大学物理学实验指导书_4

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大学物理实验II指导书汇总

大学物理实验II指导书汇总

目录实验一电势差计测电动势 (1)实验二用电流场模拟静电场 (4)实验三电子束实验 (5)实验四霍耳效应法测量磁场 (8)实验四磁阻效应综合实验 (12)实验五分光计的使用和光栅测波长 (22)实验六光电效应 (28)实验七密立根油滴实验——电子电荷的测定 (31)实验七弗兰克—赫兹实验 (33)实验一 电势差计测电动势【实验原理】详见教材:《结构化大学物理实验》P.208−212。

仔细研读原理后回答以下问题: 问题1:能用电压表直接测出电池的电动势吗?为什么?问题2:箱式电势差计的工作原理图里有几个补偿回路?所测电动势的精度和什么有关? 问题3:为什么温差电偶能用作温度计?补充内容:(一)本实验用高精度的1.0185V 稳压电源代替标准电池,虽然重复性较差,但比较环保,常温下也可以忽略温度对)(t E s 的影响。

(二)测量温差电动势时,因为实验装置的冷端为环境温度,误差较大,所以只测量t E ~关系,写出方程t E E θ+=0(三)UJ31电势差计中的一些参数1. 可测范围:0.001—170.00mV ;分两档,×1档为0.001—17.000mV (最小分度1μV ),×10档为0.01—170.00mV (最小分度10μV )。

2. 准确度等级为0.05级,基本误差为(0.05%)x x U U U ∆=±+∆。

式中,x U 是被测电动势值(即示值),U ∆取值倍率为×10时,5=∆U μV ;倍率为×1时,5.0=∆U μV 。

【实验目的】(一)掌握电势差计的工作原理和结构特点。

(二)了解温差电偶的测温原理。

【实验内容】(一)电势差计的调节;(二)测温差电偶(铜-康铜)的温差电动势。

【实验器材】箱式电势差计,直流稳压工作电源,灵敏电流计,高精度1.0185V 标准电源,铜—康铜温差热电偶,加热装置。

【实验步骤及操作】(一)电势差的调节图10-1 UJ31型电势差计面板图1. 面板中各旋钮、开关介绍2.把S R旋至标准的电动势值的位置。

大学物理实验指导书--9个项目 -

大学物理实验指导书--9个项目 -

大学物理实验指导书--9个项目 -实验一多普勒效应综合实验【实验目的】 1、测量超声接收器运动速度与接收频率之间的关系,验证多普勒效应。

2、由f-V关系直线的斜率求声速。

【实验原理】根据声波的多普勒效应公式,当声源与接收器之间有相对运动时,接收器接收到的频率f为:f = f0(u+V1cosα1)/(u�CV2cosα2)(1)式中f0为声源发射频率,u为声速,V1为接收器运动速率,α1为声源与接收器连线与接收器运动方向之间的夹角,V2为声源运动速率,α2为声源与接收器连线与声源运动方向之间的夹角。

若声源保持不动,运动物体上的接收器沿声源与接收器连线方向以速度V运动,则从(1)式可得接收器接收到的频率应为:f = f0(1+V/u)(2)当接收器向着声源运动时,V取正,反之取负。

若f0保持不变,以光电门测量物体的运动速度,并由仪器对接收器接收到的频率自动计数,根据(2)式,作f ―V关系图可直观验证多普勒效应,且由实验点作直线,其斜率应为 k=f0/u ,由此可计算出声速 u=f0/k 。

由(2)式可解出:V = u(f/f0 �C 1)(3)若已知声速u及声源频率f0 ,通过设置使仪器以某种时间间隔对接收器接收到的频率f采样计数,由微处理器按(3)式计算出接收器运动速度,由显示屏显示V-t关系图,或调阅有关测量数据,即可得出物体在运动过程中的速度变化情况,进而对物体运动状况及规律进行研究。

【仪器安装】图1 多普勒效应验证实验及测量小车水平运动安装示意如图1所示。

所有需固定的附件均安装在导轨上,并在两侧的安装槽上固定。

调节水平超声发射器的高度,使其与超声接收器(已固定在小车上)在同一个平面上,再调整红外接收器高度和方向,使其与红外发射器(已固定在小车上)在同一轴线上。

将组件电缆接入实验仪的对应接口上。

安装完毕后,让电磁铁吸住小车,给小车上的传感器充电,第一次充电时间约6~8秒,充满后(仪器面板充电灯变绿色)可以持续使用4~5分钟。

大学物理空气比热容实验指导书

大学物理空气比热容实验指导书

U T0 ) ④ 当瓶内气体温度 T1 升至室温 T0, 且压强稳定后, 此时瓶内气体状态为Ⅲ (p2、 T0) , 记下 ( U p2 、 。
每次测出一组压强值 p0、p1、p2,求 。重复 6~10 次,计算 的平均值和不确定度(只考虑 A 类不 确定度) 。 (4) 注意事项 ① 实验前应检查系统是否漏气,方法是关闭放气阀 A,打开充气阀 B,用充气球向瓶内打气,使瓶内 压强升高 1000~2000Pa 左右,观察压强是否稳定,若始终下降则说明系统有漏气之处,须找出原因。 ② 做好本实验的关键是放气要进行得十分迅速。即打开放气阀后又关上放气阀的动作要快捷,使瓶内 气体与大气相通要充分且尽量快的完成。注意记录 UP、UT。 ③ 转动充气阀与放气阀的阀门时,一定要一手扶住玻璃阀门,另一只手转动活塞。
p (3)
Ⅰ(p1V1T0)
由(3)式可以看出,只要测得 p0、p1、p2 就可求得空气 。 (2) AD590 集成温度传感器 AD590 是一种新型的电流输出型温度传感器,测温范围为55℃ —150℃。当施加+4—+30V 的激励电压时,这种传感器起恒流源的 作用,其输出电流与传感器所处的热力学温度 T(单位 K)成正比, 且转换系数为 Kc=1A/K 或 1A/℃。如用摄氏度 tc 表示温度,则输 出电流为
U i U 0 K P ( pi pc )
(4) (5)
C D
Kp
Um U0 pc
其中 pi——被测气体压强; pc——大气压强; Ui——C、D 两端压差为 pipc 时传感器的输出电压值 ; Uo——C、D 两端压差为零时传感器的输出电压值; Um——C、D 两端压差为 pc 时传感器的输出电压值; 由此我们便可由下面的公式(6)求出气体的压强。

4-实验四 惠斯通电桥测量中值电阻

4-实验四 惠斯通电桥测量中值电阻

3.使用内附检流计时,短路片接在“外接”上;使用外接检流计时,短路片接在“内接”上。 4.依被测电阻大小,选择倍率、预调读数盘,被测电阻接入“Rx”。 5.按下“B”、“G”调节读数盘,使检流计指零。松开“B”、“G”,读数,被测电阻为:倍率×读 数盘值。 6.作十进制电阻器使用时,可从 G 下面的接线柱和 Rx 下面的接线柱取得。
S
Rx
n
Rx
(2)
【实验内容】
1.用箱式惠斯通电桥测量待测电阻 Rx1、Rx3 的阻值,保证测量结果有四位有效字,给出测 量结果。 2.测量箱式惠斯通电桥在 Rx 取 2000Ω 时的相对灵敏度,表达结果。
【实验仪器】
QJ23 型或 QJ23a 型直流电阻电桥(如图-1、图-2 所示) ,ZX21 型电阻箱,待测电阻若干,导线
注:1.参考条件即检定本仪器的测试条件,用以判别合格与否;标称使用条件下的允差是指仪器 在二个极限值时,仪器准确度允许变化的数值。 2.Elim 为基本误差允许的误差极限:
Elin
C RN X 100 10
公式中:C 为百分数表示的等级指数(表-1 中等级指数) 。RN 为所用的有效量程的基准值即为该 量程内的最大的 10 的整数幂(Ω) ,X 为十进制盘读数(Ω) 。 3.参考位置:仪器使用内附检流计时,面板应保持水平,用外接检流计时可随意。
-1-
基础性实验
惠斯通电桥测量中值电阻
两根。
图-1
QJ23 型直流电阻电桥
图-2
QJ23a 型直流电阻电桥
【实验步骤】
1.检查电桥设置,对于 QJ23a 型直流电阻电桥,将电源 B 的“内-外”拨动开关和检流计 G 的“内-外”拨动开关置于内接方式;对于 QJ23 型直流电阻电桥,打开电源开关,将检流计 G 的 中间接线柱与“外接”接线柱用金属片短路即可。 2.按下电源按纽 B,观察检流计指针是否指零,若不为零,调整检流计上方的调零旋钮使其 指零。 3.估计待测电阻 Rx1 的阻值(根据色环指示,或用万用表粗测) ,先选择好倍率 C 的取值, 然后预置电桥上的倍率转换开关和四个读数盘的读数(保证测量结果有四位有效字) 。 、 “G”按钮,调节 4.将待测电阻接至电桥的待测臂 Rx 上,采用跃按法,既先后按下“B” 读数盘,使检流计指零。 5.先后松开“G” 、 “B”按钮,记录读数。 6.重复步骤 2-5,测量六组数据。 7.用待测电阻 Rx3 替代 Rx1,重复步骤 2-6。 8.将电阻箱(置于 2000Ω 档)接入待测臂 Rx 处,调整倍率和读数盘使电桥平衡,检流计 指零,记录 Rx 的值。取 Rx 的改变量△Rx 分别为 2Ω、4Ω、6Ω、8Ω、10Ω,分别记录检流计 的偏转格数△n。 9.恢复仪器,整理实验器材、场地。

杨氏模量

杨氏模量

【注意事项】
(1)加减砝码时要轻拿轻放,避免使码钩晃动。 (2)同一荷重下的两个读数要记在一起。增重与减重对应同一荷重下读数的平均值才是对应 荷重下的最佳值,它消除了摩擦(圆柱体与圆孔之间的摩擦)与滞后(加减砝码时钢丝伸长与缩短滞 后)等系统误差。
【思考题】
(1)两根材料相同,粗细、长度不同的钢丝,在相同的加载条件下,它们的伸长量是否一样? 杨氏模量是否相同? (2)有一个约 4 cm 长的压电陶瓷双晶片,加直流电压后,一片伸长,另一片收缩。将两片粘 在一起,一端固定,两侧施加几十伏直流电,则活动端将产生几十微米的横向位移,请你设计一
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综合性实验
静态法测量杨氏模量
架上端钢丝上夹头开始到平台夹钢丝的下夹头之间的距离) 。将测量结果填入数据记录表中。 (2)在望远镜中读出加有本底砝码时十字叉丝横线对应的标尺的某一刻度,记为 s 0 ,然后在 此基础上逐个增加砝码,在数据记录表中记下每加一个砝码时十字叉丝横线对应的标尺的刻度
'
s i' ,直到七个砝码加完为止。
1. S 的最佳值及不确定度的计算 (1) . S 的最佳值(用逐差法)
1 1 ; S 2 ( S 5 S1 ) 4 4 1 S4 ( S7 S3 ) ; 4 1 S ( S1 S 2 S 3 S 4 ) 4
S1 ( S 4 S0 )
s( D ) 6
(3). D 平均值的实验标准差: s( D )
(4). 千分尺的的示值极限误差: m 0.004mm (5). 合成不确定度: u( D )
2 2 uB S( D )2 ( uA
m
3
)2
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综合性实验

大学物理实验I指导书(2024秋季普通班)

大学物理实验I指导书(2024秋季普通班)

大学物理实验I指导书(2024秋季普通班)一、教学内容1. 实验原理:介绍测量物体质量、密度和比热容的基本原理,如阿基米德原理、密度的定义以及比热容的计算公式等。

2. 实验步骤:详细说明实验操作的顺序,包括仪器的安装、调节、测量和数据记录等。

3. 实验数据处理:教授如何对实验数据进行处理,包括误差分析、数据拟合等。

4. 实验安全:强调实验过程中需要注意的安全事项,如正确使用仪器、防止实验伤害等。

二、教学目标1. 使学生掌握测量物体质量、密度和比热容的基本原理和方法。

2. 培养学生的实验操作能力,提高实验技能。

3. 培养学生的数据处理能力,使他们能够对实验数据进行合理的分析和处理。

三、教学难点与重点1. 难点:实验数据的处理和分析,包括误差分析、数据拟合等。

2. 重点:实验原理的理解和实验操作的熟练掌握。

四、教具与学具准备1. 教具:计算机、投影仪、实验仪器(如天平、密度计、热源等)。

2. 学具:实验报告册、实验讲义、测量工具(如尺子、量筒等)。

五、教学过程1. 实践情景引入:通过一个简单的实验,使学生了解测量物体质量、密度和比热容的重要性。

2. 讲解实验原理:详细讲解测量物体质量、密度和比热容的基本原理。

3. 演示实验操作:教师演示实验操作步骤,学生跟随操作。

4. 数据处理与分析:教授如何对实验数据进行处理和分析,包括误差分析、数据拟合等。

5. 实验安全讲解:强调实验过程中需要注意的安全事项。

6. 随堂练习:学生进行实验操作,教师巡回指导。

7. 例题讲解:通过例题,使学生掌握实验数据的处理方法。

六、板书设计1. 实验原理:阿基米德原理、密度的定义、比热容的计算公式。

2. 实验步骤:仪器的安装、调节、测量和数据记录。

3. 数据处理:误差分析、数据拟合。

4. 实验安全:正确使用仪器、防止实验伤害。

七、作业设计1. 题目:测量物体质量、密度和比热容的实验报告。

答案:详见实验报告。

2. 题目:根据实验数据,进行误差分析和数据拟合。

大学物理实验_教案下载

大学物理实验_教案下载

课程名称:大学物理实验授课对象:大学物理专业学生教学目标:1. 理解实验的基本原理和方法,掌握实验的基本操作技能。

2. 培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力。

3. 增强学生的科学素养和实验技能,为今后的科研工作打下基础。

教学重点:1. 实验原理的理解和掌握。

2. 实验操作技能的培养。

3. 实验数据的处理和分析。

教学难点:1. 复杂实验原理的理解。

2. 实验误差的分析和处理。

教学过程:一、导入1. 介绍实验的目的和意义。

2. 强调实验操作规范和安全注意事项。

二、实验原理讲解1. 详细讲解本次实验的原理和操作步骤。

2. 分析实验中可能出现的误差和影响因素。

三、实验操作示范1. 教师现场演示实验操作,包括仪器的组装、调整和操作方法。

2. 强调操作中的关键步骤和注意事项。

四、学生分组实验1. 学生分组进行实验,每组由一名组长负责。

2. 组长组织组员按照实验步骤进行操作,教师巡回指导。

五、实验数据处理与分析1. 教师讲解实验数据的记录和处理方法。

2. 学生对实验数据进行整理和分析,得出实验结果。

六、实验报告撰写1. 教师讲解实验报告的撰写格式和内容。

2. 学生根据实验结果撰写实验报告。

七、总结与讨论1. 教师总结本次实验的收获和不足。

2. 学生讨论实验过程中遇到的问题和解决方法。

教学资源:1. 实验指导书2. 实验原理课件3. 实验数据记录表4. 实验报告模板教学评价:1. 实验操作技能:考察学生在实验过程中的操作规范和熟练程度。

2. 实验数据处理与分析:考察学生对实验数据的处理能力和分析能力。

3. 实验报告:考察学生撰写实验报告的能力。

课后作业:1. 复习本次实验的原理和操作步骤。

2. 完成实验报告的撰写。

教学时间安排:1. 导入:5分钟2. 实验原理讲解:10分钟3. 实验操作示范:15分钟4. 学生分组实验:60分钟5. 实验数据处理与分析:15分钟6. 实验报告撰写:15分钟7. 总结与讨论:10分钟教学总结:本次大学物理实验课程旨在让学生掌握实验的基本原理和操作技能,提高学生的科学素养和实验能力。

大学物理实验指导书(电子版)

大学物理实验指导书(电子版)

大学物理实验指导书(电子版)上海海运学院2010.05目录绪论┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3 实验数据的处理方法┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7实验一.长度的测量┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9实验二.测量钢丝杨氏模量┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11实验三.扭摆法测定物体转动惯量┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13实验四.空气比热容比测定实验┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅17实验五.线膨胀系数测定┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 18实验六.常用电学仪器的使用┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅- 19实验七.惠斯登电桥测电阻┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 22实验八.电位差计测电动势┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 24实验九.电表改装┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅26实验十.示波器的使用┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅28实验十一.等厚干涉的应用┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 31实验十二.用光栅测定光波的波长┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅33实验十三.旋转液体物体特性测量┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅34实验十四.波尔共振┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅36实验十五.用梁的弯曲测量材料的杨氏模量┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅38实验十六.仿真实验—偏振光的研究┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅39实验十七.光纤传输技术┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅42实验十八.激光全息照相┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅44实验十九.迈克尔逊干涉仪的应用┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅46实验二十.光拍法测量光速┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅49实验二十一.光电效应┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅52实验二十二.霍尔效应及其应用┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅55实验二十三.荷质比实验┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅58实验二十四.金属电子逸出功实验┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅62实验二十五.声速测量┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅66实验二十六.夫兰克赫兹实验┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅69实验二十七.密立根油滴实验┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅73实验二十八.多量程直流电表的设计┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅77绪论早在五十年代,我国物学家钱三强就指出:今天的科学技术发展可以概括为“科学技术化和技术的科学化”,也就是说:科学和技术关系越来越密切,科学与技术相互渗透。

数学物理方程学习指导书第4章 分离变量法

数学物理方程学习指导书第4章  分离变量法

第4章 分离变量法物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题,上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题,也就是说在已经列出的方程与定解条件之后,怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.从微积分学得知,在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似,求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题,分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件(当然也包括第二类边界条件).在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题,本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.4.1 有界弦的自由振动为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件,我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例,通过具体地求解逐步回答这些问题.根据第3章所得的结论,讨论两端固定的弦的自由振动,就归结为求解下列定解问题22222000,0,0; (4.1)0,0;(4.2)(),().(4.3)x x l t t uu a x l t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩这个定解问题的特点是:偏微分方程是线性齐次的,边界条件也是齐次的,求解这样的问题,可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时,是先求出足够多个特解(它们能构成通解),再利用叠加原理作这些特解的线性组合,使满足初始条件.这就启发我们,要解问题(4.1),(4.2),(4.3),先寻求齐次方程(4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式(变量被分离的形式)的特解,再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式(,)()()u x t X x T t =的非零解,并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中(),()X x T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数. 由(,)()()u x t X x T t =得2222''()(),()''(),u uX x T t X x T t x t∂∂==∂∂代入方程(4.1)得2()()()()X x T t a X x T t ''''=或2()()()()X x T t X x a T t ''''=这个式子左端仅是x 的函数,右端仅是t 的函数,一般情况下二者不可能相等,只有当它们均为常数时才能相等.令此常数为λ,则有2()()()()X x T t X x a T t λ''''==. 这样我们得到两个常微分方程:2()()0,T t a T t λ''-= (4.4)()()0.X x X x λ''-= (4.5)再利用边界条件(4.2),由于(,)()()u x t X x T t =),故有(0)()0,()()0.X T t X l T t ==但()0T t ≠,因为如果()0T t ≡,则(,)0u x t ≡,这种解显然不是我们所要求的,所以(0)0,()0.X X l == (4.6)因此,要求方程(4.1)满足条件(4.2)的分离变量形式的解,就先要从方程''()()0,(0)()0X x X x X X l λ-=⎧⎨==⎩中解出()X x .现在我们就来求非零解()X x ,但要求出()X x 并不是一个简单的问题,因为方程(4.5)中含有一个待定常数λ,所以我们的任务既要确定λ取何值时方程(4.5)才有满足条件(4.6)的非零解,又要求出这个非零数()X x .这种常微分方程问题称为固有值问题,λ称为特征值(固有值,本征值),函数()X x 称为特征函数(固有函数,本征函数).下面根据第1章所介绍的方法,我们对λ分三种情况来讨论.1°λ>0,此时方程(4.5)的通解为().X x Be =+-由条件(4.6)得0A B +=,0.Be +=解出,A B 得0A B ==,即()0X x ≡,不符合非零解的要求,因此λ不能大于零.2°设λ=0,此时方程(4.5)的通解为()X x Ax B =+,由条件(4.6)还是得0A B ==,所以λ也不能等于零.3°设λ<0,并令ββλ,2-=为非零实数.此时方程(4.5)的通解为()cos sin ,X x A x B x ββ=+由条件(4.6)得0,A = Bsin 0.l β=由于B 不能为零(否则()0X x ≡),所以sin 0,l β=即),,3,2,1(. ==n ln πβ(n 为负整数可以不必考虑,因为例如21,sin n B x l π-=-实际上还是2sin B x lπ'的形式)从而222,n lπλ=- (4.7)这样,我们就求出了一系列固有值及相应的固有函数:222.(1,2,3,),n n n lπλ=-=()sin(1,2,3,),n n n X x B x n lπ== (4.8)限定了λ的值后,现在再来求函数()T t ,以(4.7)式中的λ值代入方程(4.4)中得2222()()0,n a n T t T t lπ''+= 显然,其通解为''()cossin (1,2,3,).n n n n at n at T t C D n l lππ=+= (4.9)于是由(4.8),(4.9)得到满足方程(4.1)及边界条件(4.2)的一组变量被分离的特解(,)cos sin sin(1,2,3,),n n n n at n at n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(4.10)其中,n n n n n n C B C D B D ''==是任意常数,至此,我们的第一步工作已经完成了,求出了既满足方程(4.1)又满足边界条件(4.2)的无穷多个特解.为了求原定解问题的解,还需要满足条件(4.3).由(4.10)式所确定的一组函数虽然已经满足方程(4.1)及条件(4.2),但不一定满足初始条件(4.3).为了求出原问题的解,首先我们将(4.10)中所有函数(,)n u x t 叠加起来1(,)(,)n n u x t u x t ∞==∑1c o s s i n s i n ,n nn n a n a n C t D x l l lπππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ (4.11) 如果(4.11)右端的无穷级数是收敛的,而且关于,x t 都能逐项微分两次,则它的和(,)u x t 也满足方程(4.1)和条件(4.2)(参考习题三第6题).现在我们要适当选择,n n C D ,使函数(,)u x t 也满足初始条件(4.3),为此必须有01(,)(,0)sin(),n t n n u x t u x C x x lπϕ∞=====∑ 10sin (),n n t u n a n D x x t l lππψ∞==∂==∂∑ 因为(),()x x ϕψ是定义在[0,]l 上的函数,所在只要选取n C 为()x ϕ的傅氏正弦级数展开式的系数,n n aD lπ为()x ψ的傅氏正弦级数展开式的系数,也就是 002()sin ,2()sin .l n l nn C x xdx l ln D x xdx n a l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ (4.12) 初始条件(4.3)就能满足,以(4.12)所确定的,n n C D 代入(4.11)式,即得原定解解问题的解.当然,如上所述,要使(4.11)式所确定的函数u(x,t)确定是问题(4.1),(4.2),(2.3)的解,除了其中的系数,n n C D 必须由(4.12)确定以外,还要求只要对函数()x ϕ及()x ψ加一些条件就能满足,可以证明(参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》第二章§1),如果()x ϕ三次连续可微,)(x ψ二次连续可微,且(0)()(0)()(0)()0l l l ϕϕϕϕψψ''''======,则问题(4.1),(4.2),(4.3)的解存在.并且这个解可以用(4.11)给出,其中,n n C D 由(4.12)式确定*).从上面的运算过程可以看出,用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数与运用叠加原理,这些运算之所以能够进行,就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的,这一点希望读者一定要注意.例1 设有一根长为10个单位的弦,两端固定,初速为零,初位移为1000)10()(x x x -=ϕ,求弦作微小横向振动时的位移.解 设位移函数为(,)u x t ,它是下列定解解问题2222201000,010,0;0,0;(10),01000x x l t uu a x t t x u u x x u u t ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪-∂⎪==⎪∂⎩的解,这时10l =,并给定210000a =(这个数字与弦的材料、张力有关).显然,这个问题的傅氏级数形式解可由(4.11)给出,其系数按(4.12)式为10033330,1(10)sin 5000102(1cos )50,4,5n n D n C x x xdx n n n n n ππππ==-=-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰当为偶数 当为奇数 因此,所求的解为33041(21)(,)sin cos10(21).5(21)10n n u x t x n t n πππ∞=+=++∑ 为了加深理解,下面我们扼要地分析一下级数形式解(4.11)的物理意义,先分析一下级数中每一项(,)cos sin sin n n n a n a n u x t C t D t x l l l πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*)这里所讲的结论经适当修改即可用于下面几节将要讨论的定解问题,所以,本书中凡是用分离变量法求解的定解问题都假定它的定解条件具备一定的条件,保证定解问题的解可以表示成级数的形式,或者说可以运用叠加原理.的物理意义,分析的方法是:先固定时间t ,看看在任一指定时刻波是什么形状;再固定弦上一点,看看该点的振动规律.把括号内的式子改变一下形式,可得(,)cos()sin,n n n n u x t A t x lπωθ=-其中,.n n n n nD n aA arctg l C πωθ=== 当时间t 取定值0t 时,得(,)sin,n n u x t A x lπ'= 其中0cos()n n n n A A t ωθ'=-是一个定值,这表示在任一时刻,波0(,)n u x t 的形状都是一些正弦曲线,只是它的振幅随着时间的改变而改变.当弦上点的横坐标x 取定值0x 时,得0(,)cos(),n n n n u x t B t ωθ=-其中0sinn n n B A x l π=是一个定值.这说明弦上以0x 为横坐标的点作简谐振动,其振幅为n B ,角频率为n ω,初位相为n θ.若x 取另外一个定值时,情况也一样,只是振幅n B 不同罢了,所以(,)n u x t 表示这样一个振动波:在考察的弦上各点以同样的角频率n ω作简谐振动,各点处的初位相也相同,而各点的振幅则随点的位置改变而改变;此振动波在任一时刻的图形是一正弦曲线.这种振动波还有一个特点,即在[0,]l 范围内还有1n +个点(包括两个端点)永远保持不动,这是因为在(0,1,2,,)m mlx m n n==那些点上,sinsin 0mn x m l ππ==的缘故,这些点在物理上称为节点.这就说明(,)n u x t 的振动是在[0,]l 上的分段振动,其中有1n +个节点,人们把这种包含节点的振动波叫做驻波.另外驻波还在n 个点处振幅达到最大值(读者可自己讨论),这种使振幅达到最大值的点叫做波腹.图4-1画出了在某一时刻1,2,3n =的驻波形状.综合上述,可知(,),(1,2,3,)n u x t n =是一系列驻波,它们的频率、位相与振幅图4-1都随n 不同而不同,因此我们可以说,一维波动方程用分离变量法解出的结果(,)u x t )是由一系列驻波叠加而成的,而每一个驻波的波形由固有函数确定,它的频率由固有值确定.这完全符合实际情况,因为人们在考察弦的振动时,就发现许多驻波,它们的叠加又可以构成各种各样的波形,因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解.这就是分离变量法的物理背景.所以分离变量法也称为驻波法.4.2 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆,长为l ,两端点的坐标为0x =与x l =,杆的侧面是绝热的,且在端点0x =处温度是零度,而在另一端x l =处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去(参考第3章1.2中第三类边界条件),已知初始温度分布为().x ϕ求杆上的温度变化规律,也就是要考虑下列定解问题:222,0,0; 2.13(,)(0,)0,(,)0;(2.14)(,0)().(2.15)u u a x l t t x u l t u t hu l t x u x x ϕ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪=⎪⎪⎩()我们仍用分离变量法来解这个问题,首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解.设(,)()()u x t X x T t =, 2()().()()T t X x a T t X x '''=上式左端不含有x ,右端不含有t ,所以只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为2β-,(读者可以从方程()(),X x X x λ''=结合边界条件按λ取值的三种不同情况像4.1那样讨论后得出),则有22()(),()()T t X x a T t X x β'''==- 从而得到两个线性常数微分方程222()()0,()()0.T t a T t X x X x ββ'+=''+= (4.16)解后一个方程得()cos sin ,X x A x B x ββ=+由边界条件(4.14)可知(0)0,'()()0.X X l hX l =+=从(0)0X =得 0A =,从()()0.X l hX l '+=得cos sin 0.l h l βββ+= (4.17)为了求出β,方程(4.17)可改写成tg a γγ=, (4.18)其中1,.l a hlγβ==-方程(4.18)的根可以看作是曲线1y tg γ=与直线2y a γ=交点的横坐标(图4-1),显然它们的交点有无穷多个,于是方程(4.18)有无穷多个根,由这些根可以确定出固有值β.设方程(4.18)的无穷多个正根(不取负根是因为负根与正根只差一个符号(图4-2),再根据4.1中所述的同样理由)为123,,,,,n γγγγ于是得到无穷多个固有值图4-21212,,,,nn lllγγγβββ===及相应的固有函数()sin .n n n X x B x β= (4.19)再由(4.16)中第一个方程解得22().n a tn n T t A eβ-= (4.20)由(4.19),(4.20)两式,我们得到方程(4.13)满足边界条件(4.14)的一组特解22(,)()()sin (1,2,3,),n a tn n n n n u x t X x T t C ex n ββ-=== (4.21)其中 .n n n C A B =由于方程(4.13)与边界条件(4.14)都是齐次的,所以2211(,)(,)sin n a t n n n n n u x t u x t C e x ββ∞∞-====∑∑ (4.22)仍满足方程与边界条件,最后考虑(,)u x t 是否能满足初始条件(4.15),从(4.22)式得1(,0)sin .n n n u x C x β∞==∑现在希望它等于已知函数()x ϕ,那么首先要问[0,]l 上定义的函数()x ϕ是否能展开为1sin nn n Cx β∞=∑级数形式,其次要问系数n C 如何确定,关于前者,只要()x ϕ在[0,]l 上满足狄氏条件就可以了,现在主要谈求系数的问题.回忆傅氏系数公式的得来是根据函数系的正交性,所以现在也要考察函数系{}sin n x β在[0,]l 上的正交性,可以证明(参阅§5.3关于固有函数正交性的证明方法)sin sin 0,.lm n x xdx m n ββ=≠⎰令 20sin ,ln n L xdx β=⎰于是把1()sin n n n x C x ϕβ∞==∑ (4.23)的两端乘上sin k x β,然后在[0,l ]上积分得()sin lkk k x xdx L C φβ=⎰即 01()sin .Lk k kC x xdx L φβ=⎰(4.24)把(4.24)代入(4.22)式即得原定解问题的解.通过上面两节的讨论,我们对分离变量法已经有了一个初步的了解,它的主要步骤大体为:一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题,这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的.二、确定固有值与固有函数.由于固有函数是要经过叠加的,所以用来确定固有函数的方程与条件,当函数经过叠加之后仍旧要满足,当边界条件是齐次时,求固有函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解.三、定出固有值、固有函数后,再解其他的常微分方程,把得到的解与固有函数乘起来成为(,)n u x t ,这时(,)n u x t 中还包含着任意常数.四、最后为了使解满足其余的定解条件,需要把所有的(,)n u x t 叠加起来成为级数形式,这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定,在这最后的一步工作中,需要把已知函数展开为固有函数项的级数,所以,必须考虑固有函数的正交性.由本节的例子还可以看出,用分离变量法求解第三类边界条件(第二类边界条件也一样)的定解问题时,只要边界条件都是齐次的,其过程与解第一类边界条件的定解问题是相同的,但在确定固有值时,一般说来是比较复杂的.4.3 圆城内的二维拉普拉斯方程的定解问题一个半径为0ρ的薄圆盘,上下两面绝热,圆周边缘温度分布为已知,求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布.在第3章讲过,热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关,应满足拉普拉斯方程20.u ∇=因为边界形状是个圆周,它在极坐标下的方程为0ρρ=,所以在极坐标系下边界条件可表为(),u f ρρθ==既然边界条件使用了极坐标系,所以我们将方程也采用极坐标的形式,于是有220220110,;(4.25)(,)().(4.26)u uu u f ρρρρρρρθρθθ⎧⎛⎫∂∂∂∇=+=<⎪ ⎪∂∂∂⎨⎝⎭⎪=⎩此外,因为自变量,ρθ的取值范围分别是[0,0ρ]与[0,2]π,圆盘中心点的温度决不可能是无穷的,并且(,ρθ)与(,2ρθπ+)实际上表示同一点,温度应该相同,即应该有lim u ρ→<+∞ (4.27)(,)(,2).u u ρθρθπ=+ (4.28)现在来求满足方程(4.25 )及条件(4.26),(4.27),(4.28)的解.先令(,)()(),u R ρθρθ=Φ代入方程(4.25)得2110R R R ρρ'''''Φ+Φ+Φ=即2,R R Rρρ'''''+Φ=-Φ令比值为常数λ即得两个常微分方程0,λ''Φ+Φ=20.R R R ρρλ'''+-=再由条件(4.27)及(4.28)可得(0),R <∞(2)().θπθΦ+=Φ (4.29)这样一来,我们得到了两个常微分方程的定解问题0,(2)().λθπθ''Φ+Φ=⎧⎨Φ+=Φ⎩(4.30) 与20,(0).R R R R ρρλ'''⎧+-=⎨<∞⎩ (4.31) 先解哪能一个呢?要看哪一个可以定出固有值,由于条件(4.29)满足可加性(即所有满足(4.29)的函数叠加起来仍旧满足(4.29),所以只能先解问题(4.30).采用与4.1中同样的方法可以得到 当0λ<时,问题(4.30)无解;当0λ=时,它的解为00()a θ'Φ=(常数);当0λ>时,它的解为0(),n n a b θ''Φ=+且λ必须是整数n ,取1,2,3,n =(只取正整数的理由与4.1相同),则0()cos sin .n n a n b n θθθ''Φ=+至此,我们已经定出了固有值与固有函数,接下去是解问题(4.31),其中的方程是欧拉(Euler)方程,它的通解为000ln ,R c d ρ=+当λ=0;,n n n n n R c d ρρ-=+ 当2(1,2,3,).n n λ==为了保证(0)R <∞,只有0n d = (0,1,2,),n =即 0(0,1,2,)nn R c n ρ==,因此利用叠加原理,方程(4.25)满足条件(4.27),(4.28)的解可以表示为级数01(,)(cos sin )2nn n n n a u a n b ρθρθθ∞==++∑ (2.32)此式中的2a 就是00;,n n a c ab '分别是.n n n n ac b c '',最后为了确定系数,n n a b ,我们利用边界条件(4.26)得001()(cos sin )2nn n n n a f a n b θρθθ∞==++∑, (4.33)因此,000,,nnn n a a b ρρ就是()f θ展开为傅氏级数时的系数,即有2002002001(),1()cos ,1()sin .n n n n a f d a f n d b f n d πππθθπθθθρπθθθρπ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩⎰⎰⎰ (4.34) 将这些系数代入(4.32)式即得所求的解.为了以后应用起来方便,我们还可以将解(4.32)写成另一种形式.为此,将(4.34)式所确定的系数代入(4.32)式经过简化后可得201011(,)()cos ().2n n u f t n t dt πρρθθπρ∞=⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑⎰(4.35)利用下面已知的恒等式221111cos ()2212cos()n n k k n t k t k θθ∞=-+-=--+∑*)(1),k <*)这个恒等式的证明如下:[]∑∑∞=∞=---++=-+11)()(2121)(cos 21n n t in t in n n e e k t n k θθθ [][]∑∑∞=∞=---++=11)()(212121n n nt i n t i ke ke θθ)()()((1211)2121t i t i t i t i ke ke ke ke -------+-+=θθθθ(|K|<1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-----+-----+-+=)sin()cos(1)sin()cos()sin()cos(1)sin()cos(121t ik t k t ik t k t ik t k t ik t k θθθθθθθθ可将解(,)u ρθ(4.35)表达为()2220022001(,)(),.22cos()u f t dt t πρρρθρρπρρρρθ-=<+--⎰(4.36) 公式(4.36)称为圆域上的泊松公式,它的作用在于把解写成了积分形式,这样便于作理论上的研究.4.4 有界弦的强迫振动前面所讨论的偏微分方程都限于齐次的,现在要讨论非齐次方程的解法,为方便起见,以弦的强迫振动为例,所用的方法对其他类型的方程也适用.我们研究的问题是一根弦在两端固定的情况下,受强迫力作用所产生的振动现象.即要考虑下列定解问题22222000(,),0,0;(2.37)0;(2.38)(),().(2.39)x x l t t uu a f x t x l t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩在现在的情况,弦的振动是由两部分干扰引起的,一是强迫力,一是初始状态,所以由物理意义可知,此时振动可以分解为仅由强近力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.由此得到启发,我们可设解为(,)(,)(,),U x t V x t W x t =+ (4.40)其中(,)V x t 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它满足22222000(,),0,0;0;(2.41)0.x x l t t VV a f x t x l t t x V V u V t ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩而(,)W x t 表示仅由初始状态引起弦振动的位移,它满足.)cos(21121)cos(212)cos(21212222kt k k k t k k t k +---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----+=θθθ22222000,0,0;0;(2.42)(),().x x l t t WW a x l t t x W W W W x x t φψ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩读者不难验证,若V 是(4.41)的解,W 是(4.42)的解,则U V W =+一定就是原定解问题的解.问题(4.42)可直接用分离变量法求解,因此现在的问题只要讨论如何解问题(4.41)就行了.关于问题(4.41),我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程中所常用的参数变易法,并保持如下的设想,即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加,而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定,这就是说,我们假设(4.41)的解具有如下的形式1(,)()sin,n n n V x t v t x lπ∞==∑ (4.43) 其中()n v t 是待定的函数,为了确定()n v t ,将自由项(,)f x t 展成的傅氏正弦级数,即1(,)()sin,n n n f x t f t x lπ∞==∑ (4.44) 其中 02()(,)sin .l n n f t f x t xdx l lπ=⎰ 将(4.43)及(4.44)代入(4.41)的第一个式了,得到222''21()()()sin 0,n n n n a n n v t v t f t x l l ππ∞=⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦∑ (4.45) 由此可见得222''2()()().nn n a n v t v t f t lπ+= 再将(4.41)中的初始条件代入(4.43)得'(0)0,(0)0.n n v v ==这样一来,确定函数()n v t 只需解下列定解问题:2222()()()(0)0,(0)0n n n nn a n v t v t f t l v v π⎧''+=⎪⎨⎪'==⎩ 1,2,n =. (4.46) 用拉氏变换法解出(4.46),得到()()()sintn n ln a t v t f d n a lπτττπ-=⎰*),*)在方程(4.46)的两端取关于t 的拉氏变换,得所以,01()(,)()sin sin .t n n ln a t n v x t f d x n a l l πτπττπ∞=-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰ 将这个解与问题(4.42)的解加起来,就得到原定解问题(4.37),(4.38),(4.39)的解.这里所给的求解问题(4.41)的方法,其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族固有函数展开.随着方程与边界条件的不同,固有函数族也就不同,但总是把非齐次方程的解按相应的固有函数展开.所以这种方法也叫固有函数法.4.5 非齐次边界条件的处理前面所讨论的定解问题的解法,不论方程是齐次的还是非齐次的,边界条件都是齐次的.如果遇到非齐次边界条件的情况,应该如何处理?总的原则是设法将边界条件化成齐次的.具体地说,就是取一个适当的未知函数之间的代换,使对新的未知函数,边界条件是齐次的.现在以下列定解问题为例,说明选取代换的方法.设有定解问题2222212000(,),0,0;(4.47)(),();(4.48)(),().(4.x x l t t uu a f x t x l t t x u u t u u t u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩49)我们设法作一代换将边界条件化为齐次的,为此令(,)(,)(,).u x t V x t W x t =+ (4.50) 选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件为齐次的,即0,0x x lVV==== (4.51)120(),()x x lWu t Wu t ==== (4.52)也就是说,只要所选取的W 满足(4.52)就能达到我们的目的.而满足(4.52)的函数是容易找到的,例如取W 为x 的一次式,即设(,)()(),W x t A t x B t =+ 用条件(4.52)确定(),()A t B t 得2111()()(),()()A t u t u t B t u t l=-=⎡⎤⎣⎦.),()()(22222p F p U ln a p U p n n n =+π 其中U n (p),F n (p)分别为v n (t)与f n (t)的拉氏变换,解出),(1)(22222p F l n a p p U nn π+= 由于222221l n a p π+的逆拉氏变换为lat n an l ππsin,利用拉氏变换的卷积性质,即得v n (t).显然,函数211()()(,)()u t u t W x t u t x l-=+就满足(4.52)式,因而只要作代换211,u u u V u x l -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦(4.53)就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.经过这个代换后,得到V 的定解问题为22212201100(,),0,0;0,0;(2.54)(),(),x x l t t VV a f x t x l t t x V V V V x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩其中211121112111()()(,)(,)();(0)(0)()()(0);(0)(0)()()(0).u t u t f x t f x t u t x l u u x x u x l u u x x u x l ϕϕψψ⎧⎡⎤''''-''⎪=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪-⎡⎤⎪=-+⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤''-⎪'=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩(4.55)问题(4.54)可用上一节的方法解出,将(4.54)的解代入(4.53)即是原问题的解.上面由(4.52)式定(,)W x t 时,取(,)W x t 为x 的一次式是为了使(4.55)中几个式子简单一些,并且(,)W x t 也容易定,但若12,,f u u 都与t 无关,则可适当的选择()W x (也与t 无关),使(,)V x t 的方程与边界条件同时都化成齐次的,这样做就可以省掉下面对(,)V x t 要进行解非齐次方程的繁重工作.这种()W x 究竟怎么找,将在后面的例题中说明.若边界条件不全是第一类的,本节的方法仍然适用,不同的只是函数(,)W x t 的形式,读者可就下列几种边界条件的情况写出相应的(,)W x t 来:1201201201(),();2(),();3(),().x x lx l x x x lu u u t u t xuu t u u t x u u u t u t xx======∂==∂∂==∂∂∂==∂∂ 以上各节我们说明了如何用分离变量法来解定解问题,为便于读者掌握此方法,现将解定解问题的主要步骤简略小结如下:一、根据边界的形状选取适当的坐标系,选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便,圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便.二、若边界条件是非齐次的,又没有其他条件可以用来定固有函数,则不论方程是否为齐次,必须先作代换使化为具有齐次边界条件的问题,然后再求解.三、非齐次方程、齐次边界条件的定解问题(不论初始条件如何)可以分为两个定解问题,其一是具有原来初始条件的齐次方程,其二是具有齐次定解条件的非齐次方程.第一个问题用分离变量法求解,第二个问题按固有函数法求解.在结束本章之前,我们再举两个综合性的例子,目的是帮助读者掌握分离变量法的全过程.例2 求下列定解问题5)22222000,0,0;(2.56)0,;(2.57)0(2.8x x l t t uu a A x l t tx u u B u u t ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩的解,其中,A B 均为常数.解 这个定解问题的特点是:方程及边界条件都是非齐次的.根据上述原则,首先应将边界条件化成齐次的,由于方程(2.56)的自由项及边界条件都与t 无关,所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的,具体做法如下: 令 (,)(,)(),u x t V x t W x =+ 代入方程(4.56)得22222''().V V a W x A t x ⎡⎤∂∂=++⎢⎥∂∂⎣⎦为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的,选()W x 满足⎪⎩⎪⎨⎧===+==BW W A x W a l x X ,0,0)(''02(4.59) (4.59)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题,它的解可以通过两次积分求得222().22A Al B W x x x a al ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 求出函数()W x 之后,再由(4.58)可知函数(,)V x t 为下列定解问题的解.22222000,0,0;(4.60)00;(4.61)(),0.(4.62)x x l t t VV a x l t tx V V V V W x t ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=-=⎪∂⎩采用分离变量法,令(,)()()V x t X x T t =,代入(4.60)得2,XT a X T ''''=或22.X T X a Tβ''''==- 由此得到2220,(4.63)0.(4.64)X X T a T ββ''+=''+=由(4.63)及(4.61)可以确定固有值与固有函数为2222.n l πβ=()sin .n n X x x lπ=再由(4.64)得()cossin ,n n n n a n aT t C t D t l lππ=+ 利用(4.62)中第二个条件可得0n D =.于是定解问题(4.60),(4.61),(4.62)的解可表示为1(,)cossin .n n n a n V x t C t x l lππ∞==∑ 代入(4.62)中第一个条件得1()sin,n n n W x C x lπ∞=-=∑ 即2221sin .22nn A Al B n x x C x a a l l π∞=⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∑ 由傅氏级数的系数公式可得22202sin .22l n A Al B n C x x xdx l a a l l π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 2222002sinsin llAn A B n x xdx x xdx a ll a l l ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰2223322222cos Al Al B n a n n a n ππππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭(4.65)因此,原定解解问题的解为2221(,)cos sin ,22n n A Al B n a n u x t x x C t x a a l l l ππ∞=⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭∑其中n C 由(4.65)确定. 例3在环形域a b ≤内求解下列定解问题22222212();0,0.a b u u x y x y ⎧∂∂+=-⎪∂∂⎪⎨⎪==⎪⎩解 由于求解区域是环形区域,所以我们选用平面极坐标系,利用直角坐标与极坐标系之间的关系cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 可将上述定解问题用极坐标,ρθ表示出来22211()122cos 2,;(4.66)0,0.(4.67)a b u ua b u u ρρρρθρρρρρθρ==⎧∂∂∂+=<<⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题,采用4.4所述的固有函数法,并注意在4.3中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的固有函数,可令问题(4.66),(4.67)的解为(,)()cos ()sin ,n n n u A n B n ρθρθρθ∞==+⎡⎤⎣⎦∑代入(4.66)并整理得到22''''''222011()()()cos ()()()sin 12cos ,n n n n n n n n n A A A n B B B n ρρρθρρρθρθρρρρ∞=⎫⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎪+-++-=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎩⎭∑比较两端关于cos ,sin n n θθ的系数可得'''2222214()()()12,A A A ρρρρρρ+-= (4.68)2''''21()()()0(2),nnn n A A A n ρρρρρ+-=≠ (4.69)2'''21()()()0.nnn n B B B ρρρρρ+-= (4.70)再由条件(4.67)得()()0,n n A a B a == (4.71)()()0.n n A b B b ''== (4.72)由(4.69),(4.70),(4.71),(4.72)可知()0(2),()0.n n A n B ρρ≡≠≡下面的任务就是要确定2().A ρ方程(4.68)是一个非齐次的欧拉方程,它的通解为224212(),A C C ρρρρ-=++由条件(4.71),(4.72)确定12,C C 得661442,a b C a b +=+4422244(2).a b a b C a b-=-+ 因此664422224244442(2)(),a b a b a b A a b a bρρρρ-+-=--+++ 原定解问题的解为()66244222444441(,)2(2)()cos 2.u a b a b a b a b a bρθρρρθ-⎡⎤=-++--+⎣⎦+习 题 四1、设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的初始位移如图所示,初速度为零,又没有外力作用,求弦作横向振动时的位移函数(,)u x t .2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程(,0)0,u x =(,0)(),(0,)(,)0.u x x l x tu t u l t ∂=-∂== 3、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程01,0211,1;2t x x u x x =⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩01(1);0.t x x ux x t u u ===∂=-∂== 4、解出习题三中第2题.5、试求适合于下列初始条件及边界条件的一维热传导方程的解00(),0.t x x t u x l x u u ====-==6、解一维热传导方程,其初始条件及边界条件为00,0,0.t x x tu x u u xx====∂∂==∂∂7、一根长为l 的细杆表面绝缘,其初始温度分布如图所示,由0t =开始两端温度保持于零度,求杆上温度分布.8、试解出具有放射衰变的热传导方程2220,xu u a Ae x tα-∂∂-+=∂∂ 已知边界条件为00,0,x x l u u ====初始条件为0t u T ==,T 为常数9、求下列定解问题22200;0;0x x l t u u a A t x u u u ===⎧∂∂=+⎪∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩的解.10、求满足下列定解条件的一维热传导方程的解010,5,x x l u u ==== 0,t u ks k ==为常数11、试确定下列定解问题22200();,;()x x l t u u a f x t x u A u B u g x ===⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩解的一般形式.12、求稳恒状态下,由直线120,,0,x x l y y l ====所围矩形板内各点的温度,假设在10,,0x x l y ===三边上温度保持为零度,2y l =这边上各点温度为(),x ϕ其中1(0)()0.l ϕϕ== 13、一半径为a 的半圆形平板,其圆周边界上的温度保持(,)()u a T θθπθ=-,而直径边界上温度保持为零度,板的侧面绿缘,试求稳恒状态下的温度分布规律(,).u ρθ14、一圆环形平板,内半径为1r ,外半径为2r ,侧面绝缘,如内圆温度保持零度,外圆温度保持1度,试求稳恒状态下的温度分布规律(,).u r θ 15、如何解下列定解问题2222212000();,;(),().x x l t t uu a f x t x u M u M u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩16、在矩形域内求下列定解问题2120120(,);(),();(),().x x a y y b u f x y u y u y u x u x ϕϕψψ====⎧∇=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 的解.17、在扇形区域内求下列定解问题200;0;()a a u u u u f θθρθ===⎧∇=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 的解.18、在矩形域0,0x a y b ≤≤≤≤内求拉普拉斯方程的解,使满足边界的条件:000,;0,0.x x a y y b u u Ay uu y y ====⎧==⎪∂∂⎨==⎪∂∂⎩19、把高频输电线充电到具有电压E ,然后一端短路封闭,另一端仍保持断开,求以后的电压分布.20、求矩形膜振动的位移,即解下列定解问题22222220000;0;0;()(),0.x x a y y b y t u uu a tx y uu u u u u xy x a y b t ======⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪==⎪⎨==⎪⎪∂⎪=--=⎪∂⎩。

大学物理实验报告

大学物理实验报告

大学物理实验指导书云南大学软件学院目录1.课程基本信息 (2)2.课程简介 (2)3.教学目的与基本要求 (2)4.考核方式和成绩评定办法 (3)5.参考文献 (3)6.实验指导 (4)6.1测量及误差分析 (4)6.2质点运动学 (9)6.3质点动力学 (11)6.4静电场 (13)6.5磁场 (18)6.6电量测量.................................. 错误!未定义书签。

6.7波的叠加.................................. 错误!未定义书签。

6.8示波器.................................... 错误!未定义书签。

6.9传感器.................................... 错误!未定义书签。

6.10光的干涉与衍射.......................... 错误!未定义书签。

1. 课程基本信息名称:大学物理实验/College Physics Lab课程性质:学科基础总学时/学分: 32/12. 课程简介本实验课程根据教育部《非物理类理工学科大学物理实验课程教学基本要求》并结合软件学院人才培养目标开展教学。

本实验课程内容包括:•测量误差的基础知识、用计算机处理实验数据的基本方法,以及基本物理量的测量方法,并加强数字化测量技术的应用。

•结合软件学院的专业特点,通过计算机模拟和实际操作掌握误差分析方法、质点运动学、质点动力学、振动与波、电场、磁场、光的干涉与衍射等基本原理。

•学习常用物理实验方法,实验室常用仪器的性能,常用实验操作技术及仪器正确调节,学习简单的计算机模拟。

3. 教学目的与基本要求本实验课培养学生初步掌握实验科学的思想和方法,提高其分析能力和创新能力;培养理论联系实际的科学作风,认真严谨的科学态度,积极主动的探索精神,团结协作的职业素养。

使之加深对物理学基本概念、基本理论的理解,掌握运用物理学基本原理分析和解决问题的科学方法。

光电效应测普朗克常量

光电效应测普朗克常量

实验五、光电效应测普朗克常量普朗克常量是量子力学当中的一个基本常量,它首先由普朗克在研究黑体辐射问题时提出,其值约为s J h ⋅×=−3410626069.6,它可以用光电效应法简单而又较准确地求出。

光电效应是这样一种实验现象,当光照射到金属上时,可能激发出金属中的电子。

激发方式主要表现为以下几个特点:1、光电流与光强成正比2、光电效应存在一个阈值频率(或称截止频率),当入射光的频率低于某一阈值频率时,不论光的强度如何,都没有光电子产生3、光电子的动能与光强无关,与入射光的频率成正比4、光电效应是瞬时效应,一经光线照射,立刻产生光电子(延迟时间不超过910−秒),停止光照,即无光电子产生。

传统的电磁理论无法对这些现象对做出解释。

1905年,爱因斯坦借鉴了普朗克在黑体辐射研究中提出的辐射能量不连续观点,并应用于光辐射,提出了“光量子”概念,建立了光电效应的爱因斯坦方程,从而成功地解释了光电效应的各项基本规律,使人们对光的本性认识有了一个飞跃。

1916年密立根用实验验证了爱因斯坦的上述理论,并精确测量了普朗克常数,证实了爱因斯坦方程。

因光电效应等方面的杰出贡献,爱因斯坦与密立根分别于1921年和1923年获得了诺贝尔奖。

实验目的1、 通过实验理解爱因斯坦的光电子理论,了解光电效应的基本规律;2、 掌握用光电管进行光电效应研究的方法;3、 学习对光电管伏安特性曲线的处理方法、并以测定普朗克常数。

实验仪器GD-3型光电效应实验仪(GDⅣ型光电效应实验仪)图1 光电效应实验仪实验原理1、 光电效应理论:爱因斯坦认为光在传播时其能量是量子化的,其能量的量子称为光子,每个光子的能量正比于其频率,比例系数为普朗克常量,在与金属中的电子相互作用时,只表现为单个光子:h εν= (1)212h mv W ν=+ (2) 上式称为光电效应的爱因斯坦方程,其中的W 为金属对逃逸电子的束缚作用所作的功,对特定种类的金属来说,是常数。

实验指导书(驻波)

实验指导书(驻波)

上海电力学院物理实验指导书所属课程:大学物理实验实验名称:驻波(一)(二)面向专业:全院理工科实验室名称:物理实验室2006年2月驻波(一)一.实验目的:1.观察在弦线上形成的驻波;2.了解弦线振动时驻波波长与弦线所受张力的关系,并利用它来测定电动音叉的频率.二、实验仪器、设备:名称型号、规格备注电动音叉f=103.3Hz滑轮1个弦线μ=2.61×10-3g/cm砝码20g米尺1m劈形木板2个三、实验原理1.驻波:两个振幅相同的相干波,在同一直线上沿相反方向传播时。

叠加后直线上各质点形成稳定的振动状态,称此为驻波。

让相干前进的波与反射波叠加就能形成驻波。

2.在张紧的弦线上观察驻波:一根弦线横跨在音叉的一端A和劈形木块P的刀口B之间,在刀口右面通过滑轮H和砝码m给弦线施加一定的张力。

音叉由电磁策动力维持振幅恒定的振动。

当音叉振动时,在弦线上激起一横波,此波向右行进。

当此波遇到固定点B时又被反射,形成向左行进的反射波,这两个波在弦上相互叠加就形成驻波。

驻波从B开始就被分成几段,每段的两个端点的振幅为零,固定不动,这些点称为波节。

每段中的各质点则同步作上下振动。

两相邻的波节中间的点振幅最大,称为波腹。

相邻两波节(或波腹)之间的距离L等于形成这驻波的相干波波长的一半,即L=λ/2。

当弦线AB段的长度接近半波长的整数倍时,驻波振幅最大而且稳定。

由于B端是固定点,所以B端一定是波节。

3.当改变音叉频率或改变加上弦线的张力F时,就可改变半波长L。

在本实验中,采用改变张力F来改变L。

在弦线上传播的横波的波速u和张力F及弦线的单位长度的质量μ有如下关系:u2=F/μ又u=λf从上两式可知张力F的改变,引起u的变化。

由于音叉频率f不变,所以λ改变。

由上两式得f2=F/(μλ2)所以只要测得F、μ及λ就能求得电动音叉的频率f。

四.实验内容与步骤:1.记下弦线单位长度质量(由实验室给出)。

μ=2.45×10-4kg/m=2.45×10-3g/cm(原悬线值)μ=2.61×10-4kg/m=2.61×10-3g/cm(2001/9/10重测新悬线值)2.在弦线下垂端加砝码140克,记下张力(化为达因)。

不良导体的导热系数

不良导体的导热系数

实验二 稳态法测量不良导体的导热系数导热系数是表征物质热传导性质的物理量。

材料结构的变化与所含杂质的不同对材料导热系数数值都有明显的影响,因此材料的导热系数常常需要由实验去具体测定。

测量导热系数的实验方法一般分为稳态法和动态法两类。

在稳态法中,先利用热源对样品加热,样品内部的温差使热量从高温向低温处传导,样品内部各点的温度将随加热快慢和传热快慢的影响而变动;当适当控制实验条件和实验参数使加热和传热的过程达到平衡状态,则待测样品内部可能形成稳定的温度分布,根据这一温度分布就可以计算出导热系数。

而在动态法中,最终在样品内部所形成的温度分布是随时间变化的,如呈周期性的变化,变化的周期和幅度亦受实验条件和加热快慢的影响,与导热系数的大小有关。

【实验目的】1.学习应用稳态法测量不良导体(橡皮样品)的导热系数。

2.学习用物体散热速率求传导速率的实验方法。

【实验原理】1898年C.H.Lees 首先使用平板法测量不良导体的导热系数,这是一种稳态法,实验中,样品制成平板状,其上端面与一个稳定的均匀发热体充分接触,下端面与一均匀散热体相接触。

由于平板样品的侧面积比平板平面小很多,可以认为热量只沿着上下方向垂直传递,横向由侧面散去的热量可以忽略不计,即可以认为,样品内只有在垂直样品平面的方向上有温度梯度,在同一平面内,各处的温度相同。

设稳态时,样品的上下平面温度分别为1T 、2T ,根据傅立叶传导方程,在t ∆时间内通过样品的热量Q ∆满足下式:12BT T QS t h λ-∆=∆ (1)式中λ为样品的导热系数,B h 为样品的厚度,S 为样品的平面面积,实验中样品为圆盘状,设圆盘样品的直径为B d ,则由(1)式得:2124B BT T Qd t h λπ-∆=∆ (2)实验装置如图-1所示,固定于底座的三个支架上,支撑着一个铜散热盘P ,散热盘P 可以借助底座内的风扇,达到稳定有效的散热。

散热盘上安放面积相同的圆盘样品B ,样品B 上放置一个圆盘状加热盘C ,其面积也与样品B 的面积相同,加热盘C 是由单片机控制的自适应电加热,可以设定加热盘的温度。

《大学物理实验》示波器实验指导书

《大学物理实验》示波器实验指导书

《⼤学物理实验》⽰波器实验指导书⽰波器实验帮助⽂档⼀、实验简介我们常⽤的同步⽰波器是利⽤⽰波管内电⼦束在电场中的偏转,显⽰随时间变化的电信号的⼀种观测仪器。

它不仅可以定性观察电路(或元件)中传输的周期信号,⽽且还可以定量测量各种稳态的电学量,如电压、周期、波形的宽度及上升、下降时间等。

⾃1931年美国研制出第⼀台⽰波器⾄今已有70年,它在各个研究领域都取得了⼴泛的应⽤,根据不同信号的应⽤,⽰波器发展成为多种类型,如慢扫描⽰波器、取样⽰波器、记忆⽰波器等,它们的显像原理是不同的。

已成为科学研究、实验教学、医药卫⽣、电⼯电⼦和仪器仪表等各个研究领域和⾏业最常⽤的仪器。

⼆、实验原理1. ⽰波器的基本结构⽰波器的结构如图1所⽰,由⽰波管(⼜称阴极射线管)、放⼤系统、衰减系统、扫描和同步系统及电源等部分组成。

图1 ⽰波器的结构图为了适应多种量程,对于不同⼤⼩的信号,经衰减器分压后,得到⼤⼩相同的信号,经过放⼤器后产⽣⼤约20V左右电压送⾄⽰波管的偏转板。

⽰波管是⽰波器的基本构件,它由电⼦枪、偏转板和荧光屏三部分组成,被封装在⾼真空的玻璃管内,结构如图2所⽰。

电⼦枪是⽰波管的核⼼部分,由阴极、栅极和阳极组成。

图2 ⽰波管的结构(1)阴极――阴极射线源:由灯丝(F)和阴极(K)构成,阴极表⾯涂有脱出功较低的钡、锶氧化物。

灯丝通电后,阴极被加热,⼤量的电⼦从阴极表⾯逸出,在真空中⾃由运动从⽽实现电⼦发射。

(2)栅极――辉度控制:由第⼀栅极G1( ⼜称控制极)和第⼆栅极G2(⼜称加速极)构成。

栅极是由⼀个顶部有⼩孔的⾦属圆筒,它的电极低于阴极,具有反推电⼦作⽤,只有少量的电⼦能通过栅极。

调节栅极电压可控制通过栅极的电⼦束强弱,从⽽实现辉度调节。

在G1的控制下,只有少量电⼦通过栅极,G2与A2相连,所加相位⽐A1⾼,G2的正电位对阴极发射的电⼦奔向荧光屏起加速作⽤。

(3) 第⼀阳极――聚焦:第⼀阳极(A1)程圆柱形(或圆形),有好⼏个间壁,第⼀阳极上加有⼏百伏的电压,形成⼀个聚焦的电场。

万用表实验指导书

万用表实验指导书

上海电力学院物理实验指导书所属课程:大学物理实验实验名称:万用表的使用面向专业:全院理工科实验室名称:物理实验室2006年2 月一、实验目的:1、了解万用表的结构和原理;2、学习万用表的基本使用方法,测量电压和电阻;3、利用万用表判断二极管的好坏和极性。

二、实验器材MF-30型万用表、电阻箱、(电池+电阻+二极管)盒、直流稳压电源、导线三、实验原理:万用表是集电压表、电流表和欧姆表于一体的仪器。

它主要由表头、测量线路和转换开关三部分组成。

表头通常采用磁电系测量机构,它的满刻度偏转电流一般为几个微安到几百个微安,所以灵敏度较高。

由于各种测量公用一个表头,因而在表盘上有相应的多条标度尺,通过指针可以读出测量的数值。

万用表的测量线路由多量程的直流电压、电流表、多量程的交流电压表和欧姆表等多种线路组合而成。

它的作用是把各种被测量分别转换成适合表头测量的直流电流。

万用表的转换开关是根据不同的测量对象选择适当的档位,切换到相应的测量线路上去。

在转换开关的面板上,标有测量种类和刻度,表明各被测量的档位及其量限。

四、万用表的使用方法和注意事项。

1、表笔的正确使用万用表的红色表笔插入“+”号插孔内,黑色表笔插入“—”号插孔内。

测量时两手不要接触表笔的金属部分,以确保人身安全和测量的准确。

2、正确选择功能档位和量程。

如果测量前不知道被测量的大致范围,可先用最大量程试测,再逐渐减小量程,直到合适的档位。

3、正确读数。

4、欧姆档的正确使用。

首先,要选择合适倍率的档位,使指针在中值电阻值附近,此时测量较准确。

其次,测量电阻之前,应将两支表笔短路,进行调零。

第三,要特别注意,一定不能测量带电的电阻。

第四,欧姆表内附干电池的负极与表面上“+”端(红表笔)相连,而电池正极和“—”端(黑表笔)相连。

第五,使用万用表后,应将转换开关旋至空档或最大交流电压档。

四、实验内容:1、测量直流电压。

将万用表调到直流电压档。

按图2-6连接线路,其中5v电压由实验桌中间红黑接线柱提供,1k和10k电阻由元器件盒给出,20k电阻由电阻箱调出。

大学物理综合设计实验指导书(完整)

大学物理综合设计实验指导书(完整)

五.实验报告要求
1.阐述实验的基本原理及测量方法 内容包括:透镜成像原理,测量透镜焦距的方法,显微镜望远镜的结构、组装方法等 2.记录实验步骤及各种实验现象,画出光路图,记录实验数据。 3.总结本次实验的收获和体会。
3
实验 2
LED 特性测量
LED 是一种固态的半导体器件,它可以直接把电转化为光,具有体积小,耗电量低,易 于控制,坚固耐用,寿命长,环保等优点,其主要应用领域包括:照明、大屏幕显示、液晶 显示 的背光源 、装饰 工程等。本实验通过测试各种 LED 特性,分析实验结果,从而进一步了解 LED 工作原理及相关应用。
综合设计性物理实验指导书
黑龙江大学普通物理实验室

绪论 实验 1 实验 2 实验 3 实验 4 实验 5 实验 6 实验 7 实验 8 实验 9 实验 10 几何光学设计性实验 LED 特性测量 超声多普勒效应的研究和应用 热辐射与红外扫描成像实验 多方案测量食盐密度 多种方法测量液体表面张力系数 用 Multisim 软件仿真电路 霍尔效应实验误差来源的分析与消除
一.实验目的
(1)掌握透镜成像规律; (1)组装简单的显微镜与望远镜,以熟悉它们的构造及其放大原理,掌握其调节与使用方法; (2)用自己组装的望远镜测量凸透镜和凹透镜的焦距。
二.实验室可提供的器材
1.2m 光学导轨一个,焦距为 4、8、20 ㎝的凸透镜各一个,待测凸透镜、凹透镜各一个,玻璃 叉丝屏(分划板)一个,物屏一个。
4
值在几十毫安到 1 安之间。 正常工作电压指 LED 正常发光时加在二极管两端的电压。 允许功耗指加于 LED 的正向电压与电流乘积的最大值,超过此值,LED 会因过热而损坏。 LED 的伏安特性与一般二极管相似。在 LED 两端加反向电压,只有微安极的反向电流。反向 电压超过击穿电压(一般为几十伏)后,管子被击 E 穿损坏。 为安全起见, 激励电源提供的最大反向电 压低于击穿电压。 2、测量 LED 的电光转换特性 图 3 反映发光二极管的驱动电流与与输出照 度的关系。 发光二极管输出照度值与驱动电流近似 呈线性关系。 这是因为驱动电流与注入 PN 结的电 荷数成正比,在复合发光的量子效率一定的情况 I 下,输出照度与注入电荷数成正比。 图3 LED 电光转换特性

大学物理实验指导书

大学物理实验指导书

绪论一.实验课的目的1.学习基础实验方法,仪器和数据处理知识通过对被测量的定量测量,对被测量及相关的物理过程有明确具体的了解。

2.锻炼手的操作技能对实验装置的安装、调整,对计量器具的正确操作,是做好实验的基础.3.学习实验的物理思想每个实验都是一个物理过程,通过此过程将间接测量量转换为若干直接测量量,将难测量的量变换成容易测量的量,将测不准的量转换成比较测得准的量,在这些变换中有丰富的物理思想.4.培养思维能力思维是在观察的基础上,进行分析、综合、判断、推理和提出新思想的认识过程,它对任何工作都十分重要,在实验中是培养思维能力的很好的机会二.测量与仪器(1)测量是指用实验方法确定被测对象的量值的实验过程。

可分为:直接测量:被测量和同类单位的标准物或计量器具直接比较,得出被测量量值的测量。

例:一桌子的长度与米尺相比,得出桌子长度为1.28m。

间接测量:由一个或几个直接测得量经已知函数关系计算出被测量量值的测量。

例:测量单摆的摆长l和振动周期T,由已知公式22/4Tlgπ=算出重力加速度g。

(2)测量结果给出被测量的量值,包括两部分:数值和单位,一般应给出不确定度。

(3)测量仪器:是指用以直接或间接测出被测量对象量值的所有器具。

(4)由于测量目的的不同,对仪器准确程度的要求也不用。

表示仪器的性能有许多指标,其中最基本的是测量范围和准确度指标。

一般是在满足测量要求的条件下,尽量选用准确程度低的仪器,减少准确度高的仪器的使用次数,可以减少在反复使用时的损耗,延长使用寿命。

三.测量与误差(1)真值(a):不依人的意志为转移的真实大小(2)误差(ε):测量值减去真值的差 ε=-a x误差产生的原因:a :测量仪器只能准确到一定程度。

b :观察者操作和读数不能十分准确等。

研究误差的目的:a :尽量减小测量值中影响较大的误差b :对残存的误差的大小给出某种估计能(估计不确定度)绝对误差: a x -=ε (注意:绝对误差与误差绝对值ε不同)相对误差:a r εε= 系统误差:测量值随测量条件的改变(换表、增加摆角等)而改变产生的误差。

(大学物理实验)磁场测量与描绘实验指导书

(大学物理实验)磁场测量与描绘实验指导书

磁场测量与描绘实验指导书在工业生产和科学研究的许多领域都要涉及到磁场测量问题,如磁探矿、地质勘探、磁性材料研制、磁导航、同位素分离、电子束和离子束加工装置、受控热核反应以及人造地球卫星等。

近三十多年来,磁场测量技术发展很快,目前常用的测量磁场的方法有十多种,较常用的有电磁感应法、核磁共振法、霍尔效应法、磁通门法、光泵法、磁光效应法、磁膜测磁法以及超导量子干涉器法等。

每种方法都是利用磁场的不同特性进行测量的,它们的精度也各不相同,在实际工作中将根据待测磁场的类型和强弱来确定采用何种方法。

本实验仪采用电磁感应法测量通有交流电的螺线管产生的交变磁场,通过这个实验掌握低频交变磁场的测量方法,加深对法拉第电磁感应定律和毕奥—萨伐尔定律的理解及对交变磁场的认识。

一、实验目的1. 学习交变磁场的测量原理和方法。

2. 学习用探测线圈测量交变磁场中各点的磁感应强度。

3. 掌握载流直螺线管轴线上各点磁场的分布情况。

4. 了解螺线管周围磁场的分布及其描绘方法。

5. 加深理解磁场和电流的相互关系。

二、实验原理1.交变磁场的测量原理当导线中通有交变电流时,其周围空间就会产生交变磁场。

当直螺线管通过电流时,在螺线管内就产生磁场。

如果通过的电流是交变电流,则产生的磁场就是交变磁场。

在交变磁场中各点的磁感应强度是随时间变化的,我们一般用磁感应强度的有效值来描述磁场。

交变磁场的测量可以用探测线圈和交流数字毫伏表组成的闭合回路进行测量。

将探测线圈置于被测的磁场中,则根据法拉第电磁感应定律,通过探测线圈的交变磁通在回路中感应出电动势。

通过测量此感生电动势的大小,就可计算出磁感应强度B 的大小和方向。

2. B 的大小和方向确定通常为了精确测量磁场中某一点的磁感应强度,探测线圈都做得很小,因此线圈平面内的磁场可以认为是均匀的。

如图1所示,若线圈的横截面积为S ,匝数为N ,置于载流螺线管产生的待测交变磁场B 中,线圈平面的法线n 与磁感应强度B 的夹角为θ,则通过该线圈的磁通量 θφcos NSB =。

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大学物理学实验指导书大学物理实验力学部分实验一长度与体积的测量实验类型:验证实验类别:专业主干课实验学时:2所属课程:大学物理所涉及的课程和知识点:误差原理有效数字一、实验目的通过本实验的学习,使学生掌握测长度的几种常用仪器的使用,并会正确读数。

练习作好记录和误差计算。

二、实验要求(1)分别用游标卡尺、螺旋测微计测金属圆筒、小钢球的内外径及高度,并求体积。

(2)练习多次等精度测量误差的处理方法。

三、实验仪器设备及材料游标卡尺,螺旋测微计,金属圆柱体,小钢球,铜丝四、实验方案1、用游标卡尺测量并计算所给样品的体积。

2、分别用千分尺和读数显微镜测量所给金属丝的直径。

数据处理注意:有效数字的读取和运用,自拟表格,按有关规则进行数据处理。

描述实验过程(步骤)以及安全注意事项等,设计性实验由学生自行设计实验方案。

五、考核形式实际操作过程实验报告六、实验报告实验原理,实验步骤,实验数据处理,误差分析和处理。

对实验中的特殊现象、实验操作的成败、实验的关键点等内容进行整理、解释、分析总结,回答思考题,提出实验结论或提出自己的看法等。

七、思考题1、游标卡尺测量长度时如何读数游标本身有没有估读数2、千分尺以毫米为单位可估读到哪一位初读数的正负如何判断待测长度如何确定实验二单摆实验类型:设计实验类别:专业主干课实验学时:2所属课程:大学物理所涉及的课程和知识点:力学单摆周期公式一、实验目的通过本实验的学习,使学生掌握使用停表和米尺,测准单摆的周期和摆长。

利用单摆周期公式求当地的重力加速度二、实验要求(1)测摆长为1m时的周期求g值。

(2)改变摆长,每次减少10cm,测相应周期T,作T—L图,验证单摆周期公式。

三、实验仪器设备及材料单摆、米尺、游标卡尺、停表。

四、实验方案利用试验台上所给的设备及材料,自己制作一个单摆,然后设计实验步骤测出单摆的周期,再根据单摆的周期公式计算当地的重力加速速。

改变摆长,讨论对实验结果的影响并分析误差产生的原因五、考核形式实际操作过程实验报告六、实验报告实验原理,实验步骤,实验数据处理,误差分析和处理。

对实验中的特殊现象、实验操作的成败、实验的关键点等内容进行整理、解释、分析总结,回答思考题,提出实验结论或提出自己的看法等。

七、思考题1、为什么测量周期不宜直接测量摆球往返一次摆动的周期试从误差分析来说明。

2、在室内天棚上挂一单摆,摆长很长,你设法用简单的工具测出摆长不许直接测量摆长。

实验三牛顿第二定律的验证实验类型:验证实验类别:专业主干课实验学时:2所属课程:大学物理所涉及的课程和知识点:力学牛顿第二定律摩擦一、实验目的通过本实验的学习,使学生掌握气垫导轨的使用,使学生通过在气垫导轨上验证牛顿第二定律,更深刻的理解牛顿第二定律的物理本质。

二、实验要求验证当m一定时,a∝F,当F一定时,a∝1/m。

三、实验仪器设备及材料气垫导轨,数字毫秒计,光电门,气源四、实验方案1、调整气垫导轨水平。

在导轨的端部小心安装好滑轮,使其转动自如,细心调整好导轨的水平。

调整气垫导轨水平是实验前的重要准备工作,要细致耐心地反复调整,可按下列两种方法中的任一种方法调整:(1)静态调平法:导轨接通气源,滑行器置在导轨某处,用手轻轻地把滑行器压在导轨上,再轻轻地放开,观察滑行器的运动状态,连续做几次。

如果滑行器在导轨上静止不动,或稍有左右移动,则导轨是水平的;如滑行器都向同一方向运动,表明导轨不平。

仔细、认真调节水平螺钉,直到滑行器在导轨任意位置上基本保持静止不动,或稍有左右移动。

一般要在导轨上选取几个位置做这样的调节。

(2)动态调平法:将气轨与记时器配合进行调平,仪器接通电源,仪器功能选择在“S2”挡上,两个光电门间距不小于30cm 卡装在导轨上,导轨两端装上弹射器,滑行器装上挡光片(如1cm 一种),给气轨通气让滑行器以一定的速度从导轨的左端向右端滑行,先后通过两个光电门G1和G2,记时器就分别记下挡光片通过两个光电门的时间1t ∆和2t ∆。

若1t ∆>2t ∆ ,滑行器通过G2的光电门时间短,表明滑行器运动速度加快,导轨左高右低;若1t ∆<2t ∆ ,表明滑行器做减速运动,导轨左低右高。

仔细、认真调节水平螺钉,1t ∆ 与2t ∆ 的时间差值尽量小,时间相差在1毫秒内就可视为导轨基本调平。

2 、在滑行器上装上1cm 的挡光片,对应滑轮一端装上座架,将拴在砝码桶上的细线跨过滑轮并通过堵板上的方孔挂在滑行器的座架上。

3、将起始挡板固定在导轨适当位置上,并将两个光电门置于导轨的相应的位置上(如80cm 和130cm 处),注意当砝码桶着地前,滑行器要能通过靠近滑轮一侧的光电门。

4、记时器的功能选择在“a ”挡,将改变m1所需砝码预先置于滑行器上,在砝码桶内加上一定质量的砝码,导轨通气,让滑行器从起始挡板处开始运动,通过两个光电门,记时器会自动测出时间,计算出加速度a 。

5、逐次从滑行器上取下相等质量的砝码放入砝码桶内,重复步骤4,直到砝码全部移到桶内为止。

6、用天平准确称出滑行器的质量m2、砝码桶和砝码的质量m1。

7、利用测得数据做出a ~F 图象,若为直线,则F 和a 正比关系成立。

五、考核形式 实际操作过程 实验报告 六、实验报告实验原理,实验步骤,实验数据处理,误差分析和处理。

对实验中的特殊现象、实验操作的成败、实验的关键点等内容进行整理、解释、分析总结,回答思考题,提出实验结论或提出自己的看法等。

七、思考题1、实验中滑行器是否都要从同一位置开始释放,位置不同对实验结果有何影响2、气垫导轨如果没有调平衡或空气层厚度过小或过大,对实验结果有何影响3、减小摩擦还有那些其它方法热学部分实验一 混合法测定固体比热容实验类型:验证型 实验类别:基础课 实验学时:3 所属课程:大学物理一、实验目的1、掌握基本的量热方法——混合法。

2、测定金属的比热容。

二、实验要求1、学会量热器的使用方法。

2、进一步熟悉物理天平、温度计等的使用。

3、掌握混合法测定固体比热容的原理。

4、学会对系统误差的修正方法——热量出入相互补偿法。

温度不同的物体混合之后,热量将由高温物体传给低温物体。

如果在混合过程中和外界没有热交换,最后将达到均匀稳定的平衡温度,在这过程中,高温物体放出的热量等于低温物体所吸收的热量,此称为热平衡原理。

本实验即根据热平衡原理用混合法测定固体的比热。

将质量为m 、温度为t 2的金属块投入量热器内筒的水中。

设量热器质量为m 1,比热容为c 1(包括搅拌器),量热器内筒中水的质量为m 0,比热容为c 0,待测物投入水中之前的水温为t 1。

在待测物投入水中以后,其混合温度为θ,则在不计量热器与外界的热交换的情况下,将存在下列关系))(9.1()(111002t V c m c m t mc -++=-θθ (1-1)即 )())(9.1(211100θθ--++=t m t V c m c m c (1-2))(9.11-︒⋅C J V 为温度计插入水中部分的热容,但V 的单位为cm 3。

上述讨论是在假定量热器与外界没有热交换时的结论。

实际上只要由温度差异就必然会由热交换存在,因此,必须考虑如何防止或进行修正热散失的影响。

热散失的途径主要有三:第一是加热后的物体在投入量热器水中之前散失的热量,这部分热量不易修正,应尽量缩短投放时间。

第二是在投下待测物后,在混合过程中量热器由外部吸热和高于室温后向外散失的热量。

在本实验中由于测量的是导热良好的金属,从投下物体到达混合温度所需时间较短,可以采用热量出入相互抵消的方法,消除散热的影响。

即控制量热器的初温1t ,使1t 低于环境温度0t ,混合后的末温θ则高于0t ,并使)(10t t -=)(0t -θ。

第三要注意量热器外部不要有水附着(可用干布擦干净),以免由于水的蒸发损失较多的热量。

由于混合过程中量热器与环境有热交换,先是吸热,后是放热,至使由温度计读出的初温1t 和混合温度图1-1θ都与无热交换时的初温度和混合温度不同。

因此,必须对1t 和θ进行校正。

可用图解法进行,如图1-1所示。

实验时,从投物前5,6分钟开始测水温,每30s 测一次,记下投物的时刻与温度,记下达到室温0t 的时刻0t τ作一竖直线MN ,过0t 作一水平线,二者交于O 点。

然后描出投物前的吸热线AB ,与MN 交于B 点,混合后的放热线CD 与MN 交于C 点。

混合过程中的温升线EF ,分别与AB 、CD 交于E 和F 。

因水温达室温前,量热器一直在吸热,故混合过程的初温应是与B 点对应的1t ,此值高于投物时记下的温度。

同理,水温高于室温后,量热器向环境散热,故混合后的最高温度是C 点对应的温度2t ,此值也高于温度计显示的最高温度。

在图1-1中,吸热用面积BOE 表示,散热用面积COF 表示,当两面积相等时,说明实验过程中,对环境的吸热与放热相消。

否则,实验将受环境影响。

实验中,力求两面积相等。

三、实验仪器设备及材料量热器,温度计,物理天平,秒表,加热器,小量筒,待测物(金属块)。

四、实验方案1、用物理天平称衡被测金属块的质量m ,然后将其吊在加热器当中的筒中加热 (直至水沸腾),并用温度计测出室温t 室。

2、将量热器内筒擦干净,用天平称出内筒和搅拌器的质量1m ,然后向量热器内注入适量(约为其容积的21~32)低于室温的冷水,称得其质量为0m +1m ,从而求出水的质量0m 。

开始测水温并记时间,每隔30s 测一次,连续测6次。

3、将加热的金属块迅速投放入量热器中,立刻盖好盖,记下物体放入量热器的时间和温度;进行搅拌并观察温度计示值,每10s 测一次水温,直到温度由最高均匀下降,再每隔30s 测一次水温,连续测6次为止。

4、用小量筒测出温度计没入水中的体积(实验中温度计一定要没入水中,但不能碰到金属块)。

5、测出大气压强,查附表得到水的沸点,该温度即为金属块加热后的温度t 2。

6、按图1-1绘制τ-t 图,求出混合前的初温1t 和混合温度θ。

7、将上述各测定值代入式(2)求出被测物的比热容及其标准偏差。

比热容的单位为11--⋅⋅C kg J 。

水的比热容0c 为11310187.4--⋅⋅⨯C kg J 。

量热器(包括搅拌器)是铝制的,其比热容1c 为1131088.0--⋅⋅⨯C kg J 。

【注意事项】1、量热器中温度计位置要适中,不要使它靠近放入的高温物体,因为未混合好的局部温度可能很高。

2、1t 的数值不宜于比室温低的过多(控制在2~3℃左右即可),因为温度过低可能使量热器附近的温度降到露点,致使量热器外侧出现凝结水,而在温度升高后这凝结水蒸发时将散失较多的热量。

3、搅拌时不要过快,以防止有水溅出。

五、考核形式实验操作平均成绩占30%,实验报告平均成绩占30%,期末考试成绩占40%。

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