11 一维小波变换

nZ

其中l n 称为低通滤波器， hn 称为高通滤波器。 且hn ＝ 1 l 1  n 
n

信号的多尺度分解：
0 f  x    cn  x  n    ckJ kJ x    d kj kJ x  nZ k j 1 k j k j k J

c 称为尺度系数， d 称为小波系数，它们的 计算： ckj   ckj 1l n  2k    nZ   一维MALLAT算法 j j 1 d k   d k hn  2k  nZ 

1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：

 h j I x, 2 x  j  mod N 
H

M N x  0,1, ,  1; y  0,1, ,  1 2 2

对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下 图是二层小波Baidu Nhomakorabea解的示意图。

图6 图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解

2. 图像分类问题现状
 目前常用的分类器如支持向量机，神经网络分

N l 1 i 0

 l i I 2 x  i  modM , y 
N h 1 j 0

 l  j I 2 x  j  modM , y 

M x  0,1,  ,  1; y  0,1,  , N  1 2

1 I LL  x, y   Nl 1 I LH  x, y   Nh 1 I HL  x, y   Nl

类器等大多以结构化数据作为输入；
 图像数据是非结构化数据，不能直接用于分类；  图像特征提取在图像分类中扮演着非常重要的

角色，特征提取的好坏直接影响着分类精度和分 类器的性能；
 图像的小波变换可用于图像特征提取，实际上，

可将小波变换看作一种特征映射；

 图像分类就是利用计算机对图像进行定量分析，

把图像或图像中的每个像元或区域划归为若干个类 别中的某一种，以代替人的视觉判读。  图像分类方法可分为：  图像空间的分类方法 — 利用图像的灰度、颜 色、纹理、形状、位置等底层特征对图像进行 分类；例如：  文献 [1] 利用灰度直方图特征对图像进行 分类；  文献[2]利用纹理特征对图像进行分类；  文献 [3] 采用纹理、边缘和颜色直方图混 合特征对图像进行分类 ；

二维金字塔分解算法
令I(x,y)表示大小为MN的原始图像，l(i)表示相对于分析小 波的低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表示滤波器L的支 撑长度； h(i) 表示相对于分析小波的高通滤波器系数， i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表示滤波器H的支撑长度，则

1 I L  x, y   Nl 1 I H  x, y   Nh

图1 小波例1

图2 小波例2

不是小波的例

图3

图4

 x, x 构成V
j k j k
nZ

j+1的正交基。

 x 和 x  满足下列关系式(二尺度方程)：

 x   2  l n   2 x  n   x   2  hn   2 x  n 

N l 1 i 0

 l i I x, 2 x  i  mod N 
L N h 1 j 0

 h j I x, 2 x  j  mod N 
L H

N l 1 i 0

 l i I x, 2 x  i  mod N 
N h 1 j 0

1 I HH  x, y   Nh
 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各 个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类 是非常有用的。  小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。

1.1 一维小波变换（一维多尺度分析） 设有L2(R )空间的子空间序列：

V0  V1  V2  

LL x    x   y ;  LH x    x   y ;  HL x    x   y ;  HH x    x   y 
图像的二维小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直 方向)滤波和2-下采样，如图所示：

图5 图像滤波采样
基于小波多尺度统计特征的图像分类
报告人：翟俊海

报告内容
  


 

1. 小波变换 2. 图像分类问题现状 3. 小波多尺度统计特征抽取及图像分类 4. 实验比较 5. 下一步工作 6. 参考文献

1. 小波变换
 小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是在 克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成 功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模 式识别等。

说明：如图所示，首先对原图像 I(x,y) 沿行向 ( 水平 方向) 进行滤波和 2- 下采样，得到系数矩阵 IL(x,y) 和 IH(x,y)，然后再对IL(x,y)和IH(x,y)分别沿列向(垂直方 向)滤波和2-下采样，最后得到一层小波分解的4 个 子图：  ILL (x,y)—I(x,y)的（粗）逼近子图  IHL(x,y) — I(x,y)的水平方向细节子图  ILH (x,y) — I(x,y)的垂直方向细节子图  IHH (x,y) — I(x,y)的对角线方向细节子图
Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数(x)经伸缩
平移得到的

kj x   2 j x  k 

设Wj 是Vj 相对于Vj+1的正交补空间， Wj 的正交基函数是 由一个称为小波函数的函数(x)经伸缩平移得到的

 x  2 x  k 
j k j

小波函数必须满足以下两个条件的函数： (1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。如：