为曲面x 2 y 2 z 2褲分褬FF褬c 2 褬β = 1 − b2 褮褨褱褩求证褺ff「Ix 2 y 2Ux 2 y 2a 2b 2褨褲褩上述积分很难直接计算褬试用你的想法给出1I 的估算公式褬并给出该公π式在a = 1, b = 2, c = 3时的结果褮褨保留两位小数褬合理的估值均可得分褩褶1 − a2 − b 2D xy y 2 + x 2 d x d y, D xy : Σ c 2 Σ I = 2 :( 1.)∂x = − a 2 z 1 − a 2 − b 2 ∂y = − b 2 z , )y 2x 2 y 21 − a2 − b 2 − −2 2 a 1 α β I d x d y, 2分I ππ（ 22 b1 − αa2 − β b 2 I证褺褨褱褩 I x 2y 2 褬 ∂z c 2 x 褬 ∂z c 2 y褱分d S = ！1 +c 2x 2−a 2 zc 2 y 2 + − b 2 zd x d y= 「I U 1 +x 2 c a 4 y 2 c 4 + d x d y「I 1 − (1 − c 2 a 2 ) x 2 a 2− (1 − c 2 y 2 b 2 ) b 2 d x d yU x 2 y 2I 「 x 21 − a2 − b 2 y 2U x 2 y 2 1 − a 2 − b2 由曲面Σ的对称性褬只需要计算上半椭球面积的褲倍褻因此褬ff 「Ix 2 y 2U x 2 y2a 2 b2褨褲褩合理估值范围褺 4min {a 2, b 2, c 2} :( 1I :( 4max {a 2, b 2, c 2}. 参考估值公式褺1 I ≈ 4(a 2 + b 2 + c 2), π 314π I ≈ 3(ab + bc + ac ), 1 p πI ≈ 4a pb p + b pc p + a p c p, p > 0. 3当a = 1, b = 2, c = 3时褬合理范围是 4 :( 1I :( 36 褮事实上I ≈ 15.57褻估值结果在[10, 20]上给褲分褻估值结果在[4, 10) ∪ (20, 36]上给褱分褮褷1 − a2 − b 2D xy x 2 d x d y, D xy : = 1 − a 2 − b 2x 2 z = cI = 2 :( （ = y 21. 1分+。

2015-16线代A卷答案

一个极大无关组，故所求向量组的秩为 3，且 α1, α2, α3 为它的一个极大无关组.
10 分
4 0 0
20.（本题
10
分）设实对称矩阵
A
0 0
3 1
1 3
，求正交矩阵
P，使 P1AP
.
4 0 0 解 | A E | 0 3 1 (4 )(2 6 8) (2 )(4 )2 0 ，
对于
2
3
4 ，由
(A 2E)x
0
，即
0
1
1
x2
0
，解得基础解系为
0 1 1 x3 0
(1, 0, 0)T , (0,1,1)T ，因为该基础解系中的两个向量恰好正交，只要单位化即得两个正交的单
位特征向量： p2 (1, 0, 0)T , p3 (0,
1, 2
1 )T . 2
0
1
于是可得正交矩阵
3
2
1
2
3
1
1 1 ,2 0 ,3 0 .
6分
0
1
0
0
0
1
1
取
x3 x4 x5
0 0
,
0
得非齐次方程组的一个特解 0
2
0
0 0
，于是，所求方程
组的通解为 x 0 k11 k22 k33 , （k1, k2, k3 为任意实数）.
1 0
0
1 0 -2
-1 5 4
1 0 -1
0 5
2
1 0
0
1 0 0
-1 1 7
1 0 0
0 1
7
1 3 2 2 5 0 2 3 1 5 0 2 3 1 5

四川大学高数微积分I(下)考前复习用2017年期末真题试卷(含答案)

L
7．微分方程 xy′ + y = x2 满足 y(3) = 4 的特解为
．
二、解答题 (每小题 9 分，共 36 分)
1．设曲面Σ 为 z =
，求． ∫∫ x2 + y2 (x2 + y2 1)
(20 xy + 17 y2 )dS
Σ
2．设曲面Σ 为 z = 1 − x2 − y2 ，方向为上侧，求 ∫∫ x2dydz + y2dzdx + ． 5z3dxdy Σ 第 1 页，共 2 页
.
解：原式=
´ 2π
0
dθ
´π
0
dϕ
´1
0
r2
·
Ω
r2 sin ϕdr
=
2π
·
2
·
1 5
=
4 π.
´5
Ｔ、设L是y = x2 − 1上从(0, −1)到(2, 3)的有向曲线，则 ydx + xdy = Ｎ
L
解´ y：dx曲+线x积dy分=与−路´02径d无x +关´，−31选2d择y 折=线−2l
2．在椭圆抛物面 z = x2 + y2 与平面 z = 20围成的空间区域中内置一个长方体，假设该长方
20
4
体的一个面位于z = 20上，长方体的其它面都与某个坐标平面平行，求长方体的体积的最大值．
五、证明题 (7 分)
设区域 D 为 x2 + y2 1， I = ∫∫ sin( x2 + y2 )5/2dxdy ，求证： D
三、综合题 (每小题 9 分，共 18 分)
1．讨论函数
f
( x,
y)
=

四川大学高数微积分I(下)考前复习用2016年期末真题试卷(含答案)

四川大学期末考试试卷A（2015‐2016年第二学期）科目：微积分II 课程号：考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸对应的方框内，否则记0分。

一、填空（每小题3分，共18分）1. 22011xy xy y x -+→→lim=41. 2. 设0=-，则--),,(x z z y y x F x z ∂∂= 0232313≠---'''''',F F F F F F . 3. 若0d ，则d 022=+⎰⎰xx y t t t t e sin )(cos x yd d = 22y ex x cos )(sin cos - . 4. 函数y x 在),(01取极y xy x y x f +-+-=222),( 小值. 5. 21)'(的通解是 ''y y +=))sin(ln(21C x C y +-= .6. 若区域D 由0=x ，0=y ，21=+y x ，1=+y x 围成，且，y x d 12，y x d d 12，+∈Z n ，依从小到大的顺序给321I I I ,,排序为 ⎰⎰++=D n y x y x I d d 121)][ln(⎰⎰+=DI 2+n y ]x [d I 3⎰⎰=Dx [sin(++n y )]231I I I << .二、计算题（每小题8分，共48分）1. 求x x 的通解.e y y x sin ''432+=-解：齐次问题的特征方程为1， 1012-==⇒=-λλλ,则齐次问题的通解为。

x x e C e C y -+=21特解可分解为，x e y y 23=-''x x y y sin ''4=-的特解之和。

x e y y 23=-''的特解为，x e 2x x y y sin ''4=-的特解为)cos sin (x x x +-2，则所求方程的通解为。

四川大学期末考试试卷A卷

四川大学期末考试试卷（A 卷）（2014—2015年第二学期）科目：微积分（I ）-2 课程号：考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。

一、填空题(每小题3分，共18分)1．函数22ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标是3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++⎰⎰的值等于4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +⎰的值等于5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑++⎰⎰的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x=的通解是二、计算题 (每小题8分，共48分)1．设 5431z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ∂∂∂． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x yπ==∂∂∂． 3．计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球2222xy z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭区域．4．利用格林公式计算积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰Ñ，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．5．计算222()()()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．6．求微分方程tan sec dy y x x dx-=满足初始条件00x y ==的特解．三、应用题 (每小题10分，共20分)1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．2．设函数()x ϕ连续，且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ϕϕϕ=+-⎰⎰，求()x ϕ．四、分析证明题 (每小题7分，共14分)1．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()bb a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰．。

四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案（A卷）课程名称

四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案（A卷）课程名称四川大学2015-2016学年第二学期课程考试试卷答案(A 卷)课程名称：运筹学考试时间：120分钟年级：xxx 级专业： xxx题目部分，（卷面共有47题，0分，各大题标有题量和总分）一、判断（7小题，共0分）1、具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长和对金钱的损失都不敏感。

答案：对2、具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长以及对损失的金额都不敏感；（）答案：错3、应用最小机会损失准则决策时，如果用一般的损益矩阵来代替机会损失矩阵，则Savage 准则将建立在maxmin 条件，而不是minmax 条件上；（）答案：对4、在不确定型决策中Laplace 准则较之Savage 准则具有较小的保守性；（）答案：对5、不管决策问题如何变化，一个人的效用曲线总是不变的。

答案：错6、决策树比决策矩阵更适宜于描绘序列决策过程。

（）答案：对7、不管决策问题怎么变化，一个人的效用曲线总是不变的；（）答案：错二、问答（7小题，共0分）(a)若乐观系数矩阵中的数字是利润，请用非确定型决策的各种决策准则分别确定出相应的最优方案。

(b)若表中的数字为成本，问对应于上述各决策准则所选择的方案有何变化？答案：（a ）悲观主义准则：3S 乐观主义准则：3S Laplace 准则：3S Savage 准则：4S 折衷主义准则: 3S .(b)悲观主义准则: 2S 乐观主义准则: 1S Laplace 准则: 1S Savage 准则: 1S 折衷主义准则: 1S 或2S .2、某公司有50000元多余资金，如用于某项开发事业估计成功率为96%，成功时一年可获利12%，但一旦失败，有丧失全部资金的危险。

如把资金存放到银行中，则可稳得年利6%。

为获取更多情报，该公司求助于咨询服务，咨询费用为500元，但咨询意见只是提供试用决策树法分析：(a)该公司是否值得求助于咨询服务； (b)该公司多余资金应如何合理使用？答案：多余资金用于开发事业成功时可获利6000元，如存入银行可获利3000元。

2015-2016(1)微积分期末试卷A 答案

第1页/共 3 页节约用纸两面书写考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）《高等数学A2》期末考试试卷A适用专业：经管各专业本试卷共3页，六大题19小题，总计100分一、选择题（5小题，每小题3分，共15分）1. 设2()x f x dx x e C =+⎰，则()f x =---------------------------( C ).(A)2x xe ； (B)2x x e ； (C)(2)x xe x +； (D)(1)x xe x +． 2.反常积分1p dxx+∞⎰收敛需要p 满足-----------------------------( A ). (A) 1p >； (B) 1p ≤； (C) 0p >； (D)0p ≥.3. 函数(,)f x y 在点),(00y x 处的偏导数=),(00y x f x 00(,)y f x y 0=，则点),(00y x 一定是函数),(y x f 的-------------------------( A ). （A ）驻点；（B ）极小值点； (C)极大值点； (D) 极值点.4. 微分方程320''''++=yy xy x 的阶数为---------------------( C ).(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4.5. 设积分区域D 是圆环域：2249x y ≤+≤, 则利用极坐标二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22可化为------------------------------------( C ).(A) 2302d rdr πθ⎰⎰； (B) 29204d r dr πθ⎰⎰；(C) 23202d r dr πθ⎰⎰； (D) 29204d r dr πθ⎰⎰.二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）6. 设函数cos 0()=⎰x t F x e dt ，则'()=F x cos sin -x e x .7. 二阶微分方程690y y y '''-+=的特征根为3r =． 8. 计算极限(,)(0,0)tan limx y xyx →= 0 .9. 设函数222ln()u x y z =++，则du =222222++++xdx ydy zdzx y z .10. 级数1(1)np n n∞=-∑当___1p >_______时绝对收敛, 当___01p <≤____时条件收敛, 当____0p ≤_________时发散.三、计算题（6小题，每小题6分，共36分）11. 求不定积分：21.2dx x x --⎰ 1:2(2)(1)解原式分=-+⎰L L L L L L L L L dx x x()11143211ln 2ln 16321ln C)31⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦=--++-=++⎰L L L L L L L L L L L L L L 分分（或者dx x x x x C x x线订装郑州轻工业学院 2015 / 2016学年第2学期高等数学A 2 试卷A专业年级及班级姓名学号第2页/共 3 页节约用纸两面书写12.计算定积分41⎰2:,2,:14,:12,2===→→L 解则, 分t x t dx tdt x t2121=+⎰原式tdtt ()212121412ln(1)22(1ln )63⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=-+=+⎰L L L L L L L L L L L L L L L L 分分dt dt t t t13.交换二次积分2110-=⎰⎰y xI dx edy 的积分次序.X 1, 1.2≤≤≤≤L L L L L 解：积分区域为型积分区域： 0分x x yY y 1,0.4化为型积分区域： 0分≤≤≤≤L L L L L L L L x y21y .6因此交换积分次序得分-=⎰⎰L L L L L L L L L yy I d edx14.计算二重积分22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由曲线1y x =，直线2,x =y x =所围成的平面区域.15.求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程和法线方程．16.求常微分方程sin +=dy y xdx x x的通解.线订装1112解：联立,2,得交点为(1,1),(2,2),(2,),分===L L y x y x x 222: F(,,)=1422,2,2,(1,2,3)2,(1,2,3)4,(1,2,3)6,4(1,2,3)2{1,2,3}.(1)2(2)3(3)0.5123.6123++-=======-+-+-=---==L L L L L L L L L L L L L L L rL L L L L L L L L L L L L L 解令分则从而分故点的法向量为切平面方程为分法线方程为分x y z x y z x y z x y z F x F y F z F F F n x y z x y z ()()1sin (),(),2()--==⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰L L L L L L 解：令则分P x dx P x dx xP x Q x x xy e Q x e dx C []11sin =41sin 1cos 6-⎡⎤⎰⎰+⎢⎥⎣⎦⎡⎤+⎣⎦-+⎰⎰L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分==分dx dxx x x e e dx C x xdx C x x C x 22121231242113 =()511=()42964原积分=分分分--=⎰⎰⎰L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L xxx dx dy yx x dx x x第3页/共 3 页节约用纸两面书写四、分析题（本题12分） 17.求幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的和函数并指出其收敛域.五、证明题（本题10分） 18.试证明(,)sin()=+u x t x at 满足波动方程22222.u u a t x ∂∂=∂∂六、应用题（本题12分）19.设某公司生产甲、乙两种产品，产量分别是x 和y （千件）,利润函数为22(,)61642S x y x x y y =-+--（万元）现打算生产甲、乙两种产品共6（千件），问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？1111111111(1)limlim 1.31R=1-11411(1)5.(1),S (1)-+→∞→∞∞=∞-=∞-=--=-==+=-=--'-∑∑∑L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 解：设 a 所以收敛半径，收敛区间为(-1,1).当时，级数发散.当时，级数收敛.因此收敛域为(-1,1]设S()=所以()=n n n n n nn n n nn n n n n na na n x n x n x x n x x 100111.81(0)0,1()(0)S ln(1),111(1)=ln(1),(1,1].12∞=∞-==+='=+==++-+∈-∑⎰⎰∑L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 注意到因此()所以xxnn n x S S x S t dt dt x txx x nucos()2证明：分∂=+∂L L L L L L L L L x at x22222[sin()].10分∂∂=-+=∂∂L L L L L L L u u a x at a t x6,(,)(,)(6)解:根据题意得构造拉格朗日函数λ+==++-x y L x y S x y x y 2261642(6)4分λ=-+--++-L L L L L L L x x y y x y 195.8115⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩L L L L L L 得分x y F 620F 1680,60λλ=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪+-=⎩解方程组x y x y x y 19111911111,,(,).1255555因为实际问题存在最大值，且可能的极值只有一个，故当总利润最大，且最大利润为分===L L L L x y L 22222usin()4cos()6u sin()8∂=-+∂∂=+∂∂=-+∂L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分x at x ua x at t a x at t。

【答案】2015-2016春四川大学微积分(I)-2

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解：令 F x2 y2 z2 1(x2 y2 1) 2 (x 2y 3z 6)
Fx Fy Fz F1 F2
2x 21x 2 0 2 y 21 y 22 0 2z 32 0 x2 y2 1 0
x 2y 3z 6 0
解：设辅助面1： z 1, ( x, y) Dxy:x 2 y 2 1 方向指向上侧，根据高斯公式，
( x2 y)dydz ( y2 z)dzdx ( x z2 )dxdy
[( x2 y)dydz ( y2 z)dzdx ( x z2 )dxdy]
1
1
(2
x
A 3, B 1 .
(2) 根据微分公式， (3 x2 y 6 xy2 y)dx (6 x2 y x3 x)dy d( x3 y 3 x2 y2 xy)
所以微分方程的通解： x3 y 3x2 y2 xy C .
(3) 曲线积分 (1,2) (3 x2 y 6 xy2 y)dx (6 x2 y x3 x)dy (0,0)
6．设平面闭曲线 L 是由 y 3x, y 0, x 1 所围成，则曲线积分 xyds ( 9 10 ).
L
2
7．微分方程 y y 2xy 满足 x 0 时 y 1 的特解是( y e x x2 ).

二．计算题(每小题 9 分，共 45 分)
1．设
ez
2x
3y
z
1
0
确定的二元函数
f l
(0,0)
lim
0
f
(x,y )
f
(0, 0)
lim
0
f
( cos ,
cos )
lim
0
3 cos2 cos 3