(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
常微分方程的发展史 毕业论文
常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
常微分方程第三版全文
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程的基本理论与解法
常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。
它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。
本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。
通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。
常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。
2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。
3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。
4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。
二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。
1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。
2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。
3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。
它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。
三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。
1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。
3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。
通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。
常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史毕业论文常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
常微分方程讲义++很详细
定值.方程(1.12)的初值问题常记为
(1.16) 初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题. 对于一阶方程，若已求出通解 ，只要把初值条件
代入通解中，得到方程
从中解出 C，设为
，代入通解，即得满足初值条件的解
.
对于 n 阶方程，若已求出通解 得到 n 个方程式
后，代入初值条件(1.15)，
(1.17)
2 讲 变量可分离方程方程？1．什么是变量可分离方程？1．什
么是 21．什么是变量可分离方程？ 什形如
1． 或
（1.18）
（1.19） 的方程，称为变量可分离方程.我们分别称(1.18)、(1.19)为显式变量可分离方程和微 分形式变量可分离方程． 方程(1.18)的特点是，方程右端函数是两个因式的乘积，其中一个因式是只含 x 的函数，另一个因式是只含 y 的函数．而方程(1.19)是(1.18)的微分形式．例如，方 程
是未知函数对 t 导
数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑 k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为
(1.2) 将上式对 t 积分两次得
(1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解.
一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关
系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是 两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所 介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程. 例如下面的方程都是常微分方程
（1.4）
（1.5）
(· =
)
（1.6）
(′=
)
（1.7）
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常 微分方程的一般形式可表为 （1.8） 如果在(1.8)中能将 y′解出，则得到方程 （1.9） 或 （1.10）
常微分方程的发展和应用
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔于1841年证明卡迪方程不存在一般初等解而中 断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。1873年， 德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进。 在适定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚拿和比卡，他们先后于1875年 和1876年给出常微分方程的逐次逼近法。皮亚拿在仅仅要求f (x)在(x0, y0)点邻域连续的条 件下证明了柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大发展。这些基本理论包括： 解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性， 奇解等等，这些问题是微分方程的一般基础理论问题。
运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用常
微分方程求解。此外，常微分方程在化学、生物学、经济学和人口统计等领域都有应用。
常 微 分 方 程 在 物 理 学 中 应 用 的 典 型 例 子 要 属RLC电 路 。 包 含 电 阻R、 电 感L、 电
容C和 电 源 的 电 路 称 为RLC电 路 ， 根 据 电 学 知 识 ， 电 流I经 过R，L，C的 电 压 降 分 别
对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知 函数，把它化为多个一阶微分方程组。
常微分方程在微积分概念出现后即已出现，对常微分方程的研究可分为几个阶段：
发展初期是会具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通 解”时代。就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样，常微分方程最早的著作 出现在数学家们彼此的通信中，1676年，莱布尼茨在给牛顿的信中第一次提出“微分方 程”这个数学名词。常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的其雏形的出现甚至比微
常微分方程发展简史
常微分方程发展简史在17世纪初，牛顿和莱布尼茨的微积分发现为常微分方程的研究提供了基础。
他们建立了微分和积分的概念，并发展了微积分的基本原理。
这些成果为后来的常微分方程的研究奠定了基石。
在17世纪晚期，丹麦数学家欧拉（Euler）对常微分方程做出了很大贡献。
他提出了一阶常微分方程的解可以用指数函数来表示，并且解决了许多具体的微分方程问题。
欧拉还提出了欧拉方程，为后来的常微分方程研究奠定了基础。
在18世纪，数学家拉普拉斯（Laplace）和拉格朗日（Lagrange）继续推进了微分方程的研究。
他们提出了许多常微分方程的解法，如分离变量法、变换法和齐次化方法等。
这些方法为常微分方程的求解提供了有效的途径。
19世纪初，高斯（Gauss）提出了可微分曲线的理论，为微分方程的几何解释提供了基础。
同时，柯西（Cauchy）建立了常微分方程的数学理论，给出了数学上严格的解决方法。
他提出了柯西问题，即通过给定初始条件求解微分方程的问题。
这一问题成为后来微分方程理论的核心。
19世纪中期，数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和韦伊斯特拉斯（Weierstrass）进一步发展了微分方程的理论，提出了广义解和李普希茨条件等概念。
他们的工作为微分方程的研究提供了更加严密的数学基础。
20世纪初，数学家波安卡列（Poincaré）对常微分方程的稳定性和周期性做出了重要贡献。
他提出了位相空间和奇点的概念，并研究了常微分方程在位相空间中的变化规律。
这一工作为后来的动力系统理论的发展奠定了基础。
20世纪后期，随着计算机的发展，常微分方程的数值解法得到了广泛应用。
数学家和工程师利用计算机模拟和迭代求解的方法，可以更加准确地求解含有复杂边界条件的常微分方程。
这一进展使得常微分方程的应用领域得到了大大的拓展，包括物理学、工程学和经济学等。
总结起来，常微分方程的研究经历了几个重要的阶段，从17世纪初的微积分基础，到18世纪的解法发展，再到19世纪的理论建立，最后到20世纪的计算机应用。
微分方程——基本概念和常微分方程的发展史
微分⽅程——基本概念和常微分⽅程的发展史1.2 基本概念和常微分⽅程的发展史⾃变量、未知函数均为实值的微分⽅程称为实值微分⽅程；未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分⽅程。
若⽆特别声明，以下均指实变量的实值微分⽅程。
1.2.1 常微分⽅程基本概念(1) 常微分⽅程和偏微分⽅程微分⽅程就是联系⾃变量、未知函数及其的关系式。
如果在微分⽅程中，⾃变量的个数只有⼀个，则称这种微分⽅程为常微分⽅程；⾃变量的个数为两个或两个以上的微分⽅程为偏微分⽅程。
⼀般的n阶常微分⽅程具有形式：F x,y,dydx,⋯,d n ydx n=0(1.38)微分⽅程中出现的未知函数最⾼阶的阶数称为微分⽅程的阶数。
此后，我们把常微分⽅程称为“微分⽅程”，有时更简称为“⽅程”。
(2) 线性和⾮线性如果⽅程(1.38)的左端为未知函数及其各阶导数的⼀次有理整式，则称(1.38)为n阶线性微分⽅程。
⼀般n阶线性微分⽅程具有形式不是线性⽅程的⽅程称为⾮线性⽅程。
例如⽅程(3) 解和隐式解如果函数y=φ(x)代⼊⽅程(1.38)后，能使它变为恒等式，则称函数y=φ(x)为⽅程(1.38)的解。
如果关系式Φ(x,y)=0决定的函数y=φ(x)是⽅程(1.38)的解，称为称Φ(x,y)=0为⽅程(1.38)的隐式解，隐式解也称为“积分”。
为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为⽅程的解。
(4) 通解和特解我们把含有n个独⽴的任意常数c1,c2,⋯,c n的解称为n阶⽅程(1.38)的通解。
为了确定微分⽅程⼀个特定的解，我们通常给出这个解所必须的条件，这就是所谓的定解条件。
常见的定解条件是初值条件和边值条件。
求微分⽅程满⾜定解条件的解，就是所谓定解问题。
当定解条件为初值条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。
我们主要讨论初值问题。
我们把满⾜初值条件的解称为微分⽅程的特解。
初值条件不同，对应的特解也不同。
⼀般来说，特解可以通过初值条件的限制，从通解中确定任意常数⽽得到。
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）作为数学中重要的研究领域之一，早在古代数学家就开始研究。
然而，对于常微分方程的深入研究直到16世纪才真正开始。
定性理论阶段在常微分方程的发展历史中，定性理论阶段是一个重要的里程碑。
在17世纪，欧洲的许多数学家开始对常微分方程进行研究，并取得了一些重要的成果。
其中最著名的数学家是伯努利家族，他们的研究成果对定性理论的发展产生了巨大的影响。
定性理论的主要目标是研究常微分方程的解的性质，而不是具体的解的形式。
欧拉则提出了一种提供常微分方程解单值化的方法，通过引入无穷远点的概念，将复杂的解变为简单的解。
之后，拉普拉斯又发展了一种完全不同的方法，基于群论的观点，用幂级数来表示解，并通过对幂级数的收敛性进行分析。
解析理论阶段19世纪初，解析理论阶段开始。
拉格朗日和伽罗瓦两位法国数学家在解析理论的发展中发挥了关键的作用。
伽罗瓦则通过研究方程的对称性和置换群的理论，将求解常微分方程的问题转化为求解多项式方程的问题。
他的工作对解析理论的发展产生了深远的影响。
除了法国数学家的贡献外，俄罗斯数学家切布雪夫和德国数学家雅可比也做出了重要的贡献。
切布雪夫发展了关于常微分方程解的唯一性和存在性的理论，而雅可比则通过引入雅可比行列式，研究了常微分方程解的特征。
总结总的来说，常微分方程的发展经历了三个阶段：古代数学家的初步研究、定性理论阶段和解析理论阶段。
定性理论阶段主要是研究解的特性，而解析理论阶段则关注具体的解的形式。
这些理论的发展为后来的数学家提供了基础，也为应用数学领域的发展打下了坚实的基础。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展.虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题,所以,他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征.比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子,我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数.关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程,一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为,变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为,就明确的掌握了物体的运动规律。
1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪,简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学,物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数，却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式，即微分方程。
常微分方程大纲(数学与应用数学专业)
常微分方程教学大纲（The teaching outline of ordinary differential equations）（供四年制数学与应用数学专业2009级试用）课程编号：21210590总学时数：51学分数：3 开课单位：数学科学学院课程的性质与任务常微分方程是一门从数量关系上研究客观现实世界规律性的学科，它在自然科学和工程技术中均有着广泛的应用，是数学与应用数学（师范类）专业教学计划中一门重要的专本课程为考试课程，建议考核方式：闭卷考试。
大纲内容与基本要求第一章绪论第一节常微分方程模型第二节基本概念和常微分方程的发展历史1、常微分方程的基本概念，2、雅可比矩阵与函数相关性，3、常微分方程的发展历史。
教学要求：1、通过简单实际问题的常微分方程模型的建立了解常微分方程的实际背景。
2、掌握常微分方程的基本概念（类型，阶，线性，非线性，解，通解，初值条件，初值问题，特解，积分曲线以及方向场等），通过方向场与欧拉折线了解一阶微分方程与解的几何意义。
3、理解函数相关性概念及结论，了解常微分方程的发展历史。
第二章一阶微分方程的初等解法第一节变量分离方程和变量变换1、变量分离方程，2、可化为变量分离方程的类型，3、应用举例。
第二节线性微分方程与常数变易法第三节恰当微分方程与积分因子1、恰当微分方程，2、积分因子。
第四节一阶隐式微分方程与参数表示1、可以解出y（或x）的方程，2、不显含y（或x）的方程。
教学要求：1、熟练掌握各类一阶显式方程(变量分离方程、齐次方程、准齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程等)的基本解法。
2、理解积分因子的概念，并能寻求特殊形式的积分因子。
第三章一阶微分方程的基本理论第一节一解微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法1、初值问题的解的存在唯一性定理，2、近似计算与误差估计。
第二节解的延拓第三节解对初值的连续性和可微性定理第四节奇解1、包络和奇解，2、克莱罗微分方程。
(完整word版)常微分方程发展简史--适定性理论阶段
第二讲 常微分方程发展简史——适定性理论阶段高阶方程● 1734年12月, Bernoulli Daniel 在给当时在圣彼得堡的Euler 的信中说, 他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题, 他得到了一个四阶线性常微分方程444,d y k y dx = 其中k 是常数, x 是横梁上距自由端的距离, y 是在x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位移. Euler 在1735年6月前的回信中说道, 他也已经发现了这个方程, 对这个方程, 除了用级数外无法积分. 他确实得到了四个级数解, 这些级数代表圆函数和指数函数, 但在当时Euler 没有了解到这一点.1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中指出, 上述方程的解可以表示成1[(cos cosh )(sin sinh )],x x x x y a k k b k k=+-- 其中b 可由条件()0y l =来确定.● 弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题. 1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程, 并说他已取得了成功. ● 在1743年至1750年间, Euler 考虑了$n$阶常系数齐次线性方程()(1)11(),n n n n y a y a y a y f x --'++⋅⋅⋅++=第一次引入了特解、通解的概念, 指出通解必包含n 个任意常数, 而且是由n 个特解分别乘以任意常数后相加而成的, 创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法--特征方程法. 讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形, 这样Euler 完整解决了常系数线性齐次方程求解问题.● 1750年至1751年, Euler 讨论了n 阶常系数线性非齐次方程, 他又提出了一种降低方程阶的解法. Euler 还是微分方程近似解的创始人, 他提出了的``欧拉折线法"不仅解决了常微分方程解的存在性的证明, 而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一. 1750年, Euler 又给出了求解微分方程的级数解法. 1768年至1769年, Euler 还将积分因子法推广到高阶方程, 以及利用变换可以将变系数的Euler 方程化为常系数线性方程. ● 在Euler 工作的基础上, 1763年D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法, 即非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解.● 1762年至1765年间, Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步, 并引出伴随方程 (这个名字是1873年Fuchs Lazarus 取的, Lagrange 并未给它取名), 同时发现一个定理: 非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程, 就是原来方程对应的齐次方程. Lagrange 把Euler L 在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结果推广到了变系数线性齐次方程. Lagrange 发现, 齐次方程的通解是由一些独立的特解分别乘以任意常数后相加而成的, 而且若已知高阶方程的m 个特解就可以将方程降低m 阶.● 1774-1775年, Lagrange 提出了“常数变易法”, 解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常微分方程. 这是18世纪微分方程求解的最高成就.● Newton I 在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”;1842年Cauchy A 完善了“待定系数法”.探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了, 此后100年没有出现新的重大的新方法, 直到19世纪末才引进了Laplace 变换法和算子法.从总体上看, 17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分, 并未单独形成一个分支学科. 在18世纪, 由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程, 已经成为有自己的目标和方法的新的数学分支. 这段时期, 数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上, 并且取得了一系列重大进展. 对解的理解和寻求, 在本质上逐渐起了变化. 最初, 数学家们用初等函数找解, 接着是用一个没有积出的积分来表示解. 在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努力失败之后, 数学家们转向用无穷级数求解了. 但后来人们逐渐发现, 很多常微分方程求解是非常困难的, 甚至是不可能的.2、常微分方程适定性理论：19世纪初期和中期19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。
常微分方程的起源与发展__概述说明
常微分方程的起源与发展概述说明1. 引言：1.1 概述常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是未知函数及其导数之间的关系。
解决常微分方程可以帮助我们理解和描述自然现象、社会现象以及工程问题等各个领域中的变化规律。
本文旨在阐述常微分方程的起源与发展历程，并探讨它在科学和工程领域中的应用。
1.2 文章结构本文将围绕以下几个方面展开对常微分方程的探讨：引言部分首先进行概述，介绍了文章涉及内容以及文章结构；接下来，将在第二部分从定义与概念、历史背景和发展过程三个方面介绍常微分方程的起源；第三部分将对常微分方程的基本理论进行详细讨论，包括解的存在唯一性定理、解的稳定性与收敛性以及非线性常微分方程；第四部分将聚焦于常微分方程在物理学、工程学和生物学等科学与工程领域中的应用；最后，在结论部分总结常微分方程的起源和发展，并展望未来发展趋势和研究方向。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍常微分方程的起源与发展，阐述其基本理论，并探讨其在科学和工程中的应用。
通过对常微分方程研究历史和应用领域进行概述，旨在增加读者对该学科重要性的认识，并为进一步学习和研究提供基础知识。
同时，还将探讨未来常微分方程发展的趋势和研究方向，促进相关领域的进一步发展与应用。
2. 常微分方程的起源2.1 定义与概念常微分方程是数学中研究函数和其导数之间关系的一个分支。
它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系，通常以一阶或高阶导数的形式出现。
在常微分方程中，未知函数可以表示为关于时间、空间或其他独立变量的依赖关系。
这种类型的方程一般用于描述物理、生物和工程等领域中发生的连续变化过程。
2.2 历史背景常微分方程的起源可以追溯到17世纪。
当时，科学家试图解决与运动有关的问题，如天体力学和机械系统的运动规律。
为了建立模型并预测系统的行为，他们需要利用数学方法来描述运动过程。
最早涉及常微分方程思想的著作可以追溯到牛顿和莱布尼茨时代。
牛顿通过描述质点运动过程中加速度与位置之间的关系提出了质点运动方程。
常微分方程课件
n 阶隐式方程的一般形式为 n 阶显式方程的一般形式为
（1.11）
(1.12)
在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性 微分方程具有如下形式：
而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何 一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个 初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14)
上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
本节要点：
1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18） 与分离变量后的积分方程（1.26）当 时 是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足 ．
第3讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程. 如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程.
回通解，即得所求初值问题的 例2 求方程 的满足初值条件 解 方程通解为 求导数后得
常微分方程解析式理论
就称这个多项式是对称多项式，简称对称式．
x 例如： y z 3xyz , x 2xy y 3x 3 y .
3 3 3 2 2
对称式的同型项 一般地：在含有两个以上变数字母的对称式 中，同型项的系数必相等．
4 ．交代多项式 设n元多项式对任意的 i , j , 1≤ i < j≤ n ,都有
例2 把多项式 x3 x 2 2 x 2 表示成(x-1)的 幂的多项式的形式
解法一：据已知可设
x x 2 x 2 x 1 a x 1 b x 1 c
3 2 3 2
将右边展开，运用定理2（对应系数相等）从而 确定所求系数．
解法二：同解法一所设，将变元x代入不 同值求得两边的值，从而确定待定系数． 解法三：同解法一所设，利用高代中的综合除法， 从而确定待定系数．
具体做法如下： ⑴先写出整系数多项式f(x)的首项和常数项的所 有因数然后以首项的因数为分母，常数项的因 数作为分子，作出所有可能的既约分数（包括 整数）． ⑵从上述既约分数中合理地选择试除数． 如果f(x)的各项系数都是正数，或都是负数， 就只选择负的试除数． 如果f(x)的各项奇次项系数都是正数，偶次 项系数（包括常数项）都是负数，或者偶次项系 数都是正数，奇次项系数都是负数，就只选择正 的试除数． ⑶选好试除数后，即用综合除法试除．
例5 分解整系数多项式 f ( x) 3x 2x 9x 6
3 2
的因式． 1 2 分析：可能的试除数是 1, 2, 3, 6, ,
3 3
由于f(x)的奇次项系数都是正数，偶次项系 数都是负数，故只选择正的试除数：1，2，3，6， 1／3，2／3． 代入计算易知只有2／3合条件． 故由综合除法可得：
常微分方程1.2
称为方程(*)的通解.类似可以定义隐 式通解(通积分).
注 1 c1 , c2 ,, cn在一定范围内取值;
注 2 y ( x, c1 , c2 ,, cn ) 含n个独立 常数 ( x, c1 , c2 ,, cn ) 某 邻域,使在此邻域内
c1 c1 ( n 1) c1 c2 c2 ( n 1) c2 cn cn ( n 1) cn
方向场中方向相同的曲线 f ( x, y) k 称为 等倾斜线(等斜线).
(6) 微分方程组
两个及两个以上的关系式表示的微分方程 称为微分方程组. 考虑已解出最高阶导数的n阶常微分方程
z
( n)
g (t , z, z,, z
( n1)
).
(2)
,, z ( n1) 都作为未知函数, 如果将 z, z
§1.2 基本概念和常微分方程的发展历史
1.2.1常微分方程基本概念
(1) 常微分方程和偏微分方程
如果方程中出现的导数是一元函数的 导数,即自变量的个数只有一个,那 么我们称这种方程为常微分方程.如
d y dy p qy f ( x), 2 dx dx dy 2 2 x y , dx xdt tdx 0.
求满足初始条件
y (0) 0, y(0) 1
的特解.
(5) 积分曲线和方向场 一阶微分方程 ,其中 f ( x, y) 在平面区域D内有定义.它的一个特解 y ( x) 的图象是内D的一条曲线(方程的积分曲 线);而通解 y ( x, c) 是D内的一族曲线 (方程的积分曲线族). 满足初始条件 y( x0 ) y0 的特解,即为过点 (x0 ,y0 )的D内的一条积分曲线.
微分方程发展简史
微分方程发展简史
微分方程是数学中最重要的问题之一，它是用来描述研究物理和其他自然现象的数学工具。
微分方程的历史可以追溯到古希腊时期。
古希腊时期，欧几里德（Euclid）提出了一种特殊的微分方程，称为“微分比率”。
这种方程可以用来表示古希腊数学家的自然观念，即当一个量变化时，它的比率也会随之变化。
这种思想的萌芽就是微分方程。
17世纪，德国数学家弗朗兹·莱布尼茨开始研究微分方程，他以自己的名字为此方程命名，称之为“莱布尼茨方程”。
他证明了古代希腊人欧几里德和拉斐尔的想法，他们认为变量的导数和变量有关，并且可以用来解释自然界的微分方程。
在这之后，德国数学家弗洛伊德·勃兰特建立了一个更为精确的解微分方程的理论框架。
他提出了一种称为“勃兰特公式”的方法，通过数学建模可以更好地描述物理现象。
18世纪，法国数学家哥白尼和英国数学家拉斐尔也提出了关于微分方程的理论，但是他们没有将其完整地应用到物理学中。
然而，他们的工作为新一世纪发掘物理奥秘和解决重要物理问题提供了基础。
19世纪，法国数学家萨缪尔·不伦瑞克和德国数学家卡尔·马克斯·哈特曼在萨缪尔不伦瑞克方程中做出了重大贡献。
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第三讲 常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.222()0x y xy x n y '''++-=其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-⎰1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+=和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2(1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到了Legendre 多项式. 与此同时, Hermite C 研究了方程20y xy y λ'''-+=, 得到了其幂级数解,当λ为非负偶数时即为著名的Hermite 多项式. Tchebyshevy 在研究方程22(1)0x y xy p y '''--+=的解时, 得到了Tchebyshevy 多项式.1821年, Gauss 研究了Gauss 几何方程(1)[(1)]0x x y y y γαβαβ'''-+-++-=.这个方程及其级数解2(1)(1)(,,,)1112(1)F x x x αβααββαβγγγγ++=+++⋅⋅⋅+&&& 早已为人们所熟知了，因为它已由Euler 研究过. 此级数称为超几何级数, 包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel 函数、球函数那样的超越函数. 除了证明此级数的一些性质外，Gauss 还建立了著名的关系式()()(,,,1)()()F γγαβαβγγαγβΓΓ--=Γ-Γ-. Gauss 还建立了此级数的收敛性。
记号(,,,)F x αβγ应归源于Gauss.这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多, 这里不一一介绍.奇点理论、自守函数19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。
存在性定理和Sturm-Liouville 理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。
另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel 方程、Legendre 方程、Gauss 超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解， 也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。
对于这个问题，Gauss 关于超几何级数的工作指明了道路。
先导者是Riemann 和Fuchs （Weierstrass 的学生和他在柏林的继承者）。
此理论被称为线性常微分方程的Riemann-Fuchs L 奇点理论，这是19世纪常微分方程解析理论中一个非常重要的成果。
奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为()(1)1()()0n n n y p z y p z y -++⋅⋅⋅+=的线性常微分方程，其中()i p z 除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数。
此方程之所以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。
这方面的重要工作还有Briot A A 和Bouquet J 的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs 和Poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论, 最后是1882年至1884年Poincare J 的工作和Klein F 在1884年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰. 这样, 微分方程和自守函数建立了密切的联系.当自守函数理论还正处在创立的阶段时，天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的兴趣。
此方程源于著名的N 体问题。
N 体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N 个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。
在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。
如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。
我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。
所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。
1877年Hill George William （美国数学家）私人出版了关于月球近地点运动的一篇具有卓越创见性的论文。
1878年，他在AJM 上又发表了一篇关于月球运动的论文，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论。
Hill 的一个基本思想是对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解。
于是他对这个周期解变差写出方程，便得到了一个带有周期系数的四阶线性常微分方程组。
知道了某些积分后，他将此四阶方程组化简为单独一个二阶线性微分方程22()0,d x t x dt θ+= 其中()t θ为π周期的偶函数。
Hill 证明了此二阶方程存在周期解，因而证实了月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究。
在他的证明中，首先将()t θ展开为Fourier 级数，然后用待定系数法确定级数解。
他的方法用到了无穷行列式和无穷线性方程组，证明不够严格，他的工作一直受人嘲笑。
1885-1886年，Poincare 证明了Hill 的证明手法的收敛性。
Poincare 对Hill 的成就的注意和完善，使Hill 和有关课题著名了。
Poincare 参与了Hill 方程的研究，在Hill 的工作的刺激下，Poincare 为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了常微分方程定性研究的新时代。
4、常微分方程定性理论阶段：19世纪末期和20世纪初期从时间上看, 19世纪末期和20世纪初期是常微分方程发展的第三个阶段. 这个阶段常微分方程在三个方面有重大发展, 都与Poincare 的工作相联系。
一是微分方程的解析理论, 前面已作论述；二是Poincare 的定性理论；三是Liapunov 的稳定性理论.Poincare 的定性理论在代数学中，五次代数方程没有一般的根式求解公式这一事实并不防碍Sturm 创立用代数方法决定实根个数的新成就。
类似地，在非线性方程一般不能求``初等解"的事实下，Poincare 独立开创了常微分方程实域定性理论这一新分支。
1881-1886年, Poincare 同一标题下连续发表了四篇论文,开创了常微分方程实域定性理论. 他只求通过考察微分方程本身就可以回答的关于稳定性等问题的方法, 为微分方程定性理论奠定了坚实的基础.1892年至1898年间, Poincare 刻画了天体力学系统运动的特征, 并引导到微分方程定性理论的创立. 他发现微分方程的奇点起着关键作用.他把奇点分为鞍点、结点、焦点和中心四类, 讨论了解在各种奇点附近的性态. Poincare 将他的论文定名为《论微分方程所定义的积分曲线》是突出了他所研究的主题和应用的方法。
这一新分支的内容包括奇点附近积分曲线的分布、极限环（即孤立周期解）、奇点的大范围分布、环面上的积分曲线、以及三维空间周期解附近积分曲线的情形等等。
Poincare关于常微分方程定性理论的一系列课题, 成为动力系统理论的开端.Poincare的定性理论在研究思想上成功突破了常微分方程定量求解的束缚, 其创新之处体现在以下几个方面：由复域的研究又转到实域的研究，由定量研究转向定性研究，由分析方法转为分析和几何方法的有机结合，由函数作为对象的研究转到曲线作为对象的研究，由个别解的研究转到解的集体的研究，由解的解析性质的研究转到解所定义的积分曲线的几何拓扑性质的定性研究，由应用等式转到应用不等式，由局部研究转向全局研究。
常微分方程定性理论另一位主要创始人是挪威数学家Bendixson, 从1900年起，他开始从事Poincare所开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作, 1901年发表了著名论文《由微分方程定义的曲线》。
1926年至1927年Birkhoff G以三体问题为背景继承和发展了Poincare的工作, 创立了动力系统理论. 到了20世纪30年代, 由于新的物理、力学以及工程技术和自动控制等问题的推动, 使微分方程定性理论中的概念、问题和方法又在新的条件下得到发展.1937年, Andronov A和Pontryagin L提出了结构稳定性概念, 并严格证明了其充要条件, 使动力系统的研究向大范围发展.由于天体力学，特别是"三体问题"的需要，庞加莱总结了天文学家A.林斯泰特等人的方法，系统地整理在《天体力学的新方法》一书中，并加以发展成为摄动理论或小参数理论。