1.6 埃尔米特插值

1.6 埃尔米特插值
1，问题的提出
不少实际问题中，为了保证插值函数
能更好地密合原来的函数，不但要求在节 点上函数值相等，而且还要求节点上的导 数值也相等（即要求在节点上具有一阶光 滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足 这种要求的插值称作切触插值，或称埃尔 米特（Hermite）插值。
2，数学描述
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
3，求解的思想
三次Hermite插值 （P29问题6）
xj 0
1
2
个，故所求插值多项式的次数 不超过4。构造插值基函数
f (xj) 0
11
j (x)( j 0,1, 2)及 j (x)( j 0, 1)， f '(xj ) 0
1
使它们满足：
（1） j (x) ( j 0,1, 2) 及 j (x) ( j 0, 1) 都是4次多项式；
（2）
j (xk )
jk
0, 1,
j k, j k,
j (xk ) 0,
j
(
xk
)百度文库
0,
j (xk ) jk ( j, k 0, 1, , n),
4，确定基函数
lj
(x)
(x x0 ) (xj x0 )
(x xj1)(x xj1) (x j x j1)(x j x j1)
由此可导出(29)式
2，数学描述
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
题5
不同插值节点均有函数值，其中一插值节点具有一 阶导数值
求作次数 3的多项式p(x)，使满足条件 p(xi ) yi , i 0,1,2 p(x1) y1
题6
一插值节点存在二阶导数，另一插值节点有函数值
求作次数 3的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) f (x0), p(x0 ) f (x0 ), p(x0 ) f (x0 ) p(x1) f (x1)
（2）基函数方法
基函数方法：
0 (x0 ) 1, 0 (x1 ) 0 (x0 ) 0 1 (x1 ) 1, 1 (x0 ) 1(x0 ) 0 0 (x0 ) 1, 0 (x0 ) 0 (x1 ) 0
2
0
( x)
1
x x1
x0 x0
2
1 ( x)
2
x x0 x1 x0
数。 • T8：三个插值节点，分别存在二阶导数，一阶导数和函
数值 • T9：两个插值节点，一个具有二阶导数，一个仅有一阶
导数值 • T10：两个插值节点，一个具有二阶导数，一个仅有二阶
导数值
6，Hermite插值多项式余项
7, Hermite插值的一般形式
例：P28 问题5
求作二次式p2 (x)，使满足 p2 (x0 ) y0, p2 (x0 ) y0 , p2 (x1) y1
两种解法：
（1）基于承袭性
p1 ( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
p2 (x) p1(x) c(x x0 )(x x1)
x2(x 1)(x 2)
x2 ( x 3)2 4
P51, T2-10
• T2：同问题5 • T3：同问题6 • T4：不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或
者一阶导数值） • T5：不同插值节点均有函数值，其中一插值节点具有一
阶导数值 • T6：一插值节点存在二阶导数，另一插值节点有函数值。 • T7：一插值节点存在一阶导数，另一插值节点有二阶导
0
(
x)
(
x
x0 )(x (x1 x0
)2
x1
)
第三种解法
（3）待定系数法
p2(x) ax2 bx c p2(x) 2ax b
aaxx1022
bx0 bx1
c c
y0 y1
2ax0 b y0
题4
不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或 者一阶导数值）
设x0 x2,求作次数 2的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) y0, p(x1) y1, p(x2 ) y2
xj
1
xk
l
2 j
(
x).
同理，由于 j (x) 在 xi (i j) 处函数值与导数值均 为0，而 j (xj ) 0 ，故可设
j
(
x)
c(
x
x
j
)l
2 j
(
x).
又由于 j'(xj ) 1，有
'
j
(x
j
)
cl
2 j
(x
j
)
1.
即 c 1
故有
j
(
x)
(x
x
j
)l
2 j
(
x).
5，Hermite插值多项式是唯一的
对P29问题6的补充讲解
X x x0 x1 x0
据此可得 X 0 0,
X 1 1
因此，为了简化计算，题中设x0 0,x1 1
则插值基函数0 (x),1(x), 0 (x),1(x)分别满足条件 0 (0) 1, 0 (1) 0 (0) 0 (1) 0 1(1) 1, 1(0) 1(0) 1(1) 0 0 (0) 1, 0 (0) 0 (1) 0 (1) 0 1(1) 1, 1(0) 1(1) 1(0) 0
(x xn ) (xj xn )
aj
(xj
)
(ax j
b)l
2 j
(x
j
)
1,
aj (x j ) l j (x j )[al j (x j ) 2(ax j b)lj (x j )] 0,
整理得
ax j b 1; a 2l j ( x j ) 0.
解出
a 2lj (xj ), b 1 2x jlj (x j ).
2) (x1
x2
)
[a
b(
x
1)]x2
(
x
2)
1(x) (2 x)x2 (x 2) x2 (x 2)2
类似可求出
2 (x)
x2 4
( x 1)2
因此所求Hermite插值多项式为
1(x) x2 (x 1)(x 2)
H (x) 1(x) 2(x) 1(x)
x2 (x 2)2 x (x 1)2 4
j
(
xk
)
0 1
k j k j
( j, k 0,1, 2)
' j (xk ) 0 (k 0,1, j 0,1, 2)
j (xk ) 0 (k 0,1, 2, j 0,1)
'
j
( xk
)
0 1
k j k j
( j, k 0,1)
1(x)
[a
b(x
1)]
(x1
x2 (x x0 )2
由于
l
j
(x)
(x x0 )(x (x j x0 )(x j
x x
j1)(x x j1)(x j1)(x j x j1)(x j
xn ) xn
)
利用两端取对数再求导，得
于是
n
lj ( x j )
k 0
1 x j xk
,
k j
n
a j (x) 1 2(x x j )
k 0 k j
Hermite插值问题常用解法
（1）基函数构造法 （2）待定系数法 （3）基于承袭性
根据有函数值的插值节点条件构造插 值多项式（泰勒，拉格朗日，牛顿等）， 再结合其他插值节点的导数条件构造一个 附加项，由待定系数法给出系数，从而得 到所求插值多项式
例：按下表求Hermite插值多项式
解法一：由于插值条件有5