1.6 埃尔米特插值

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埃尔米特插值

同理： 1( x)为二次项式 1(0) 0 又： 1 (0) 0 则：x 0为 1( x)的二重根则： 1( x) cx 又： 1(1) 1 则：c 1 则： 1( x) x 2 同理： 0 ( x) x(1 x)
2
插值余项为:
则对于一般情况：已知：2n+2个条件 xi x0 x1 y i = f( x i ) y0 y1 yi ’= f ’ (xi) y0’ y 1’
… … …
xn yn yn’
求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)
则可以设：
H n ( x) y0 0 ( x) yn n ( x) y0 0 ( x) yn n ( x)
( x ) 1，j i i j 因为： i ( x j ) 0，j i且j 1,2,, n i ( x j ) 0, j 0,1,, n 其中：i 0,1,, n 即：x x j ( j i )是 i ( x)的二重根因为 i ( x)得次数是2n 1 则： i ( x) (ax b) ( x x j ) 2
f ( x i )
xi f(xi)
-1 10 1
0 14
1 16 0.1
2 15
解：先构造插值于四个函数值的插值多项式
用Newton插值法可得：
N 3 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , x 3 ]( x x0 )( x x 2 ) 1 10 4( x 1) ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 6 19 1 3 2 14 x x x 6 6

埃米尔特插值法

埃米尔特插值法
欧几里德·埃米尔特插值法（Euler-Laplace Interpolation）又称为埃米尔特插值，是指在离
散序列中查找未知值的技术，主要用于在数据序列中实现多项式插值，发源于拉普拉斯数
学家卡尔·拉普拉斯提出的奥埃尔-拉普拉斯插值的特殊情况。

欧几里德·埃米尔特插值是一种把离散数据形成一个多项式曲线，使其能够介入更多数据点，来插值计算未知值的方式，它比一般的数值插值更加高效，也更加准确。

使用欧几里德·埃米尔特插值法时，需要先计算出拉普拉斯差值的斜的系数。

在计算拉普
拉斯差值的斜的系数时，与格雷斯特插值和牛顿插值相比，欧几里德·埃米尔特插值的计
算量相对小。

当求出拉普拉斯差值斜系数后，即可使用欧几里德·埃米尔特插值法进行插值计算。

埃米
尔特插值法最大的优点在于它可以在基于一定步长的多项式曲线下，精确计算未知点的值，同时也可以使插值结果的计算的效率更高。

总的来说，欧几里德·埃米尔特插值法具有计算简便以及精度高的特点，是离散数据插值
计算中使用非常广泛的一种技术，是在查找数据时重要的一种选择。

埃尔米特曲线插值

埃尔米特曲线插值
埃尔米特曲线插值是一种数学方法，用于通过给定的一组数据点来构建一个平滑的曲线。

这种插值方法常用于计算机图形学、工程建模和动画等领域。

埃尔米特曲线插值是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的。

它的基本思想是通过给定的数据点来构建一个多项式曲线，使得曲线在给定的数据点上具有相同的函数值和导数值。

这样可以确保插值曲线能够光滑地通过给定的数据点，并且在数据点处的斜率也是符合要求的。

在埃尔米特曲线插值中，曲线的形状由给定的数据点和导数值决定。

通常情况下，我们需要给定每个数据点处的函数值和导数值。

这些导数值可以根据实际问题的需求来确定，比如可以根据相邻数据点的斜率来计算导数值，或者通过其他方法来估计。

利用埃尔米特曲线插值，我们可以构建出一个符合给定数据点的平滑曲线，而且在数据点处的斜率也是符合要求的。

这种插值方法在
计算机图形学和动画中得到了广泛的应用，比如可以用来绘制自然流畅的曲线和路径，或者用来模拟真实物体的运动轨迹等。

总的来说，埃尔米特曲线插值是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们通过给定的数据点来构建出平滑的曲线，并且满足特定的函数值和导数值要求。

通过合理地选择数据点和导数值，我们可以得到符合实际需求的插值曲线，从而在计算机图形学、工程建模和动画等领域中发挥重要作用。

埃尔米特(Hermite)插值

实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。

二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。

要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。

函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。

裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。

埃尔米特插值法

埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。

它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。

埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。

2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。

这就是插值问题。

给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。

3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。

为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。

4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。

- g i(x j)=0对所有i,j成立。

基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。

5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。

通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。

6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。

我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。

埃尔米特(Hermite)插值

实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。

要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。

艾米特插值

若 αi ( x ) , βi ( x )( i = 0,1) ,满足
αi (x j ) = δi j
1 i = j = , , α i′( x j ) = 0 0 i ≠ j (i = 0 , 1)
β i ( x j ) = 0 , β i′( x j ) = ( x ) = ( − 2 l ( x j ) x + 1 + 2 x l ( x j )) l ( x )
' j ' j j 2 j
= (1 − 2 ( x − x j ) l ( x j )) l ( x )
' j 2 j
其中 l ( x j ) ∑ ＝
' j
n
k =0 k≠ j
由于
′ α 0 ( x 0 ) = 1, α 0 ( x 0 ) = 0 2.2 (2.6.2) ′ α 0 ( x1 ) = 0, α 0 ( x1 ) = 0 , (2.6.3) 2.3
由（2.6.3）可设
α0 ( x) = ( x − x1 ) a ( x − x0 ) + b ,
2.4 埃尔米特(Hermite)插值
• Hermite插值问题的提出 • 三次 Hermite 插值 • 2n+1 次Hermite 插值多项式 • Hermite插值余项 • 数值实例
一、 Hermite插值问题的提出
由于理论与实践的需要，在构造插值函数时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插值。
2
再由（2.6.2）可求得

Lagrange插值和hermite插值

第六章插值与逼近一、Lagrange 插值问题定义：设函数f(x)在区间[a,b]有定义，在[a,b]上的n+1个不同的点x 0、x 1……x n 处的函数值y i =f(x i )已知，求一个至多n 次多项式P n (x)=a 0+a 1x+a 2x2+a 3x 3+a n x n使满足P n (x i )=f(x i ) （i=0,1……n ），则称P n (x)为插值多项式，式子中x 0、x 1……x n 称为插值节点，[a,b]称为插值区间。

P n (x)中有n+1个特定系数a n ，由P n (x i )=f(x i )得▲ 最简单的情形是只有2个点x 1、x 2，设P n (x)=a 0+a 1x，满足：将a 0和a 1的值带到插值多项中得到：VB 语句表示：p1=y0*(x-x1)/(x0-x1)+y1*(x-x0)/(x1-x0) 总结：2点1次插值也称线性插值。

▲ 讨论三个节点x 1、x 2、x 3的插值多项式：P n (x)=a 0+a 1x+a 2x2，满足：x- x 1X 0- X 1P 1(x)=y 0*+y 1*x- x 0 x 1- x 0a 0+a 1x 0+a 2x 02+a 3x 03+a n x 0n =y 0 a 0+a 1x 1+a 2x 12+a 3x 13+a n x 1n =y 1 ……a 0+a 1x n +a 2x n 2+a 3x n 3+a n x n n =y ny 1x 0- y 0x 1X 0- X 1a 0=从方程中解得：a 1=y 0- y 1 x 0- x 1Lagrange 插值：建立一个简单函数，使这个简单函数经过给定点。

a 0+a 1x 0 =y 0a 0+a 1x 1=y1a 0= x 1x 2 y 0/a+ x 0x 2 y 1/b +x 0x 1 y 2/c a 1= -( x 1+x 2 )y 0/a- (x 0+x 2) y 1/b –(x 0+x 1) y 2/c a 2= y 0/a+ y 1/b + y 2/c 其中a=( x 0- x 1)( x 0- x 2) b=( x 1- x 0)( x 1- x 2) c=( x 2- x 0)( x 2- x 1)3点2次（2阶）插值多项式为：p2=y0*(x-x1)*(x-x2)/((x0-x1)*(x0-x2))+y1*(x-x0)*(x-x2)/((x1-x0)*(x1-x2))+y2*(x-x0)*(x-x1)/((x2-x0)*(x2-x1))总结：二次插值就是用过三点（x 0,y 0）、（x 1,y 1）、（x 2,y 2）的抛物线来近似曲线y=f(x),因此也称三点二次插值为抛物线插值。

埃尔米特插值

即：x x j ( j i)是i (x)的二重根
因为i (x)得次数是2n 1
n
则：i (x) (ax b) (x x j )2 j0 ji
a和b由以下两式确定：
i (xi ) 1 i(xi ) 0
ii((xxj
) 0，j j ) 0，j
A 59 , 360
B 161 360
例5：给定如下数据表，求次数不高于3 次的代数多项式。
xi f(xi)
f (xi )
f ( xi )
x0 f(x0)
f ( x0 )
f (x0 )
x1 f(x1)
提示 H3 (x) H2 (x) A(x x0 )2 (x x1)
又：H

2
(0)

0
则：c 1
则：R2 (x) x(x 1)
则：H2 (x) L1(x) R2 (x) x2
再增加：
xi
1
yi
1
求 : H3(x),其中H3(x)满足：
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
0
1
：H3(x) = H2 (x) + R3(x)
R3(0) = 0 其中：R3(1) = 0
例6：给定如下数据表，求首项系数为1 的4次的代数多项式。
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0
提示 H3(x) H2 (x) c(x a)3
H2 (x) 0
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0

插值法-Hermite插值专业知识

共有m+1个条件
其中 xi (i 0,1,, n) 互异，mi为正整数，记 mi m 1，
谋求m次多项式P(x)使满足插值条件：
i0
P(k)( xi ) f (k)( xi ), (i 0,1,, n;k 0,1,, mi 1) (5.1)
埃尔米特Hermite插值问题
我们只讨论 P( xi ) f ( xi ), P( xi ) f ( xi ) 旳情形。
(5.5)
其中
j
(
x),
j
(
j0
x),( j
0,1,,
n)为Hermite插值基函数,即
j(x)
(1
2( x
n
xj)
i0
xj
1
xi
)l
2 j
(
x
)；
i j
j
(
x)
(
x
x
j
)l
2 j
(
x)；
n
l
j
(x)
n
i0 i j
x xi x j xi
实际上,有 H 2n1 ( xi ) ( j ( xi ) yi j ( xi ) y' j ) yi
j
(
x)
(1
c(
x
x
j
))
(((xxxxx000))222((xx xx11))222(((xxxxxjjj11))22((xx xxjj11))22((xx xxnn))22
((xxjj
xx00))22((xxjj
xx11))22((xxjj
xxjj11))22((xx
jj
xx
))22
jj11

第三章(二) 埃尔米特-样条插值法

2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等），然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0

ch01c 埃尔米特插值

xi ƒ(xi)
x0 x1 x2 x3 xn ƒ(x0) ƒ(x1) ƒ(x2) ƒ(x3) ƒ(xn)
一阶差商
ƒ(x0, x1) ƒ(x1, x2) ƒ(x2, x3) ƒ(xn-1, xn)
二阶差商
三1, x2) ƒ(x1, x2, x3) ƒ(x0, x1, x2, x3) … ƒ(xn-2, xn-1, xn) ƒ(xn-3, xn-2, xn-1, xn) …
[ mi n( x0 , x1 , x),max ( x0 , x1 , x)]
比较: Lagrange余项(n=3)
f (4) ( ) f ( x ) L3 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 4!
1.6 埃尔米特(Hermite)插值
问题 6 f ( x0 ), y1 f ( x1 ) 已知 y0 f ( x0 ), y1 f ( x1 ), y0 求不超过3次多项式H3(x)使满足
( x0 ) y0 , H3 ( x1 ) y1 H3 ( x0 ) y0 , H3 ( x1 ) y1 , H3
N n ( x ) N n ( x0 th) t t ( t 1) 2 t ( t 1) ( t n 1) n f0 f0 f0 f0 1! 2! n!
误差：
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) t ( t 1)...(t n)hn1 , x ( x0 , xn ) ( n 1)!
ƒ(x0, x1,…, xn)
Newton 插值多项式
N n ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 , x1 )( x - x0 ) + f ( x0 , x1, x2 )( x - x0 )( x - x1 ) + + f ( x0 , x1,..., xn )Õ ( x - xi )

埃尔米特(Hermite)插值

i0
i0
i0
n
H 2n1(x) i (x) y i (x) y ´
i0
H 2n1(x j )
n
i(x j ) f (x j )
n
i (x j ) f (x j )
n
i(x j ) f (x j )
i0
i0
i0
n
n
i (x j ) f (x j ) 0 0 ij f (x j ) 0 f (x j )
j0
x
j
)l
2 j
(
x)
f
(x j )
H2n+1(x)为满足条件 H (xi ) f (xi ), H (xi ) f (xi ) (i 0,1,,n) 的2n+1次Hermite插值多项式。
定理5.3 满足插值条件
H (xi ) f (xi ), H (xi ) f (xi ) (i 0,1,, n)
定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式,即
n=1的情况
1
1
H3 (x) j (x) f (x j ) j (x) f (x j )
j0
j0
0
Hale Waihona Puke (x)(1
2
x x0 x0 x1
)(
x x0
x1 x1
)
2
1
上式给出了2n+2个条件，可惟一确定一个次数不超过 2n+1的多项式H2n+1(x)，采用类似于求Lagrange插值多项式的基函数方法求埃尔米特(Hermite)插值多项式 H2n+1(x)

埃尔米特插值法

埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种利用已知数据点构建插值函数的方法，它可以通过给定的数据点来预测未知数据点的值。

这种方法是由德国数学家埃尔米特在19世纪末发明的，因此得名。

埃尔米特插值法的基本思想是利用已知数据点和其导数来构造一个多项式函数，该函数可以完美地通过这些数据点，并在每个点处具有相同的导数。

这样，就可以使用该多项式函数来计算任意位置处的函数值和导数。

具体而言，假设我们有n个数据点(xi,yi)，其中i=0,1,…,n-1。

我们还假设我们已经知道了每个数据点处的导数yi'。

那么，我们可以通过以下方式构造一个n次多项式函数p(x)：p(x) = Σ[i=0,n-1] Li(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Li(x)和Mi(x)分别为拉格朗日插值基函数和埃尔米特插值基函数。

拉格朗日插值基函数Li(x)定义为：Li(x) = Π[j=0,j≠i,n-1] (x-xj)/(xi-xj)而埃尔米特插值基函数Mi(x)定义为：Mi(x) = [1-2(xi-x)/hi]L^2i(x) + (x-xi)/hi L'i(x)其中hi为第i个数据点的步长，即xi+1-xi，L'i(x)为Li(x)的一阶导数。

使用这些基函数，我们可以计算任意位置x处的函数值p(x)。

此外，我们还可以通过求导来计算p(x)在任意位置x处的导数。

具体而言，p(x)在位置x处的导数可以表示为：p'(x) = Σ[i=0,n-1] Mi'(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Mi'(x)为Mi(x)的一阶导数。

需要注意的是，在实际应用中，我们通常不知道每个数据点处的精确导数值。

因此，我们需要根据已知数据点推断出这些导数值。

一种常见的方法是使用差分逼近法来估计数据点处的导数值。

总之，埃尔米特插值法是一个强大而灵活的插值方法，它可以用于各种不同类型的数据集，并且能够提供高精度和高效率的预测结果。

埃尔米特插值

H '( xi ) = fi ' (i = 0,1,L , n)
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6、Hermite插值余项、插值余项
定理若 f ( x) 在插值区间 [a, b] 内有 2n + 2 阶导数 f (2 n + 2) ( x) ，则对于任何 x ∈ [a, b] ，Hermite插值问题（a）、（b）的余项为
则有
g ( x) = f ( x) − H ( x) − k ( x)[π ( x)]2 = R( x) − R ( x) = 0
g ( xi ) = 0(i = 0,1,L , n)
又由插值条件（）得又由插值条件（b）,得
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可知 g (t ) 在区间 [a, b] 上有 n + 1 个二重零点xi (i 零点 x i 。
若已知函数 f ( x) 在插值区间 [a, b]上 n + 1个互异的节点
x0 ,L , xn 处的函数值 f ( xi ) = f i及一阶导数值 f '( xi ) = f 'i
(i = 0,1,L , n)，求插值函数 H ( x) 满足条件：
（a） H ( x)是一个次数不超过 2n + 1次的多项式；（b）
将上式与定理中要证明的（）进行比较，将上式与定理中要证明的（*）进行比较，可知只需证明
先将
的定值， x 看作不同于 xi 的定值，作辅助函数
f (ξ ) k ( x) = (2n + 2)!
(2 n + 2)
g (t ) = f (t ) − H (t ) − k ( x)[π (t )]2 ,

埃尔米特插值多项式

埃尔米特插值多项式简介埃尔米特插值多项式（Hermite Interpolation Polynomial）是一种常用的插值方法，用于通过给定的数据点集合来计算一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。

本文档将介绍埃尔米特插值多项式的原理、计算过程和应用。

基本原理埃尔米特插值多项式的基本思想是通过插值条件来求解多项式的系数。

给定数据点集合和对应的函数值和导数值，目标是找到一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。

首先，对于每一个给定的数据点，我们需要求解一个插值多项式。

插值多项式的次数应该比给定数据点的个数少 1。

例如，给定数据点集合{ (x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ... , (xn, fn, f'n) }，我们需要找到一个次数为n的多项式H(x)。

对于每一个数据点(xi, fi, f'i)，插值多项式H(x)满足以下条件：1.H(xi) = fi，即多项式在数据点上与函数值完全匹配2.H'(xi) = f'i，即多项式在数据点上与导数值完全匹配根据这两个条件，我们可以构建一个n+1次的多项式，满足上述条件。

计算过程下面是埃尔米特插值多项式的计算过程：1.根据给定的数据点集合，构建一个空的多项式，初始阶次为 0，即H(x) = a02.对于每一个数据点(xi, fi, f'i)：–计算多项式的阶次n，并更新多项式的阶次为n+1–求解f'i的差商f'i / (xi - x0)，记为f'i / (x[i]-x0)–更新多项式的系数a，使得H(x) = H(x) + a * (x - x0)^i–更新多项式H(x)的阶次为n3.返回多项式H(x)应用埃尔米特插值多项式在实际应用中具有广泛的用途，包括但不限于以下领域：1.数值计算和近似：埃尔米特插值多项式可以用于通过已知的函数值和导数值来近似计算未知的函数值，用于求解数值问题。

埃尔米特插值公式

埃尔米特插值公式埃尔米特插值公式是由德国数学家Joseph Louis Lagrange于19世纪初发明的一种多项式插值方法，也叫做Lagrange插值法或Lagrange插值公式。

埃尔米特插值法是一种有效的函数拟合方法，广泛应用在工程、物理、计算机科学等领域中。

埃尔米特插值公式的思想是通过把原始函数f(x)拆分成n次多项式，每次多项式都只依赖于n+1个数据点，然后再将这些多项式合并起来，形成一个新的函数F(x)，使得F(x)在n+1个数据点上与原始函数f(x)相等。

因此，埃尔米特插值公式在拟合问题中，可以用来根据n+1个已知点构造一个n次多项式，用该多项式对未知点的函数值做估计。

埃尔米特插值公式的表达式如下：F(x)=Σ[l_i(x)*f(x_i)]其中l_i(x)= Π [ (x-x_j)/(x_i-x_j) ] (i≠j)其中Σ表示所有项求和，Π表示所有项相乘，l_i(x)是插值函数，f(x_i)是原始函数在x_i处的值，x_i 是已知点，x是未知点。

其中插值函数l_i(x)的性质有：1. 当x=x_i时，l_i(x)=1，其余l_i(x)=0;2. 其余l_i(x)的值均为正，且取值不超过1;3. 在x_i<x<x_{i+1}区间，l_i(x)随x的增加而增大； 4. 在x_{i-1}<x<x_i区间，l_i(x)随x的增加而减小。

埃尔米特插值公式的优点有：1. 插值精度高：埃尔米特插值法可以得到高精度的拟合结果；2. 可以拟合任意曲线：埃尔米特插值法可以拟合任意曲线，因为它是一个有效的函数拟合方法；3. 易于计算：埃尔米特插值法是一种比较简单的函数拟合方法，只要求出n+1个已知数据点就能求出埃尔米特插值多项式的公式。

埃尔米特插值公式的缺点有：1. 对曲线的拟合效果可能不太好：虽然埃尔米特插值公式能够拟合任意曲线，但是它不一定能拟合出曲线的真实走势；2. 已知点的数量必须是n+1：由于埃尔米特插值公式只能根据n+1个已知点构造一个n次多项式，如果已知点的数量不满足n+1，就无法使用此公式；3. 数值不稳定：在极端情况下，埃尔米特插值公式可能出现数值不稳定的情况，尤其是当插值点的数值差异较大时。

54第四节 Hermite插值

数学学院信息与计算科学系
二、误差估计
定理4 设f(x)在包含x0、x1的区间[a, b]内存在四阶导数，则当x∈[a, b]时有余项式
R3( x)

f (x)
H3(x)

1 4!
f (4)( )( x
x0 )2( x
x1 )2
( (a, b)且与x有关)
设
M4

max
x0 x x1

x

144

x

1212
得由
125

H3
(125) f (4)(
11.18035
x)

15 16 x 7
/
2
可求得
R3 (125)

15 1
384 16 3
42 192

15 384

192 1213 11

0.000012
x0 x0
)
2
,
1
(
x
)

(
x

x1
)(
x x1
x0 x0
)2
0 ( x) [1 2l1( x)]l02( x) 0 ( x) ( x x0 )l02( x) 1( x) [1 2l0 ( x)]l12( x) 1( x) ( x x1 )l12( x)
数学学院信息与计算科学系
第四节埃尔米特(Hermite)插值
一、埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数，许多问题不但要求节点上的函数值相等，还要求导数值相同，甚至高阶导数也相等，这类插值问题称为埃尔米特插值。

数值分析4-埃尔米特插值

yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1

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（2）基函数方法
基函数方法：
0 (x0 ) 1, 0 (x1 ) 0 (x0 ) 0 1 (x1 ) 1, 1 (x0 ) 1(x0 ) 0 0 (x0 ) 1, 0 (x0 ) 0 (x1 ) 0
2
0
( x)
1
x x1
x0 x0
2
1 ( x)
2
x x0 x1 x0
0
(
x)
(
x
x0 )(x (x1 x0
)2
x1
)
第三种解法
（3）待定系数法
p2(x) ax2 bx c p2(x) 2ax b
aaxx1022
bx0 bx1
c c
y0 y1
2ax0 b y0
题4
不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或者一阶导数值）
设x0 x2,求作次数 2的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) y0, p(x1) y1, p(x2 ) y2
由此可导出(29)式
2，数学描述
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
Hermite插值问题常用解法
（1）基函数构造法（2）待定系数法（3）基于承袭性
根据有函数值的插值节点条件构造插值多项式（泰勒，拉格朗日，牛顿等），再结合其他插值节点的导数条件构造一个附加项，由待定系数法给出系数，从而得到所求插值多项式
例：按下表求Hermite插值多项式
解法一：由于插值条件有5
题5
不同插值节点均有函数值，其中一插值节点具有一阶导数值
求作次数 3的多项式p(x)，使满足条件 p(xi ) yi , i 0,1,2 p(x1) y1
题6
一插值节点存在二阶导数，另一插值节点有函数值
求作次数 3的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) f (x0), p(x0 ) f (x0 ), p(x0 ) f (x0 ) p(x1) f (x1)
xj 0
1
2
个，故所求插值多项式的次数不超过4。构造插值基函数
f (xj) 0
11
j (x)( j 0,1, 2)及 j (x)( j 0, 1)， f '(xj ) 0
1
使它们满足：
（1） j (x) ( j 0,1, 2) 及 j (x) ( j 0, 1) 都是4次多项式；
（2）
由于
l
j
(x)
(x x0 )(x (x j x0 )(x j
x x
j1)(x x j1)(x j1)(x j x j1)(x j
xn ) xn
)
利用两端取对数再求导，得
于是
n
lj ( x j )
k 0
1 x j xk
,
k j
n
a j (x) 1 2(x x j )
k 0 k j
数。 • T8：三个插值节点，分别存在二阶导数，一阶导数和函
数值 • T9：两个插值节点，一个具有二阶导数，一个仅有一阶
导数值 • T10：两个插值节点，一个具有二阶导数，一个仅有二阶
导数值
1.6 埃尔米特插值
1，问题的提出
不少实际问题中，为了保证插值函数
能更好地密合原来的函数，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求节点上的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值称作切触插值，或称埃尔米特（Hermite）插值。
2，数学描述
j
(
xk
)
0 1
k j k j
( j, k 0,1, 2)
' j (xk ) 0 (k 0,1, j 0,1, 2)
j (xk ) 0 (k 0,1, 2, j 0,1)
'
j
( xk
)
0 1
k j k j
( j, k 0,1)
1(x)
[a
b(x
1)]
(x1
x2 (x x0 )2
(x xn ) (xj xn )
aj
(xj
)
(ax j
b)l
2 j
(x
j
)
1,
aj (x j ) l j (x j )[al j (x j ) 2(ax j b)lj (x j )] 0,
整理得
ax j b 1; a 2l j ( x j ) 0.
解出
a 2lj (xj ), b 1 2x jlj (x j ).
x2(x 1)(x 2)
x2 ( x 3)2 4
P51, T2-10
• T2：同问题5 • T3：同问题6 • T4：不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或
者一阶导数值） • T5：不同插值节点均有函数值，其中一插值节点具有一
阶导数值 • T6：一插值节点存在二阶导数，另一插值节点有函数值。 • T7：一插值节点存在一阶导数，另一插值节点有二阶导
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
3，求解的思想
三次Hermite插值（P29问题6）
对P29问题6的补充讲解
X x x0 x1 x0
据此可得 X 0 0,
X 1 1
因此，为了简化计算，题中设x0 0,x1 1
则插值基函数0 (x),1(x), 0 (x),1(x)分别满足条件 0 (0) 1, 0 (1) 0 (0) 0 (1) 0 1(1) 1, 1(0) 1(0) 1(1) 0 0 (0) 1, 0 (0) 0 (1) 0 (1) 0 1(1) 1, 1(0) 1(1) 1(0) 0
xj
1
xk
l
2 j
(
x).
同理，由于 j (x) 在 xi (i j) 处函数值与导数值均为0，而 j (xj ) 0 ，故可设
j
(
x)
c(
x
x
j
)l
2 j
(
x).
又由于 j'(xj ) 1，有
'
j
(x
j
)
cl
2 j
(x
j
)
1.
即 c 1
故有
j
(
x)
(x
x
j
)l
2 j
(
x).
5，Hermite插值多项式是唯一的
6，Hermite插值多项式余项
7, Hermite插值的一般形式
例：P28 问题5
求作二次式p2 (x)，使满足 p2 (x0 ) y0, p2 (x0 ) y0 , p2 (x1) y1
两种解法：
（1）基于承袭性
p1 ( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
p2 (x) p1(x) c(x x0 )(x x1)
2) (x1 x2源自)[ab(
x
1)]x2
(
x
2)
1(x) (2 x)x2 (x 2) x2 (x 2)2
类似可求出
2 (x)
x2 4
( x 1)2
因此所求Hermite插值多项式为
1(x) x2 (x 1)(x 2)
H (x) 1(x) 2(x) 1(x)
x2 (x 2)2 x (x 1)2 4
j (xk )
jk
0, 1,
j k, j k,
j (xk ) 0,
j
(
xk
)
0,
j (xk ) jk ( j, k 0, 1, , n),
4，确定基函数
lj
(x)
(x x0 ) (xj x0 )
(x xj1)(x xj1) (x j x j1)(x j x j1)