定积分产生的历史意义
定积分的概念和意义
定积分的概念和意义定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。
在数学和物理学等领域中，定积分有着广泛的应用和重要的意义。
本文将介绍定积分的概念和意义，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的概念定积分是无穷小和的极限，用于描述函数在一个区间上的累积效应。
假设我们有一个函数f(x)，在区间[a, b]上进行积分运算就是计算该区间上函数f(x)的面积。
为了计算这个面积，我们将区间[a, b]分成许多小的子区间，然后在每个子区间中找到一个代表点，将函数在该点的取值乘以该子区间的长度，然后将所有的乘积相加求和。
当我们把子区间的数量无限增大，子区间的长度趋近于零时，这个累积和就趋近于一个确定的值，这个确定的值就是定积分。
定积分的表示方式为∫[a, b]f(x)dx，其中∫表示积分运算符，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示要积分的函数，而dx表示积分的变量。
二、定积分的意义定积分具有重要的意义，它在数学和物理学中具有广泛的应用，并且为解决实际问题提供了数学工具。
下面将介绍定积分的几个主要意义。
1. 几何意义：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当函数f(x)大于等于零时，定积分∫[a, b]f(x)dx表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a和x=b所包围的面积。
这个面积可以用定积分来精确计算。
2. 物理意义：定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量、功等概念。
例如，当把速度函数v(t)对时间t积分，得到的就是物体在一段时间内的位移。
同样地，将加速度函数a(t)对时间t积分，得到的就是速度的变化量，即位移的变化。
3. 统计意义：定积分可以用于统计学中的概率密度函数和累积分布函数的计算。
概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布情况，而累积分布函数给出了该变量取值小于等于某个特定值的概率。
通过计算概率密度函数和累积分布函数的积分，可以得到各种随机变量的概率和期望值等重要统计量。
定积分产生的历史意义
定积分产生得历史意义定积分就就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围得面积。
即由ｙ=０,x=a,x=b,ｙ＝f(X)所围成图形得面积。
其定义为：设函数f(x) 在区间[a,b］上连续,将区间[a，b]分成n个子区间[x0,x1]，（ｘ1,ｘ2], (x2,ｘ3]，…, (ｘn-1，x n],其中x０=a,ｘn=b。
可知各区间得长度依次就是:△x1=x1-x０，△x２=x2-x1, …, △ｘn=ｘn-ｘｎ－在每个子区间(x i-１,ｘi]中任取一点ξi（1,2,。
，n),作与式。
设λ= 1。
ｍax｛△x１, △ｘ２, …, △ｘn}（即λ就是最大得区间长度),则当λ→０时,该与式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,ｂ］得定积分，记为。
定积分得概念起源于求平面图形得面积与其她一些实际问题。
定积分得思想在古代数学家得工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前2４0年左右,就曾用求与得方法计算过抛物线弓形及其她图形得面积。
公元２63 年我国刘徽提出得割圆术，也就是同一思想。
在历史上，积分观念得形成比微分要早。
但就是直到牛顿与莱布尼茨得工作出现之前（17世纪下半叶）,有关定积分得种种结果还就是孤立零散得,比较完整得定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后,计算问题得以解决,定积分才迅速建立发展起来。
未来得重大进展,在微积分才开始出现,直到16世纪。
此时得卡瓦列利与她得ｉnｄivisibles方法，并通过费尔马工作,开始卡瓦列利计算度N = ９× N得积分奠定现代微积分得基础, 卡瓦列利得正交公式。
1７世纪初巴罗提供得第一个证明微积分基本定理。
在一体化得重大进展就是在1７世纪独立发现得牛顿-莱布尼茨得微积分基本定理。
定理演示了一个整合与分化之间得连接。
这方面，分化比较容易地结合起来,可以利用来计算积分。
特别就是微积分基本定理，允许一个要解决得问题更广泛得类。
定积分的概念分析
定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。
它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。
一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。
那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。
二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。
具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。
三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。
对定积分思想的理解
对定积分思想的理解定积分思想是数学中研究积分的重要方法，它是由正面函数相关的概念和结果所构成的理论体系。
它是从定积分开始推演发展起来的，因此它比较集中着重于定积分问题的解决。
定积分思想的基本概念是函数的变换，它把函数的表达式从原始的函数形式转换成其它形式，以发现函数的特性和性质，比如通过定积分思想可以转换函数，然后用新的函数解决原来的积分问题。
换句话说，定积分思想是把定积分方面的问题转换成另一种形式来解决。
定积分思想的一般过程包括变换函数，定义新的函数，计算新函数的积分，根据变换关系，把得到的结果转换成原始函数的积分等步骤。
这些步骤可以根据定积分所面临的问题各不相同。
定积分思想的两个重要概念是分离变量和换元法。
分离变量是把复杂的积分区间拆分成若干个简单的积分区间，然后分别计算每个区间的积分值，然后求和得到总积分值。
换元法就是将定积分改写成一个新的定积分，这个新的定积分比原来的定积分更容易求解，或者说更容易得到正确的结果。
定积分思想在数学中具有重要意义，它不仅可以解决数学定积分问题，而且还可以研究物理中的定积分问题，比如动能定理、牛顿第二定律等。
它的发展也为实用性的应用打开了大门。
定积分思想已经有着悠久的历史，早在古希腊哲学家阿基米德时期就有了它的发展，后来，人们开始用不同的方法来研究定积分思想，比如分离变量和换元法，这些方法为研究定积分思想提供了新的突破。
在当今社会，定积分思想的应用越来越广泛，它在许多不同的领域都有着重要的作用，比如机械工程中定积分思想的应用，能够有效的计算出机械系统的运动特性，为研究机械设备提供了重要的参考。
在经济学中，定积分思想可以帮助研究价格波动状况，从而推算出消费者的消费行为。
此外，定积分思想在物理学上也有其重要应用，如研究爆炸波所需要的积分方法等。
总之，定积分思想是数学研究定积分的重要方法，它不仅可以为解决物理、机械和经济问题提供有力的支持，而且在当今社会，也受到了广泛的应用。
定积分的发展史和应用
定积分的发展史和应用思想的发展，使我们了解到一个伟大定理的诞生需要多少细微理论的推动。
最后，概述了定积分的定义，并从面积和微元的角度介绍了定积分的几个应用。
關键词：定积分；极限；几何；物理1 历史背景赫尔曼·汉克尔曾说，在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所创立的要被另一个人取代，只有数学，每一个人都能在旧体系上增加一点色彩。
微积分学作为数学的一个重要的分支，其发展史正印证了这句话。
现代数学分析理论体系中，定积分的规范定义要基于极限论，这和历史并不一致。
在人类对微积分的认识初期，积分问题和极限问题是平行发展的。
1.1 定积分问题的提出积分起源于古希腊，古希腊科学家安提风呈现“穷竭”的方法，然后在公元前三世纪，阿基米德发展了该方法，他在著作中提到了面积和体积的测量：圆拱，球和球帽、螺线盘旋3类面积问题和共轴的旋转双曲面与圆柱交集体积的问题。
这是积分思想最初的样子。
1.2 建立极限与积分的联系（1）1615年开普勒在《酒桶的立体几何》中提出了利用求无数个小圆柱体积之和求旋转体体积的方法，他是是第一个在求积问题中用通俗的语言提出无穷大，无穷小概念的科学家，可以认为是历史首次让“积分论”与“极限论”开始出现交集。
（2）首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，但他仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念解释清楚。
直到19世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了明确的定义，微积分长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的数学分析学。
（3）1893年法国数学家若尔当在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的测度论，后人为纪念他，将这个虽然存在不少缺陷，但启发意义很重大的理论称为若尔当测度论。
1898年法国数学家博雷尔在若尔当测度论基础上引入了“σ-代数”概念，这是基于集合可测性的实分析理论的雏形。
定积分的发展历史及应用
定积分的发展史及应用杨鸣摘要：文章比较简要的介绍了定积分在数学、物理学的基本应用，并充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。
关键字：定积分，历史，应用一．发展史很多人都以为导数概念的产生历史悠久，却不晓得定积分的思想比它还要早，甚至可以追溯到古希腊时代。
古希腊人在丈量形状不规则的土地面积时，先尽可能地用规则图形，如矩形和三角形，把丈量的土地分割成若干小块，忽略那些零碎的不规则的小块，计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到了土地面积的近似值。
因此，阿基米德在公元前240年左右，就曾用这个方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
这就是分割与逼近思想的萌芽。
我国古代数学家祖冲之的儿子在公元六世纪前后提出的祖恒原理。
在公元 263 年我国刘徽也提出了割圆术。
这些是我国数学家用定积分思想计算体积的典范。
而到了文艺复兴时期之后，人类需要进一步认识和征服自然。
在确立日心说和探索宇宙的过程中，积分的产生成为必然。
开普勒三大定律中有关行星扫过面积的计算，Newton有关天体之间的引力的计算直至万有引力定律的诞生，更加直接地推动了积分学核心思想的产生。
到了Newton那个年代，数学家们已经建立了定积分的概念，并能够计算许多简单的函数的积分了。
但是，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，直到Newton，Leibniz之后的两百年，严格的现代积分学理论才逐步诞生。
严格的积分定义始Cauchy。
但是Cauchy对于积分的的定义仅限于连续函数。
1854年Riemann指出了可积函数不一定是连续的或者分段连续的，从而推广了积分学。
而现代教科书中有关定积分的定义是由Riemann给出的，人们都称之为Riemann积分。
当然，我们现在所学到的积分学则是由Lebesgue等人更进一步建立的现代积分理论。
二．应用纵观积分学的发展过程，我们会发现，定积分的发展其实就是其在实际生活中应用方面的发展。
定积分的基本概念
方法与手段导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。
事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。
好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。
解决步骤：大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n−1=b ，用直线x =x i 将一个曲边梯形分成n 个小的曲边梯形；常带变：在第k 个窄边梯形上任取ξk ∈[x k−1,x k ]作以[x k−1,x k ]为底，f(ξk )为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆S k ，得∆S k ≈f (ξk )∆x k (∆x k =x k −x k−1,k =1,2,⋯n) 近似和：S =∑∆S k n k=1≈∑f(ξk )∆x k n k=1取极限：令λ=max {∆x 1,∆x 2⋯,∆x n } S =lim λ→0∑∆S k n k=1=lim λ→0∑f(ξk )∆x k n k=1这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。
（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()v v t =在区间[1T ,2T ]上t 的连续函数，且()0v t ≥，求在这段时间内物体所经过的路程s 。
考虑：当()0y f x C ==≥，()0v v t C ==≥时（其中C 为常数），上面问题的求解。
在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。
解决步骤： 详讲 总结λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n 等分，λ=1n →0，其实就是n →+∞，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1，要求这个极限我需要先求∑(k n )21n n k=1，化简一下可以得到1n 3∑k 2n k=1，∑k 2n k=1=？，∑k 2n k=1=16n(n +1)(2n +1)，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1=lim n→+∞n(n+1)(2n+1)6n 3=13。
定积分的定义与性质
定积分的定义与性质1. 定积分的定义1.1 引言在微积分中，定积分是一种重要的数学工具，用来计算曲线下面的面积或求函数在一定区间上的平均值。
定积分的概念由牛顿和莱布尼兹在17世纪提出，对于各种实际问题的求解起着至关重要的作用。
1.2 定积分的符号表示定积分可以用积分符号∫来表示，表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为∫[a,b] f(x)dx其中f(x)是被积函数，x是自变量，[a, b]是积分区间。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线下面的面积。
具体来说，若f(x)在区间[a, b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx表示由横坐标轴、直线x=a、x=b和曲线y=f(x)所围成的图形的面积。
1.4 定积分的计算方法计算定积分的方法主要有以下两种：•几何法：将曲线下面的面积划分成无数个小矩形，通过求和的方式逼近曲线下面的总面积。
•代数法：通过对函数f(x)进行积分运算，得到曲线下面的面积。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用定积分。
2.1 线性性质定积分具有线性性质，即对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意常数a和b，有以下等式成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx这意味着定积分可以在函数之间进行加法和标量乘法运算。
2.2 区间可加性设函数f(x)在区间[a, b]和[b, c]上连续，则有：∫[a,c] f(x) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[b,c] f(x) dx这表明定积分在区间上具有可加性，可以将一个大区间上的积分分解成两个子区间上的积分之和。
2.3 积分中值定理根据积分中值定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则至少存在一个c∈(a, b)，使得∫[a,b] f(x) dx = f(c)(b-a)这个定理给出了定积分与函数平均值之间的关系。
定积分应用与意义
定积分应用与意义定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和实际应用中都具有广泛的意义和应用。
定积分的概念和定义虽然较为复杂，但是通过对定积分的研究和应用，我们可以更深入地理解数学的内涵，并将其应用于实际问题的解决中。
1. 定积分的基本概念定积分的概念最早由数学家牛顿和莱布尼茨同时独立提出，它是微积分的核心理论之一。
定积分的基本概念可以通过对微小变化的累加来得到，即将一个函数在某个区间上的微小变化进行累加，得到整体的变化情况。
定积分用于计算曲线与坐标轴所夹的面积，也可以用于计算函数在某个区间上的平均值等。
2. 定积分的数学意义定积分在数学上的意义非常重要，它在微积分的理论体系中起着重要的作用。
定积分可以用于求解函数的原函数，从而得到函数的不定积分。
同时，定积分可以通过数值计算的方式求解，从而得到函数在某个区间上的数值结果。
这为数学的理论研究和实际计算提供了基础。
3. 定积分在几何中的应用定积分在几何中有着广泛的应用。
例如，可以通过定积分计算曲线与坐标轴所夹的面积，从而解决几何问题。
同时，定积分还可以用于计算曲线的弧长，计算曲线的质心坐标等。
这些几何应用使得定积分成为几何分析中不可或缺的工具。
4. 定积分在物理中的应用定积分在物理学中也有着重要的应用。
在物理学中，许多物理量都可以通过定积分进行计算。
例如，通过定积分可以计算物体在某一时间段内的位移、速度和加速度等。
同时，定积分还可以用于计算物体在力场中所受的力和功等。
这些物理应用使得定积分在物理学中具有重要的意义。
5. 定积分在经济学中的应用定积分在经济学中也有着广泛的应用。
经济学中的许多问题需要通过定积分进行计算和求解。
例如，通过定积分可以计算收益曲线和成本曲线所围成的利润。
同时，定积分还可以用于计算市场需求曲线和供给曲线之间的均衡点。
这些经济应用使得定积分成为经济学中必不可少的工具。
综上所述，定积分在数学和实际应用中具有重要的意义和应用。
它不仅丰富了数学的理论体系，还在几何学、物理学、经济学等领域中发挥着重要的作用。
定积分概念的推广及其几何物理意义
定积分概念的推广及其几何物理意义
定积分概念是数学中一个重要的概念，它的推广及其几何物理意义也是非常重要的。
定积分是一种积分，它可以用来表示一个函数在某一区间上的积分，它可以用来表示一个函数在某一区间上的积分。
它的推广可以用来解决更复杂的问题，比如求解多元函数的积分，求解曲线的面积，求解曲面的体积等等。
定积分的几何物理意义也是非常重要的，它可以用来表示物理量的变化，比如力的变化，势能的变化，动量的变化等等。
它可以用来求解物理量的变化，比如求解力的变化，求解势能的变化，求解动量的变化等等。
它还可以用来求解物理系统的稳定性，比如求解力的稳定性，求解势能的稳定性，求解动量的稳定性等等。
定积分的推广及其几何物理意义是非常重要的，它可以用来解决许多复杂的问题，比如求解多元函数的积分，求解曲线的面积，求解曲面的体积，求解物理量的变化，求解物理系统的稳定性等等。
它的推广及其几何物理意义也可以用来解决实际问题，比如求解热力学问题，求解电磁学问题，求解量子力学问题等等。
总之，定积分概念的推广及其几何物理意义是非常重要的，它可以用来解决许多复杂的问题，也可以用来解决实际问题，因此它在数学和物理学中都有着重要的作用。
3、定积分
的图形的面积. 的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x3 − 6x y = x2
⇒ (0,0), ( −2,4), ( 3,9).
y = x2
− 选 x 为积分变量 x ∈ [−2, 3] (1) x ∈ [−2, 0], dA1 = ( x 3 − 6 x − x 2 )dx ( 2) x ∈ [0,3], dA2 = ( x 2 − x 3 + 6 x )dx
定积分的应用
• 定积分理论可以用来分析和解决一些几何、物理
中的问题。例如：平面图形的面积、一些特殊立 体的体积、平面曲线的弧长、变力沿直线所作的 功、水压力、引力等等。 在实际的工程技术中，应用定积分来分析和解决 问题常采用元素分析法（简称元素法）。
•
平面图形的面积
例 1 计算由两条抛物线 y 2 = x 和 y = x 2 所围成的 图形的面积. 图形的面积
y
y = f (x)
O
a 曲边梯形
b
x
具体求法：
• 1）分割 • 2）近似替代（关键性的一步） 近似替代（关键性的一步） • 3）求和 • 4）取极限
y y = f (x)
O
a=x0 ξ1 x1 ξ2 x2
xi-1 ξi xi
xn-1 ξn xn=b
x
y y= f (x)
O
a
b
x
微积分基本公式
a
x
x + dx
b x
所求立体的体积为
V = ∫ A( x)dx
b a
平面截面面积已知的立体体积为
V = ∫ A( x)dx
b a
例1 设有一底圆半径 R的圆柱，被一与圆柱面交成角 α且过 , 底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积. 解 取如图所示的坐标系，则底圆方程为
定积分的发展史
定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。
由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。
这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。
正式积分定积分概念的理论基础是极限。
人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。
在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。
因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。
经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。
定积分的起源和背景
定积分的起源和背景一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线下面的面积进行计算的一种方法。
在数学上，定积分是对一个函数在某个区间内的面积进行求解，通常用符号∫来表示。
二、定积分的起源和背景1. 希腊数学家亚历克西斯·斯图菲特（Alexis Clairaut）提出了曲线下方面积的概念，并将其称为“fluxion”，这是定积分的最早形式。
2. 后来，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和勒贝格（Joseph Louis François Bertrand）独立地发明了现代意义上的定积分。
3. 在17世纪末期，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分，并将其应用于物理学、工程学等领域中。
三、定积分的定义与性质1. 定义：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为∫abf(x)dx。
其中dx表示自变量x所取得小量。
2. 性质：（1）可加性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，则∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx。
（2）线性性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，c为任意常数，则∫ab[c·f(x)]dx=c·∫abf(x)dx。
（3）区间可加性：若f(x)在区间[a,c]和[c,b]上连续，则∫abf(x)dx=∫cf(x)dx+∫bf(x)dx。
四、定积分的计算方法1. 几何法：将曲线下方的面积分割成若干个小面积，然后将这些小面积相加得到整个曲线下方的面积。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，即定积分等于原函数在区间端点处的差值。
3. 分部积分法：设u=u(x)，v=v(x)，则有∫uv'dx=uv-∫u'vdx。
五、定积分的应用1. 几何应用：可以计算曲线下方的面积、曲线长度、曲线旋转体体积等几何量。
定积分的发展史
定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。
由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。
这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。
正式积分定积分概念的理论基础是极限。
人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。
在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。
因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。
经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。
定积分的发展史范文
定积分的发展史范文定积分是微积分中的一个重要概念，它的历史可以追溯到古代希腊和中国。
在古希腊，人们已经开始研究形状的面积和体积，并提出了一些零碎的结果。
但是直到17世纪，定积分的概念才真正被建立起来。
在公元前5世纪的古希腊，人们已经开始研究形状的面积和体积。
阿基米德就以解决形状的问题而闻名，他使用了一种称为“穷举法”的方法，通过将形状分解成无穷小的小部分来计算其面积。
他的方法被视为是面积和体积积分的起源。
在中国，约在公元5世纪左右，刘徽（3-6世纪著名数学家）率先提出了求圆的面积。
在他的《九章算术》一书中，他用割圆术证明了圆的面积公式，并用多边形逼近圆的面积，这是一种类似于现代定积分的方法。
随着时间的推移，数学家们不断改进和推广这些方法，将它们应用于更广泛的问题。
在17世纪初，莱布尼茨和牛顿几乎同时发现了微积分的基本原理，并独立地开发了微积分的基本概念。
他们的工作奠定了微积分的基础，并正式建立了定积分的概念。
莱布尼茨是第一个明确定义定积分的数学家。
他用一种称为“积分法”的方法，将曲线的面积表示为无穷小的长方形的和。
他还引入了积分符号“∫”，表示求和的过程。
莱布尼茨的方法为定积分提供了一种通用的框架，并成为了微积分的基础。
在莱布尼茨的工作基础上，欧拉和拉格朗日等数学家进一步推广和应用了定积分的概念。
他们发展了计算定积分的方法，如换元积分法、分部积分法等，提出了一系列求积分的技巧和公式。
这些方法和公式为解决各种实际问题提供了有力的工具。
19世纪，数学家们对定积分的理论进行了深入研究。
黎曼提出了著名的黎曼积分理论，对定积分进行了更为抽象和一般的定义。
他的理论在分析学中起到了重要的作用，为后来的测度论和积分论提供了基础。
20世纪，勒贝格和黎曼-施蒂尔杰斯等数学家进一步发展了黎曼积分理论，提出了广义黎曼积分和勒贝格积分等概念。
这些新的积分理论在处理广义函数和非可测集合等问题时更加有效。
此外，计算机的发展也为定积分的计算和应用提供了强大的工具。
第四节 定积分的概念与性质
1 n
n1 n
1e n
n 1 n 1 n
-e
1 n
e -1
当 = max{xi}0 + 时，即 n + 有 1 lim n 1.
n
e -1
1 n
于是有
e xdx lim
1 0
0
f (x )x e - 1.
i 1 i i
n
例2
利用定积分的定义计算
y B
y = f
曲线 y = f (x) 是连续的， 所以，当点 x 在区间 [a, b] 上某处变化很小时， 则相应的高 f (x) 也就变 化不大. 基于这种想法， 可以用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形， 只要分割得较细， 每个小曲边梯形很窄， 则 其 高 f (x) 的变化就很小. 这样，可以在每个小曲边梯形 上作一个与它同底， 底上某点函数值为高的矩形，
解： f ( x ) x 2在[0,1]连续,
f ( x )可 积
1
x dx
y f(x)=x2
2
0
(1)把区间 a, b]n等分, [
则 每 个 小 区 间 的 长 度相 等 均
O x
1 i , 取x i 即 x i n n
i 21 (2)取近似 Ai f (xi )x ( ) n n
定理2 若函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上有界，
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
根据定积分的定义，上面两个例子都可以表 示为定积分：
(1) 曲边梯形面积 A 是曲边函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分，即
定积分产生的历史意义
定积分产生的历史意义定积分就是求函数f(X)在区间[a，b]中图线下包围的面积。
即由 y=0，x=a，x=b，y=f(X)所围成图形的面积。
其定义为：设函数f(x) 在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]， (x2，x3]，…， (x n-1，x n]，其中x0=a，x n=b。
可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，…，△x n=x n-x n-1。
在每个子区间(x i-1，x i]中任取一点ξi（1，2，。
，n），作和式。
设λ=max{△x1，△x2，…，△x n}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a，b]的定积分，记为。
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿-莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
定积分发展史
是微分，‘无限求和’就是积分。
与微分学相比，积分学的起源要早 很多。其概念是由求某些面积、体积 创立阶段
和弧长引起的。
准备阶段
公元前5世纪
一、准备阶段
积分学发展的准备阶段主要包括 17 世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者 们大量的探索 、积累工作. 这个时期随 着古希腊灿烂文化的发展 ,数学也开始散 发出它不可抵挡的魅力. 积分学发展史的 准备阶段大致分为三个时期 ……
三、完成阶段
19世纪的前20年, 微积分的逻辑基础仍然不 够完善, 如一般的函数概念尚未建立, 微积分的 许多基本概念, 如无穷小、无穷大、导数、微分、 积分仍无精确定义等. 从19世纪20年代至19世纪末, 经过波尔查诺、 柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力, 微积分的理论基础基本完成。
首个用极限思想真正解决导数与积 分问题的科学家波尔查诺，他通过极限给 出了积分的定义 , 指出‚∫‛不能理解 为一个和式，而是一个和式的极限值。因 此他认为，人们在应用定积分之前 , 必 须首先确定积分的存在性，即在积分定义 下的这个极限值的存在性。 然而波尔查诺仍然没有清楚地将极 限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基 本概念解释清楚。
2、第二个阶段
• 古希腊的数学逐渐脱离哲学和天文学 ,成为独立的科学 , 出现了三大数学家: 欧几里德 阿基米德 阿波罗尼奥斯
• 其中在公元前 3 世纪数学家兼物理学家阿基米德将穷竭法 与原子论观点结合起来 ,获得了许多重要结果 ,例如他在 《抛物线图形求积法》和《论螺线》中 ,利用穷竭法 ,借助 于几何直观 ,求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一 周围成的区域的面积 ,其思想方法是分割求和, 逐次逼近. 虽然当时还没有极限的概念 ,不承认无限 ,但他的求积方法 已具有了定积分思想的萌芽.
定积分概念的推广及其几何物理意义_林承初
Qb f ( x ) dx ; 当 n= 2 时, 8 = D 为平面区域, f ( x , y ) a
为 D 上的二元函数, $vi 就是小区域 $Ri 的面积( 仍
n
记为
$Ri
)
,
上述
定义就成
为lim dy0
Ef
i= 1
(
Ni ,
Gi ) $Ri , 称为
函数 f ( x , y ) 在区 域 D 上的 二 重 积 分, 通 常 记 作
4. 2 物理意义[ 3]
图2
4. 2. 1 非均匀细棒的质量
设物质细棒置于 x 轴上 a, b 之间( a< b ) , 其线
密度 Q( x ) 为 x 的连续函数, Q( x ) 在[ a, b] 上的定积
Qb
n
分为
Q(
a
x ) dx =
lim
dy0
E
i=1
Q(
Ni ) $x i . 而
Q( Ni )
为质量 m
的近似值, 所以二重
QQ 积分 Q( x , y ) dR= m 就是面密度为 Q( x , y ) 的平面 D
薄板 D 的质量 m .
4. 2. 3 空间物质块的质量
设空间物 质块 为 空间 有界 闭区 域 8, 其 密度
Q( x , y , z ) 为 8 上的连续函数, Q( x , y , z ) 在 8 上的
如果 8 为一片曲面 S , f ( M ) 为定义在 S 上的三
元函数 f ( x , y , z ) , $vi 是小曲面的面积 $si . 上述定 义就成为
QQ n
f (x , y,
z ) ds =
lim
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定积分产生的历史意义
定积分就是求函数f(X)在区间[a，b]中图线下包围的面积。
即由 y=0，x=a，x=b，y=f(X)所围成图形的面积。
其定义为：设函数f(x) 在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]， (x2，x3]，…， (x n-1，x n]，其中x0=a，x n=b。
可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，…，△x n=x n-x n-1。
在每
个子区间(x i-1，x i]中任取一点ξi（1，2，。
，n），作和式。
设λ=max{△x1，△x2，…，△x n}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a，b]的定积分，记为。
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿-莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
同等重要的是，牛顿-莱布尼茨开发全面的数学框架。
由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。
这个框架最终成为现代微积分符号。
定积分的逐渐发展和完善，促使了定积分术语和符号的规范。
艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。
牛顿用x 或x 来指示分化，可方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。
1675 年戈特弗里德莱布尼茨所使用的积分符号“∫”从字母 S（“总结”或“总”）改编而来。
∫符号表示的整合; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合; f是积，x在区间[a，b]上的变化进行评估; 从历史上看，黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后，正式定义为积分的加权求和的限制，使有差别的限制（即间隔宽度）。
黎曼的间
隔和连续性的依赖的缺点促使了新的定义，尤其是勒贝格积分，这是建立能力，延长了“措施”，以更灵活的方式的想法。
因此，符号u f A
d x ）（是指在分区函数值μ测量的重量被分配到每个值，加权
总和。
在这里，A 表示一体化的地区。
定积分的运用：
1.解决求曲边图形的面积问题;
2.求变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体经过的路程s ，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分;
3.变力做功：某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a ，b]上做的功等于F=F(x)在[a ，b]上的定积分。
定积分既是一个基本概念，又是一种基本思想。
定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”。
定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。
可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。
定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要创举。
微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果。
正如恩格斯评价的那样：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了。
”它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具：如数学研究、求数列极限、证明不等式等。
而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生和发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，如：气象、弹道的计算、运动状态的分析等都要用的到微积分。