华东师大数学分析习题解答1

《数学分析选论》习题解答

第 一 章 实 数 理 论

１.把§1、3例4改为关于下确界的相应命题,并加以证明. 证 设数集S 有下确界,且S S ∉=ξinf ,试证: （１）存在数列ξ=⊂∞

→n n n a S a lim ,}{使;

（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞

→n n n a S a lim ,}{使.

证明如下:

（１） 据假设,ξ>∈∀a S a 有,;且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0.现依 次取,,2,1,1

==

εn n n 相应地S a n ∈∃,使得

,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n .

因)(0∞→→εn n ,由迫敛性易知ξ=∞

→n n a lim 、

（２） 为使上面得到的}{n a 就是严格递减的,只要从2=n 起,改取

,3,2,,1min 1=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ,

就能保证

,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n . □

２.证明§1、3例６的(ⅱ).

证 设B A ,为非空有界数集,B A S ⋃=,试证:

{}B A S inf ,inf m in inf =.

现证明如下.

由假设,B A S ⋃=显然也就是非空有界数集,因而它的下确界存在.故对任何

B x A x S x ∈∈∈或有,,由此推知B x A x inf inf ≥≥或,从而又有

{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥⇒≥.

另一方面,对任何,A x ∈ 有S x ∈,于就是有

S A S x inf inf inf ≥⇒≥;

同理又有S B inf inf ≥.由此推得

{}B A S inf ,inf m in inf ≤.

综上,证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立. □

３.设B A ,为有界数集,且∅≠⋂B A .证明: (１){}B A B A sup ,sup m in )sup(≤⋂; (２){}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥⋂. 并举出等号不成立的例子.

证 这里只证(２),类似地可证(１).

设B A inf ,inf =β=α.则应满足:

β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有.

于就是,B A z ⋂∈∀,必有

{}βα≥⇒⎭

⎬⎫

β≥α≥,max z z z , 这说明{}βα,max 就是B A ⋂的一个下界.由于B A ⋂亦为有界数集,故其下确界存在,且因下确界为其最大下界,从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥⋂成立.

上式中等号不成立的例子确实就是存在的.例如:设

)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则,

这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而,故得

{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >⋂. □ ４.设B A ,为非空有界数集.定义数集

{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,,

证明:

(１)B A B A sup sup )sup(+=+; (２)B A B A inf inf )(inf +=+.

证 这里只证(２),类似地可证(１).

由假设,B A inf ,inf =β=α都存在,现欲证β+α=+)(inf B A .依据下确界定义,分两步证明如下:

１）因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀,必有

β+α≥+=y x z .

这说明B A +β+α是的一个下界.

２)B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0,使得

2,2

00ε+β>ε+

α>y x .

从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得,故B A +β+α是的最大下界.于就是

结

论

B

A B A inf inf )(inf +=+ 得证.

□

５.设B A ,为非空有界数集,且它们所含元素皆非负.定义数集 {}B b A a ab c AB ∈∈==,,

证明:

(１)B A AB sup sup )sup(⋅=; (２)B A AB inf inf )(inf ⋅=. 证 这里只证(１),类似地可证(２).

⎪⎩

⎪

⎨⎧

⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,

sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅就是AB 的一个上界.

另一方面,B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0,满足

ε->ε->B b A a sup ,sup 00,

故)(000AB b a c ∈=∃,使得

εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c .

由条件,不妨设0sup sup >+B A ,故当ε足够小时,εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一

任意小正数.这就证得B A sup sup ⋅就是AB 的最小上界,即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证. □

*

６.证明:一个有序域如果具有完备性,则必定具有阿基米德性.

证 用反证法.倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性,则必存在两个正元素

F ∈βα,,使序列}{αn 中没有一项大于β.于就是,}{αn 有上界(β就就是一个),从而

由完备性假设,存在上确界λ=α}sup{n .由上确界定义,对一切正整数n ,有α≥λn ;同时存在某个正整数0n ,使α-λ>α0n .由此得出

α+<λ≤α+)1()2(00n n ,

这导致与0>α相矛盾.所以,具有完备性的有序域必定具有阿基米德性. □

７.试用确界原理证明区间套定理. 证 设{}],[n n b a 为一区间套,即满足:

0)(lim ,

1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞

→n n n n n a b b b b a a a .

由于{}n a 有上界k b ,{}n b 有下界k a (+∈N k ),因此根据确界原理,存在

{}{}β≤α=β=α且,inf ,sup n n b a .

倘若β<α,则有

,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ,

而这与0)(lim =-∞

→n n n a b 相矛盾,故ξ=β=α.又因 ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ,

所以ξ就是一切],[n n b a 的公共点.

对于其她任一公共点 ,2,1,],[=∈ηn b a n n ,由于

∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ,

因此只能就是η=ξ,这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点. □

８.试用区间套定理证明确界原理.

证 设S 为一非空有上界的数集

欲证S 存在上确界.为此构造区间套如下:令 ],[],[011M x b a =,其中M S S x ,)(0∅≠∈ 为S 的上界.记2

1

11b a c +=

,