巧用补形法解决立体几何问题

体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问
题,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,对于还原补形,
主要涉及台体中“还台为锥”.
(2)补形法的应用条件:当某些空间几何体是某一个几何体的一部分, 且求解的问题直接求解较难入手时,常用该法.
【类题试解】如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E
为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合,则形
成的三棱锥的外接球的表面积为 .
【常规解法】由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
折叠后得到一个正四面体.作AF⊥平面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中
心.
取EC的中点G,连接DG,AG,过球心O作OH⊥平面AEC,则垂足H为△AEC的 中心.所以外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.因为AG= 3 ,AF=
3 2 6 AH= 3 ,在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知 1－( ) , 3 3 3 3 3 AG AH 6 外接球的表面积S球= 4( 6 ) 2 3 . 2 3 OA . 4 2 AF 4 6 3 答案: 3 2
2
【巧妙解法】由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
答案:96
【巧妙解法】用“补形法”把原几何体补成一个直三 棱柱,使AA′=BB′=CC′=8, 所以V几何体= 1 V三棱柱= 1 ×S△ABC·AA′=
2 2 1 24×8=96. × 2
答案:96
【方法指导】(1)补形法的应用思路:“补形法”是立体几何中一种常
见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何
所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题知三棱柱ABC-NDM的体积为
V1= 1 ×8×6×3=72.
2
四棱Baidu NhomakorabeaD-MNEF的体积为:
1 1 1 V2 S梯形MNEF DN 1 2 6 8 24, 3 3 2
则几何体的体积为:V=V1+V2=72+24=96.
巧用补形法解决立体几何问题
【典例】(2015·唐山模拟)如图:△ABC中,AB=8,BC=10,
AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.则
此几何体的体积为 .
【常规解法】如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几
何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
折叠后得到一个正四面体.如图所示,把正四面体放在
正方体中,显然,正四面体的外接球就是正方体的外接 球.因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为 2 , 所以外接球直径2R= 3 2 ,所以R= 6 ,
4 所以外接球的表面积S球= 4( 6 )2 3 . 4 2 答案: 3 2 2 2