(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分

第三讲 常微分方程发展简史——解析理论

与定性理论阶段

3、常微分方程解析理论阶段：19世纪

19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。

级数解和特殊函数

这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.

常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.

222

()0x y xy x n y '''++-=

其中参数n 和x 都可以是复的.

对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20

()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰

1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式

11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=

和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.

后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。

解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2

(1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到

了Legendre 多项式. 与此同时, Hermite C 研究了方程20y xy y λ'''-+=, 得到了其幂级数解,当λ为非负偶数时即为著名的Hermite 多项式. Tchebyshevy 在研究方程22(1)0x y xy p y '''--+=的解时, 得到了Tchebyshevy 多项式.

1821年, Gauss 研究了Gauss 几何方程

(1)[(1)]0x x y y y γαβαβ'''-+-++-=.

这个方程及其级数解

2(1)(1)(,,,)1112(1)

F x x x αβααββαβγγγγ++=+++⋅⋅⋅+&&& 早已为人们所熟知了，因为它已由Euler 研究过. 此级数称为超几何级数, 包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel 函数、球函数那样的超越函数. 除了证明此级数的一些性质外，Gauss 还建立了著名的关系式

()()(,,,1)()()

F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-. Gauss 还建立了此级数的收敛性。记号(,,,)F x αβγ应归源于Gauss.

这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多, 这里不一一介绍.

奇点理论、自守函数

19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。存在性定理和Sturm-Liouville 理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel 方程、Legendre 方程、Gauss 超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解， 也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。对于这个问题，Gauss 关于超几何级数的工作指明了道路。先导者是Riemann 和Fuchs （Weierstrass 的学生和他在柏林的继承者）。此理论被称为线性常微分方程的Riemann-Fuchs L 奇点理论，这是19世纪常微分方程解析理论中一个非常重要的成果。奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为

()(1)1()()0n n n y p z y p z y -++⋅⋅⋅+=

的线性常微分方程，其中()i p z 除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数。此方程之所以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。

这方面的重要工作还有Briot A A 和Bouquet J 的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs 和Poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论, 最后是1882年至1884年Poincare J 的工作和Klein F 在1884年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰. 这样, 微分方程和自守函数建立了密切的联系.