微专题 辅助圆问题
2020年江苏中考数学复习第6章圆微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
(宿迁 2016.25，淮安 2016.28，盐城 2015.28)
模型一 “辅助圆”解点的存在性
模型分析
“定边、定角”圆上找．具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上．
微专题 辅助圆问题
针对训练 1. 如图，已知线段AB. (1)请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； (2)请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； (3)请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.
第3题图
请你总结，满足条件的P点具有的特点：_点__P_为__A__B_的__中__垂__线__与__直__线__b_的__交__点___.
微专题 辅助圆问题
4. 如图，当直线b与球门AB互相垂直时，球员(边锋)沿直线b带球，在直线b上是否存 在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请 说明理由．
微专题 辅助圆问题
针对训练 5. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速 度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为 _2___5___2_．(请在图中画出点P的运动路径)
巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系．所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决．因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题．下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明．１角的问题例１㊀在әA B C 中,A B ＝A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C ＝B D ＋A D ,求øA 的度数．分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难．结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图１接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图１．根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D ＝D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆．根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C ＝øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C ＝øE D C ＝øC ,于是可得øB E D ＝２øC ,且әE D C 为等腰三角形．所以D E ＝C E ,则A D ＝D E ＝C E ,然后结合B C ＝B E ＋A D 得到B D ＝B E ,所以øB D E ＝øB E D ＝２øC ．这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即１２øC ＋２øC ＋２øC ＝１８０ʎ,所以øC ＝４０ʎ,最后计算得出øA ＝１００ʎ．在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行．本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解．教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题．２线段长度的问题图２例２㊀如图２所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２C ．８１３１３D．１２１３１３图３分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C ＝９０ʎ,结合øP A B ＝øP B C 可得到øA P B ＝９０ʎ,所以әA B P 是直角三角形．根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是９０ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上．以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图３所示．这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上．因为A B ＝６,所以O B ＝３．在R t әO B C 中,B C ＝４,根据勾股定理得到O C ＝５,于是可求出P C 的最小值为２．所以正确答案是选项B ．例２的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B ＝９０ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值．因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路．教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路．很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的．因此结合已知条件来对试９７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式．教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题．３三角形相似的问题例３㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C ＝A BA C．分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C ＝A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决．因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C ＝B DD F,然后证明C D ＝D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D ＝D F ．结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图４延长线于点D ,如图４,根据例题１中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F ．根据圆的性质可以得到C D ＝D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题．几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解．在这个过程中,需要充分结合例题１和例题２中辅助圆构造的方式来找到相应的关系．４动点的问题图５例４㊀如图５所示,边长为３的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D ＝C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值．分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定．根据等边三角形的相关性质和B D ＝C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E ＝øB A D ,然后通过øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ得到øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ,于是øA P B ＝１２０ʎ．可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B ＝１２０ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上．假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为３可计算出圆O 的半径O A ＝３,然后计算出点P 的运动路径长度为２３３π,C P 的最小值为３．解:由A B ＝B C ,øA B D ＝øB C E ,B D ＝C E 得әA B D ɸәB C E ．由øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ,得øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ．所以øA P B ＝１２０ʎ．故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧．图６如图６所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C ．由O A ＝O B ,A C ＝B C ,得әA O C ɸәB O C ．所以øO A C ＝øO B C ,øA C O ＝øB C O ＝１２øA C B ＝３０ʎ,øA O C ＝øB O C ＝１２øA P B ＝６０ʎ．故øO A C ＝９０ʎ．根据勾股定理,可得O A ＝３,O C ＝２３．所以,弦A B 所对的弧长为３ˑ２３π＝２３３π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为３．在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题．本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化．例如,在例题２中通过计算所得到的角度为９０ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上．例４中这个角度为１２０ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决．本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明．在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解．因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养．Z０８。
微专题 辅助圆问题
解：如解图，点C′的运动轨迹在以点B为圆心，BC长为半径的半圆弧CE上．
第2题解图
模型二 点圆最值
模型分析
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最 大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O的半径为r)： (1) 当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②，当D、E、O三点共线时，线段DE 出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；
针对训练 1. 如图，已知⊙O及其外一点C，OC＝3，点A、B分别是平面内的动点， 且OA＝2，BC＝4，请在平面内画出点A、B的运动轨迹．
第1题图
解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
第1题解图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻 折，点C的对应点为C′，在点D从C到A的运动过程中，请画出点C′的运动路径．
第3题图
4. (2019通辽)如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的 一点，且AM＝ 1 AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折
3 得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__1_9_－__1__．
第4题图
模型三 线圆最值 模型分析
(1)如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为⊙O上一动点，当CH⊥AB且直线CH过 圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC为等腰三角形且面 积最大．
针对训练 7. 如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P. 解：如解图，点M、N即为所求点．
第7题图
第7题解图
8. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是Rt△ABC内部的一个动点， 且满足AP⊥BP，则线段CP的最小值为____2______．
中考总复习专题六辅助圆
例题解析
300 1.如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=60o,则∠BDC=_______.
思路点拨：
A
600
本题用一般的方法较难解决， 注意到已知条件AB=AC=AD ，可以点A为圆心，AB长为半 D 径作圆，则点C、D都在此圆 上，从而运用圆周角定理求解 .
练习
B
Q
20 ②当 CQ 12时，圆O与直线AB 3 有两个交点，当点 P运动到这两个交
M(P)
20 3
12
O
点时，CP Q为直角三角形 .
C
5
A
20 ③当0 CQ 时，圆O与直线AB 3 相离，点P在圆O外，CPQ小于90， CPQ不可能为直角三角形 .
20 综上所述，当 CQ 12时, CPQ 可能为直角三角形 . 3
可以点E为圆心，AO长为直径 作圆，如果圆E与直线x=b有交
O
C x=b
x
点，则存在四边形DEFB为矩
形.反之，则不存在.
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由.
解：能。以点E为圆心，AO长为直
y
径作圆，则半径为EO=4.
F B (b,t) D
(2)S=2b
O
C x=b
x
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由. 思路点拨：
y
因为四边形DEFB是平行四边 形，所以四边形DEFB要成为
F B (b,t) D
(0,8) A
中考复习微专题----辅助圆问题及题例(一)
E
BE'F',则点B'的运动轨迹是⊙E上的一段弧，
半径为线段BE 。
B
F
D
【问题呈现】：如图，已知点O及一点C,OC=3,点A,B分别是平面内的动点，且OA=2, BC=4,请在平面内画出点A,B的运动轨迹。
【问题解析】：点A的轨迹是以点O为圆心，OA长 为半径的圆;
点B的轨迹是以点O为圆心，OB长为半径的圆;
线段CH即为点C到弦AB的最大距离，则此时 ������△������������������ 最大。
AAA
H H BBB
模型2：线圆最值（2）
P
【基本模型】：如图，直线AB与⊙O相离，点P 为⊙O上一动点,设圆心O到直线AB的距离为d， 的半径为r,则点P到直线AB的最小距离是d−r,点 P到直线AB的最大距离是d+r。
y
4
3 y= 3x+ 3
2
A
1
B –2 –1 O
–1
–2
C
x 1 2 3 4 5
Q
–3
本节课你的收获是什么？
A
2 3
C
O
4
B
【问题呈现】：如图，已知平行四边形ABCD,点E为AD边上一点，点F为边AB上一D 动点，将△AEF沿EF折叠得到△A'EF,请在图中画出点A'在平行四边形ABCD内（含 边上的点）的运动轨迹。
【问题解析】：点A'的运动轨迹是以点E为圆 心，AE长为半径的⊙E的弧MN上;
D
C
M A'
������ ������ + ������ ，最小值是 ������ ������ − ������ 。
【问题解析】：因为图中AB为定直线，点Q为⊙C 上的一个动点,要求点Q到直线AB距离的最大值和最 小值，已知⊙C的半径为1，关键在于求出圆心C到 直线AB的距离;
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一.从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．Alll构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．3.如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，ABCEFPABCEFPBPB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．4.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．Q ABC DEFP连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．二.定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．D'PFE DCBAQAB【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．1.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，EFA BCDPFDHGAB CDEF所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．2.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°，αααHGABCDE FPABC∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．【寻找定边】1.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．CCBB【寻找定边与直角】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．B连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-==．2.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．GF EDCB A∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．【辅助圆+将军饮马】1.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三.定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．1.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°2.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．3.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．ABCP4ABC 60°4.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．ABAAE 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
中考数学辅助圆专题
2018辅助圆专题1、如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是度．2、（福建省三明市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB= 5，BC=3，P 是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．3、（四川自贡）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，则B ′D 的最小值是___4、（2017湖北咸宁）如图，在AC B Rt ∆中，30,2=∠=BAC BC ，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线ON OM ,上滑动，下列结论：①若O C 、两点关于AB 对称，则32=OA ；②O C 、两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则CO AB ⊥；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为2π.其中正确的是 ．见幻灯片6、（2017河南，10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．见幻灯片规范过程，分分必争解：（1）PM=PN，PM⊥PN，—2分（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，——3分同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，——4分∴△PMN是等腰直角三角形，——5分（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，——7分连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，——8分∴S △PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．——10分方法总结做辅助圆的条件：1、当至少3个点到一个定点的距离相等时，根据圆的定义做辅助圆。
省时省力的辅助圆
２０２２年７月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀省时省力的辅助圆◉山东省滕州市滕南中学㊀郭效萍１引言圆是初中阶段学习的重要图形,它的一些性质,例如,同弧所对的圆周角相等,半圆所对的圆周角是直角,直径是圆中最长的弦等,给解决问题带来极大的方便．在解答有关几何问题时,并不是图形中出现圆才利用圆的性质,有时需要构造一个辅助圆,然后利用圆的性质解答,这是解决几何问题的基本方法之一．２利用圆的集合定义构造辅助圆从集合的角度定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合．根据这个定义可以得到,当几个点到同一点的距离相等时,则这几点一定在同一个圆上．这样构造辅助圆,解答时不仅能利用题中的已知条件,而且可以利用圆的一些性质．例１㊀如图１,在四边形A B C D 中,A B ＝A C ＝A D ,若øB AC ＝２５ʎ,øC AD ＝７５ʎ,分别求øB D C 和øD B C 的度数．图１㊀㊀㊀图２解法１:(普通方法)ȵA B ＝A C ＝A D ,ʑøA D B ＝øA B D ,㊀øA C B ＝øA B C ,㊀øA D C ＝øA C D ．ȵøB A C ＝２５ʎ,øC A D ＝７５ʎ,ʑøA C B ＝(１８０ʎ－２５ʎ)ː２＝７７．５ʎ,㊀øD A B ＝øD A C ＋øC A B ＝１００ʎ,㊀øA D C ＝øA C D ＝(１８０ʎ－７５ʎ)ː２＝５２．５ʎ．ʑøA D B ＝(１８０ʎ－１００ʎ)ː２＝４０ʎ．ʑøB D C ＝øA D C －øA D B＝５２．５ʎ－４０ʎ＝１２．５ʎ,㊀øD C B ＝øD C A ＋øA C B＝５２．５ʎ＋７７．５ʎ＝１３０ʎ．ʑøD B C ＝１８０ʎ－øD C B －øB D C＝１８０ʎ－１３０ʎ－１２．５ʎ＝３７．５ʎ．解法２:(构造辅助圆的方法)由A B ＝A C ＝A D ,得点B ,C ,D 在以A 为圆心,以A D 为半径的圆上,如图２．由øB A C ＝２５ʎ,得øB D C ＝１２øB A C ＝１２．５ʎ．由øC A D ＝７５ʎ,得øD B C ＝１２øC A D ＝３７．５ʎ．点评:比较上面两种方法可以发现,构造辅助圆后,解决过程明显简洁．这里主要利用了圆周角定理及其推论:同弧所对的圆周角相等,等弧所对的圆周角也相等．这是因为这些圆周角都等于它所对的圆心角的一半．３利用圆周角定理的推论构造辅助圆因为９０ʎ的圆周角所对的弦是直径,所以当直角三角形的斜边一定时,直角顶点一定在以斜边为直径的圆上运动．此时构造辅助圆,可以确定直角顶点的运动轨迹．例２㊀如图３所示,矩形A B C G (A B ＜B C )与矩形C D E F 全等,点B ,C ,D 在一条直线上,øA P E 的顶点P 在线段B D 上移动,使得øA P E 为直角的点P 的个数是．图３㊀㊀㊀图４解析:如图４所示,根据９０ʎ的圆周角所对的弦是直径,当øA P E 为直角时,点P 应在以A E 为直径的☉O 上．又因为点B ,C ,D 在同一条直线上,øA P E的顶点P 在线段B D 上移动,所以点P 就是☉O 与B D 的交点．由图４可知,B D 与☉O 有２个交点．故答案为:２．点评:本题确定点的方法使用的是交轨法,即从每一个条件出发确定一个点的轨迹,两个点的轨迹的交点就是符合题意的点．本题两个点的轨迹分别是一条直线和一个圆．４利用一个角对定线段所张的角度为定值构造辅助圆㊀㊀当一个角对固定长度的线段所张开的角度为定值时,角的顶点的运动轨迹为一个圆,此时可以作辅助圆,这条定线段为辅助圆的弦,这个角为圆周角．此时可以利用圆的相关性质解答问题．例３㊀如图５,点A 与点B 的坐标分别是(１,０),(５,０),点P 是该直角坐标系内的一个动点．(１)使øA P B ＝３０ʎ的点P 有个．(２)若点P 在y 轴上,且øA P B ＝３０ʎ,求满足条件的点P 的坐标．５７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２２年７月下半月㊀㊀㊀(３)当点P 在y 轴上移动时,øA P B 是否有最大值?若有,求点P 的坐标,并说明此时øA P B 最大的理由;若没有,请说明理由．图５㊀㊀㊀图６解析:(１)如图６,以A B 为边,在第一象限内作等边三角形A B C ,以点C 为圆心,A C 为半径作☉C ,交y 轴于点P １,P ２．在优弧A P １B 上任取一点P ,则øA P B ＝１２øA C B ＝１２ˑ６０ʎ＝３０ʎ．所以使øA P B ＝３０ʎ的点P 有无数个．(２)①当点P 在y 轴的正半轴上时,过点C 作C G ʅA B ,垂足为点G ,如图６．由点A (１,０),B (５,０),得O A ＝１,O B ＝５,则A B ＝４．由点C 为圆心,C G ʅA B ,得A G ＝B G ＝１２A B ＝２．则O G ＝O A ＋A G ＝３．由әA B C 是等边三角形,得A C ＝B C ＝A B ＝４．则C G ＝A C ２－A G ２＝４２－２２＝２３．于是点C 的坐标为(３,２３)．过点C 作C D 垂直于y 轴,垂足为点D ,连接C P ２,如图６．由点C (３,２３),得C D ＝３,O D ＝２３．由点P １,P ２是☉C 与y 轴的交点,得øA P １B ＝øA P ２B ＝３０ʎ．由C P ２＝C A ＝４,C D ＝３,得D P ２＝４２－３２＝７．由点C 为圆心,C D ʅP １P ２,得P １D ＝P ２D ＝７,从而P ２(０,２３－７),P １(０,２３＋７)．②当点P 在y 轴的负半轴上时,同理可得:点P ３(０,－２３－７),P ４(０,－２３＋７)．综上所述,满足条件的点P 的坐标为(０,２３－７),(０,２３＋７),(０,－２３－７),(０,－２３＋７)．图７(３)如图７,当过点A ,B 的☉E 与y 轴相切于点P 时,øA P B 最大．理由:可证øA P B ＝øA E H ,当øA P B 最大时,øA E H 最大．由s i n øA E H ＝２A E知,当A E最小即P E 最小时,øA E H 最大．所以当圆与y 轴相切时,øA P B 最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时,连接E A ,作E H ʅx 轴,垂足为点H ,如图７．由☉E 与y 轴相切于点P ,得P E ʅO P ．由E H ʅA B ,O P ʅO H ,得øE P O ＝øP O H ＝øE H O ＝９０ʎ．则四边形O P E H 是矩形,O P ＝E H ,P E ＝O H ＝３,得E A ＝３．由øE HA ＝９０ʎ,AH ＝２,E A ＝３,得E H ＝E A ２－AH ２＝３２－２２＝５,则O P ＝５,则点P (０,５)．②当点P 在y 轴的负半轴上时也符合题意,此时点P (０,－５)．综上所述,存在满足条件的点P ,其坐标为(０,５),(０,－５)．点评:解答第(３)小题时,体现了转化的思想,即由øA P B 转化为øA E H ,由øA E H 转化为２A E,由２A E转化为A E ,再由A E 转化为P E ,由P E 转化为直线与圆相切．５利用作辅助圆求最值圆外一定点与圆上各点连接而成的所有线段中,有一条最短线段和最长线段,这两条线段都在过圆心与圆外一点的直线上,如图８所示,最长线段是P A ,最短线段是P B ．利用这一点,可以求与圆有关的线段的最值．图８㊀图９㊀图１０例４㊀如图９,R t әA B C 中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 长的最小值为．解析:如图１０,由øA B C ＝９０ʎ,得øA B P ＋øP B C ＝９０ʎ．又øP A B ＝øP B C ,则øB A P ＋øA B P ＝９０ʎ,即øA P B ＝９０ʎ,则点P 在以A B 为直径的☉O 上．连接O C 交☉O 于点P ,此时P C 最小．在R t әB C O 中,øO B C ＝９０ʎ,B C ＝４,O B ＝３,则O C ＝O B ２＋B C ２＝５,P C ＝O C －O P ＝５－３＝２．因此P C 的最小值为２．点评:几何中求最值的情况包括:(１)利用轴对称求线段和的最小值;(２)利用勾股定理求曲面上或不同平面上两点之间的最短距离;(３)利用三角形相似解决系数不为１的线段和最小值问题;(４)利用直径是圆中最长的弦解决与圆有关的线段的最值．几何问题中作辅助线的方法比较多,如作垂线㊁平行线㊁连接㊁延长㊁倍长中线㊁旋转三角形等,但作辅助圆这种作铺助线的方法容易被忽略．上述四个实例分别从四个不同的角度阐释了在什么情况下需要作辅助圆,如何作辅助圆,作辅助圆后如何利用辅助圆,以期对学生突破几何学习有所帮助．W６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
【初中数学小专题】辅助圆构造及其应用
F
4
5、（2015 自贡）如下图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 的中点，F 是线段 BC 边上
的动点， 将 EBF 沿 EF 所在直线折叠得到 EB'F ,连接 B'D ,则 B'D 的最小值为（ ）
A、 2 10 2
B、 6 A
C、 2 13 2
D、 4 D
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3
三、【利用辅助圆求线段的最值】
1. 如图①，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC=60°，点 E 是 AD 边的中点，F 是 CD 上的动点，将△
DEF 沿 EF 折叠，点 D 落在 P 处，则线段 BP 最短时的长度为
C． (1)抛物线的解析式为
；
(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CAP 为等腰三角形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标．
二、【利用辅助圆构造直角三角形】 1、如图，在直角梯形 ABCD 中， AB // DC , B 90,设 AB a ，DC b ， AD 20 ，当 a,b 满足什么关系时，在直线 BC 上存在点 P，使 AP PD ?
2、【2006 年深圳中考 21 题 10 分】 如图，抛物线 y ax2 8ax 12a(a 0) 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），抛物线上 另有一点 C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角,且恰使△ OCA ∽△ OBC . (1)(3 分)求线段 OC 的长.
.
B
2023年安徽中考数学总复习专题：辅助圆问题(PDF版,有答案)
2023年安徽中考物理总复习专题：辅助圆问题类型一定点定长（1）利用几个点到定点距离相等构造圆典例1如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是 ．【思路点拨】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．【关键点】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．针对训练1．如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（ ）A．25°B．50°C．60°D．80°（2）翻折产生隐圆典例2如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为 ．【思路点拨】由已知确定B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△AB'C的面积最大，再求面积即可．解：由对称性可知，PB＝PB'，∴B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，∵∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，∴AP＝2，在Rt△APH中，PH＝AP•sin60°＝2×32=3，∴B'H＝6+3，∴S△AB'C=12×8×（6+3）＝24+43，故答案为：24+43．【关键点】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，能判断点B'的运动轨迹是解题的关键．针对训练2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）A．5B．4C．22D．25类型二定角对定弦构造圆（1）定直角对定边典例3已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是直线BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为 ．【思路点拨】先证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB＝90°，所以点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，然后根据勾股定理即可解决问题．解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF，BE=CF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD，BC＝2，∴AO＝1＝OP，Rt△OAD中，OD=22+12=5，∴PD＝OD﹣OP=5―1．【关键点】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是得到△ABE≌△BCF．针对训练3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．4．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝10，AC＝8，D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值等于 ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 226―2 ．（2）任意角对定边典例4如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）A．1.5B．3C．433D．2【思路点拨】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，求出∠APC＝120°，当O、P、B共线时，PB长度最小，由等边三角形的性质得出AD＝CD=12 AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，求出PD和BD的长，可得PB的长，即可得出答案．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是AC，设AC所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD=12AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD=12∠ABC＝30°，∴PD=32，BD=332，∴PB＝BD﹣PD=332―32=3．故选：B．【关键点】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；作辅助线构建圆是解决问题的关键．针对训练6．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．7．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（﹣1，0），点C是y轴上一动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为 ．类型三对角互补构造圆典例5如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是 ．【思路点拨】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．解：如图，连接EB，设OA＝r∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．∴E是△ACB的内心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，∴弧MN的长度：弧GF的长度=2α×π×r180α×π×2r180=2．故答案为：2．【关键点】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质．针对训练8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（ ）A．变大B．先变大后变小C．先变小后变大D．不变综合训练1．如图，等边△ABC的边长为3，F为边BC上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长（ ）A．随点F运动而变化，最小值为94B．随点F运动而变化，最大值为94C．随点F运动而变化，最小值为323D．随点F运动，其值不变2．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y 轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（ ）A．8B．42+4C．43+4D．823．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE 于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（ ）A．5B．213―2C．6D．25+24．在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 ．5．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为 ．6．如图，∠MON＝90°，直角三角形ABC斜边的端点A，B分别在射线OM，ON上滑动，BC＝1，∠BAC＝30°，连接OC．当AB平分OC时，OC的长为 ．7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF 的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ．9．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．参考答案针对训练1．B【解析】连接BD，并延长AE交BD于点O，∵AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，∴四边形BCDE是菱形，∵∠C＝100°，∴∠BED＝100°，∵EA＝EB＝ED，∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA，∵∠BEO＝∠EAB+∠EBA，∠DEO＝∠EAD+∠EDA，∴∠BED＝2∠BAD，∴∠BAD＝50°．2．B【解析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．∵DE＝3，DD′＝4，∴ED′=DE2+DD′2=5，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4．3．2【解析】∵AB⊥BC，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP ＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，∴OB=12AB＝3，∴OC=OB2+BC2=5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．4．213―4【解析】如图，取AC 的中点O '，连接BO ′、BC ．∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴在点D 移动的过程中，点E 在以AC 为直径的圆上运动，∴CO '=12AC ＝4，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，AB ＝10，∴BC =AB 2―AC 2=102―82=6，在Rt △BCO ′中，BO ′=BC 2+CO′2=62+42=213，∵O ′E +BE ≥O ′B ，∴当O ′、E 、B 共线时，BE 的值最小，最小值为O ′B ﹣O ′E ＝213―4．5．226―2【解析】连接CE ，取BC 的中点F ，作直径为BC 的⊙F ，连接EF ，AF ，∵BC ＝4，∴CF ＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝10，∴AF =AC 2+CF 2=104=226，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CED ＝∠CEB ＝90°，∴E 点在⊙F 上，∵在D 的运动过程中，AE ≥AF ﹣EF ，且A 、E 、F 三点共线时等号成立，∴当A 、E 、F 三点共线时，AE 取最小值为AF ﹣EF ＝226―2．6．4＜BC ≤833【解析】作△ABC 的外接圆，如图所示，∵∠BAC ＞∠ABC ，AB ＝4，当∠BAC ＝90°时，BC 是直径最长，∵∠C ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴BC ＝2AC ，AB =3AC ＝4，∴AC =433，∴BC =833；当∠BAC ＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC ＝AC ＝AB ＝4，∵∠BAC ＞∠ABC ，∴BC 长的取值范围是4＜BC ≤833．7．（0，2+7）或（0，﹣2―7）【解析】如图，先作等腰直角△PAB ，再以P 点为圆心，PA 为半径作⊙O 交y 轴于C 点，作PD ⊥y 轴于D ，可得P （1，2），PA ＝22，∴PC ＝22，∴CD =(22)2―12=7，∴OC ＝2+7，∴C （0，2+7），同理可得C ′（0，﹣2―7），综上所述，满足条件的C 点坐标为：（0，2+7）或（0，﹣2―7）．8．D 【解析】连接AC 交BD 于O ，连接EO 、AG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，∵EG 是AP 的垂直平分线，∴AG ＝PG ，∠AEG ＝∠AOB ＝90°，∴A 、E 、G 、O 四点共圆，∴∠PAG ＝∠EOB ，∠APG ＝∠PAG ，∴∠EOG ＝∠APG ，∵四边形ABCD是菱形，∴OA ＝OC ，∵AE ＝PE ，∴OE ∥BC ，∴∠EOB ＝∠DBC =12∠ABC ，∵菱形ABCD 固定，∴∠ABC 的度数固定，即∠APG 的度数不变．综合训练1．A 【解析】作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴AG =32AB =332，∵S △ABF +S △ACF ＝S △ABC ，∴12AB •DF +12AC •EF =12BC •AG ，∵AB ＝AC ＝BC ＝3，∴DF +EF ＝AG =332，∵△DEF 中，DE ＜DF +EF ，∴DE 的长随F 点运动而变化，当F 运动到BC 中点时DE 最小值为94（四边形ADFE 四点共圆，当直径AF 最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短，可得结论）．2．B【解析】根据条件可知，∠AOB＝45°，AB＝4，以AB为弦，所对圆周角等于45°作一辅助圆，如图所示，当点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离最大，即“高”最大，而底AB为定值4，所以此时△OAB的面积最大，计辅助圆圆心为G，∠AGB＝90°，AG＝BG＝22，所以点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离为22+2，所以△OAB面积的最大值12×4×（22+2）＝42+4．3．B【解析】如图，取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E．由以上作图可知，AF⊥EB于F．PC+PF＝PC'′+EF＝C'F，由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．∵C'B'＝4，OB′＝6，∴C'O=42+62=213，∴C'F＝213―2，∴PC+PF的最小值为213―24．92+9【解析】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，∴OA=OM2+AM2=32，∴CM＝OC+OM＝32+3，∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．5．2+433【解析】如图所示，延长AC至P，使CB＝CP，则∠P＝∠PBC，∵∠ACB＝∠P+∠PBC＝90°，∴∠P＝60°，作△ABP的外接圆，当AP为△ABP的外接圆的直径时，AP最长，AP＝AC+CP＝AC+CB，则∠ABP＝90°，∴△ABP是直角三角形，∴PB=3 3AB=233，∴AP＝2PB=433，∴△ABC周长的最大值＝AB+AC+BC＝AB+AP＝2+433．6．2或3【解析】①当OA＝OC时，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，AB＝AB，∴△ACB≌△AOB（HL），∴BC＝BO，∴AB垂直平分线段OC，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，∴A，O，B，C四点共圆，∴∠CAB＝∠COB＝30°，∴∠AOC＝60°，∵AC＝OA=3，∴△AOC 是等边三角形，∴OC＝AC=3．②当四边形AOBC是矩形时，此时AB平分OC，∴OC ＝AB＝2，综上所述，满足条件的OC的值为3或2．7．（10―2）【解析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，∴MA=10，MG=12OB=2，AG≥AM﹣MG=10―2，当A，M，G三点共线时，AG最小＝（10―2）cm．8．33【解析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC=12AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE=12AC＝1，∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∵FT⊥AB，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE ＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE ＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°=33，∴CF的最大值为33．9．【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC＝45°，当点D在BC的下方时，∠BDC＝135°，故答案是：45或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠CDAAE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO=12AB＝1，在Rt△AOD中，OD=AO2+AD2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH最小值＝OD﹣OH=5―1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）。
第1部分 第6章 微专题6 辅助圆问题
1
2
3
4
模型一 模型二 模型三 强化训练
微专题六 辅助圆问题
1
2
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4
模型一 模型二 模型三 强化训练
应用 3－1 (2022·泰山区模拟)如图 1，点 B 在直线 l 上，过点 B 构建等腰 Rt△ABC，使∠BAC＝90°，且 AB＝AC，过点 C 作 CD⊥直 线 l 于点 D，连接 AD．
微专题六 辅助圆问题
微专题六 辅助圆问题
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模型一 模型二 模型三 强化训练
02
模型二 定弦定角作圆
微专题六 辅助圆问题
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模型一 模型二 模型三 强化训练
微专题六 辅助圆问题
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模型一 模型二 模型三 强化训练
若有一固定线段 AB，其所对应的∠C 大小固定，则
根据圆的知识可知 C 点并不是唯一固定的点，它旋转的轨迹是圆或 者圆弧，当 CA＝CB 时，C 到 AB 的距离最大．
满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形
的边长为2，则线段DH长度的最小值是_____．
微专题六 辅助圆问题
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3
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模型一 模型二 模型三 强化训练
5 －1 解析：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝
∠CDA，∠ADG＝∠CDG．
AB＝CD
在△ABE和△DCF中，∠BAD＝∠CDA ， AE＝DF
微专题六 辅助圆问题
1
2
3
4
模型一 模型二 模型三 强化训练
(2)有一个直径为 30 cm 的圆形配件⊙O，如图 2 所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞 OABC， 要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形 孔洞 OABC 的面积尽可能小，试问：是否存在符合要 求的面积最小的四边形 OABC？若存在，请求出四边 形 OABC 面积的最小值，及此时 OA 的长；若不存在题
提分专题十 辅助圆问题
距离最大值
+
2
+
过点 作直线 的垂线，其反向延长线与 ⊙ 的交点
此时点 的位置
即为点
点 到直线 的
距离最小值
−
0
过点 作直线 的垂线，与 ⊙ 的
此时点 的位置
交点即为点
0
直线 与 ⊙ 的
交点即为点
针对训练
重合）；
（3）如图3，当 ∠ > 90∘ 时，点 的运动轨迹为劣弧 （不与点
， 重合）
针对训练
4.如图， △ 为等边三角形， = 3 ．若 为 △ 内一动点，且满足
∠ = ∠ ，则线段 长度的最小值为(
A.1.5
B.
√
3
4 3
C.
4
)
16
D.
5
第8题图
9.如图，在 △ 中， = 9 ， = 12 ，
= 15 ， 为直线 上方一点，连接 ， ，
且 ∠ = 90∘ ，过点 作直线 的垂线，垂足为
12
，则线段 的最大值为____．
第9题图
类型 四 点圆最值
的半径为1，点 是 边上的动点，过点 作 ⊙ 的一条切
线 （点 为切点），则线段 的最小值为(
A. 2
√
2
B. 4 3
C. 2 3
)
D.4
第14题图
提分专题十
辅助圆问题
类型 一 定点定长
已知平面内一定点 和一动点 ，若 长度固定，则点 的运动轨迹是
以点 为圆心， 长为半径的圆（如图1）（依据：圆的定义）
专题02“辅助圆”模型解决最值问题(解析版)
1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D【分析】当A ，M ，C 三点共线时，线段CM 的长度最小，求出此时CM 的长度即可．【解答】解：连接AM ，Q 点B 和M 关于AP 对称，3AB AM \==，M \在以A 圆心，3为半径的圆上，\当A ，M ，C 三点共线时，CM最短，5AC ==Q ，3AM AB ==，532CM \=-=，故选：A ．【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M 在以A 为圆心，3为半径的圆上．2．（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE AB ^，2AF AE =，FC 交BD 于O ，则DOC Ð的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°【分析】如图，连接DF 、BF ．如图，连接DF 、BF ．首先证明1302FDB FAB Ð=Ð=°，再证明FAD FBC D @D ，推出15ADF FCB Ð=Ð=°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF 、BF ．FE AB ^Q ，AE EB =，FA FB \=，2AF AE =Q ，AF AB FB \==，AFB \D 是等边三角形，AF AD AB ==Q ，\点A 是DBF D 的外接圆的圆心，1302FDB FAB \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，AD BC \=，90DAB ABC Ð=Ð=°，45ADB DBC Ð=Ð=°，FAD FBC \Ð=Ð，FAD FBC \D @D ，15ADF FCB \Ð=Ð=°，60DOC OBC OCB \Ð=Ð+Ð=°．解法二：连接BF ．易知15FCB Ð=°，451560DOC OBC FCB Ð=Ð+Ð=°+°=°故选：A ．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．策略一：角处理的常见策略“边对角”问题属角的存在性问题特例，具备角处理的通用解法，比如“一线三等角”，“母子型相似”，“整体旋转法”策略二：“边对角”→辅助圆（本节重点）由于“边对角”问题的特殊性，又会产生新的特殊解法，常可以构造辅助圆解题，其核心结构如图：注意：有圆，常有“定边对定角”；反过来，有“定边对定角”常可以构造辅助圆。
2024年中考数学总复习第一部分考点精练第六单元圆微专题辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
3. (2023龙东地区)如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2， 点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得到 Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接 CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF 面积 的最大值是__4____3__．
第3题图
微专题 辅助圆问题
4. (2023菏泽)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°， AB＝5，AD＝4，AD<BC，点E在线段BC上运动，点F 在线段 AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为___2_9__2__．
第4题图
微专题 辅助圆问题
5.
如图，P 是正方形ABCD内一点，且满足∠CBP＋
第7题图பைடு நூலகம்
微专题 辅助圆问题
8. (2023宜宾)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形 内一点，连接BP，线段BP 以B为中心逆时针旋转90° 得到线段 BQ，连接MQ，若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为 _2__1_0___1_．
解题关键点 连接BM，将△Bcm绕点B顺时针旋转90°，得到△BAK，连接KP，通过 证明△KBP≌△MBQ得到MQ＝KP第，8题再图利用点圆最值求解．
∠CDP＝45°.若AB＝6，则四边形ABPD面积的最大值为
___1_8__2__．
第5题图
微专题 辅助圆问题
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，tan B＝ 2 ，
3
将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点A的对应点为A′， 若P 为A′B′的中点，连接AP，则线段AP的最大值为__4____1_3_．
第6题图
辅助圆专题
练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，
PA：PB=5：14，则PB的长
为
．
42
• 如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，分别以 A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和 等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线 的垂线，垂足为M、N。
如图，等边三角形ABC的边长为6，点D在AB 边上，从A匀速运动到B。点E在BC边上，以 相同的速度从B匀速运动到C。AE和CD相交于 点P， 求动点P所走过的路径长。
O
E
练习
已知：△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO 2 ∠ABO=∠DCO．点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点． 若 A、O、C 三点在同一直线上，请证明：△PMN∽△BAO
• 如图，在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD 边上的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN 沿着MN所在的直线翻折，得到△A’MN，连接 A’C，则A’C长度的最小值是多少？
E
A’
•
D
•
D
D
基本类型
2、三点共圆：定角度对定线段。
C O
A
B
• 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为
北师大实验中学---辅助圆
辅助圆（1）专题一：触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等 则A 、B 、C 、P 四点共圆 备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧四点共圆模型应用1. 如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，则∠BAC 的度数等于_______________.2. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O 为 AC 的中点，过点O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交AB 、BC 于点E 、F ，则EF 的最小值等于_______________.3. 如图，在△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，连接DE 、DF ，若∠BAC=64°，则∠EDF的度数等于_______________.4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一个角度得到△ADE ，连接BE 、CD ，延长CD 交BE 于点F ，求证：BF=EF.第1题 第2题 第3题 第4题5. 如图，在△ABC 中，AC=BC ，点O 为底边AB 中点，点D 为AC 腰上一点，连接BD ，过点C 作CE ⊥BD ，垂足为点E ，连接EO.求证：∠OEB=12∠ACB.6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠CAD=90°，点E 在边AB 上，CE ⊥DE 。
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请你总结，满足条件的P点具有的特点：_点__P_为__A__B_的__中__垂__线__与__直__线__b_的__交__点___.
4. 如图，当直线b与球门AB互相垂直时，球员(边锋)沿直线b带球，在直线b上是否存 在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请 说明理由．
第4题图
解：存在， 理由如下：如解图所示，点P即为所求．
第4题解图
【解法提示】要更易进球，即要∠APB的度数最大．点P是直线b上一动点，点P有无 数个，则过A、B、P三点可以得到无数个圆，只有当⊙O与直线b相切时，∠APB为 “圆上角”，b上的其余点P′构成的∠AP′B为圆外角，此时∠APB最大，更易进球． 【作法提示】作AB的中垂线a，以B为圆心，直线a与直线b之间的距离h为半径作弧， 交直线a于点O，以O为圆心、OB长为半径作圆，则⊙O必定切直线b于点P，则P点即 为型分析
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值 和最小值. 具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： (1)若D点在⊙O外时，d＞r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最 值，DE的最大值为(d＋r)，DE的最小值为(d－r)；
(2)当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r(即为⊙O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D、E重合)；
(3)若定点D在⊙O内时，d＜r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现 最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.
第1题图
请你总结，以上满足条件的P点具有的特点： (1)_根__据__直__径__所__对__的__圆__周__角__等__于__9_0_°__，__因__此__点__P_集__中__在__以__A_B__为__直__径__的__圆__上__(_A_、__B_两__点__
_除__外__)_；_；
(2)_点__P_集___中__在__“_以__A_B_为__弦__，__其__所__对__的__圆__周__角__等__于__6_0_°__的__两__段__弧__上__(_A_、__B__两__点__除__外__)_； (3)_点__P_集__中__在__“_以__A__B_为__弦__，__其__所__对__的__圆__周__角__等__于__4_5_°__的__两__段__弧__上__(_A_、__B__两__点__除__外__) ． 2. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最
第7题图
第8题图
8. 如图，已知⊙O及其外一点C，请在⊙O上找一点P，使其到点C的距离最近．
解：如解图，连接OC交⊙O于点P，则点P即为所求．
第8题图
模型四 “辅助圆”解面积的最值
模型分析 三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定值，则满足条件的点在
两段弧上运动，当这个角的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积 达到最大，此时该三角形为等腰三角形．
微专题 辅助圆问题
(宿迁 2016.25，淮安 2016.28，盐城 2015.28)
模型一 “辅助圆”解点的存在性
模型分析
“定边、定角”圆上找．具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上．
针对训练 1. 如图，已知线段AB. (1)请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； (2)请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； (3)请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.
4 32 大值为____3____．
第2题图
模型二 “辅助圆”解角度的最值
模型分析
同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周 角. 如图①，∠B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.
针对训练 3. 如图，线段AB是球门的宽，球员(前锋)点P在距球门前一定距离的直线b上，在直 线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出； 若不存在，请说明理由．
C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最 43
小值为____3____．(请在图中画出点P的运动路径)
7. 如图，∠AOB＝45°，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为直 角边作等腰Rt△CDE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE的最大值为 __1_0____2_．(请在图中画出点P的运动路径)
针对训练 5. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速 度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为 _2___5___2_．(请在图中画出点P的运动路径)
第5题图
第6题图
6. 如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M和N分别从点B、
针对训练 9. 如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝4， 则四边形ABCD面积的最小值是_8___3___8_．
第9题图
第10题图
10. 如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，分别以AC、BC为边向外作正方形
ACED、正方形CBMN，连接EN，则△ECN面积的最大值为__2___1___．