定积分产生的历史意义

定积分产生的历史意义

定积分就是求函数f(X)在区间[a，b]中图线下包围的面积。即由 y=0，x=a，x=b，y=f(X)所围成图形的面积。其定义为：设函数f(x) 在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]， (x2，x3]，…， (x n-1，x n]，其中x0=a，x n=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，△x2=x2-x1，…，△x n=x n-x n-1。在每

个子区间(x i-1，x i]中任取一点ξi（1，2，。。。，n），作和式。设λ=max{△x1，△x2，…，△x n}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a，b]的定积分，记为。

定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。

未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。

在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿-莱布尼茨的微积分基本定理。定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿-莱布尼茨开发全面的数学框架。由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号。

定积分的逐渐发展和完善，促使了定积分术语和符号的规范。艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。牛顿用x 或x 来指示分化，可方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。 1675 年戈特弗里德莱布尼茨所使用的积分符号“∫”从字母 S（“总结”或“总”）改编而来。

∫符号表示的整合; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合; f是积，x在区间[a，b]上的变化进行评估; 从历史上看，黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后，正式定义为积分的加权求和的限制，使有差别的限制（即间隔宽度）。黎曼的间

隔和连续性的依赖的缺点促使了新的定义，尤其是勒贝格积分，这是建立能力，延长了“措施”，以更灵活的方式的想法。 因此，符号u f A

d x ）（是指在分区函数值μ测量的重量被分配到每个值，加权

总和。 在这里，A 表示一体化的地区。

定积分的运用：

1.解决求曲边图形的面积问题;

2.求变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体经过的路程s ，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分;

3.变力做功：某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a ，b]上做的功等于F=F(x)在[a ，b]上的定积分。

定积分既是一个基本概念，又是一种基本思想。 定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”。定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。

定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要创举。微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果。正如恩格斯评价的那样：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了。”它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具：如数学研究、求数列极限、证明不等式等。而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生和发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，如：气象、弹道的计算、运动状态的分析等都要用的到微积分。