代数学发展三个阶段

晋中学院数学学院本科毕业论文(设计)题目代数学发展的三个阶段院系数学学院专业信息与计算科学姓名李剑学号0807122218学习年限2008年09 月至2012年06月指导教师董青涌职称申请学位理学学士学位年月日晋中学院本科毕业论文（设计）开题报告及任务书注：此表前五项由学生填写后交指导教师签署意见，否则不得开题；此表作为毕业论文（设计）评分的依据．晋中学院本科毕业论文（设计）进度表注：1）此表中论文(设计)题目、学生姓名、专业由学生填写，其余由指导教师填写．2）论文(设计)等级分优（≥85分）、良（84－75分）、中（74－60分）、差（≤59分）．晋中学院本科毕业论文（设计）评审答辩表注：1）论文（设计）等级分优（≥85分）、良（84-75分）、中（74-60分）、差（≤59分）；总分取整数．2）此表学生只填写论文(设计)题目、学生姓名、学号、指导教师姓名和专业名称．晋中学院数学学院本科毕业论文(设计)诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文(设计)不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的著作或论文(设计)等成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担．特此！毕业论文(设计)作者签名：二○一年月日代数学发展的三个阶段学生姓名:李剑（信息与计算科学08本2班）指导教师：董青涌摘要：本文根据代数学所涵盖内容，阐述了代数学从初等代数到高等代数再到抽象代数发展的三个阶段，从而把握代数学发展的脉落，揭示代数学发展的规律．关键词：初等代数学；高等代数学；抽象代数学Three Stages Of The Algebra DevelopmentStudent: li jianInstru c tor: dong qingyongAbstra c t:In this paper, the three stages of the development of Algebra are illustrated in the light of the c ontent that algebra c overs.Thay are primary algebra, higher algebra and abstra c t algebra .Thus the frame of the development of algebra is grasped and law of it is revealed.Keywords: primary algebra ; higher algebra; abstra c t algebra目录1.引言 (1)2.初等代数 (1)3.高等代数 (4)4.抽象代数 (6)5.参考文献 (10)1.引言与其它知识部门相比，数学是一门历史性或者说积累性很强的科学．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论．数学的发展经历了漫长的时间．一方面，数学给人的印象是独立于人类而存在的冷冰冰的真理汇集．这个客观性的特点，使得数学并不像文艺领域那样高度表现出创造者张扬的个性；也不像物理学中经常有后人推翻前人观点的情形．但在另一方面，又不得不承认，数学是人类创造出来的思想体系，是人类智慧的结晶．在宽广的数学领域范围内，代数学只是其中的一个分支，一个部分．“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的．那么什么是代数？代数学又是如何发展的呢？我们进一步来研究．1847年，英国人伟烈亚力来到上海，他用中文写了一本《数学启蒙》，在序中说：“有代数、微分诸书在，余将续梓之．”这是第一次使用代数这个词来作为数学分科的名称．李善兰是我国清代数学家．1859年和伟烈亚力合译英国棣么甘（Augustus De Morgan）的“Elements of Algebra”正式定名为《代数学》．这是我国第一本代数学书，代数的名称就是这样来的．代数是对字母、字母表达式进行运算或变换的学问．在初等数学中字母代表数，在近代数学中字母可以代表更广泛的对象，如向量、张量、矩阵、变换等．代数的发展大致分为三个时期．第一个时期从九世纪的花拉子米始，到十六世纪止．这个时期人们把代数看成为对字母进行运算，关于字母公式的变换以及关于代数方程式的学问．这些就是目前中学代数的内容．第二个时期从十六世纪开始到十九世纪，这时意大利数学家解出了三次方程和四次方程．由此人们开始研究更高次的代数方程．代数的中心问题逐渐变为代数方程式的理论了．十九世纪谢尔的两卷本的代数问世，在这部书中代数被定义为方程式论．这在当时是个创举．在第二个时期内，行列式与矩阵的理论，二次型与变换的理论，特别是不变量的理论等代数工具也发展起来了．在这个时期内群论及不变量的理论的发展对几何学的发展起了重大影响．第三个时期从上世纪末到本世纪．这时在力学，物理以及数学本身越来越频繁地研究到一些对象，对这些对象也要考虑加法、减法，有时要考虑乘法和除法．这些对象中有矩阵、张量、旋量、超复数等．这样人们就不得不考虑某种更一般的集合，在这种集合中有某种运算，并满足一定的运算法则．这就是说，我们不得不考虑某种代数系统．这样一来，代数的目的是研究各种代数系统．这就是公理化，或抽象化的代数．说它是抽象的，是因为所考虑的代数系统是用字母表示的．说它是公理化的，是因为它只遵从作为它的基础的那些公理．有趣的是这样的代数系统无论就数学本身而言，或就它的应用而言都具有巨大意义．以下我是通过初等代数，高等代数以及抽象代数三个阶段的发展来研究代数学领域的发展的．2.初等代数初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科．初等代数是更古老的算术的推广和发展．在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数．代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的．代数和算术的主要区别，就在于前者引入未知量，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知量的值．至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了．比如，如果你认为“代数学”是指解这类用符号表示的方程的技巧，那么，这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的．如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么代数学可以上溯到更早的年代．大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化成为一种高度发展的用文字叙述的代数学．从载有数字表的文件中，可以获得巴比伦人的数系和数字运算方面的许多知识．他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论了某些三次方程和双二次（四次）方程．已经发现一块书板，它给出的数表不仅包括从1到30的整数的平方和立方，还包括了这个范围的整数组合．公元前2500年左右，埃及的草片文书（Ahmes）中有求一个未知量问题的解法，这个问题大体上相当于今日的一元一次方程．不过用的方法纯粹是算术的，并且在埃及人心目中这并不成其为一门独特的学科——解方程．公元200—1200年时期，印度人也在代数上获得一些进展．他们用缩写文字和一些记号来描述运算．印度人认识到二次方程有两个根，而且包括负根和无理根．在不定方程方面印度人超过了Diaphanous，印度人要求出所有整数解，而Diaphanous则只得出一个有理的解．印度人也研究了不定二次方程．他们解出了（其中不是平方数）这种类型的方程，并可看出这种类型对处理很重要．西方人将公元前三世纪古希腊数学家Diaphanous看作是代数学的鼻祖．而在中国，用文字来表达的代数问题出现得就更早了．“代数”作为一个数学专有名词，代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年．那年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》．当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如成书于公元一世纪初的《九章算术》中就有方程问题．在《九章》方程章中，经刘徽注给方程予以最早的定义：“程，课程也．群物总杂，各列有数，总言其实．令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，帮谓之方程”．这里的“群物总杂，各列有数，总言其实”是说每一行（相当于今称的方程式）的系数、未知数和常数项（此叫“实”）的组成方法．令每行为率（就是列出几个等式），二物者再乘（两个未知数，列两个等式或程式），三物三乘（三个未知数列三个等式或程式），如物数程之（就是有几个未知数，就列出几个等式或程式），用算筹并列成一方形，所以叫做方程．在方程的定义里，“程”就是“课”，而“课”的本义是试验，考核．正是在试验与考核的意义上，“程”与“课”是相通的．由“课”将数学应用题转化为盈亏类问题，而由“程”把问题布列为“方程”．这种问题模式化的思想和方法是一脉相承的．当然，在这里方程的定义是狭隘的，仅指线性方程组，但《九章》实际上还涉及到二次方程，而且已能用“带从开方术”（“从”读“纵”）求出方程的正根．共步骤相当于“配方法”．《九章》关于多元一次方程组的解法，是将其“所出率”用算筹摆成一个方阵，然后应用“遍乘，通约，齐同”三种基本演算，达到“消元”为目的．《九章》称解方程组的过程为“直除”，即现代的消元法．《九章》方程解法有方程术和正负术，刘徽注又添了新方程术，反映了我国古代方程理论发展的不同阶段．这些解法经刘徽注释，把它们作为比率理论的应用和发展，从而获得了统一的理论基础．初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上．它的研究方法是高度计算性的．要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程．所以初等代数的一个重要内容就是代数式．由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式，分式和根式这三大类代数式．代数式是数的化身，因而在代数中它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算．通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算．在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零．这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充．有了有理数，初等代数能解决的问题就大大地扩充了．但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解．于是，数的概念再一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数．那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了．这就是代数里的一个著名的定理——代数基本定理．这个定理简单地说就是n个方程有n个根．1742年12月15日，瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述．后来另一个数学家德国的高斯在1799年给出了严格的证明．把上面分析过了的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是：三种数——有理数、无理数、复数．三种式——整式、分式、根式．中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组．初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同．比如严格地说，数的概念，排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的……．这些都只是历史上形成的一种编排方法．初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解．代数运算的特点是只进行有限次的运算．全部初等代数总起来有十条规则．这是学习初等代数需要理解并掌握的要点．这十条规则是：五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律；两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积．初等代数学进一步向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程．这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了．3.高等代数初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组．沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组（也叫线性方程组）的同时还研究次数更高的一元方程组．发展到这个阶段，就叫做高等代数．高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支．现在大学里开设的高等代数一般包括两部分：线性代数、多项式代数．高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等．这些量具有和数相类似的运算特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复．集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些规则的集合．向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有了很大的不同．古典代数学（即初等代数学）的中心课题是解方程问题．就方程本身而言，它是向两个方向发展的．一个方向是一元高次方程，另一个方向是多元一次方程组与多元高次联立方程组．前者发展成为后来的方程论（或多项式论）的研究，方程论的扩展便是高等代数学．到了十九世纪，还诱发了近世代数的出现．后者的发展形成了线性代数学，它的中心内容是行列式与线性方程组，矩阵及线性空间和线性变换的理论等．多项式是一类最常见，最简单的函数，它的应用非常广泛．多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论．研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法．多项式代数所研究的内容，包括整除性理论，因式分解理论等．这些大体上和中学代数里的内容类似．多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的．解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解．我们知道一次方程叫线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数．线性代数学的兴起与发展是随着十七、十八世纪生产和科学技术的发展与要求而发展的．在线性代数中最重要的内容是行列式和矩阵．早在十七世纪和十八世纪初，行列式在解方程中就得到了发展．在线性方程组中，由于碰到方程的个数与未知量个数相等，所以就提出行列式这个词．行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述．此外，1750年瑞士克莱姆（C ramer，1704--1752）的“克莱姆法则”也出现，但没有把行列式作为一个单独理论加以研究和阐述．欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨．1772年法国数学家范德蒙（Vandermonde，1735--1796）首先把行列式作为专门理论独立于线性方程组之外进行研究．故人们称他是行列式理论的奠基者．德国数学家雅可比于1841年发表了《论行列式的形式与性质》一文标志着行列式的系统理论的建立．行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具．行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数．因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论．矩阵概念和行列式一样是从解线性方程组中产生的．矩阵概念最早也出现在我国的《九章算术》方程章里．该书所说的“方程”实际是“矩阵”，所说的“方程术”的中心内容是对“方程”（即矩阵）施行“遍乘”与“直除”两种运算．在欧洲，由于有行列式的成果作为基础，1850年前后，矩阵的理论发展是非常迅速的．“矩阵”这个词是西勒维斯特（J.J.Sylvester，1814--1897）在1850年首先提出并使用的．他在碰到线性方程组的方程的个数与未知量个数不等，无法运用行列式概念时提出这个词的．1855年凯莱也引出了矩阵概念．他在文章中介绍他发现这一概念的思想时说：“我决不是通过四元数而获得矩阵概念的，它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达方程组的方便的方法而来的．”矩阵也是由数排成行和列的数表，行数和列数可以相等也可以不等．矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法．利用矩阵这个工具可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量，这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以彻底地解决．矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用．1879年，德国数学家弗罗尼乌斯（Frobenius）引入矩阵秩的概念，英国数学家史密斯（H.J.S Smith，1826--1883）引入增广矩阵的概念，证明了n 个未知数m个方程的方程组相容的充分必要条件是其增广矩阵与非增广矩阵的秩相等．在行列式的理论和矩阵理论与应用发展的同时，线性空间以及与之相联系的线性变换的理论也蓬蓬勃勃地发展起来．由于采用向量的概念，可以使得解析几何特别地简单和清楚．向量可以相加，也可以相乘，并且满足如下运算规律：1．2．存在着“零元素”0，使得对任意x，3．对于任意元素x，存在着一个逆元素-x，使得4．5．6．7．8．这里x、y、z是线性空间里的元素，而1、、、是数．如果向量由它的坐标（即它在坐标轴上的射影）给出，那么在向量上进行的加法运算和数乘运算就相应着由它的坐标所组成的行（或列）上同名的运算．这样一来，由三个数组成的行或列就宜于几何上地解释作三维空间中的向量，同时在“行”（或“列”）上进行的运算就解释作为空间中向量上所进行的相应的运算，使得由三个数所组成行（或列）的代数在形式上与三维空间中的向量代数没有差别．线性方程组的系数、线性方程组的解是一个多元有序数组，在多元有序数组集合中引进加法、数乘运算，可以简化线性方程组的讨论，这使它们自然地将三维向量空间推广到n元有序数组集合的n维向量空间．不仅n维向量的集合具备上面所说的这些特性，就是同一类型的矩阵集合以及物理向量：力、速度、加速度等等也具备这些性质．完全是另外性质的数学对象，如一个变元的多项式全体、已知区间[a，b]上的连续函数的全体，线性齐次微分方程解的全体等等，也都具备这些性质．这些例子引导人们进一步推广向量空间的概念，这种空间的元素可以是任意数学对象或物理对象，这就引进了一般的线性空间的概念．同样它们满足加法和数乘一定的运算规律．在很多数学研究中需要改换变数，即从一组变数,…… ,过渡到与它们有函数关系的另一组变数,,……．例如，如果变数是平面上或空间中点的坐标，那么从一个坐标系过渡到另一个坐标系就引起坐标的一个交换，它将原来的坐标用新的坐标表出．此外，在研究一个物体从一个位置或状态变为另一个位置或状态时，如果它的位置或状态由变数的值所给出，变数的变换也会产生．线性变换是线性空间到自身的变换．线性空间中每一个线性变换都对应着一个方阵，变换本身可以用矩阵语言写成形状，这里x是原向量的坐标组成的列，y是变换后的向量的坐标组成的列，是变换的系数矩阵．欧氏空间中，将保持向量长度不变的线性变换称为正交变换．正交变换是将三维空间中坐标原点不动的旋转或旋转与对通过原点的某一平面的反射的联合对n维空间的推广．正交变换是非退化变换的重要特殊情形．线性空间与线性变换是线性代数的几何架构，数组向量和矩阵实际上是它们的代数形式，其间的转换枢纽是基底，就好象是平面和立体几何里的坐标系．然而线性代数里的向量空间却往往从抽象定义开始，这只是相当大的一般性．4.抽象代数在十八世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革．当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中在代数方面最突出的是：高于四次的代数方程的根式求解问题．在十九世纪初，这个问题已变得越发尖锐而不可回避．它们引起了数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了代数学发展的新突破．在前面曾经说过，中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解方程的学问．直到十九世纪初，代数学研究仍未超出这个范围．不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上．考虑一般的五次式更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如：（其中）的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢？遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决．最终，阿贝尔（1802--1829）解决了五次和高于五次的一般方程的求解问题，证明了五次或五次以上方程不可能有代数解．即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来．他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类被称为“阿贝尔方程”．在这一工作中，他实际上引进了“域”这一重要的近世代数概念，虽然他没有这样来称呼．但他没能解决判定已知方程是否可用根式来求解的问题．这个问题最终由另一个年轻的天才数学家法国的伽罗瓦彻底解决．在十九世纪，代数学的研究对象已突破了数（包括用符号表示的数）的范畴，这种突破是由伽罗瓦群的概念开始的．伽罗瓦20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久便在一次私人决斗中死去，年仅21岁．伽罗瓦在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做了一些新发现．有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见．我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的．”伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中．他的论文手稿过了14年，才由刘维尔（1809--1882）编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐．随着时间的推移，伽罗瓦的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识．伽罗瓦虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的。